CC BY
57
ВЕСТНИК -пчмл
7/2014
УДК 658.7:004
Р.З. Хайруллин
ФГБОУ ВПО «МГСУ»
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАЗВОЗА ГРУЗОВ ПО РАЗВЕТВЛЕННОЙ СЕТИ АВТОДОРОГ
Разработана математическая модель развоза грузов, применимая в условиях среднего города и прилегающих районов. Представлен алгоритм формирования ежедневных заданий для каждой единицы транспортного средства автоперевозчика. Предложено средство решения задачи развоза товаров со складов отправителей до объектов и складов получателей — специализированное программное обеспечение. Описаны результаты апробации модели.
Ключевые слова: математическое моделирование, развоз грузов, сеть дорог, логистика, регулярное задание, мультипликативный рюкзак, задача коммивояжера.
Процесс организации строительного производства предусматривает своевременную поставку строительных материалов, конструкций, изделий и оборудования в заданном объеме на объекты строительства. В строительном комплексе значительная доля логистических затрат приходится на транспортную составляющую.
Задача сокращения транспортных затрат и оптимизации развоза грузов со складов отправителей до объектов и складов получателей является ключевой для крупных компаний, в т.ч. строительной отрасли, имеющих свой автопарк; компаний — автоперевозчиков грузов и компаний — логистических операторов [1—4]. Для строительных компаний, передавших в аутсорсинг функции снабжения и транспортной логистики, задача оптимизации развоза грузов интересна, в первую очередь, с точки зрения своевременности доставки материалов на объекты и склады.
Маршруты доставки грузов могут проходить по участкам автодорог федерального, регионального, межмуниципального и местного значения, которые сильно отличаются по качеству покрытия, пропускной способности, допустимой скорости движения. Периодически возникающие транспортные пробки зачастую приводят к необходимости изменения ранее запланированных маршрутов. В связи с этим, возникает необходимость комплексного решения таких технико-экономических задач, как своевременность исполнения заявок получателей грузов; построение приемлемых по транспортным расходам и времени доставки маршрутов; формирование ежедневных заданий для каждой единицы транспортного средства автоперевозчика; уменьшение общего количества задействованных автомашин и т.д.
В [1, 2] представлена Система управления доставкой товаров от поставщиков потребителям «Диспетчер» и описаны математические модели, лежащие в ее основе. Средняя продолжительность маршрутов в задачах близка к продолжительности рабочей смены. Поэтому одна автомашина в редких случаях совершает 2...3 рейса в течение одного рабочего дня. Предполагалось, что задача формирования ежедневных заданий для каждой автомашины, в случае
необходимости, будет решаться диспетчером автотранспортной компании в процессе оперативного управления доставкой грузов. Если средняя продолжительность одного рейса составляет 2...5 ч, а продолжительность рабочей смены — от 8 до 12 ч, что характерно при развозе грузов, в т.ч. строительного оборудования и материалов, в средних городах и прилегающих к ним районах, то задача включения нескольких рейсов в задание для одной единицы транспортного средства, в силу своей многовариантности, становится актуальной проблемой. Для решения задачи формирования задания для каждой единицы транспортного средства возникает необходимость математического моделирования. В настоящей статье эта задача представляется как обобщенная задача о мультипликативном рюкзаке и решается с применением метода ветвей и границ и метода практической близости.
Для обеспечения эффективного решения перечисленных технико-экономических задач, включая задачу формирования ежедневного задания для каждого автомобиля, предлагается специализированное программное обеспечение (СПО).
Отметим, что в настоящей работе термин оптимизация используется не в строгом математическом смысле (процесс выбора наилучшего варианта из всех возможных), а как процесс достижения по возможности максимально положительных результатов и сведения к минимуму возможных отрицательных последствий.
Общая постановка и алгоритм решения задачи. У перевозчика имеется парк машин разной грузоподъемности и вместимости. Необходимо в заданные сроки, например в течение рабочего дня, перевезти определенное количество грузов со складов отправителей на склады получателей. Каждый вид груза имеет свои массогабаритные характеристики. На основе заявок от потребителей автоперевозчик формирует задание на день в целом. Ставится задача: найти для каждой единицы автотранспорта такой загрузки и такого объема перевозок, чтобы обеспечить своевременное выполнение дневного задания в целом и снижение суммарных затрат на перевозку.
С помощью технологии геоинформационных систем [5, 6] на вход СПО подается карта автомобильных дорог, на которой указаны пункты, соответствующие отправителям и получателям грузов (пункты развоза), матрица взаимных расстояний между этими пунктами и матрица пропускных способностей дорог, соединяющих эти пункты. Отметим, что, в общем случае, матрица расстояний не является симметричной, а матрица пропускных способностей может сильно изменяться в течение рабочего дня.
Под разветвленностью сети автодорог понимается, тот факт, что из пункта А в пункт В можно доехать несколькими разными способами за разное время. При этом способы проезда и время движения между А и В зависят от транспортной ситуации и могут сильно изменяться в течение дня.
Термины «актуальная матрица расстояний» и «актуальная матрица пропускных способностей автодорог» применяются для соответствующих матриц, рассчитанных на текущий момент времени или на момент времени принятия решения. Сеть автодорог моделируется ориентированным графом, вершинами которого являются пункты развоза, а ребрами — отрезки дорог
ВЕСТНИК -пчмл
7/2014
между пунктами. На ребрах графа задаются функции: расстояние между соответствующими вершинами, пропускная способность, средняя скорость движения, стоимостные характеристики. Ищется такое плановое задание для каждой автомашины, чтобы обеспечить своевременное выполнение дневного задания в целом и снижение суммарных затрат на перевозку при выполнении ряда ограничений по времени, скорости, протяженности маршрута, себестоимости доставки груза.
Решение поставленной задачи развоза грузов по разветвленной сети автодорог, в отличие от [1, 2], осуществляется в три этапа. На первом этапе решается задача разделения региона на компактные зоны объезда одним автомобилем в рамках одного рейса и рассчитывается общее количество К рейсов, необходимое для выполнения дневного задания. На втором этапе для каждой зоны решается задача коммивояжера: найти оптимальный маршрут объезда пунктов развоза в рамках одного рейса. На третьем этапе рассчитывается общее количество машин, которое необходимо задействовать для выполнения дневного задания в целом, и решается задача формирования ежедневного задания для каждой единицы транспортного средства путем рационального объединения нескольких рейсов, которые могут быть выполнены одной единицей автотранспорта в течение одного рабочего дня.
Для каждого из этих трех этапов предложены алгоритмы и методы решения. Задача разделения региона на зоны объезда в рамках одного рейса. Задача решается с использованием информации о принятых от получателей грузов заявках или о плановом графике доставки грузов. Задача решается комплексным применением следующих методов:
метода теории нечетких множеств [1, 2, 7]; метода раскраски графов [1, 2 ,8]; частотно-матричного метода [1, 2, 8]; метода практической близости [1, 2].
В результате применения перечисленных методов происходит разделение региона, включающего N пунктов развоза, на К компактных зон (зон обслуживания; зон объезда в рамках одного рейса). Отметим, что К совпадает с количеством рейсов, необходимых для выполнения дневного задания в целом.
Задача коммивояжера. Для каждой зоны обслуживания решается задача коммивояжера (распространителя грузов), который должен объехать всех получателей, находящихся в этой зоне. Он выезжает из некоторого пункта и должен в этот пункт вернуться. Предполагается, что коммивояжер никогда не бывает дважды в одном пункте. Расстояния между получателями грузов в одной зоне обслуживания задаются с помощью квадратной матрицы расстояний Ск) = {с®(/, у)}, 1 < к < К, 1 < /, у < Р(к), Р(к) — количество пунктов объезда в зоне с номером к, причем N=Р(1) + Р(2) + ... + Р(К). Требуется построить в каждой зоне такой маршрут объезда всех пунктов, при котором общая длина пройденного пути будет минимальной.
В зависимости от размерности задачи т в СПО реализованы методы решения, указанные в таблице.
Информационные системы и логистика в строительстве УЕБТЫНС
_мвви
Реализованные в СПО методы решения задачи коммивояжера
Размерность задачи Метод решения
m < 12 Метод перебора
13 < m < 15 Метод ветвей и границ (метод поиска по дереву решений) [11, 12]
m > 16 Приближенный метод имитации отжига [1, 2] Генетические алгоритмы [9, 10] Комбинаторные методы [11—15] Хитро-жадный метод [1, 2]
Задача формирования ежедневного задания для каждой единицы транспортного средства. С использованием результатов решения задачи коммивояжера и актуальных матриц взаимных расстояний C(k) = {c(k)(i, j)} и пропускных способностей Q(k) = {q(k)(i, j)} для каждой зоны обслуживания k рассчитывается время, необходимое для объезда всех пунктов, и формируется вектор времен объезда Л = {Ц1), Ц2), ..., ЦК)} размерности К.
Задача формирования ежедневного задания для каждой единицы транспортного средства сводится к обобщенной задаче о мультипликативном рюкзаке [11, 12] и формулируется в виде цепочки задач целочисленного линейного программирования. Для заданного количества s автомашин необходимо выбрать такой набор зон обслуживания из K зон, имеющих продолжительности объезда Л = {^(1), Ц2), ..., ЦК)}, при котором бы выполнялись условия
I К
X Z^j)x(i, j) ^ max,
i=i j=i
X x(i, j)=1, 1 < j < j, !>(/>(/, j) < w(\ i < i < i.
i=1 j=l
Если x(i, j) = 1, то i-я машина обслуживает j-ю зону, W(i) — продолжительность рабочей смены i-й автомашины. Если не все зоны объезда попали в решение задачи, то количество автомашин s увеличивается на единицу, и решение задачи о рюкзаке повторяется. В итоге получаем минимальное количество автомашин, необходимых для выполнения дневного задания в целом, и распределение зон по машинам.
В СПО реализованы два метода решения: стандартный метод ветвей и границ [11, 12] и алгоритм, близкий по смыслу к методу практической близости [1, 2].
При применении последнего алгоритма исходной моделью является вектор Л. В соответствии c [1, 2] предполагается последовательное добавление в задание для одного автомобиля нескольких рейсов, начиная с наиболее продолжительного. Процесс завершается, если при добавлении очередной зоны с номером j время X(j) больше остатка, равного разности между максимальной продолжительностью рабочей смены W-,) и суммой времен объезда всех зон, включенных в решение. Такое завершение процесса обеспечивает ограничение сверху на продолжительность работы каждой единицы транспортного средства.
ВЕСТНИК Т/ОП4 Л
7/2014
Отметим, что в результате применения алгоритма, как правило, происходит объединение нескольких соседних зон, в результате чего одна единица транспортного средства получает задание на объезд нескольких соседних зон.
Отметим, что задача о рюкзаке и задача коммивояжера относятся к классу NP-трудных задач [11, 12].
Результаты использования СПО. Проведено апробирование представленных в статье математических моделей на реальных исходных данных для задач доставки металлопроката на объекты регионального строительства и доставки посылок и бандеролей в региональные отделения ФГУП «Почта России». Моделирование показало возможность сокращения транспортных затрат на 10.. .15 %. Полученные оценки экономической эффективности аналогичны результатам [1, 2].
Заключение. 1. Разработана математическая модель развоза грузов, применимая в условиях среднего города и прилегающих районов.
2. Предложены алгоритмы формирования ежедневных заданий для каждой единицы транспортного средства, обеспечивающие выполнение дневного задания на перевозку грузов в целом. Алгоритмы опираются на метод ветвей и границ и метод практической близости.
3. Предложено решение задачи развоза грузов, состоящее из трех этапов:
разделение региона на компактные зоны объезда одним автомобилем в
рамках одного рейса;
решение задачи коммивояжера: нахождение для каждой зоны объезда оптимального маршрута развоза;
решение задачи формирования ежедневного задания для каждой единицы транспортного средства автопарка перевозчика.
Для каждого из этих этапов в СПО реализован взаимосвязанный комплекс алгоритмов.
4. Разработанное СПО может быть достаточно легко интегрировано с основной ERP-системой управления компанией. Результаты расчетов автоматически сохраняются и накапливаются в базе данных СПО с целью их дальнейшего обобщения и использования.
Библиографический список
1. СмирновМ.И., Хайруллин Р.З. Система управления доставкой товаров с использованием промежуточных складов // Известия РАН. Теория и системы управления. 2002. № 5. С. 146—151.
2. СмирновМ.И., Хайруллин Р.З. Математические модели, используемые в системе доставки товаров автотранспортом «Диспетчер» // Препринт Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН. 2002. № 13. 22 с.
3. Хайруллин Р.З. Технология исследования управляемых систем // Горный информационно-аналитический бюллетень. 1999. № 4. С. 111—113.
4. Гузаиров М.Б., Тарасова В.А. Оптимизация транспортных потоков в сети поставок строительных материалов // Системы управления и информационные технологии. 2008. № 3.1 (33). С. 108—112.
5. Гордиенко Л.В. Классификация прецедентов при планировании логистических систем в среде ГИС // Известия ЮФУ Технические науки. Тематический выпуск : Гуманитарные и информационные технологии в управлении экономическими и социальными системами. 2008. № 10 (87). С. 194—196.
6. Шоль Е.И. Информационное обеспечение логистических технологий // РИСК: ресурсы, информация, снабжение, конкуренция. 2006. № 1. С. 12—18.
7. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. М. : Радио и связь, 1982. 432 с.
8. Горбатов В.А., Смирнов М.И., Хлытчиев И.С. Логическое управление распределенными системами. М. : Энергоатомиздат, 1991. 287 с.
9. Clement R.P., Wren A. Genetic Algorithms and Bus-Driver Scheduling // Presented at the 6-th International Conference for Computer-Aided Transport Scheduling, Lisbon, Portugal, 1993. 9 p.
10. Рутковская Д., Пилиньский М., Рутковский Л. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы : пер. с польск. И.Д. Рудинский. М. : Горячая линия — Телеком, 2006. 452 с.
11. Рейнгольд Э., Нивергельт Ю., Део Н. Комбинаторные алгоритмы: теория и практика. М. : Мир, 1980. 476 c.
12. Пападимитриу Х., Стайглиц К. Комбинаторная оптимизация: алгоритмы и сложность. М. : Мир, 1985. 512 c.
13. Блехерман M.X. Гибкие производственные системы: организационно-экономические аспекты. М. : Экономика, 1988. 110 c.
14. Wolsey L.A. Integer Programming. New York : John Wiley & Sons, Inc, 1998. 264 p.
15. Gutin G. Exponential neighborhood local search for the traveling salesman problem // Computers & Operational Research. 1999. Vol. 26. No. 4. Рp. 313—320.
Поступила в редакцию в марте 2014 г.
Об авторе: Хайруллин Рустам Зиннатуллович — доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры высшей математики, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, [email protected].
Для цитирования: Хайруллин Р.З. Математическое моделирование развоза грузов по разветвленной сети автодорог // Вестник МГСУ 2014. № 7. С. 184—191.
R.Z. Khayrullin
MATHEMATICAL SIMULATION OF THE CARGOES DELIVERY ON AN EXTENSIVE NETWORK OF AUTOMOBILE ROADS
The problem of calculation of an optimal route is important for companies, including civil engineering companies, wishing to reduce transportation costs of cargoes delivery. The existing regional distribution network of automobile roads is characterized, as a rule, by an extensive network of roads of varying quality, traffic capacity, large distances between consignors and consignees, small warehouse areas, disabled vehicle fleet. In this way companies seek to increased profits by means of solving complex problems such as: reducing the costs of transportation and storage of cargoes, reducing the number of vehicles fleet, using optimal vehicles schedule. Note that in this paper, the term optimal is not used in the strict mathematical sense (optimal - which can't be improved), but as an established business application in a term describing the effectiveness and efficiency of the process of cost reduction.
Common formulation of cargoes delivery optimization problem from consignor to consignee by motor transport is offered. Mathematical models and methods of cargoes delivery on an extensive network of roads are provided. The method consists in gradual solving of three problems: the problem of dividing the region into zones detour in one trip, the traveling salesman problem and the problem of forming a daily job for each unit of vehicle.
ВЕСТНИК Т/ОП4 Л
7/2014
The software for solving this problem is developed. The software is based on the complex of developed algorithms and standard software tools. The software permits:
To calculate the optimal (in terms of transport costs and time costs) routes, schedules and delivery schemes of cargoes from consignor to consignee;
To perform the optimal choice of consignor for each consignee by means of calculation of the minimum total cost of the storage and cost of its delivery.
To ensure optimal filling of order in time and to ensure a full loading of cargo motor vehicles.
Some results of software implementation are described.
Key words: mathematical modeling, delivery of cargoes, road network, logistics, recurrent order, multiplicative bag, traveling salesman problem.
References
1. Smirnov M.I., Khayrullin R.Z. Sistema upravleniya dostavkoy tovarov s ispolzovaniem promezhutochnykh skladov [Management System for Goods Delivery Using Intermediate Warehouses]. Izvestiya RAN. Teoriya i sistemy upravleniya [News of Russian Academy of Sciences. Theory and Control Systems]. 2002, no. 5, pp. 146—151.
2. Smirnov M.I., Khayrullin R.Z. Matematicheskie modeli, ispol'zuemye v sisteme dostav-ki tovarov avtotransportom «Dispetcher» [Mathematical Models Used in the «Dispatcher» Automobile System of Goods Delivery]. Preprint Instituta prikladnoy matematiki im. M.V. Kel-dysha RAN [Preprint of the Institute of Applied Mathematics of the Russian Academy of Sciences Named after M.V. Keldysh]. 2002, no. 13, 22 p.
3. Khayrullin R.Z. Tekhnologiya issledovaniya upravlyaemykh sistem [Research Technology for Controlled Systems]. Gornyy informatsionno-analiticheskiy byulleten' [Mining Informational and Analytical Bulletin]. 1999, no. 4, pp. 111—113.
4. Guzairov M.B., Tarasova V.A. Optimizatsiya transportnykh potokov v seti postavok stroitel'nykh materialov [Optimization of Transport Flows in the Construction Materials' Supply Network]. Sistemy upravleniya i informatsionnye tekhnologii [Control Systems and Information Technologies]. 2008, no. 3.1 (33), pp. 108—112.
5. Gordienko L.V. Klassifikatsiya pretsedentov pri planirovanii logisticheskikh sistem v srede GIS [Classification of Cases in the Process of Logistics Systems Planning in GIS Environment]. Izvestiya YuFU. Tekhnicheskie nauki. Tematicheskiy vypusk: Gumanitarnye i informatsionnye tekhnologii v upravlenii ekonomicheskimi i sotsial'nymi sistemami [News of Southern Federal University. Technical Sciences. Special issue: «Humanitarian and Informational Technologies in Economic and Social Systems Management]. 2008, no. 10 (87), pp. 194—196.
6. Scholl E.I. Informatsionnoe obespechenie logisticheskikh tekhnologiy [Information Support of Logistic Technologies]. RISK: resursy, informatsiya, snabzhenie, konkurentsiya [RISK: Resources, Information, Supply, Competition]. 2006, no. 1, pp. 12—18.
7. Kofman A. Vvedenie v teoriyu nechetkikh mnozhestv [Introduction to the Theory of Fuzzy Sets]. Moscow, Radio i svyaz' Publ., 1982, 432 p.
8. Gorbatov V.A., Smirnov M.I., Khlytchiev I.S. Logicheskoe upravlenie raspredelennymi sistemami [Logical Management of Distributed Systems]. Moscow, Energoatomizdat Publ., 1991, 287 p.
9. Clement R.P., Wren A. Genetic Algorithms and Bus-Driver Scheduling. Presented at the 6-th International Conference for Computer-Aided Transport Scheduling, Lisbon, Portugal, 1993, 9 p.
10. Rutkovskaya D., Pilin'skiy M., Rutkovskiy L. Neyronnye seti, geneticheskie algoritmy i nechetkie sistemy [Neural Networks, Genetic Algorithms and Fuzzy Systems]. Moscow, Go-ryachaya liniya — Telekom Publ., 2006, 452 p.
11. Reingold E., Nievergelt Yu., Deo N. Combinatorial Algorithms: Theory and Practice. Moscow, Mir Publ., 1980, 476 p.
12. Papadimitriu Kh., Stayglits K. Kombinatornaya optimizatsiya: algoritmy i slozhnost' [Combinatorial Optimization. Algorithms and Complexity]. Moscow, Mir Publ., 1985, 512 p.
13. Blekherman M.X. Gibkie proizvodstvennye sistemy: organizatsionno-ekonomi-cheskie aspekty [Flexible Manufacturing Systems. Organizational and Economic Aspects]. Moscow, Ekonomika Publ., 1988, 110 p.
14. Wolsey L.A. Integer Programming. New York, John Wiley & Sons, Inc, 1998, 264 p.
15. Gutin G. Exponential Neighborhood Local Search for the Traveling Salesman Problem. Computers & Operational Research. 1999, vol. 26, no. 4, pp. 313—320. DOI: http:// dx.doi.org/10.1016/S0305-0548(98)00064-1.
About the author: Khayrullin RustamZinnatullovich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Department of Higher Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe Shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected].
For citation: Khayrullin R.Z. Matematicheskoe modelirovanie razvoza gruzov po raz-vetvlennoy seti avtodorog [Mathematical Simulation of the Cargoes Delivery on an Extensive Network of Automobile Roads]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 7, pp. 184—191.
