Математическое моделирование разрушения полимеров и композитов в переменных температурно-силовых внешних условиях Текст научной статьи по специальности «Физика»

МОДЕЛИРОВАНИЕ В НАУКЕ О МАТЕРИАЛАХ |

УДК 539.3

А. А. В а л и ш и н, Т. С. С т е п а н о в а, Э. М. К а р т а ш о в

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАЗРУШЕНИЯ ПОЛИМЕРОВ И КОМПОЗИТОВ В ПЕРЕМЕННЫХ ТЕМПЕРАТУРНО-СИЛОВЫХ ВНЕШНИХ УСЛОВИЯХ

Разрушение материала рассматривается как процесс накопления во времени внутренних микроповреждений. Введено понятие памяти материала на нанесенные ему повреждения. Дана постановка прямой и обратной задач прогнозирования прочности и долговечности полимеров и композитов на их основе в переменных темпе-ратурно-силовых условиях их испытания или эксплуатации. Для решения этих задач для материалов с произвольным видом памяти сформулирован обобщенный принцип суперпозиции повреждений. На его основе дано решение прямой задачи прогнозирования. Рассмотрены примеры. Дано объяснение наблюдаемых экспериментально аномалий на диаграммах температурно-временной зависимости прочности.

E-mail: dimit.bmstu@mail.com

Ключевые слова: Разрушение, суперпозиция повреждений, температурно-вре-менная зависимость прочности.

Введение. Прочность и долговечность полимеров и композиционных материалов на их основе зависит как минимум от двух внешних факторов: механического напряжения, приложенного к образцу, и температуры испытания. Влияние этих двух факторов отражено в эмпирических формулах температурно-временной зависимости прочности (формулы Журкова, Регеля - Ратнера, Бартенева, Ратнера), которые определяют прочность и долговечность материала в статических условиях испытания или эксплуатации: постоянное внешнее растягивающее напряжение и постоянная внешняя температура [1-3].

Для практики эксплуатации изделий и конструкций важно поведение материала в переменных внешних условиях. Здесь возникают две практически важные проблемы.

1. Прямая задача: определение прочности и долговечности при переменном температурно-силовом режиме испытания по известным параметрам статической температурно-временной зависимости прочности (ТВЗП).

2. Обратная задача: определение параметров статической ТВЗП (физических параметров долговечности) по результатам испытаний в динамическом температурно-силовом режиме.

В настоящей статье предложена модель разрушения твердых полимеров и композитов на их основе в переменных температурно-сило-вых внешних условиях. Рассмотрен вопрос о кинетике разрушения, долговечность и прочность при совместном действии механического напряжения и однородного нестационарного температурного поля. Приводится решение прямой задачи прогнозирования и рассмотрены примеры.

Обобщенный принцип суперпозиции повреждений. Рассмотрим случай, когда температура испытываемого образца следует за изменением температуры окружающей среды (термостата, в котором находится образец). В лабораторных испытаниях на прочность, как правило, испытываемый образец имеет малые размеры, поэтому при достаточно медленном изменении температуры термостата в образце в каждый момент устанавливается тепловое равновесие с окружающей средой и однородное распределение температуры, вследствие чего температура образца изменяется только во времени вслед за температурой термостата. С другой стороны, известно, что разрушение материалов в большинстве практически важных случаев (разрушение деталей конструкций и изделий) локализовано в малой окрестности вершины распространяющейся трещины. Поэтому на кинетику разрушения решающим образом влияют температурно-силовые условия именно вблизи трещины. Температурное поле вблизи трещины вполне можно считать однородным (но отличным от температуры вдали от трещины и температуры окружающей среды) и следующим в своем изменении за температурой внешней среды с поправками на локальные экзотермические эффекты, которые проявляются при росте трещины. Поле механических напряжений вблизи трещины неоднородно, но, как показывает анализ (это отражено в литературе, например, в [4, 9]), решающую роль играет растягивающая компонента напряжений, перпендикулярная к линии трещины. Поэтому в соответствии с известным принципом микроскопа [5] можно моделировать обозначенную в заголовке статьи проблему случаем одноосно растягиваемого переменным во времени напряжением образца, находящегося в условиях переменной внешней температуры.

С момента приложения к образцу внешнего механического напряжения в нем развивается процесс постепенного разрушения, который заканчивается разделением образца на части. Длительность этого процесса и определяет долговечность образца. С феноменологической точки зрения разрушение есть процесс накопления внутренних повреждений. Когда поврежденность образца достигает критического

значения, он разрушается. При этом внутренние повреждения могут быть «выработаны» различными способами. Например, для материалов, которые по прочностной классификации относятся к категории низкопрочных, процесс разрушения характеризуется размером постепенно растущей трещины, для высокопрочных материалов — постепенным накоплением субмикротрещин с последующим их частичным слиянием и образованием магистральной трещины.

Из сказанного выше следует, что существует некоторая функция поврежденности ф (г), которая характеризует поврежденность образца в данный момент времени в статических условиях испытания. Накопление повреждений во времени описывается интегральной функцией поврежденности

*¥() = $?(!;) (1)

о

Эта формула означает, что образец «запоминает» все нанесенные ему к моменту I повреждения, которые «складываются». Если же параллельно с образованием и накоплением повреждений идет процесс их «залечивания», то формулу (1) следует заменить на

тй = /к ( - (2)

о

Формулы (1) и (2) означают наличие у образца «памяти» на нанесенные ему повреждения. Степень совершенства этой памяти характеризуется ядром К(г - £), которое естественно назвать функцией памяти. Функция памяти отлична от нуля только для положительных значений аргумента г - £ > 0, т. е. £ < г. Это означает, что образец «помнит» только предшествующие повреждения. Память образца может быть различной. Совершенная память означает полную необратимость процесса разрушения: образец «запоминает» все повреждения, «нанесенные» ему к данному моменту, без их «залечивания». В этом случае функция памяти К(г) = 1. Память может быть частичной, если «время лечит», т. е. на значение интегральной функции поврежденно-сти в момент I влияют только достаточно близкие к этому моменту мгновения. Это соответствует затухающей памяти. Второй предельный случай соответствует полному отсутствию памяти. В этом случае функция памяти К(г) есть просто дельта-функция:

К ( - £) = 8( - £). (3)

Интегральная функция поврежденности ^(0, или статическая мера поврежденности, обладает следующими естественными свойствами: — безразмерна; > 0, причем ^(0) = 10 — начальная степень поврежденности; — неубывающая функция.

Ее можно нормировать на единицу или на какое-либо другое критическое значение в момент разрушения.

Функция памяти К(1) также безразмерна. Тогда дифференциальная функция поврежденности ф(1) имеет размерность с-1, и ее естественно назвать плотностью поврежденности. Статические функции поврежденности — плотность ф(1) и интегральная функция помимо времени должны зависеть от приложенного внешнего напряжения, температуры и начального состояния /0, т. е. формулу (2) нужно писать в виде

/0,о, Т ) = | К ( - /0,о, Т (4)

0

В книге [5] показано, что для ряда материалов поврежденность образца накапливается со временем без «залечивания». Это соответствует упомянутому нами ранее случаю совершенной памяти с функцией памяти К(1) = 1. Тогда формула (4) будет иметь вид

t

Y(t, l0,G, T ) = JV(, l0,G, T ) (5)

0

Статическая мера разрушения в данный момент времени t, т. е. интегральная функция поврежденности Y(t, l0, о, T) определяется конкретным микроскопическим механизмом разрушения. Феноменологически, без детализации этого механизма, меру разрушения можно, например, определить следующим образом. В статических условиях испытания при о = const и T = const образец характеризуется долговечностью т, т. е. временем его жизни в этих условиях. Так как интегральная функция Y характеризует накопленные к моменту t повреждения, то естественно в качестве меры поврежденности взять отношение t/т, т. е. долю «прожитого» образцом времени от «отмеренного» ему срока т. Остается только добавить начальную поврежденность l0. Тогда феноменологическая статическая мера поврежден-ности образца

Y(t, l0,a, T) = lo + -. (6)

т

Из (5) получаем, что при этом плотность поврежденности

<P(t ) = -тЦ-. (7)

W т (a, T)

Таким образом, при совершенной памяти интегральной функции по-врежденности (6) соответствует равномерная плотность поврежден-ности (7).

Критерий разрушения в статических условиях с мерой поврежденности (6) формулируется так: Т(-р, l0, о, T) = l0 + 1. Для меры разруше-

ния (6) это означает: tp = т, т. е. время до разрушения образца равно его статической долговечности, что и следовало ожидать.

Все сказанное относится к статическим условиям испытания при постоянных напряжении и температуре. Теперь сделаем обобщение на случай переменных условий испытания, когда внешние управляющие параметры — напряжение а и температура Т, — изменяются в процессе испытания. Поступим следующим образом: считаем известной меру поврежденности Y(t, l0, а, T) в статических условиях испытания, когда а = const и T = const. Исходя из этого, получим меру поврежденности для кусочно-постоянного режима испытания. Произвольный непрерывный режим, когда напряжение и температура суть непрерывные функции времени, можно аппроксимировать последовательностью кусочно-постоянных режимов, сходящейся в некотором смысле к данному непрерывному режиму. Для каждого кусочно-постоянного режима нам уже будет известна мера поврежденности. Получим последовательность таких мер. Если она будет сходиться к некоторой функции, то ее и будем считать мерой поврежденности при непрерывном режиме испытания.

Для дальнейшего рассмотрения нам будет удобно условия эксперимента представить геометрически на фазовой плоскости с координатами а и Т. Точка М (а, Т) этой плоскости изображает некоторое состояние эксперимента. Если температура и напряжение поддерживаются в течение всего испытания постоянными, то изображающая точка неподвижна. Если же условия эксперимента а и Т изменяются в процессе испытания, то изображающая точка перемещается по фазовой плоскости, описывая некоторую фазовую траекторию. Перемещение фазовой точки может быть скачкообразным, если управляющие параметры а и Тизменяются скачками, или непрерывным в противном случае. Если напряжение и температура являются некоторыми заданными функциями времени

то эти уравнения являются параметрическими уравнениями фазовой траектории, вдоль которой перемещается изображающая точка. Фазовая кривая может оканчиваться в некоторой точке, это означает, что после попадания изображающей точки в эту конечную точку напряжение и температура далее не меняются. Если фазовая кривая замкнута и обходится изображающей точкой несколько раз, то это соответствует циклическому режиму испытания, когда напряжение и температура изменяются периодически. Изотермы на фазовой плоскости — это горизонтальные прямые, они соответствуют испытаниям при постоянной температуре, а изобары — вертикальные прямые — это испы-

(8)

тание при постоянном напряжении. Если при постоянной температуре напряжение изменяется циклически, то изображающая точка будет перемещаться по изотерме вперед—назад. Дискретное множество точек на фазовой плоскости — тоже фазовая траектория, она соответствует режиму, когда напряжение и температура или что-то одно из них изменяется скачками.

м,

Mj

м3

м4

lM(t)

fM(0)

а б

Рис. 1. Фазовые траектории при испытаниях на прочность: а—дискретный режим испытаний; б—непрерывный режим

Рассмотрим вначале дискретный режим испытания (рис. 1, а). Для произвольного дискретного режима испытания динамическую меру поврежденности /(I) в произвольный момент времени можно выразить следующим образом:

l (t ) = W(t, l (0 (0), T (0))

+

dW

+ E ^(t-sk,lfö),c( -0),T( -0))&) +

(9)

+—(-4,/(4),а( -0),Т( -0))(4).

Рассмотрим теперь режим с непрерывным изменением условий испытания (рис. 1, б). Фазовая траектория начинается в начальном состоянии М(0), которое соответствует начальному моменту времени I = 0 и заканчивается в точке М(1) при фиксированном моменте I. Разобьем непрерывную фазовую траекторию близкими точками М(^), М(£2) и т. д. на части. Тем самым непрерывный режим испытания аппроксимируем дискретным, для которого уже получена формула (9). Переходя в ней к пределу, получим

л дш

/ (I ) = Ш(, / (0 ),а (0), Т (0 ))д- ( - / (%),а(%), Т к))))

ЭТ

+ ^ (t - 41 T (Фт ($).

+ (10)

Это уравнение определяет кинетику накопления повреждений образца при произвольном непрерывном режиме испытания. По отношению к динамической мере поврежденности /(г) оно является ин-тегро-дифференциальным уравнением. Из него как частные случаи следуют уравнения для случаев, когда в процессе испытания изменяется только напряжение или только температура. Первое внеинтег-ральное слагаемое в уравнении (10) определяет текущую поврежден-ность образца, как если бы напряжение и температура оставались неизменными в процессе испытания и равными начальным значениям; интеграл — это добавка, обусловленная переменностью напряжения и температуры.

Уравнение (10) справедливо для произвольной статической меры разрушения /0, а, Т). В частности, если взять феноменологическую меру (6), то получим из (10)

/()=/0+-ГГТ"I 2( \~~Jr{Л))^(О+Тт(11)

т ^т0) и^т^л) дт )

где а0, Т0 — начальные значения напряжения и температуры. Критерий динамического разрушения получается отсюда, когда мера разрушения /(г) в момент г = г достигает предельного значения, равного /0 + 1, т. е. Р

_г } (д т , ^ . Э т

т (е^ т0) 0дт

Из этого уравнения может быть определено время до разрушения при переменных условиях испытания.

Обобщенный принцип суперпозиции является основой для решения упомянутых во введении двух задач прогнозирования. Рассмотрим некоторые примеры, из которых будет видно, как решается прямая задача прогнозирования прочности.

Моделирование испытаний на разрывной машине. Наиболее распространенный режим лабораторных испытаний на прочность — это испытания на разрывной машине с постоянной скоростью увеличения напряжения или с постоянной скоростью растяжения (постоянная скорость раздвижения зажимов разрывной машины) при постоянной внешней температуре. Для упругих тел эти два режима эквивалентны. В этом случае внешнее напряжение изменяется по закону

а (г) = а0 +а г, (13)

где а0 — начальное напряжение; а — скорость изменения напряжения. Критерий динамического разрушения (12) принимает вид

Т (( T0 ) i

^ ( To)

tp - z.

j dz = 1.

(14)

Здесь т(а0, Т0) — статическая долговечность в начальном состоянии. При решении прямой задачи прогнозирования считается известной статическая модель температурно-временной зависимости прочности (ТВЗП). К настоящему времени экспериментально установлены четыре эмпирические модели ТВЗП: Журкова, Регеля - Ратнера, Бартенева и Ратнера. В работах [2, 3] созданы электронный банк регрессионных моделей ТВЗП и автоматизированная компьютерная система построения по экспериментальным данным оптимальной модели. В работе [7] предложен общий принцип, из которого как частные случаи получаются все известные формулы долговечности. Предположим, например, что для исследуемого материала справедлива модель Регеля - Ратнера статической ТВЗП, выражаемая формулой

т = т0е

(15)

В эту формулу входят эмпирические константы ио, у, (0, Т. В нашу задачу здесь не входит обсуждение их физического смысла, скажем лишь, что они характеризуют свойства статической температурно-вре-менной зависимости прочности материала. Подробнее по этому поводу см. [6]. Для работы с уравнением (14) эту формулу удобнее записать

в виде

: Т o e

Цo -Yj kT

(16)

где а = 1--. Подставляя формулу (16) в (14) и выполняя интегриро-

п

вание, получим, что динамическая долговечность t и разрывное напряжение а в рассматриваемом режиме испытания равны

(17)

где

ЙГЙГ

(18)

статическая долговечность в начальном состоянии (а0,Т0). Поскольку физические параметры статической ТВЗП — и0, у, Тп — в прямой задаче считаются известными, то по формулам (17) можно предсказать

t

p

прочность и долговечность при различных скоростях испытания а, не выполняя эксперимента. В частности, видно, что при увеличении скорости нагружения а динамическая прочность уменьшается. Полученные результаты позволяют предсказать прочность и в противоположном режиме испытания — режиме разгрузки, когда скорость изменения напряжения а < 0, что соответствует уменьшению напряжения. Видно, что в этом случае динамическая долговечность больше начальной статической долговечности тнач и с увеличением скорости разгрузки возрастает.

Температурное нагружение. Рассмотрим теперь температурное нагружение, когда напряжение а остается в процессе испытания постоянным, а меняется только температура. Критерий разрушения в этом случае принимает вид

, 1р , <Т(£) = 1. (19)

Ф0, Т) [ Т дт к '

Примем для разнообразия статическую ТВЗП в виде модели Журкова

т = т0е кТ . (20)

Подставив это в (19), получим

t TT tP t - P U0-ya

p + [-Ц-Р ekT(P)dT(P) = 1. (21)

T ¡0 kT2 (P) V '

•(<*> T)' T0 ¡0 kT2 (P)

Это уравнение в дальнейшем и будем использовать для нахождения долговечности при переменной температуре испытания. Рассмотрим несколько частных случаев.

Ступенчатое температурное нагружение. Рассмотрим случай, когда к образцу приложено постоянное напряжение а0, а температура опыта изменяется на двух уровнях в соответствии с формулой

/ Ч \Т1, I < I

Т ()={Т„ I > I, (22)

Эту формулу можно записать в обобщенном виде так:

Т(1) = ТД0 + ДТв(г - 11), (23)

где ДТ = Т2 - Тр а в(1) — единичная функция Хевисайда. Если ДТ > 0, т. е. Т < Т2, то это означает, что образец в процессе испытания ступенчато нагревается, если ДТ < 0, т. е. Т1 > Т2, то, наоборот, охлаждается. Подставив (23) в уравнение (21), после некоторых преобразований получим

tp = T (^c, T2 ) + t1

( _ U_Yac AT ^

1 _ e kTiT2

(24)

где

'(^c, T2 ) =

zne

Uc _Tac kT2

(25)

статическая долговечность при напряжении а0 и температуре Т2. Формула (24) определяет долговечность при постоянном напряжении а0 и переменной температуре вида (23). Если в процессе испытания происходит нагревание образца, т. е. ДГ > 0, то выражение в скобках в формуле (24) положительно и меньше единицы. Тогда долговечность I > т(а0, Г2), т. е. больше долговечности при более высокой температуре Т2. Это и понятно, так как часть времени образец провел при пониженной температуре Т1, когда процесс разрушения шел медленнее. Если образец, наоборот, охлаждается, то ДГ < 0. Тогда выражение в скобках в (24) отрицательно и долговечность I < т(а0, Г2), т. е. меньше долговечности при более низкой температуре Т2. Это тоже понятно, так как часть времени образец находился при повышенной температуре Т1, когда процесс разрушения шел быстрее.

Линейное температурное нагружение. Рассмотрим теперь случай, когда при постоянном напряжении а температурный режим линейно изменяется во времени:

T(t) = Г, + wt,

(26)

где Т0 — начальная температура образца; ж — скорость изменения температуры. Если ж > 0, происходит нагревание образца, если ж <0, — то охлаждение. Обратимся к уравнению (21) и подставим в него (26)

U _уа

kT

+

и0 _ уа

Р

wi

tp _ z

k (Tc + wZ)2

_ и, _уа k (T,

+wZ)dZ = 1.

(27)

Вычисляя интеграл, получим

t„

T

p +__p_

T nw

'(а, Tc)

где обозначено

иc _ Ya kT„

Ф (( ^ ) + Ф(( Zp)

= 1,

(а, Tc ) =

Tce

Uc _jg

kTc

(28)

(29)

статическая долговечность при начальной температуре Т„;

t

p

e

т

т

c

c

ТР = Т0 + П — (30)

температура образца в момент его разрушения, она может быть зафиксирована экспериментально;

U0 - z = U0 - Yd _ (31)

kT0 ' P kTp

безразмерные параметры, а

а) Ф(г„,2 ) = е~2р - е^2°;

20 Р ; (32)

б) Ф1(20,2р) = Щ-2р) - Е1(-20) —

безразмерные функции и, наконец,

2 í

Е1 (2 )=[ у Ж — (33)

интегральная показательная функция.

Из уравнения (27) легко получается теперь неизотермическая долговечность

t T ' p _ 1__p

(d, T0)

Т0 w

U0 - Yd kT„

Ф1 (( ^ ) + Ф2 (( ^ )

(34)

Функции Ф1 и Ф2, определенные соотношениями (32), зависят от скорости изменения температуры н через зависимость от нее параметра гр, определенного формулой (31). В зависимости от знака н (нагревание или охлаждение), а также от ее величины эти функции принимают значения разного знака. Соответственно и последнее слагаемое в формуле (33) может менять знак. Это означает, что неизотермическая долговечность I может быть как меньше, так и больше статической долговечности, соответствующей начальной температуре Т0.

Из рассмотренных примеров видно, что если модель статической ТВЗП известна, то, пользуясь обобщенным принципом суперпозиции, можно для каждого заданного режима испытания материала рассчитать параметры прочности в этом режиме. Этот процесс можно автоматизировать. Для этого созданный в работах [2, 3] электронный банк статических моделей ТВЗП нужно дополнить динамическими моделями для наиболее распространенных температурно-силовых режимов испытания. Тем самым отпадает необходимость в проведении эксперимента.

Разрушение в условиях теплового взаимодействия образца с окружающей средой. Особого внимания заслуживает режим непрерывного теплового взаимодействия материала с окружающей средой,

Z0

поскольку исследование этого случая позволило объяснить аномалии, наблюдаемые на диаграммах температурно-временной зависимости прочности. Мы рассмотрим влияние на кинетику разрушения переходного процесса подравнивания температуры образца до температуры окружающей среды (термостата). Рассмотрим образец в виде пластинки толщиной 28. Релаксационный процесс изменения температуры образца до температуры термостата обусловлен тепловым взаимодействием образца с окружающей средой вследствие разности температур Т0 — начальная температура образца и Тс — температура окружающей среды (термостата) и описывается уравнением [8]:

<Т--ИИ (Т - Т)

< 5 ' (35)

T

= T

0 0'

где а — коэффициент температуропроводности материала образца; И — относительный коэффициент теплообмена. Решение уравнения (35) определяется формулой

Т(I) - Тс + (Т - Тс )е-* (36)

Сделаем одно уточнение этой формулы, а именно, разнесем во времени начало изменения температуры и начало разрушения (начало роста трещины). Начальный момент для температуры примем за ноль, в этот момент температура образца равна Т(0) = Т0. Будем считать, что процесс разрушения начинается в некий момент t0, больший или меньший нуля. Если t0 > 0, то это означает, что трещина начала расти, когда температура уже была отлична от Т0, а именно в момент начала разрушения температура образца была равна

Т' - Т(^ ) - Тс - ДТе~ ^Х. (37)

В частности, если t0 >> х, то можно считать, что к моменту начала разрушения температура уже отрелаксировала и сравнялась с температурой окружающей среды Т. В этом случае разрушение идет практически в изотермических условиях при температуре Тс. Если t0 < 0, то это означает, что разрушение началось раньше, чем начала изменяться температура. С учетом сказанного переменную температуру образца следует вместо формулы (36) записать в виде

Т (I)-Т (( - ^)-0(! ))К) +

(38)

+

T -ATe

f°l X|(0(t )0(-to )-0(t - t0 )0(t0 )),

t

где в({) — единичная функция Хевисайда; Т0 — начальная температура испытываемого образца; Тс—температура окружающей среды (термостата); величина ДТ = Тс - Т0 положительна или отрицательна. Образец нагревается, если Тс > Г0, и охлаждается, если Тс < Г0; скорость выравнивания температуры определяется характеристическим временем х = 8/На — временем температурной релаксации. Подставим выражение (38) в уравнение обобщенного критерия разрушения (21) и выполним предусмотренное там интегрирование. После достаточно утомительных преобразований получим уравнение

Все параметры, входящие в это уравнение, безразмерны и расшифровываются следующим образом:

ь 1

р (; р , 8) = АР / ехР (-А Р )1п1 — ^х + (- 1пИ ) (р; p, 8)

х

а

а = (1 -8ехр(-2р)), Ь = (1 -е)-1, (40)

/ (р; р,8) = ехр (р (1 - 8ехр (-2р)) 1)-ехр (-Аср (1-8)-1),

Л л А -

А) ~ Г гг, ' Лс",ф ' Лп

кТп

кТ

кТ

(41)

X X

Формулы (38) и (39) содержат три группы параметров: структурно-

и0

физические параметры и0, у, т0, Тп, х, ап = ——- , характеризующие свойства исследуемого материала, тепловые параметры Т0, Тс,

s

AT T _ T

, характеризующие тепловое состояние эксперимента,

Тс Тс

и силовые механические параметры — внешнее механическое напря-

жение а и его безразмерный эквивалент р = 1--, а также безразмерные комплексы, составленные из этих параметров. Численное решение уравнения (38) позволяет найти безразмерную динамическую долговечность 2 и реальную долговечность t . Варьируя структурные, механические и тепловые параметры в уравнении (38), можно исследовать прочностное поведение различных материалов в различных условиях. Компьютерная «игра» с уравнением (38) позволила полу-

чить интересные физические результаты. Были проведены численные эксперименты для гидратцелюлозы и неорганического стекла. Кривые, описывающие долговечность образца в условиях непрерывного нагревания и охлаждения в соответствии с принятой моделью теплового взаимодействия образца с термостатом, показаны на рис. 2 и 3. Расчеты показали, что в области малых напряжений, где процесс разрушения развивается медленно, температура образца успевает вырав-няться до температуры окружающей среды, и долговечность практи-

Рис. 2. Временная зависимость прочности гидратцеллюлозы в условиях непрерывного теплового взаимодействия напряженного образца с окружающей средой при 1/% = 0,02: 1 - охлаждение; 2 - нагревание

Рис. 3. Временная зависимость прочности неорганического стекла в условиях непрерывного теплового взаимодействия напряженного образца с окружающей средой: (1,4) - 1/х = 0,025; (2,3) - 1/% = 0,01

чески совпадает с долговечностью при постоянной температуре, равной температуре окружающей среды Г. С другой стороны, в области больших напряжений, где процесс разрушения развивается быстро, температура образца не успевает существенно измениться, и долговечность близка к долговечности при постоянной температуре, равной начальной температуре Т^0). В промежуточной области напряжений наблюдается плавный переход кривой временной зависимости прочности, свидетельствующий о влиянии переменного теплового режима на характер разрушения в данном интервале напряжений.

Компьютерные эксперименты с уравнением (38) показали, что изменение температуры образца во время разрушения по-разному влияет на кинетику разрушения. Это влияние определяется безразмерным характеристическим параметром ю = —^—-, равным отношению

X

долговечности при данном напряжении и постоянной температуре, соответствующей началу роста трещины, к времени релаксации температуры. Численные эксперименты показали, что значения характеристического параметра выделяют два крайних случая. Если со<< 1, то разрушение закончится раньше, чем сколько-нибудь заметно изменится температура. В этом случае разрушение происходит практически при постоянной температуре, равной начальной. Если, наоборот, характеристический параметр а> >> 1, то большую часть времени разрушение происходит опять-таки при постоянной температуре, но равной уже температуре термостата, т. е. температура образца отрелакси-рует раньше, чем существенно накопятся повреждения. Наиболее интересны промежуточные случаи, которые подробно исследованы. Если температура образца в начальный момент разрушения ниже температуры термостата, то непрерывное повышение температуры образца снижает долговечность. Существует интервал напряжений, где существенно влияние переменной температуры. Слева от этого интервала температура образца успевает выравняться раньше, чем образец разрушиться. По другую сторону интервала, справа, разрушение закончится раньше, чем образец успеет нагреться. При охлаждении образца картина сложнее. При непрерывном понижении температуры скорость разрушения регулируется двумя противоположными факторами. С одной стороны, скорость трещины растет со временем по мере увеличения ее размеров, с другой стороны, понижение температуры приводит к замедлению трещины. Поэтому существует случай, когда процесс разрушения становится стационарным, т. е. трещина растет с постоянной скоростью. Найдено напряжение стационарного роста.

Это неустойчивый случай, по этой причине он практически не реализуется. Если напряжение больше или меньше стационарного, то появляется переходная область, где существенно сказывается влияние переменного режима охлаждения. Численные расчеты произведены для двух материалов: гидратцеллюлозы и неорганического стекла. Рис. 2 и 3 иллюстрируют это. Предложенная модель позволяет объяснить некоторые аномалии на диаграммах долговечности, а именно, изломы прямых долговечности. Одной из причин этих аномалий, несомненно, является непрерывное тепловое взаимодействие нагруженного образца с термостатом, т. е. испытания на долговечность, вероятно, производились в условиях неполного теплового равновесия образца с окружающей средой. Компьютерные эксперименты показали, что достаточно небольшой разницы начальной температуры образца и температуры термостата, чтобы на диаграмме долговечности появилась переходная область, напоминающая упомянутые аномалии и обусловленная процессом выравнивания температуры напряженного образца с течением времени.

Выводы. 1. Показано, что феноменологически разрушение материалов моделируется как развивающийся во времени процесс накопления внутренних повреждений. При этом в разных конкретных случаях внутренние повреждения могут быть «выработаны» различными способами.

2. Материал обладает памятью на «нанесенные ему повреждения». Существует три вида памяти.

3. Для материалов с произвольным видом памяти сформулирован обобщенный принцип суперпозиции повреждений при произвольном температурно-силовом режиме внешнего воздействия.

4. Сформулированы прямая и обратная задачи прогнозирования прочности и долговечности при динамических режимах испытания или эксплуатации. Рассмотрены примеры, иллюстрирующие решение прямой задачи.

5. Дано объяснение наблюдаемых экспериментально аномалий на диаграммах температурно-временной зависимости прочности.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. К а р т а ш о в Э. М., А н и с и м о в а Т. В. Модельные представления теплового разрушения на основе кинетической теории прочности // Математическое моделирование. 2007. Т. 19. № 11. С. 11-22.

2. В а л и ш и н А. А., С т е п а н о в а Т. С. // Пластические массы. Ч. 1. Теория. 2007. № 9. С. 40-48.

3. В а л и ш и н А. А., С т е п а н о в а Т. С. // Пластические массы. Ч. 2. Вычислительный эксперимент. 2007. № 9. С. 49-56.

4. К а р т а ш о в Э. М. // Современные представления кинетической термофлук-туационной теории прочности полимеров. Итоги науки. Сер. Химия и технология высокомолекулярных соединений. ВИНИТИ. М.: Наука. 1991. Т. 27. 110 с.

5. П а р т о н В. 3. Механика разрушения. М.: Наука. 1990. 239 с.

6. Р е г е л ь В. Р., С л у ц к е р А. И., Т о м а ш е в с к и й Э. Е. Кинетическая природа прочности твердых тел. М.: Наука. 1974. 560 с.

7. В а л и ш и н А. А., К а р т а ш о в Э. М. Нелинейные эффекты в кинетике разрушения полимеров и композитов // Проблемы прочности. 1993. №6. С. 13-16.

8. К а р т а ш о в Э. М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. М.: Высш. шк. 1985. 480 с.

9. С и Г.С. // Прикладная механика (перев.). 1963. Т. 29. № 3. С. 157-159.

Статья поступила в редакцию 27.10.2011.