Научная статья на тему 'Математическое моделирование работы шагового двигателя в системе сканирования рентгенодифракционного прибора'

Математическое моделирование работы шагового двигателя в системе сканирования рентгенодифракционного прибора Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

CC BY
87
24
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Математическое моделирование работы шагового двигателя в системе сканирования рентгенодифракционного прибора»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАБОТЫ ШАГОВОГО ДВИГАТЕЛЯ В СИСТЕМЕ СКАНИРОВАНИЯ РЕНТГЕНОДИФРАКЦИОННОГО ПРИБОРА

Шмакова Ю.В. (arnita@yandex.ru)

Московский институт стали и сплавов (Технологический университет)

В области рентгеноструктурного анализа применяется регулируемый шаговый электропривод с мощностью до 50 Вт, к которому предъявляются следующие требования:

- обеспечение высокоточного позиционирования исполнительных механизмов дифрактометра и воспроизведения перемещений управляемых осей;

- возможность работы в широком диапазоне скоростей сканирования;

- обеспечение плавного вращения и высокого качества демпфирования работы шагового двигателя (ШД) во всем частотном диапазоне;

- переход к системам бездатчикового управления, использующим специальные цифровые наблюдатели.

При построении систем управления механизмами рентгеноструктурных приборов необходимо учитывать необходимость обеспечения работы ШД на частотах от единиц герца до нескольких килогерц, что является достаточно серьезной проблемой при использовании стандартной широтно-импульсной модуляции (ШИМ) постоянной амплитуды и скважности, формирующей прямоугольные токовые импульсы на обмотках ШД. Последнее замечание требует тщательного анализа, и автором предлагается решение, основанное на использовании синусоидальной ШИМ, что и будет обосновано в данной статье.

Задача повышения статических и динамических качеств систем широтноимпульсный преобразователь - шаговый двигатель (ШИП - ШД) предопределяет необходимость применения методов исследования динамики системы с учетом ее импульсного характера и нелинейности. Основной, существенной нелинейностью преобразователя является нелинейность ШИМ как звена автоматического регулирования, состоящая в том, что выходная характеристика ШИМ получается в изображениях по Лапласу в виде трансцендентной функции, а передаточная функция его не имеет аналитического выражения. Амплитудная характеристика ШИМ имеет вид релейной характеристики, а модуляционная характеристика представляет собой четную функцию входной величины в общем случае с зоной нечувствительности и насыщением. Импульсному усилителю мощности присущи следующие особенности, обусловленные как алгоритмом коммутации, так и типом элементов силовых ключей: неодинаковый характер электромагнитных процессов в силовых цепях усилителя в различных интервалах периода квантования, зависящий от режима работы электропривода, от направления процесса энергообмена между двигателем, силовым источником питания и устройством отбора энергии; возможность режима прерывистого тока. Таким

Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ » 1 093 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2000/080.pdf

образом, рассматриваемая система является существенно нелинейной частью системы электропривода, поэтому методы математического описания такой системы должны отражать перечисленные особенности ШИП—ШД.

Рисунок 1 - Схема ШИП-ШД: ШИМ - широтно-импульсный модулятор; ЛУУ -логическое управляющее устройство; ГНПС - генератор напряжения переменной скважности; СКп - силовой коммутатор; СИП - силовой источник питания; ИУМ - импульсный усилитель мощности.

На рисунке 1 представлена схема системы ШИП - ШД для биполярного ШД с транзисторным импульсным усилителем мощности (ИУМ). Широтноимпульсный преобразователь содержит следующие основные функциональные элементы: логическое управляющее устройство ЛУУ, импульсный усилитель мощности ИУМ, силовой источник питания СИП, широтно-импульсный модулятор ШИМ. Питание ШИП осуществляется от силового трансформатора Т и выпрямителя VD. СИП можно представить эквивалентным генератором с рабочей ЭДС Ep, активным сопротивлением Rp и индуктивностью Lp, значения которых соответствуют параметрам силового трансформатора, приведенным к цепи выпрямленного тока, и фильтром выпрямителя Сф с учетом односторонней проводимости выпрямителя 1/Rv.

Для математического описания этого комплекса рассмотрим квазиустановившиеся электромагнитные и электромеханические процессы при разных режимах работы ШИП. При расчете приняты следующие допущения: транзисторы и диоды представляются идеальными, коммутацию транзисторов

Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ » 1 094 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2000/080.pdf

считаем мгновенной. На обмотки управляемого ШД поступают модулированные импульсы напряжения, которые могут быть описаны с помощью обобщенных блочно-импульсных функций [1]:

round (fW/ Д Г / \ / / \ \

U Г !1 t _ m _ 1 t -(П + Ym )'

u (t)= U

Р \ / р

m=0

r m ^ t -1

v f]W d V

fw

W

(1)

где Up - амплитуда сигнала, fw - модулирующая частота, ym - относительная продолжительность импульсов напряжения в периоде m, f - рабочая шаговая частота вращения ротора ШД.

Анализируемая система ШИП - ШД является нелинейным динамическим звеном с переменной структурой. Переключение структур происходит при изменении условий существования. При переключении структур конечные значения переменных при одной структуре служат начальными значениями для следующей структуры. Для того чтобы исключить нахождение граничных условий в явном виде вводятся переключающие функции, и математическое описание процессов в роторе и статоре ШД и источнике питания представляется следующей системой нелинейных дифференциальных уравнений:

L

L

di

д 1

di

ф dt di

+ R ' id_ 1 + M ' _ Up ' (1 _ 1 - F21 _ 1 )-

Up ' (F11 _ 2 F21 _ 2 )

д _ 2

dt

di

ф — + Яф ' id 2 + M '-^

ф dt ф д_2 dt

кТ

T

к

' sin

in(p6)'

d6> dt

sin(p(6 -Я))

d6

dt

J'+ D + ' (sin(p6)' id _ 1 + sin(p(6 - Л))' id _2 )= 0

d6 к

dt

dt 2

di p

L + ( + R ' F30)' i = e p dt v p v ’ p

du p

CA p

p up

dt

'i-p (d _ 1 + id _2 )' F40, Up (0 ) Up 0

(2)

где Lф - индуктивность обмотки ШД; Rф - сопротивление обмотки ШД; M -взаимоиндукция; кТ - постоянная момента; p - число пар полюсов; X - шаг зубцов; J - момент инерции; D - коэффициент вязкого трения; ip - ток силового выпрямителя; id1, i d-2 - мгновенный ток первой и второй фазы соответственно; 0 -угол поворота ротора ШД.

Переключающие функции в уравнении (2) символически представлены следующими формулами:

F11 = (G11 ® G12 ® G22 )® G42 F21 = (G21 ® G22 ® G12 )© G41 G30 =

F30 = M5

F40 = G30 1 ^ G30 2

где Gn, Gi2, G2i, G22, G30, G4i, G42 - вспомогательные переключающие функции:

Gu = М1 ® М4

G12 = М2 ® М4 G„ = М2 ® М3

G22 = М, ® М3

G40 = G11 © G12 © G21 © G22 G41 = G40 ^ М 3 G42 = G40 ^ М 4

М\ - М4 - вспомогательные условные функции:

[1 при иу > 0

0 при иу < 0

[ 1 при - иу > 0

М1 =

М = ■

0 при - и у < 0

М3 =

М4 =

1 при id > 0

0 при id < 0

1 при id < 0 0 при id > 0

(5)

М5 =

1 при ip < 0 0 при ip > 0

где функции М1 и М3 относятся к положительному полупериоду управляющего сигнала иу, функции М2 и М4 - к отрицательному полупериоду -иу, G30_1 и G30_2 соответствуют функции G30 для первой и второй обмоток ШД соответственно.

Далее, введем понятие относительного времени для измерения длительности процессов в долях периода собственных круговых колебаний системы ю0 [2]:

т = w0t (6)

При этом будут использованы новые условные обозначения:

f * = f / w0 - относительная частота следования тактовых импульсов на обмотки ШД;

X = Tm0 - постоянная времени в долях периода собственных колебаний;

S = а0Фm / U6 - безразмерный коэффициент внутреннего демпфирования; i* = i /1б - безразмерный ток; и *p = ир / Uб - безразмерное напряжение; e * р = ep / Uб - безразмерная ЭДС эквивалентного генератора;

R *v = Rv / Rp - обратное сопротивление диода, приведенное к

сопротивлению источника питания;

Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ » 1 096 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2000/080.pdf

U6 =л[2и - модуль геометрической суммы одновременно приложенных фазных напряжений, приведенный к двум эквивалентным обмоткам преобразованного ШД;

Iб = U6 / Яф - ток в цепи фазы, включенной на источник постоянного напряжения, равного базисному.

Проведем линеаризацию уравнений (2), предположив, что имеем наиболее распространенный биполярный ШД с углом шага А=1,8° и p=50, ось которого вращается с постоянной шаговой частотой f Отклонение от положения равновесия обозначим через А0. Оно является функцией времени и в последующем анализе мало, т.е.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

в = If * т + Ав:

dd

kf * +

dAe d2в d2Ав

(7)

dT dT dT2 dT2

C учетом принятых допущений получим математическое описание поведения ШД с учетом формы токовой волны, действующей на его вход. С этого момента будут рассматриваться два варианта ШИМ-управления ШД:

1 При помощи ШИМ с постоянной скважностью, при которой ток имеет прямоугольную форму (по обмоткам обеих фаз проходит модулированный ток I0):

Ав (s2 + Ss + K ) =

2 l s +!)

u *p 2_2 - F„_2)- k • f * D,_ - Ав(D2s + P2)--1 *0 sign(cos((k • f * т))

K

(LS + 1)

u * p (2, _, - F„ ,)- k • f * D-Ав 2 s + P)--1 *0 sign (sin (pk • f * т))

k • Sf * +

0

* 'sin (pk • f * т )• sign (sin (pk • f * т)+ ^ + cos(pk • f * т )• sign(cos(pk • f * т))

Г

V

JJ

+

u*

-u

*

p

(( + 1 + R *v 'F30 )

2)-k • f * D-Ав ( s+P2)

\

\

-1 *0 sign (cos (pk • f * т))________j _

X ls +1

'u*p ((■_. -F_.)-k• f *D -Aв(D1s + P)-'

+ |-1 *0 sign (sin (pk • f * т))_______i

X L s + 1

•F

>

,(8)

v+1 *0 (sign(cos(?k • f * т))+ sign (sin(pk • f * т))) J

где коэффициенты K, K1, K2, P 1, D 1, P2, D2 являются функциями времени и определяются как:

K =

pI *0 cos(h ■ f * т)

42

http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2000/080.pdf

' sign(sin((h ■ f * т ))+л + sign(os(h ■ f * т)

K = K 2 =

- sin((h ■ f * т)

42

- cos(ph ■ f * т)

42

P = ph ■ Sf *cos(h ■ f * т) (9)

D1 = S sin(ph ■ f * т)

P2 = ph ■ Sf * cos(h ■ f * т)

D2 = S cos(h ■ f * т)

2 При помощи ШИМ с переменной скважностью, при которой ток имеет синусоидальную форму с максимальным значением I0 (предлагаемый автором вариант). В этом случае поведение системы ШИП - ШД описывается уравнениями следующего вида:

А9(у2 + Ss + K)=-- h ■ Sf * +

+

+

K

(L S + 1)

K 2

(L S + 1)

U * p ((1 _ 1 - F21 _ 1 )-Ав (D1S + P )- 1 *0 sin(h ^ f * т )-

- h ■ f * [Ssin((h ■ f * т)- XlI *0 pcos(h ■ f * т)]

U * p (F11 2 - F21 2 )- Ав (D2s + P2 )- 1 *0 cos(h ■ f * т Ь

- h ■ f * [S cos(h ■ f * т)+ XlI *0 p sin (ph ■ f * т)]

+

e * -u *

pp

Хф ( ( S U p0) x s +1 + R * F30

A p v 30

Uu *p (_ 1 - F21 _ 1)-A#(D1s + P)-1 *0 sin(h ■f * тM

- h ■ f * [Ssin((h ■ f * т)- xLI *0 pcos(h ■ f * т)]

X ls +1

2 +

+ -V

U * p (1 2 - F21 _ 2 )-A^ (D2S + P2 )-I *0 cos(?h ^ f * т У - h ■ f * [S cos(h ■ f * т) + XlI *0 p sin(ph ■ f * т)]

X Ls + 1

+

+ 2I *0 pcos(h ■ f * т) +1 *0 (sin(ph ■ f * т)+ cos(ph ■ f * т))

■ F

где коэффициенты K, Ki, K2, Pi, Db P2, D2 определены следующим образом:

Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ » 1 098 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2000/080.pdf

K = 2pI *0 cos(pk ■ f * т)cos(pX(f * т - 0,5))

- sin(pk ■ f * т)

42

cos(pk ■ f * т)

K

K 2 =

P = p cos(pk ■ f * т\p ■ Sf * +I *0) + к ■ XlI *0 f * p2 sinf ■ f * т) (11)

D1 = S sinfk ■ f * т) + xLI *0 p2cos(pk ■ f * т)

P2 = pcosfpk ■ f * т)к ■ Sf * +I *0)+ к ■ XlI *0 f * p2 sin(pk ■ f * т)

D2 = S cosfpk ■ f * т) + XlI *0 p2cos(pk ■ f * т)

Рисунок 2 - Расчетная схема модели ШИП-ШД.

Полученные математические описания системы ШИП - ШД позволяют исследовать динамику электропривода методом математического моделирования на ЭВМ при различных формах токовой волны при помощи инструментального средства визуального моделирования SIMULINK пакета MATLAB [3]. При этом переключающие функции реализуются управляемыми ключами. Ключи

Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ » 1 099 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2000/080.pdf

замкнуты, когда соответствующие переключающие функции равны единице, и разомкнуты, когда они равны нулю. Ключи управляются логическим управляющим устройством (ЛУУ), структурная схема которого составляется по логическим формулам переключающих функций математического описания ШИП-ШД и содержит два логических блока фазы 1 и фазы 2. По математическому описанию комплекса ШИП-ШД (8) - (11) составлена схема его модели, показанная на рисунке 2. Вспомогательные условные функции М1 и М2 реализуют ШИМ, состоящий из четырех модуляторов и схем совпадения выходов модуляторов и управляющих тактовых импульсов, следующих с частотой У=1/Тгрансп и включающих соответствующий модулятор. Выходы блока ШИМ соединены с ЛУУ, которое также соединено с блоками нелинейностей М3_1, М3_2, М4_1, М4_2, реализующими вспомогательные условные функции М3, М4. Устройство ЛУУ, состоящее из логических блоков 1 и 2, вырабатывает управляюшие команды в соответствии с переключающими функциями (3), которые коммутируют в определенном порядке управляемые ключи УК11 -1 , УК21-1, УК12-1, УК22-1, УК11-2, УК21-2, УК12-2, УК22-2, позволяющие набирать соответствующие данному моменту структуры силовой цепи ШИП.

Рисунок 3 - Структурная схема модели ШД.

С учетом (8)-(11) структурная схема модели ШД примет вид, представленный на рисунке 3, где введены следующие дополнительные обозначения: ПД1, ПД2 - пропорционально-дифференциальные регуляторы с передаточными функциями G1 (у т ) = р (т)+ D1 (т )s и G2 (s, т ) = P2 (т)+ D2 (т )s. Блок "ДАННЫЕ" отвечает за расчет переменных параметров математической модели в

Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ » 1 1 00 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2000/080.pdf

соответствии с (9), (11).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Разработанная структурная схема математической модели ТТТИП-ПТД была использована для исследования переходных процессов в системе шагового электропривода с учетом алгоритма коммутации ключей, формы управляющего сигнала и дискретности управления преобразователем при вариации его параметров. Для исследования взяты наиболее характерные условия работы ТД в рентгеноструктурных приборах: в области низких частот f<o0 (/*=0.2), высоких частот f > 4а>0 (/*=10) и около резонансной частоты (/*=1). При этом выбран типовой маломощный биполярный ШД типа SM-200-0,022, т.е. p=50; /*0=1; Х=1,80; 8=0,5; Xl=0,031.

Характерные картины протекания переходных процессов в системе приведены на рисунке 4. Как видно из рисунка, подача тока прямоугольной формы (сплошная линия) приводит к низкочастотным колебаниям на малых скоростях и направлена на использование ШИМ для поддержания тока фазы около определенного уровня. При синусоидальной форме тока (штриховая линия) эти колебания практически сглаживаются во всем диапазоне рабочих скоростей, что позволяет сделать вывод о лучшем качестве регулирования в системе ШИП -ШД.

Графики изменения коэффициентов (6), (8) во времени (рисунок 5) указывают на более глубокую и практически независимую от шаговой частоты обратную связь по скорости и положению в системе автоматического регулирования работы ШД при синусоидальной форме токовой волны, что придает системе в целом большую устойчивость по сравнению с управлением при помощи прямоугольного тока.

Рисунок 4 - Графики смещения оси ШД во времени в зависимости от формы тока и

шаговой частоты (на восемь шагов).

0 5 10 15 20

Рисунок 5

K(t) K(t) K(t)

P1(t),P2(t) P1 (t),P2(t) P1 (t),P2(t)

D1(t),D2(t) D1 (t),D2(t) D1 (t),D2(t)

а) б) в)

- Зависимости коэффициентов системы автоматического регулирования ШД от

времени т при скорости вращения ротора /*=0,2 (а), /*=1 (б), /*=5 (в) для прямоугольной (верхний ряд) и синусоидальной (нижний ряд) форм токовой

волны.

Итак, при анализе поведения математической модели привода с ШД (рисунок 4) выявлено следующее: при высокой частоте команд или при синусоидальном токе вынужденные колебания ротора исчезают. Это позволяет выработать ряд рекомендаций по управлению приводными механизмами рентгенодифракционных аппаратов с учетом их специфики:

1 при сканировании диапазона на низкой постоянной скорости (/<4ю0) необходимо использовать управление приводными ШД с использованием синусоидальной ШИМ;

2 при транспортных переходах с одной позиции на другую на высокой скорости с обеспечением плавного ускорения и торможения вполне допустимо подавать на обмотки прямоугольные импульсы тока с учетом, что их длительность будет регулироваться при помощи коэффициента заполнения. Этот вариант дает приемлемое качество перемещения оси ШД со значительным упрощением управляющего алгоритма.

Использование результатов теоретических исследований при построении системы сканирования рентгеноструктурного прибора позволило снизить влияние всех типов резонансов на качество работы приводных ШД и значительно расширить частотный диапазон в сторону понижения (с 300 Гц до 0,5 Гц), а также существенно уменьшить средний рабочий ток на низких частотах (в 3^3.5 раза по сравнению с режимом ШИМ-регулирования с постоянной скважностью) (рисунок 6).

1.4

1.г

1.D

и

Й ал е

□.13

й.4

п,г

й,[>

—^pir.ioofliinM] дшн-гии-т (ним: —^дшн-гои (рек.)

■ * л

■ 1 p ■

* s i. ■

1 i i 4 ■

jj L \ ■i A ■

p

■ i ■ ■ 1 'Ц ■ ■■ i i < ■ —ч 1 ■ + —ч— 1 1 —1—Г—1—

0 200 400 «М ОМ (МО ЮОО 14» ЮМ |И» 2000

'IKTOTR. I'll

Рисунок 6 - Экспериментальные кривые зависимости I(f).

Литература:

1 Deb A., Sarcar G., Sen S.K. Linearly pulse-width modulated block pulse functions and their application to linear SISO feedback control system identification.// IEE Proc. - Control Theory Appl. - 1995. - 142, №1. - P.44-50.

2 Дискретный электропривод с шаговыми двигателями: под общ.ред. М.Г.Чиликина. - М.: "Энергия", 1971. - 624 с.

3 Гультяев А.К. MATLAB 5.2. Имитационное моделирование в среде Windows: Практическое пособие. - СПб.: КОРОНА принт, 1999. - 288с.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.