Математическое моделирование прямолинейного движения автомобиля Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 629.113 В. П. Тарасик

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО

ДВИЖЕНИЯ АВТОМОБИЛЯ

UDC 629.113 V. P. Tarasik

MATHEMATICAL MODELING OF VEHICLE'S LINEAR MOTION

Аннотация

Разработаны математические модели, предназначенные для оценки тягово-скоростных свойств и проходимости автомобиля в различных дорожных условиях. Показано, что тяговая сила ведущего колеса приложена к его оси и компенсирует силу сопротивления корпуса автомобиля. Для автомобиля как целостной системы вращающий момент ведущего колеса является тяговым моментом автомобиля, сообщающим ему энергию движения.

Ключевые слова:

тягово-скоростные свойства автомобиля, проходимость, тяговый момент автомобиля, сила тяги ведущего колеса, динамический фактор автомобиля.

Abstract

hicle under various road conditions. It is shown that the tractive force of the drive wheel is applied to its axis and compensates for resistance force of the vehicle body. For a vehicle considered as an integral system, the drive wheel torque is the vehicle's tractive torque, which gives it the energy of motion.

Key words:

traction-speed properties of vehicles, cross-country capability, vehicle tractive effort (torque), tractive force of the drive wheel, vehicle dynamic factor.

Согласно действующим нормативным документам оценка тягово-скоростных и тормозных свойств автомобиля, топливной экономичности, проходимости осуществляется в процессе моделирования его прямолинейного движения. Предполагается, что центр масс автомобиля перемещается по прямой линии, расположенной в неподвижной вертикальной плоскости. Все силы и моменты воздействий внешней среды на автомобиль находятся в этой плоскости.

Движение автомобиля как единой системы, в которую входят все его механизмы, включая двигатель, трансмиссию, колёса и др., происходит под воз© Тарасик В. П., 2017

действием сил и моментов внешней среды. Силы взаимодействия механизмов автомобиля как элементов системы являются её внутренними взаимно уравновешивающимися силами и поэтому непосредственно на движение автомобиля влияния не оказывают. Их влияние опосредованно и проявляется лишь при взаимодействии автомобиля с опорной поверхностью дороги и воздушной средой.

При составлении модели системы внешних сил и моментов примем следующие допущения: левые и правые колёса одноимённых мостов имеют одинаковые нагрузки и размеры; опорная поверхность дороги представляется

в виде прямой линии, наклонённой под углом а к горизонту; упругие свойства подвески не учитываются и колебания кузова не происходят.

Выберем две системы координат: неподвижную Х02 и подвижную хС2, связанную с автомобилем. Начало подвижной системы координат находится в центре масс автомобиля С. Предположим, что автомобиль двухосный и зад-неприводный.

Система внешних сил и моментов, действующих на автомобиль при принятых условиях, показана на рис. 1.

В неё входят: Оа - сила тяжести автомобиля; - аэродинамическая сила, включающая две составляющие: лобовую силу сопротивления воздуха

и подъёмную силу ; М^ - аэродинамический момент, действующий относительно оси у; Рпр - сила сопротивления прицепа (может иметь угол наклона); Яхн, Яхв - продольные реак-

ции опорной поверхности дороги на колёса автомобиля; Я1н, Я1в - нормальные реакции дороги.

Нормальная реакция вслед-

ствие гистерезисных потерь и окружных деформаций шины при качении колеса смещена вперёд по ходу автомобиля на некоторую величину аш (рис. 2, а) и в совокупности с нормальной нагрузкой на шину составляет пару сил, момент которой создаёт сопротивление качению [1, 2]. Осуществим параллельный

перенос силы Я^ так, чтобы она проходила через центр колеса О (рис. 2, б). В соответствии с теоремой о параллельном переносе силы [3, с. 58] получим эквивалентную систему воздействий на колесо, включающую силу

и присоединённый момент М^, представляющий собой момент сопротивления качению. Это преобразование учтено на рис. 1.

Рис. 1. Воздействия внешней среды на автомобиль при прямолинейном движении

Рис. 2. Схема параллельного переноса нормальной реакции опорной поверхности на колесо

На параметры движения автомобиля (скорость и ускорение) также влияют сила инерции поступательно движущейся массы автомобиля и инерционные моменты колёс М^н, Мдкв, двигателя Мд и трансмиссии Мдр (на рис. 1 инерционные

моменты не показаны). Их влияние можно заменить приведенной силой

инерции , приложенной в центре

масс автомобиля. Воздействие этой силы должно быть эквивалентно силам инерции и инерционным моментам всех

механизмов автомобиля при неустановившемся движении.

Силу Рда будет создавать некоторая поступательно движущаяся масса та.пр, кинетическая энергия которой

равна сумме кинетических энергий всех масс автомобиля в их действительных движениях (поступательных и вращательных).

Составим выражение суммарной кинетической энергии движения всех масс автомобиля:

т,

2 2 2 V.2 V2 -

а.пр

"2 = та "2 + ^д^Т +1 Jтр.k

2

^тр.к

+ J

СО

к.н

к.н

+ J1

СО

к.в

к.в

к=1

2

2

2

где та.пр - приведенная масса автомобиля, кинетическая энергия которой эквивалентна суммарной кинетической энергии всех подвижных масс автомобиля; та, vа - действительная масса и

скорость автомобиля; Jд - момент

инерции двигателя, учитывающий все его подвижные элементы; Jк.н, Jк.в -моменты инерции ведомых и ведущих колёс; Jтр.k - момент инерции к-й вра-

щающейся массы трансмиссии; п - количество учитываемых масс трансмиссии; шд, штр.к, юк.н, шкв - угловые скорости соответствующих масс.

Учитывая известные соотношения между угловыми скоростями вращающихся масс и скоростью автомобиля, получаем следующее выражение для вычисления приведенной массы автомобиля [1]:

та.пр = та

1 +

>/дитр + /тр ^ /к.в

гк та

+

/

к.н

гк20та

(1)

где гко, гк - радиусы качения ведомого и ведущего колёс; итр - передаточное число трансмиссии; /тр - приведенный

суммарный момент инерции масс трансмиссии.

Приведенную силу инерции автомобиля Руа можно найти по формуле

ра = та пр &

а =-5п.мт^^а, (2)

&

где 5пм - коэффициент приведенной

массы (соответствует выражению в скобках формулы (1)).

Воздействия внешней среды на автомобиль - силы и вращающие моменты - представляют собой векторные величины. Свойства векторов сил и моментов существенно различаются. Вектор силы характеризуется тремя факторами: модулем (численным значением), направлением и точкой приложения [3, с. 10]. Вращающий момент образуется парой сил, находящихся в плоскости действия момента, вектор момента направлен перпендикулярно этой плоскости, положительное направление момента - против часовой стрелки. Точки приложения вектор момента не имеет, поэтому его можно перемещать относительно плоскости действия [3, с. 33].

Воздействия внешней среды на автомобиль можно разделить на две категории: потребители и источники энергии. Принадлежность каждого воздействия к соответствующей категории можно определить по знаку выполняемой им работы или мощности.

Элементарная работа 8Жр силы Р на возможном перемещении точки её приложения 5Х равна скалярному произведению векторов Р и 5Х:

дЖР = Р 5Х = Р 5х соб(Р, 5Х), (3)

а работа момента М на возмож-

ном угловом перемещении твёрдого тела 5ф

ШМ = М 5ф = М 5ф соб(М, 5ф). (4)

Мощности Рр и Рм силы Р и момента М

Рр = РУ = Ру соб(Р, V) ;

Рм = М ш = М особМ, ш), (5)

где V - скорость точки приложения силы Р; ш - угловая скорость вращения твёрдого тела под действием момента М .

Если 8Жр, ЬЖм , Рр, Рм положительны, это означает, что данные воздействия являются источниками энергии, в противном случае они будут потребителями энергии.

Анализируя внешние воздействия на автомобиль, отображённые на рис. 1, можно отметить, что все они являются потребителями энергии. Единственная сила - продольная реакция опорной поверхности на ведущие колёса Яхв -

имеет направление, совпадающее с направлением вектора скорости автомобиля Уа . Если колесо не проскальзывает

относительно дороги, то эта сила приложена в неподвижной точке контакта колеса с дорогой, следовательно, её мощность равна нулю, и она не выполняет работы. Если же колесо пробуксовывает, то вектор скорости скольжения у. направлен противоположно вектору Яхв, а выполняемая работа и мощность его будут отрицательны. Таким образом, продольная реакция

дороги на ведущие колёса Яхв не является источником энергии и движущей силой. Следовательно, должен быть какой-то другой источник энергии, обеспечивающий преодоление сопротивлений движению.

Источник энергии автомобиля -его двигатель. Однако двигатель является одним из внутренних механизмов системы, а факторы взаимодействия внутренних механизмов системы взаимно уравновешиваются и компенсируются. Поэтому возникает необходимость выяснения, каким образом используется энергия двигателя для сообщения кинетической энергии движения автомобиля.

Расчленим механическую систему автомобиля на два компонента: компонент, совершающий поступательное движение, и компонент, совершающий вращательное движение, выделив при этом из общей системы автомобиля ведущее колесо. К первому компоненту отнесём корпус автомобиля и все механизмы, находящиеся в корпусе, а также ведомые колёса. При этом примем во внимание, что колесо совершает сложное движение, в данном случае - плоское.

Плоское движение колеса можно

представить состоящим из поступательного движения совместно с корпусом автомобиля и вращательного движения относительно корпуса. Массу колеса, совершающую поступательное движение, присоединим к массе корпуса. Тогда второй выделенный компонент будет отображать лишь вращательное движение ведущего колеса.

Используя принцип асвабаждае-масти ат связей [4, с. 491], представим взаимодействие выделенных компонентов соответствующими реакциями связей. Учитывая, что шина ведущего колеса обладает упругими свойствами, применим к ней принцип атвердевания [3, с. 14], т. е. не будем принимать во внимание ее деформацию.

Реакции связей выделенных компонентов представляют собой совокупность главнага вектара и главнага ма-мента. Необходимо также учесть воздействия внешней среды на ведущее колесо, которые также выражаются главным вектором и главным моментом.

На рис. 3, а представлены реакции воздействий корпуса автомобиля и опорной поверхности дороги на ведущее колесо.

Рис. 3. Схема воздействий корпуса автомобиля и опорной поверхности дороги на ведущее колесо

Со стороны корпуса на ведущее колесо воздействуют главный вектор Ркв

и главный момент Мкв. Каждый из них в общем случае может состоять из трёх

компонентов, направленных вдоль координатных осей х, у, 2 :

Рк.в = Рхв + Рув + Р2в ; Мк.в = Мхв + Мув + М2в .

Так как колесо движется в плоскости х02, то Рув = 0; Мхв = 0; М2в = 0 . Векторы

Рк в , Рхв, Ргв изображены на рис. 3, а.

Главный момент Мк в в данном случае имеет лишь один компонент М ув -

это вращающий момент М к.в , подводимый к ведущему колесу и представляющий собой параметр потока энергии, передаваемой от двигателя через трансмиссию.

При неустановив шемся движении вращающий момент Мкв вычисляется с учётом инерционных мом ентов двигателя Муд и трансмиссии Мдр по формуле [1]

/2 /

Мк.в = МдитрЛтр--—-— • , (6)

/"к

где Мд - вращающий момент двигателя; ^тр - КПД трансмиссии.

Для вычисления значения момента Мд в общем случае можно использовать выражение [1]

Мд =

МР (1 - кв.о) X Йп (пд /ПР)П при Пд - ПР ;

ж

п=0

(7)

Мр (1 - кво ) - кр (пд - пр ) при пд > пр,

где Мр, пр - вращающий момент и частота вращения вала двигателя при максимальной мощности; пд - текущее

значение частоты вращения; кво - коэффициент отбора мощности двигателя; ¿п - коэффициент уравнения регрессии,

используемой для описания внешней скоростной характеристики двигателя; ж - степень полинома аппроксимации характеристики; кР - коэффициент наклона регуляторной ветви характеристики двигателя.

Главный вектор реакции опор-н ой п оверхности на колесо

Я = Ях + Яу + Я, а главный момент

Мо .п = Мо .п х + Мо .пу + Мо.п2 . В Рассматриваемом случае Яу = 0; Мо п х = 0; Мо п 2 = 0. В результате вектор Я состоит из продольной Яхв и нормальной Я2в реакций, а главн ый момент - из Моп у = Мув, где Мув - момент сопротивления качению, действующий в

плоскости вращения колеса х02 .

Колесо вращается с угловой скоростью шк.в и угловым ускорением вк.в. Так как вращение неравномерное, то возникает инерционный момент М'к.в = -/к.в8к.в , где /к.в

- момент

инерции колеса.

Рассмотрим подробнее реакции корпуса автом обиля на ведущее колесо. Реакция Р2в представляет собой нормальную нагрузку на колесо, а реакция Рхв - сопротивление движению корпуса автомобиля. Вращающий момент Мк.в можно выразить парой сил Ркв, Рк*в с плечом гд . Тогда модуль момента Мк.в определим из выражения

Мк.в = Рк.в"д = Рк*в"д , где "д - динамический радиус колеса. Силу Рк.в, составляющую эту пару, приложим в центре колеса О, как показано на рис. 3, б.

Тогда сила Р^.в будет приложена в точ-

ке С. При этом Рк в = -Рк в . Сумма проекций сил на ось х равна нулю. Следовательно, замена момента Мкв парой

сил Ркв., Рк*в не изменила воздействия

корпуса автомобиля на колесо.

Определим мощность вращающего момента М

В результате получаем следующие равенства:

к.в •

Рк.в = Мк.в®к.Б = Мк.в®к.Б СОЗ^^ Шкв).

Так как соз(Мкв, шкв) = 1, поскольку векторы Мк.в и шк.в совпадают по направлению, то мощность Ркв положительна. Следовательно, момент Мк.в обеспечивает подвод энергии к ведущему колесу, т. е. является источником энергии вращательного движения ведущего колеса. В связи с этим в [1] Мкв называется тяговым

моментом автамабиля.

Аналогично поступим с моментами М/в и М'кр Заменим момент М/в

парой сил Р/в, Р/в с плечом гд.

Силу рв приложим в точке О,

а силу Р* - в точке С. Инерционный

момент Мдк в представим парой сил

Рдв, Р* с плечом Гд. Силу Р]в приложим в точке О, а силу Р*в - в точке С

(см. рис. 3, б).

Запишем уравнения равновесия векторов, приложенных к ведущему колесу в точках О и С (см. рис. 3, б):

Рхв + Рк.в + Р/в + Рдв = 0;

р + р * + р * + р * = о

^хв ^1 к.в ^ 1 /в ^1 дв и •

Введём обозначения:

Рт = Рк.в + Р/в + Ру'в ;

* * * * Рт = Рк.в + Р/в + РjБ .

(8) (9)

Рт Рхв ;

Рт*=-Рхв . (10)

На рис. 3, в приведена схема совокупности реакций корпуса автомобиля

Рхв, Ргв, реакций опорной поверхности дороги Яш, Ягв и уравновешивающих

эти реакции векторов воздействий, оказываемых ведущим колесом на корпус

автомобиля Рт и на опорную поверх-

Г *

ность дороги Рт соответственно.

Вектор Рт представляет собой усилие, толкающее корпус автомобиля и сообщающее ему энергию движения. Следовательно, Рт - это сила тяги ве-дущега тлеса. Совершенно очевидно, что сила тяги ведущега тлеса прилажена к ега аси и уравновешивает силу сопротивления корпуса Рхв. Мощность

этого источника воздействия на корпус автомобиля

рт = Рт ^.в = РЛ.в СОз(Рт, ^.в) .

Так как направление вектора Рт совпадает с направлением скорости оси колеса (следовательно, и скорости

автомобиля Va , поскольку центр колеса О

принадлежит одновременно корпусу автомобиля), то мощность силы тяги положительна. Это подтверждает тот факт, что сила Рт является источником энергии, покрывающим затраты на преодоление сопротивлений движению корпуса автомобиля.

Движение колеса можно также интерпретировать как элементарный поворот его под действием момента Мт = РтГд на угол 5ф относительно

неподвижной точки С. Работа момента при этом 5Ж = Мт5фсоз(Мт,5ф) положительна.

Модуль вектора Рт получим, проецируя на ось х все силы, приложенные

к центру колеса О, исключая силу сопротивления корпуса Рхв , и выражая их через соответствующие моменты, приложенные к ведущему колесу:

Р = Р

т к.в

-р/в - Р'в -

Мкв - Мв - М

'к.в

(11)

Из выражения (11) видно, что часть энергии, подводимой от двигателя к ведущему колесу, затрачивается на преодоление сопротивления качению и разгон колеса.

Вектор Рт* пары сил Рт, Рт* представляет собой продольную силу отталкивания ведущего колеса от опорной

поверхности дороги. Действие силы Рт* аналогично продольной составляющей силе отталкивания пешехода от опорной поверхности. Различие лишь в том, что

сила Рт* колеса имеет непрерывный характер, а сила отталкивания пешехода -дискретный. Дискретный принцип отталкивания используется в шагающем движителе.

Рассмотрим пределы применимости схемы силовых воздействий на систему корпус автомобиля - ведущее колесо - опорная поверхность дороги, представленной на рис. 3, в. Эта схема соответствует как установившемуся, так и неустановившемуся режиму движения автомобиля, поскольку учитывает вли яние инерционного момента колеса М'кв. Взаимодействие реакций Р2в

и Я2в не нуждается в пояснениях.

Проведём анализ особенностей

продольных сил Рхв , Рт , Я

1хв

Рт . Мо-

дули всех этих сил (т. е. численные зна-

чения) одинаковы: р^] = рт| = |Яхв| =

рт

Но продольная реакция дороги Я

хв

ограничена по величине, поскольку её физической природой является сцепле-

ние (трение). Максимальное значение силы сцепления ограничено:

Яхв - Ф хЯ.

х* ^в •

(12)

где фх - коэффициент сцепления.

Следовательно, ограничены значения и всех остальных взаимодействующих сил Рт, Рхв, Рт*, а при отсутствии контакта колеса с опорной поверхностью, когда Я2в = 0, все они также равны нулю. Условием реализации силы тяги ведущего колеса является наличие его контакта с опорной поверхностью. Можно также отметить, что при Я2в = 0 окажется Мув = 0, в результате

Мкв = -М'кв, т. е. энергия двигателя

будет затрачена на холостую раскрутку колеса до некоторой скорости, после достижения которой вк в = 0 и

Мк.в = М'к.в =

При скольжении колеса относительно опорной поверхности (буксование ведущего колеса, юз тормозящего колеса) параметр фх представляет собой коэффициент трения, величина которого снижается при возрастании относительной скорости.

Таким образом, при описании характеристики источника энергии плоского поступательного движения автомобиля можно использовать функцию вращающего момента ведущего колеса Мкв, которую в данном случае будем называть тяговым моментом автомобиля.

Адекватную математическую модель объекта исследования можно построить лишь на основе использования законов сохранения энергии. Эти законы в полной мере реализуются применением уравнений Лагранжа второго рода или общего уравнения динамики (принцип Лагранжа-Даламбера). При построении модели прямолинейного движения автомобиля наиболее удобно

Г

д

использовать принцип Лагранжа-Даламбера, согласно которому алгебраическая сумма работ всех внешних сил и моментов, приложенных к системе, реакций неидеальных связей и сил инерции на возможных (виртуальных) перемещениях системы равна нулю.

Построим вначале математическую модель прямолинейного движения автомобиля без учёта скольжения ведущих колёс. Принимая во внимание принятые допущения относительно модели

движения, введём следующие возможные перемещения компонентов системы: линейное перемещение центра масс автомобиля 5х; угловые перемещения ведомого 5фк.н и ведущего 5фк.в колёс

(см. рис. 1).

Используя выражения (3) и (4) и учитывая при этом взаимные направления сил и моментов и соответствующих им векторов возможных перемещений, получаем общее уравнение динамики

Мк.в5Фк.в -М/Н5Фк.н -М/В5Фк.в - Fh5x - Fwx5x - РпрЪх - Fja& = 0. (13)

Установим соотношения между виртуальными перемещениями 5фкн,

5фкв и 5х при условии отсутствия внешнего скольжения колёс:

5фкн = 5^гк0; (14) 5фк в =5^Гк. (15)

Вычислим работу вращающего момента Мкв на возможном перемещении 5фк.в (виртуальную работу). Инерционные составляющие вращающего момента Мкв учтены в выражении приведенной силы инерции Р'а

(см. формулы (1) и (2)), поэтому второе слагаемое формулы (6) опускаем. В результате получаем

МдитрЛтр

5ЖК.В = Мк.в5фк.в =

-5x. (16)

Виртуальная работа моментов сопротивления качению Мун и Мув, с учётом выражений (14) и (15),

bWf = -

Мн Мf

/н

V Гк0

+ •

8x =

r

к У

r f R r f R r Л

Jh zh д , Jb zb д

+ ■

к0

8x,

где fH, fB - коэффициенты сопротивления качению ведомых и ведущих колёс,

пРичём fB > fH [1].

В моделях прямолинейного движения автомобиля, предназначенных для решения поставленных в начале статьи задач, обычно принимают некоторое усреднённое значение коэффициента сопротивления качению /а и полагают гк = гко = Гд. При этих допущениях получаем

SWf = -/а Rz5x = -/а та g cos a5x, (17)

где Rz - суммарная нормальная реакция опорной поверхности на оба колеса, Rz = таg cos a; та - масса автомобиля; g - ускорение свободного падения.

Виртуальные работы сил сопротивления дорожного уклона Fh и воздуха Fwx

5Wh = -Fh5x = -таg sin a 5x; (18)

SWb = -FWx5x = -£wVa25x, (19)

где kw - коэффициент сопротивления воздуха; Ал - лобовая площадь автомобиля.

r

к

Виртуальная работа силы F

ja

5Wj = - FjaЪx = "§п.мта

dvz dt

5x. (20)

Подставим выражения виртуальных работ (16)-(20) в формулу (13). Используя дополнительно выражение производной Л, получаем систему дифференциальных уравнений для моделирования процесса прямолинейного движения автомобиля без проскальзывания ведущих колёс и без учёта сопротивления прицепа

dva Мд^трЛтр / Гк - таgW -

dt ds dt

^п.мта

■ = v„

(21)

где у - коэффициент суммарного дорожного сопротивления,

W = /а cos а + sin а.

Интегрирование уравнений (21) позволяет построить графики разгона автомобиля - изменения во времени скорости va = / (t) и перемещения

s = / (t) .

Преобразуем первое уравнение системы (21) к следующему виду:

МдитрЛтр/ Гк - Млv2

та g

= w +

Зп.м dva

dt

(22)

Левая часть выражения (22) называется динамическим фактарам авта-мабиля. Зависимость динамического фактора В от скорости В = /(^) - динамическая характеристика автамаби-ля. Для её построения производят согласованные с параметрами внешней скоростной характеристики двигателя вычисления ординат В и va. Скорость находят по формуле

^ =

ППд Гк

30u

(23)

тр

где пд - частота вращения вала двигателя, об/мин.

Необходимо учитывать зависимость коэффициента сопротивления качению /а от скорости автомобиля. Известно несколько эмпирических формул. Одна из них имеет следующий вид [1]:

fv = /а

1 + (0,0216^ )2

(24)

где /а - коэффициент сопротивления качению при малой скорости.

В формулах (21)-(24) скорость vа в метрах в секунду.

Радиус качения ведущего колеса гк при моделировании движения автомобиля определяют по формуле акад. Е. А. Чудакова

Гк = Гк0

к. в

"Ш.о

с°^к.в, ®к.в ^ (25)

где сшо - коэффициент окружной жёсткости шины, Н^м/м.

Использование графиков В = / (уа ), vа = /(^) и ^ = /(^) позволяет определить все основные показатели тягово-скоростных свойств автомобиля, предусмотренные стандартом [5]. В их числе: максимальная скорость утях; условная максимальная скорость Vу тах; время разгона на участке пути 400 м, ¿400, и на участке пути 1000 м, ¿1000; время разгона до заданной скорости, ^, и на передаче, обеспечивающей максимальную скорость, п; максимальные динамические факторы на высшей Вв тах и на низшей Вн тах передачах и соответствующие им критические скорости и ^р.н; динамический фактор

при максимальной скорости Ву; максимальный преодолеваемый уклон Итах.

Используя изложенную методику, можно построить математическую модель прямолинейного движения автомобиля при движении в сложных дорожных условиях при низких значениях коэффициента сцепления, когда веду-

dю

щие колёса проскальзывают относительно опорной поверхности. Такая модель получена в [1, с. 80-82]. Приведём её без вывода уравнений. В этом случае, в отличие от предыдущей модели, автомобиль имеет две степени свободы и его движение описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

с.в/dt = МдитрЛтр - MfB -Фх^вгд ]/Jк .в.пр ■

dvaldt = (фxrzb - таg sin а - MH / гд - КАлЛ )/(та + jk.h 1 rko);

dsfdt = va

(26)

где ^квпр - приведенный к ведущему

колесу суммарный момент инерции двигателя, трансмиссии и колеса,

2

^к.в.пр = ^дмтр + -Ар + ^к.в . (27)

Возникновение процесса буксования ведущего колеса обнаруживается по выполнению условия

Мк.в -Мв -Мук.в > Фх^гвГд, (28)

где Мдкв - инерционный момент ведущего колеса, Мдк в = /к в йшкв/dt.

Скорость внешнего скольжения

ведущего колеса vs

относительно

опорной поверхности вычисляется по формуле

=юк.вгк - va •

(29)

Если vSB > AvSB, колесо буксует.

Тогда используется система уравнений (26). При 1^1 < Ау^ можно считать, что буксование прекратилось, и применять систему уравнений (21). Значение Ау^ рекомендуется принимать

равным 0,010^.^0, где ш^ - угловая

скорость вращения ведущего колеса на низшей передаче трансмиссии при ча-

стоте вращения вала двигателя, соответствующей его максимальному моменту Me max.

Коэффициент сцепления фx в этой модели вычисляется по формуле

Фx = фхд + (Фхст -Фхд)exP(-kekB(30)

где Фхст, Фхд - статический (при vSB = 0 ) и динамический (при |vsB > AvSB ) коэффициенты сцепления; ke - коэффициент экспоненты, ke = 0,25... 0,30 .

Значение Rzb в процессе движения автомобиля непрерывно изменяется, поэтому его необходимо вычислять на каждом шаге интегрирования уравнений (26) [1].

Сочетание математических моделей (21) и (26) применяется при оценке эффективности эксплуатации автомобиля в сложных дорожных условиях, когда параметры характеристик участков маршрута (коэффициенты сопротивления качению и сцепления, уклоны дороги) существенно различаются или могут достигать предельных значений. Оценками эффективности в этих случаях являются средняя скорость на маршруте, производительность, расход топлива, возможность преодоления маршрута и др. [1].

Выводы

1. Разработаны математические модели прямолинейного движения автомобиля, предназначенные для оценки показателей тягово-скоростных свойств и проходимости. Предлагаемые модели позволяют исследовать характеристики движения по дорогам с твердым покрытием и в условиях низкого коэффициента сцепления с пробуксовкой ведущих колес.

2. Построение адекватных математических моделей движения автомобиля в различных дорожных условиях надежно обеспечивается использованием методов, основанных на законах сохранения энергии. К таким методам относятся уравнения Лагранжа второго рода и общее уравнение динамики -принцип Лагранжа-Даламбера.

3. При построении математических моделей движения автомобиля необходимо на основе принципа осво-бождаемости от связей выделить компоненты, совершающие простейшие виды движения - поступательное (корпус автомобиля и все механизмы, находящиеся в корпусе) и вращательное (ведущее колесо, относя при этом его поступательно движущуюся массу к массе корпуса автомобиля). Это обусловлено тем, что поступательное движение происходит под действием векторов сил, а вращательное - вращающих моментов.

4. При расчленении исходной системы автомобиля на компоненты необходимо иметь в виду, что их взаимодействия определяются совокупностью главного вектора и главного момента.

5. Проведенный анализ показывает, что тяговая сила ведущего колеса автомобиля приложена к его оси и обеспечивает компенсацию силы сопротивления корпуса автомобиля.

6. Продольная реакция опорной поверхности на ведущее колесо не является движущей силой автомобиля. При движении без внешнего проскальзывания она приложена в неподвижной точке и не выполняет работы, а при пробуксовке колеса её работа отрицательна.

7. Предельное значение тяговой силы ведущего колеса автомобиля обусловлено максимальной величиной продольной реакции опорной поверхности, определяемой коэффициентом сцепления и нормальной реакцией.

8. При определении виртуальных работ внешних сил, действующих на автомобиль, вращающий момент ведущего колеса необходимо рассматривать в качестве тягового момента автомобиля, сообщающего ему энергию движения. Сила тяги ведущего колеса при этом является внутренней силой, уравновешиваемой сопротивлением корпуса, и поэтому работы не выполняет.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тарасик, В. П. Теория движения автомобиля : учебник для вузов / В. П. Тарасик. - СПб. : БХВ-Петербург, 2006. - 478 с.

2. Тарасик, В. П. Теория автомобилей и двигателей : учеб. пособие / В. П. Тарасик, М. П. Бренч. -Минск : Новое знание ; М. : ИНФРА-М, 2013. - 448 с.

3 Тарг, С. М. Краткий курс теоретической механики : учебник для вузов / С. М. Тарг. - М. : Высш. шк., 2002. - 416 с.

4. Яблонский, А. А. Курс теоретической механики. Статика, кинематика, динамика : учебник для вузов / А. А. Яблонский, В. М. Никифорова. - М. : КНОРУС, 2010. - 608 с.

5. ГОСТ 22576-90. Автотранспортные средства. Скоростные свойства. Методы испытаний. - М. : Изд-во стандартов, 1991. - 13 с.

Статья сдана в редакцию 5 апреля 2017 года

Владимир Петрович Тарасик, д-р техн. наук, проф., Белорусско-Российский университет. E-mail: [email protected].

Vladimir Petrovich Tarasik, DSc (Engineering), Prof., Belarusian-Russian University. E-mail: [email protected].