CC BY
78
5.2. Математическое моделирование распространения эпидемии коронавируса COVID-19 в ряде европейских, азиатских стран, Израиле и России
©Кольцова Э. М.1а, ©Куркина Е. С.1,2,ь, ©Васецкий А. М.1' Российский химико-технологический университет имени Д.И. Менделеева 2Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова г. Москва, Российская Федерация ae-mail: kolts@muctr.ru be-mail: e.kurkina@rambler.ru ce-mail: amvas@muctr.ru
Аннотация. На основе дискретного логистического уравнения проведено моделирование распространения коронавируса COVID-19 во Вьетнаме, Южной Корее, Израиле, Чехии, Португалии, Германии, Франции, Швеции, Японии, России и Российских регионах. Для каждой из стран определены параметры: показатели роста численности инфицированных коронавирусом COVID-19, емкости системы (максимальное число жителей страны, которые потенциально могли бы быть инфицированы). Для каждой из стран были спрогнозированы времена пиков эпидемии, численность на пике и в конце эпидемии, прирост численности инфицированных коронавирусом COVID-19 на протяжении эпидемии, сроки окончания эпидемии. Фактические данные и результаты прогноза хорошо согласуются друг с другом. Были сделаны выводы о связи показателей роста численности с ограничительными мерами, проводимыми во время эпидемии. Практически во всех странах менялись 2 раза значения показателей роста численности инфицированных коронавирусом COVID-19 переходя от больших значений к меньшим. Отдельно был сделан прогноз распространения эпидемии коронавируса COVID-19 в России и Российских регионах. Т.е. рассматривались фактические данные по численности инфицированных коронавирусом COVID-19 в России за вычетом фактических данных числа инфицированных в Московском регионе (Москве и Московской области). Определены даты пиков эпидемии в России, тренд которой задает г. Москва и даты пиков эпидемии в Российских регионах. Для Российских регионов рассматриваются 4 сценария развития эпидемии с различными емкостями. Значение емкости системы, соответствующей фактическим данным по Российским регионам определяется в окрестности пика эпидемии. В зависимости от емкости системы Российские регионы будут проходить пики от 28.04 до 04.05. Ключевые слова: математическое моделирование, коронавирус COVID-19, дискретное логистическое уравнение, европейские страны, азиатские страны, Израиль, Россия.
Благодарности: Авторы выражают особую признательность аспиранту РХТУ имени Д.И. Менделеева Шаневой А.С. за оказанную помощь в оформлении статьи.
Для цитирования: Кольцова Э. М., Куркина Е. С., Васецкий А. М. Математическое моделирование распространения эпидемии коронавируса COVID-19 в ряде европейских, азиатских стран, Израиле и России // Проблемы экономики и юридической практики. 2020. Т. XVI. №2. С. 154-165.
Mathematical modeling of the spread of COVID-19 coronavirus epidemic in a number of European, Asian countries, Israel and Russia
©E. M. Koltsova1a, ©E. S. Kurkina1,2b, ©A. M. Vasetsky1,c 1Mendeleev University of Chemical Technology of Russia 2Lomonosow Moscow State University Moscow, Russian Federation
ae-mail: kolts@muctr.ru be-mail: e.kurkina@rambler.ru ce-mail: amvas@muctr.ru
Abstract. Based on the discrete logistic equation, the distribution of COVID-19 coronavirus in Vietnam, South Korea, Israel, the Czech Republic, Portugal, Germany, France, Sweden, Japan, Russia and the Russian regions was simulated. For each of the countries, the following parameters were determined: growth rates of the number of people infected with COVID-19 coronavirus, system capacity (the maximum
number of residents who could potentially be infected). For each of the countries, peak times of the epidemic were predicted, the numbers at the peak and at the end of the epidemic, the increase in the number of people infected with the coronavirus COVID-19 during the epidemic, and the end dates of the epidemic. Actual data and forecast results are in good agreement with each other. Conclusions were drawn about the relationship of growth rates with restrictive measures taken during the epidemic. In almost all countries, the values of growth rates of the number of infected with coronavirus COVID-19 changed 2 times, passing from large values to smaller ones. A separate forecast was made for the spread of COVID-19 coronavirus epidemic in Russia and the Russian regions. That is, the actual data on the number of infected with coronavirus COVID-19 in Russia were considered, minus the actual data on the number of infected in the Moscow region (Moscow and the Moscow region). The dates of the epidemic peaks in Russia, the trend of which sets the city of Moscow and the dates of the epidemic peaks in the Russian regions, are determined. For the Russian regions, 4 scenarios of the development of the epidemic with different capacities are considered. The value of the system capacity corresponding to the actual data for the Russian regions is determined in the vicinity of the peak of the epidemic. Depending on the capacity of the system, Russian regions will experience peaks from April 28 to May 4.
Keywords: mathematical modeling, coronavirus COVID-19, discrete logistic equation, European countries, Asian countries, Israel, Russia.
Acknowledgments: The authors are particularly grateful to the postgraduate student at the Mendeleev University of Chemical Technology of Russia A.S. Shaneva for their assistance in preparing the article.
For citation: Koltsova E. M., Kurkina E. S., Vasetsky A. M. Mathematical modeling of the spread of COVID-19 coronavirus epidemic in a number of European, Asian countries, Israel and Russia // Economic problems and legal practice. 2020. Vol. XVI. №2. P. 154-165.
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время актуальной тематикой является моделирование распространения эпидемии коронавируса COVID-19. Большое количество работ посвящено этой тематике [1-9]. В статье для математического моделирования динамики распространения эпидемии коронавируса COVID-19 используется дискретное логистическое уравнение.
Логистическое уравнение в дифференциальной форме использовалось для моделирования численности народонаселения и имеет вид:
f=Ч1 -а (1)
где y(t) - численность населения в момент времени t, Л -параметр, характеризующий скорость роста популяции, параметр N определяет максимально возможную численность популяции в условиях ограниченных ресурсов. Это уравнение (1) используется также и для моделирования распространения инфекции.
И в безразмерной форме имеет вид
f = Àx(1 -X), (2)
at
где N - максимальная численность заболевших, x=y/N характеризует долю инфицированных людей, а (1-y/N) характеризует долю людей восприимчивых к заболеванию. Эта модель, записанная в форме двух уравнений, получили название SI -(Susceptible-Infections model). Эта модель, нашла применение в работах по распространению эпидемии коронавируса COVID-19 [8, 9].
Уравнение (1) имеет две неподвижные (стационарные) точки: у^ = 0, N. Вторая точка является единственным аттрактором. Таким образом, с течением времени, какое бы значение не принимал показатель роста Л в уравнении (2), численность популяции будет стремиться к N только с разным периодом времени выхода на этот стационар.
Более реалистичной считается SIR - модель (Susceptible-Infectious-Recovered model). В ней все население делится на три части: часть восприимчивых к заболеванию y (Susceptible), инфицированных x (Infected) и выздоровевших z (Recovered). Наличие в модели выздоравливающих людей уменьшает число инфицированных, способных заразить других.
Уравнения модели имеют вид:
йу х
Ть = -ЛуЙ'
йх X
- = +Лу-- №
йг
И = +/
где /и-скорость выздоровления.
В этой модели рост числа выздоровевших зависит только от текущего количества инфицированных особей, а рост числа заболевших определяется контактами только с больными. В результате эта модель дает более низкий и сглаженный пик по сравнению с SI -моделью.
Данная модель была использована для распространения эпидемии коронавируса COVID-19 в работах [3-4].
Есть еще более сложные модели, описывающие более точно распространение инфекций. Однако, чем сложнее модель, тем больше неизвестных параметров она содержит, значение которых оценить с хорошей точностью не представляется возможным, в особенности в условиях пандемии и неопределенности, когда нужно быстро давать прогноз. Прогноз числа инфицированных коронавирусом COVID-19 необходим для понимания сути протекания, оказания оптимальной медицинской помощи инфицированным, для понимания меры проведения карантинных мероприятий.
Поэтому необходимо было найти математическую модуль, имеющую минимальное количество определяемых параметров, но обладающей высокой предсказательной силой. В качестве такой модели было выбрано дискретное логистическое уравнение, содержащее два параметра: показатель роста численности инфицированных, емкость системы, характеризующую максимальное значение численности жителей, которые потенциально могут быть инфицированы. Отметим, что существует большая разница между максимальным числом жителей, которые потенциально могут заболеть и максимальным значением фактически заболевших людей. Дискретное логистическое уравнение было нами опробовано для моделирования распространения эпидемии коронавируса COVID-19 в Китае и для прогнозирования эпидемии в г. Москва [10], для прогнозирования эпидемии в ряде европейских, азиатских стран, Израиля и России.
2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ КОРО-НАВИРУСА СО^-19
Мы использовали дискретное логистическое уравнение для описания распространения коронавируса COVID-19 в разных странах и городах. Оно имеет вид:
уп+1 = Хуп(1 - уп/Ы), у0 - задано (3)
N - это нормировочный множитель, является емкостью популяции жителей инфицированных коронавирусом COVID-19 и характеризует максимальное значение численности жителей, которые потенциально могут заразиться. Этот параметр N зависит от целого ряда факторов, таких как открытость страны к вирусной инфекции (приток людей из зон очагов эпидемии), скученность и плотность населения, наличие мегаполисов, устойчивость к заболеванию, дисциплинированность населения во время карантинных мероприятий и др.
Эта модель описывает рост в соответствии с логистической функцией: численность популяции заболевших быстро растет, пока она мала (уп << Ы), затем скорость роста все сильнее и сильнее замедляется, а численность заболевших асимптотически стремится к стационарному значению. Сделав замену переменных:
уп = хпЫ, 0 < хп< 1, а = X (4)
приведем уравнение (3) к виду:
хп+1 = а хп(1 - хп), х0 = у0/И (5) где переменные хп и параметр а являются безразмерными.
При значениях 0 < а < 1 независимо от начального значения х0 численность популяции стремится к нулю [11]. При значениях 1 < а < 3 безразмерная численность популяции заболевших стремится к стационарному устойчивому состоянию х, равному [11]
а-1 , .
X = — (6)
Следовательно, с течением времени численность популяции заболевших в конце эпидемии будет равна
у = (7)
(Соотношение (6), (7) верны при сохранении постоянства показателя а на всем протяжении эпидемии.)
Отметим, что имеется важное отличие между дифференциальным уравнением, описывающим логистический рост и дискретным. В дифференциальном уравнении при 1 < а численность стремится к значению Ы, а в дискретном - к значению у (7), которое зависит от показателя скорости роста, и может сильно отличаться от N. Проводимые карантинные меры снижают вероятность заражения и показатель а уменьшается, что приводит к снижению общего числа заболевших у.
Формулы (6) и (7) имеют место, если показатель роста численности а является постоянным на всем протяжении распро-
странения инфекции. В действительности (как будет показано дальше в разделе 3) показатель роста численности меняется при принятии карантинных мер, переходя от большего значения к меньшему. При малых значениях численности в начале
эпидемии имеет место равенство
= а
Уп
(8)
(9)
Видно из соотношений (8) и (9), что нормировочный множитель на начальном периоде эпидемии не влияет на расчет численности инфицированных коронавирусом. Запишем соотношение для определения численности на пике прироста численности во время эпидемии
а-1
х™к = -¿Т (10)
или
Упик = (11)
где хпик, упик - соответственно безразмерная и размерная численность инфицированных жителей.
Таким образом, если бы параметр а оставался постоянным на всем времени протекания эпидемии, то значение параметра а можно было бы определить из соотношения (9) (на начальном этапе развития эпидемии), а значение только важного параметра как емкость системы определить на пике эпидемии, зная фактическую численность упик на пике эпидемии. Но в реальности параметр а может меняться при принятии карантинных мер.
Однако из уравнения (3), (5) и соотношения следует, что роль нормировочного множителя начинает проявляться ближе к пику эпидемии. Поэтому был построен алгоритм поиска параметра а и нормировочного множителя N на основе минимизации рассогласования расчетных по уравнению (3) и фактических данных численности инфицированных коронавирусом COVID-19, рассматривая различные сценарии развития эпидемии с различными значениями емкости N.
3. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА
В табл. 1-3 представлены расчетные данные по показателям роста численности инфицированных коронавирусом COVID-19 (табл. 1), по значениям времени прохождения пиков эпидемий, численности на пиках, приросту численности на пике эпидемии, численности в конце эпидемии, времени окончания эпидемии (табл. 3), по значениям нормировочных множителей N для ряда европейских, азиатских стран, России и Израиля.
Таблица 1
Таблица значений показателей роста численности в европейских, азиатских странах, России и Израиле
Страна
Значение показателя роста численности (а)
Время его удержания
1.36
1.067
1.075
с 5.03 по 10.03
с 11.03 по 31.03
с 1.04 по настоящее время
Южная Корея
1.967
1.22
1.14
с 16.02 по 19.02 с 20.02 по 26.02 с 27.02 по настоящее время
1.226 1.137 1.1087
с 1.03 по 10.03
с 11.03 по 21.03
с 22.03 по настоящее время
Израиль
1.128 1.088 1.0575
с 22.02 по 23.03 с 24.03 по 31.03 с 1.04 по настоящее время
Португалия
1.19
1.126
1.076
с 5.03 по 21.03
с 2.03 по 1.04
с 2.04 по настоящее время
Германия
1.405 1.146 1.096
с 26.02 по 04.03 с 05.03 по 19.03 с 20.03 по настоящее время
Франция
1.197
1.1
1.079
с 26.02 по 16.03 с 17.03 по 2.04 с 3.04 по настоящее время
Швеция
1.161 1.05
с 25.02 по 22.03 с 23.03 по настоящее время
1.078
1.046 1.0173 1.0544
1.047
с 2.02 по 17.02 с 18.02 по 13.03 с 14.03 по 22.03 с 23.03 по 13.04 с 14.04 по настоящее время
1.134 1.112 1.086
с 2.03 по 18.03
с 19.03 по 31.03
с 1.04 по настоящее время
Таблица 2
Таблица значений нормировочных множителей N стран и численности населения стран
Страна Нормировочный множитель N (человек) Численность страны А (человек) Отношение N/A-100%
Вьетнам 4-103 9,55-10' 410-3
Китай 7,6-105 1,4-109 5,4-10-2
Южная Корея 8-104 5,1&107 1,55-10-1
Япония 5-10ь 1,2&108 Ф10"1
Чехия 9-104 1,0&107 9-10-1
Россия 1,8-106 1,47-108 1,2
Германия 1,7-106 8,3-107 2,1
Португалия 3,3-10ь 1,03-107 3,2
Франция 2,3-106 6,&107 3,48
Израиль 4-105 9,47-106 4,2
Швеция 5-10ь 1,02-107 4,9
Вьетнам
Таблица 3
Таблица расчетных значений пиков эпидемии, численности на пике, численности в конце эпидемии,
времени окончания эпидемии для европейских, азиатских ст ран, Израиля и России
Страна Время пика Прирост численности на пике Численность на пике Численность к концу эпидемии Временя окончания эпидемии
1 2 3 4 5 6
Вьетнам 08.03 14 30 280 Начало апреля
Южная Корея 04.03 740 5 687 10 175 Середина апреля
Чехия 01.04 313 3 776 7 200 Начало мая
Израиль 01.04 765 7 144 18 000 Конец-начало июня
Португалия 06.04 893 12 305 23 410 Середина- конец мая
Германия 01.04 7 142 78 950 160 000 Середина- конец мая
Франция 05.04 6 681 91 057 ~180 000 Конец мая
Швеция 14.04 594 12 030 ~24 000 Середина-конец июня
Япония 12.04 684 6 685 ~23 000 Середина-конец июня
Россия 26.04 6 126 82 709 ~150 000 Середина-конец июня
На рис. 1-20 представлены фактические данные и расчетные кривые по численности инфицированных COVID-19 и приросту численности инфицированных для ряда европейских, азиатских стран, России и Израиля. Данные по численности инфицированных коронавирусом COVID-19 брались из источников [12,13].
о зиетмчаснн -npWHiiJ
Рис. 1. Фактические данные и расчетная кривая изменения численности инфицированных во Вьетнаме.
Рис. 2. Фактические данные и расчетная кривая прироста численности инфицированных COVID-19 во Вьетнаме.
1000
100 J
1
« Фактически -Прогноз
Рис. 3. Фактические данные и расчетная кривая изменения численности инфицированных COVID-19 в Южной Корее.
- Фактически —Прапна
Рис. 4. Фактические данные и расчетная кривая прироста численности инфицированных COVID-19 в Южной Корее.
/
/
4
Q Фактически —Прогноз
Рис. 5. Фактические данные и расчетная кривая изменения численности инфицированных COVID-19 в Чехии.
о фрктнчесни -Прогноз
Рис. 6. Фактические данные и расчетная кривая прироста численности инфицированных COVID-19 в Чехии.
О 20 40 60 80 100 120
Дни с 22 февраля
Рис. 7. Фактические данные и расчетная кривая изменения численности инфицированных СОУ!1>19 в Израиле.
0 20 40 60 80 100
Дим с 22 февраля
Рис. 8. Фактические данные и расчетная кривая прироста численности инфицированных СОУ!1>19 в Израиле.
р] я з №31 jj fj ig ^ § g g £ д Sä з г з 2g | ^ jj ij.g з я f| if g ¡jj ^ pf
ФвНШЧЙСКН -Прогноз
Рис. 9. Фактические данные и расчетная кривая изменения численности инфицированных СОУЮ-19 в Португалии.
у" о »
/ \
О <> О
О Фактически -Прогноз
Рис. 10. Фактические данные и расчетная кривая прироста численности инфицированных СОУЮ-19 в Португалии.
Рис. 11. Фактические данные и расчетная кривая изменения численности инфицированных СОУЮ-19 в Германии.
* * •WiV+V«WW ■■• * * W^WtViV £ 3 *
С Фвктнчеош ——ei&trnai
Рис. 12. Фактические данные и расчетная кривая прироста численности инфицированных СОУЮ-19 в Германии.
Рис. 13. Фактические данные и расчетная кривая изменения численности инфицированных СОУЮ-19 во Франции.
Рис. 14. Фактические данные и расчетная кривая прироста численности инфицированных СОУ!1>19 во Франции.
2.2
2
1.8 • 16
I 1.4
S i
3 1,2
)
? 1
5 0.8
)
1 0.6 0.4 0.2 0
0
Рис. 15.
хЮ
N= 500000 Расчетные у
данные У
Фактически
данные
4 .04 24 04
10 20 30 40 50 Дни с 25 февраля
60
70
Фактические данные и расчетная кривая изменения численности инфицированных СОУЮ-19 в Швеции.
Рис. 16. Фактические данные и расчетная кривая прироста численности инфицированных СОУЮ-19 в Швеции.
2 1.8 1.6 Й 1.4
э
S 1-2 d
.S 1
хЮ
Е 08
и
И 0 -6 0.4 0.2
0
Pi f^ITPTIJI.TP _
N=500000 rdLMCltlblC j"* данные \ / ■A ,*
Фактические" данные sj о
I
29 04 06
20
40
60 80 100 Дни с 8 февраля
120
140
Рис. 17. Фактические данные и расчетная кривая изменения численности инфицированных СОУЮ-19 в Японии.
Рис. 18. Фактические данные и расчетная кривая прироста численности инфицированных СОУЮ-19 в Японии.
асчетные анные
N=1800000 ¿У^ д
Фактические¡У
данные ¿г
11.03 31 03 19 04
ю
20 30 40 Дни с 2 марта
50
60
Рис. 19. Фактические данные и расчетная кривая изменения численности инфицированных СОУЮ-19 в России.
7000
6000
5000
4000
2000
1000
N=1800000 25.0
Факпгческне I 1 данные Jw,
\ Расчетные
\ ^/"данные
29 04 ___
20
40
80
100
60
Дни с 2 марта
Рис. 20. Фактические данные и расчетная кривая прироста численности инфицированных СОУЮ-19 в России.
В табл. 4 представлены расчетные данные по показателям роста численности инфицированных коронавирусом COVID-19 в Российских регионах. Для расчета распространения эпидемии в Российских регионах брались данные по России [12] из них вычитались данные по численности г. Москва и Москов-
ской области. Рассматривалось 4 сценария: 1 сценарий с нормировочным множителем N = 2-106, 2 сценарий с нормировочным множителем N = 1,5-106, 3 сценарий с нормировочным множителем N = 1-106, 4 сценарий с нормировочным множителем N = 7,6-105.
Таблица 4
Значения показателя роста численности инфицированных коронавирусом COVID-19 для исследованным 4-х сценариев развития эпидемии в Российских регионах
Сценарий Значение нормировочного множителя Значение показателя роста численности (а) Время удержания показателя
1 2-106 1.13 1.098 1.0865 с 2.03 по 14.03 с 15.03 по 30.03 с 31.03 по настоящее время
2 1,5-106 1.13 1.098 1.0868 с 2.03 по 14.03 с 15.03 по 30.03 с 31.03 по настоящее время
3 1-106 1.13 1.098 1.0875 с 2.03 по 14.03 с 15.03 по 30.03 с 31.03 по настоящее время
4 7,&105 1.13 1.098 1.088 с 2.03 по 14.03 с 15.03 по 30.03 с 31.03 по настоящее время
В табл. 5 представлены расчетные значения для 4-х сценариев Российских регионов пиков эпидемии, численности на пике и в конце эпидемии, времени окончания эпидемии.
Таблица 5
Расчетные значения сценариев, протекаемых в Российских регионах для времени пиков эпидемии и их окончания, численности на пике и в конце эпидемии, прироста на пике
Сценарий Время пика Прирост на пике Численность на пике Численность к концу эпидемии Время окончания
1 N = 2-106 04.05 6 887 84 157 ~160 000 Конец июня
2 N = 1,5406 02.05 5 201 65 092 ~120 000 Середина-конец июня
3 N = 1-106 29.04 3 519 42 385 ~80 000 Середина июня
4 N = 7,6-105 28.04 2 711 33 244 ~62 000 Начало-середина июня
В табл. 6 представлены фактические и расчетные данные по численности инфицированных коронавирусом COVID-19 в прогнозируемых 4-х сценариях для Российских регионов.
Таблица 6
Значения по численности инфицированных коронавирусом СОУЮ-19 в прогнозируемых 4-х сценариях для Российских регионов
Дата Фактические данные Данных по приросту Сценарий № 1 N = 2-106 Сценарий № 2 N = 1,5-106 Сценарий № 3 N = 1-106 Сценарий № 4 N = 7,6-105
13.04 4 252 602 4 252 4 252 4 252 4 252
14.04 4 960 708 4 997 4 993 4 984 4 976
15.04 5 785 825 5 869 5 857 5 834 5 812
16.04 7 127 1 342 7 456 7 425 7 363 7 305
17.04 8 738 1 611 8 714 8 681 8 575 8 477
18.04 10 358 1 620 10 218 10 131 9 962 9 807
19.04 13 941 3 583 13 915 11 800 11 539 11 303
20.04 15 647 1 706 16 190 13 712 13 323 12 975
21.04 17 402 1 755 18 793 15 989 15 234 14 825
22.04 19 449 2 017 21 756 18 361 17 554 16 853
23.04 21 636 2 187 25 107 21 142 20 014 19 053
24.04 23 398 1 762 26 937 24 250 22 702 21 410
25.04 26 682 3 284 33 075 27 695 25 607 23 903
26.04 29 496 2 814 37 732 31 479 28 709 26 504
На рис. 21-22 представлены фактические данные роста численности и прироста численности, инфицированных корона-
1000000
вирусом COVID-19 и расчетные данные по 4 сценариям для Российских регионов.
S гч гч гч гп гч mm mmmmmmmmmmm с*^ "i
ji Гн с* r>i ^ LDQQ опСшозоп^шкю r-ifi LnKc^'-irnLnr--c-ir-im ьпГ^ |
-1. N=2000000
-2.М=1000000
3.N=760000
-4.14=500000 О Фаетические
Рис. 21. Фактические данные по Российским регионам по росту численности инфицированных коронавирусом COVID-19 и расчетные кривые для 4-х сценариев: 1 - N = 2-106, 2 - N = 1,5-106, 3 - N = 1-106, 4 - N = 7,6-105.
Рис. 22. Фактические данные по Российским регионам по приросту численности инфицированных коронавирусом COVID-19 и расчетные кривые для 4-х сценариев: 1 - N = 2-106, 2 - N = 1,5-106, 3 - N = 1-106, 4 - N = 7,6-105.
4. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
В табл. 7 приведены данные [13] фактических времен пиков эпидемий в рассматриваемых странах.
Таблица 7
Время прохождения пиков эпидемии в ряде европейских, _азиатских стран, Израиля и России_
Страна Время прохождения пика эпидемии
Фактические данные Результаты расчета
Вьетнам 29.03 30.03
Южная Корея 03.03 04.03
Чехия 28.03 01.04
Израиль 02.04 01.04
Португалия 09.04 06.04
Германия 02.04 01.04
Франция 03.04 05.04
Япония 11.04 и 15.04 12.04
Россия 26.04
Если сравнить расчетные данные времени прохождения пиков, приведенные в табл. 3, с фактическими данными из табл. 7, то видно, что они неплохо согласуются. Из рис. 1-18 видно соответствие фактических данных и расчетных, полученных на основе логистического уравнения (5) при применении его к описанию распространения эпидемии коронавируса COVID-19 к странам: Вьетнам, Южная Корея, Чехия, Израиль, Португалия, Германия, Франция, Швеция, Япония, Россия.
Это свидетельствует о применимости дискретного логистического уравнения (5) к описанию распространения эпидемии коронавируса COVID-19.
В табл. 1 представлены значения показателей роста численности инфицированных и времени их изменения, которые были связаны с тем, что в рассматриваемых странах принимались меры, связанные с ограничением контактирования жителей этих стран (меры по самоизоляции внутри стран). Эти ограничительные меры привели к значительному снижению показателей роста численности, что в свою очередь существенно сузило прирост заболевших. Практически во всех странах, где принимались ограничительные меры показатели роста численности меняли свои значения 2 раза.
Так, например, Вьетнам снизил показатели роста с 1.36 до 1.075, Чехия с 1.226 до 1.087, Израиль с 1.128 до 1.057, Португалия с 1.19 до 1.076, Франция с 1.197 до 1.079, Россия с 1.134 до 1.086 и т.д.
Из всех стран, в которых было проведено моделирование изменения численности инфицированных COVID-19, только в Швеции показатель роста менялся 1 раз. Скорее всего, это связано с решениями правительства по ограничительным мерам. Швеция принадлежит к странам, в которых режим изоляции не вводился, из рис. 15-16 видно, что в последнее время фактические данные по численности инфицированных все больше отклоняются от тренда, задаваемого логистическим уравнением с прежним показателем роста численности. Это связано с тем, что по видимому недостаточность ограничительных мер приводит к увеличению показателя роста численности.
Следует отметить, что трудно сравнивать рост численности инфицированных в различных странах по показателям роста численности (а), так как эти страны имеют различные
нормировочные множители (ёмкости). Видно из уравнения (7), что при одном и том же значении нормировочного множителя (ёмкости системы), чем больше показатель роста, тем больше становится численность инфицированных к концу эпидемии. Если бы все страны имели единый нормировочный множитель, то можно было бы их выстроить в ряд в соответствии с показателем роста. У тех, у кого показатель был бы самый высокий имел бы самую большую численность заболевших. Так вначале моделирования и предполагалось сделать. После моделирования распространения эпидемии в Китае [10] была определена емкость системы для Китая ~760 тыс. жителей. Но приведенные расчеты с разработанными алгоритмами по поиску оптимальных значений показателей роста численности {а} и значений емкости {Ы} для различных стран, которые обеспечивали наилучшее совпадение с фактическими значениями численности инфицированных коронавирусом COVID-19, показали, что каждая страна имеет свою емкость, т.е. свой нормировочный множитель.
В табл. 2 приведены значения емкостей (нормировочных множителей) для ряда стран, а также приведены численности населения этих стран. Видно, что емкости стран не коррелируют с численностью населения страны.
Так при численности населения 95 млн. во Вьетнаме при тех условиях, которые создал Вьетнам во время эпидемии потенциально могли быть инфицированы только 4 000 жителей, а во Франции с населением 66 млн. потенциально могли быть инфицированы 2 300 000жителей. В процентах отношение численности емкости страны к её общей численности, например, составляло для Вьетнама 5,4-10-2%, в то время как во Франции 3,5%.
В табл. 8 представлено отношение в процентах расчетного значения численности инфицированных в стране в конце эпидемии к емкости (нормировочному множителю) страны. Видно, что значение этих отношений находится в интервалах [413,5%]. Нормировочный множитель - емкость системы играет важную роль при моделировании. Именно эти два параметра показатель роста численности а и емкость системы N и определяют в конечном счете численность инфицированных к концу эпидемии.
Если емкость системы не зависит от численности населения, то отчего она может зависеть? В статье глубокий анализ не проводится. Высказываются только предположения. На емкость системы в первую очередь влияют меры, приводимые руководством страны по уменьшению открытости страны. Вьетнам закрыл практически все потоки, идущие с Китайской стороны. Фактически изолировал страну. К уменьшению емкости системы также могут привести меры по изоляции крупных очагов внутри страны. Страны, которые представлены в верхней части таблицы принадлежат к странам, принимающим наиболее сильные ограничительные меры (за исключением Японии).
Также на емкость системы влияет скученность проживания граждан стран. В странах с высокими емкостями имеются мегаполисы, в которых на малых расстояниях проживает огромное число жителей.
Увеличению емкости системы может также способствовать наличие большого числа мигрантов и т.д.
Таблица 8
Сравнение расчетных значений численности емкости стран с расчетными значениями инфицированных коронавирусом СОУ11>19 в конце эпидемии
Страна Емкость системы N Число инфицированных к концу эпидемии М M/N-100%
Китай 76 000 82 000 10.8
Вьетнам 4 000 280 7
Южная Корея 80 000 10 775 13.5
Чехия 90 000 7 600 4
Израиль 400 000 16 300 4
Португалия 330 000 23 910 7
Германия 1 700 000 160 000 9.4
Франция 2 300 000 180 000 7.8
Россия 1 800 000 150 000 8
Таблица 9
Данные по численности инфицированных коронавирусом _COVID-19 в России с 25 по 29 апреля_
Число Фактические данные Расчетные данные Данные ошибки %
25.04 74 685 76 335 2.2
26.04 81 046 82 409 1.7
27.04 88 343 88 343 1.2
28.04 93 446 94 056 0.6
29.04 99 409 99 478 0.06
Корреляция между параметрами логистического уравнения параметром роста численности а и емкостью системы N хорошо просматривается на значениях а для 4-х сценариев, представленных в табл. 4. Чем больше значение емкости N тем меньше значение показателя а. Из табл. 4 следует, что в начале эпидемии, когда численность мала, по сути, для определения численности работает соотношение (9). И видно, что для всех сценариев независимо от значения емкости первые два показателя роста численности одинаковые. А вот с периода 31.03 и дальше емкость уже оказывает влияние на расчет численности и видно, что при N = 2-106, показатель а равен а = 1.0865; при N = 1,5-106, показатель а равен а = 1.0868; при N = 1-106, показатель а равен а = 1.0875; при N = 7,6-105, показатель а равен а = 1.088.
Видно из рис. 21-22 из данных табл.6, что до 13.04 значение численности во всех сценариях были достаточно близки, но после этого числа начинается некоторое расхождение. Численность, соответствующая сценарию 1 емкость N = 2-106 превышает фактические данные.
Ближе к пику определяется значение емкости, соответствующее фактическим данным по численности инфицированных в регионах России. По-видимому емкость находится в интервале [7,6-105-1,25-106]. В статье [10] нами были также определены интервалы емкости для численности инфицированных в г. Москва NМоскgыe [7,6405-1406]. Тогда численность инфицированных в г. Москва может находиться в интервале [60 000-80 000], а численность инфицированных в Российских регионах будет находиться в интервале [60 000-100 000]. Численность инфицированных коронавирусом COVID-19 в России будет находиться в интервале [140 000-200 000].
По результатам моделирования эпидемии распространения эпидемии в г. Москва [10] пик эпидемии должен был находиться на интервале [19.04-22.04]. По фактическим данным [12] наиболее на 29.04 прирост численности инфицированных коронавирусом в г. Москва был зафиксирован 19.04, прирост составил Д = 3 570. В настоящее время наибольший вклад в численность инфицированных вносит г. Москва, она задает тренд эпидемии. По результатам моделирования эпидемия в России проходит пик 25-26.04.
В табл. 9 представлены фактические данные и результаты расчета по логистическому уравнению (5). Из табл. 9 видно хорошее согласование фактических данных и результатов расчетов.
На 29.04 наибольший прирост численности инфицированных в России наблюдался 28 апреля, прирост составлял Д = 6 310. Российские регионы (Россия за вычетом Московского региона) проходят пики в зависимости от сценария с 29.04 по 04.05. То есть на наш взгляд с 25.04 по 04.05 прирост численности инфицированных в России будет колебаться в области пика, а дальше если показатели роста численности (а) не изменятся начнется снижение прироста.
Если меры изоляции будут существенно нарушаться, то это приведет к росту показателя численности инфицированных и количество инфицированных может существенно увеличиться.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Проведено математическое моделирование распространения эпидемии коронавируса COVID-19 в ряде Европейских стран (Чехии, Португалии, Германии, Франции, Швеции), азиатских стран (Вьетнаме, Южной Корее, Японии), Израиле, России и Российских регионах.
Показана применимость дискретного логистического уравнения для моделирования распространения коронавируса COVID-19. Результаты моделирования хорошо согласовывались с фактическими данными по численности инфицированных во времени протекания эпидемии и приросту числа инфицированных коронавирусом COVID-19, по времени протекания пика эпидемии. Среди исследуемых стран ряд стран завершает эпидемию коронавируса COVID-19. Показано последовательное влияние ограничительных мер в этих странах на значение показателя роста численности инфицированных коронавирусом COVID-19. Практически во всех странах до наступления пика показатели роста численности меняли свои значения от больших к меньшим 2 раза. Показано, что значение емкости системы (характеризующее максимально возможное число жителей страны, которые могут быть потенциально инфицированы коронавирусом COVID-19) не коррелирует с численностью населения страны, а зависит в какой-то степени от мер по открытости системы (страны) к вирусной инфекции, условий проживания жителей страны (высокая скученность населения в больших мегаполисах), менталитета жителей страны, восприимчивости к вирусу COVID-19.
Показано, что число жителей страны инфицированных коронавирусом COVID-19 находится в интервале (4-14%) от числа жителей этой страны, которые потенциально могли бы быть инфицированы коронавирусом COVID-19. Для каждой из стран определена емкость системы (количество жителей страны которые бы потенциально могли быть инфицированы корона-вирусом COVID-19). Так для Вьетнама это количество составляет 4 000 жителей, Японии 400 000, Германии 1 700 000, России 1 800 000, Франции 2 000 000 (при тех мерах по открытости
страны, принятые страной). Проведен прогноз распространения эпидемии коронавируса COVID-19 в России и Российских регионах. Показано, что в зависимости от сценария развития эпидемии (значение емкости для регионов) пики эпидемии Российских регионов будут проходить с 22.04 по 04.05. В зависимости от емкости Российских регионов число инфицированных коронавирусом COVID-19 будет находиться в интервале [60 000-100 000], а число инфицированы во всей России (с Москвой и Московской областью) к концу эпидемии будет находиться в интервале [140 000 - 200 000] при показателях роста численности, которые были определены до пиков эпидемии в Москве и регионах.
Если будут сняты ограничительные меры, то показатели численности будут расти, соответственно будет расти и число жителей России, инфицированных коронавирусом COVID-19.
На основе дискретного логистического уравнения рассчитаны сроки окончания эпидемии коронавируса COVID-19 в странах: Вьетнаме - начало апреля, Южной Кореи - середина апреля, Чехии - начало мая, Португалии (середина-конец мая), Германии (середина-конец мая), Швеции (конец июня), Японии (середина-конец июня), России (середина-конец июня). Концом эпидемии считается, когда заболевают несколько человек в день.
Расчеты сделаны при показателях роста численности, соответствующих ограничительным мерам, принимаемым в странах. В случае изменения ограничительных мер или при возникновении другой волны распространения эпидемии из-за нарушения ограничительных мер требуется пересчет по математическим моделям.
Статья проверена программой «Антиплагиат».
Список литературы / Reference list:
1. Chang S. L. et al. Modelling transmission and control of the COVID-19 pandemic in Australia. arXiv preprint arXiv: 2003.10218. 2020.
2. Dandekar R., Barbastathis G. Neural Network aided quarantine control model estimation of global Covid-19 spread. arXiv preprint arXiv: 2004.02752. 2020.
3. Tam K. M., Walker N., Moreno J. Projected Development of COVID-19 in Louisiana. arXiv preprint arXiv: 2004.02859. 2020.
4. Blasius B. Power-law distribution in the number of confirmed COVID-19 cases. arXiv preprint arXiv: 2004.00940. 2020.
5. Shao N. et al. Dynamic models for Coronavirus Disease 2019 and data analysis. Mathematical Methods in the Applied Sciences. 2020. Vol. 43. No. 7. Pp. 4943-4949.
6. Tian J. et al. Modeling analysis of COVID-19 based on morbidity data in Anhui, China. Mathematical Biosciences and Engineering. 2020. Vol. 17. No. 4. Pp. 2842-2852.
7. Peng L. et al. Epidemic analysis of COVID-19 in China by dynamical modeling. arXiv preprint arXiv: 2002.06563. 2020.
8. Thyagaraja A. A phenomenological approach to COVID-19 spread in a population. arXiv preprint arXiv: 2003.12781. 2020.
9. Qj C. et al. Model studies on the COVID-19 pandemic in Sweden. arXiv preprint arXiv: 2004.01575. 2020.
10. Кольцова Э. М., Куркина Е. С., Васецкий А. М. Математическое моделирование распространения эпидемии коронавируса COVID-19 в Москве. Computational nanotechnology. 2020. Том. 7. №. 1. с. 99-105.
11. Кольцова Э.М., Гордеев Л.С. Методы синергетики в химии и химической технологии. М.: Химия, 1999. 256 c.
12. URL: https://coronavirus-monitor.ru/coronavirus-v-rossii/
13. URL: https://www.worldometers.info/coronavirus/
14. Chang S. L. et al. Modelling transmission and control of the COVID-19 pandemic in Australia. arXiv preprint arXiv: 2003.10218. 2020.
15. Dandekar R., Barbastathis G. Neural Network aided quarantine control model estimation of global Covid-19 spread. arXiv preprint arXiv: 2004.02752. 2020.
16. Tam K. M., Walker N., Moreno J. Projected Development of COVID-19 in Louisiana. arXiv preprint arXiv: 2004.02859. 2020.
17. Blasius B. Power-law distribution in the number of confirmed COVID-19 cases. arXiv preprint arXiv: 2004.00940. 2020.
18. Shao N. et al. Dynamic models for Coronavirus Disease 2019 and data analysis. Mathematical Methods in the Applied Sciences. 2020. Vol. 43. No. 7. Pp. 4943-4949.
19. Tian J. et al. Modeling analysis of COVID-19 based on morbidity data in Anhui, China. Mathematical Biosciences and Engineering. 2020. Vol. 17. No. 4. Pp. 2842-2852.
20. Peng L. et al. Epidemic analysis of COVID-19 in China by dynamical modeling. arXiv preprint arXiv: 2002.06563. 2020.
21. Thyagaraja A. A phenomenological approach to COVID-19 spread in a population. arXiv preprint arXiv: 2003.12781. 2020.
22. Qi C. et al. Model studies on the COVID-19 pandemic in Sweden. arXiv preprint arXiv: 2004.01575. 2020.
23. Koltsova E.M., Kurkina E.S., Vasetsky A.M. Mathematical modeling of the spread of COVID-19 in Moscow. Computational nanotechnology. 2020. Vol. VII. №. 1. Pp. 99-105.
24. Koltsova E.M., Gordeev L.S. Synergetic methods in chemistry and chemical technology. M.: Chemistry, 1999. 256 p
25. URL: https://coronavirus-monitor.ru/coronavirus-v-rossii/
26. URL: https://www.worldometers.info/coronavirus/
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Кольцова Элеонора Моисеевна, доктор технических наук, профессор; заведующая кафедрой ИКТ Российского химико-технологического университета имени Д.И. Менделеева. Москва, Российская Федерация, AuthorID: 8352, e-mail: kolts@muctr.ru
Куркина Елена Сергеевна, доктор физико-математических наук, доцент; профессор кафедры ИКТ Российского химико-технологического университета имени Д.И. Менделеева; ведущий научный сотрудник факультета ВМК Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова. Москва, Российская Федерация, AuthorID: 11103, email: e.kurkina@rambler.ru
Васецкий Алексей Михайлович, старший преподаватель кафедры ИКТ Российского химико-технологического университета имени Д.И. Менделеева. Москва, Российская Федерация, AuthorID: 608872, e-mail: amvas@muctr.ru
INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
Eleonora M. Koltsova, Dr. Sci. (Eng.), Prof.; Head of Department ICT, Mendeleev University of Chemical Technology of Russia. Moscow, Russian Federation, AuthorID: 8352, e-mail: kolts@muctr.ru
Elena S. Kurkina, Dr. Sci. (Phys.-Math.), Assoc. Prof.; professor of Department ICT, Mendeleev University of Chemical Technology of Russia; leading researcher of Department BMK, Lomonosow Moscow State University. Moscow, Russian Federation, AuthorID: 11103, e-mail: e.kurkina@rambler.ru
Aleksey M. Vasetsky, senior lecturer of Department ICT, Mendeleev University of Chemical Technology of Russia. Moscow, Russian Federation, AuthorID: 608872, e-mail: amvas@muctr.ru
