Математическое моделирование процессов в технологических печах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 536.46.001.57

Н. Д. Демиденко, Л. В. Кулагина

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ В ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПЕЧАХ

Предложена математическая модель и метод решения задачи для случая горения жидкого топлива в трубчатых печах нефтеперерабатывающих и нефтехимических производств. Выполнена физическая интерпретация результатов расчета.

Использование органического жидкого топлива является основным источником энергии большого числа различных теплотехнологических процессов. Проблема энергоэффективности существующих производств приводит к необходимости решения задач совершенствования теплофизических и гидродинамических процессов при сжигании жидкого топлива в топочных устройствах. В большинстве случаев экономичность сжигания и снижение количества вредных выбросов, поступающих в окружающую среду, зависит от дисперсности топлива, подаваемого в зону горения, времени его нахождения в реакционном объеме, гетерогенности состава топлива, конструктивных особенностей топочного устройства и технологических параметров процесса, проводимого в данном устройстве [1]. Кроме того, имеются определенные особенности горения и у новых видов жидкого топлива в виде водотопливных эмульсий и суспензий [1...7].

Горение жидкого топлива всегда протекает в паровой фазе, а испарение обеспечивается подводом тепла из зоны горения его паров. В различных двигателях, камерах сгорания и топках жидкое топливо всегда сжигается в распыленном виде. Доказано, что сущность процессов горения факела распыленного жидкого топлива в значительной мере определяется движением и горением отдельных капель, их совокупности и условиями взаимодействия горящих и негорящих капель [6; 9].

Крайним случаем горения капель является диффузионное горение, когда скорость сгорания паров очень велика по отношению к скорости диффузии паров и окислителя в зоне горения, толщина которой становится исчезающе малой. К такому режиму может приближаться горение сравнительно крупных капель. В диффузионной теории горения, развитой Г. А. Варшавским [8], совместно решаются уравнения диффузии и теплообмена, при этом учитывается расход тепла на испарение и перегрев паров. Это относится к горению сравнительно крупных

капель, диаметром 0,5___1,0 мм и больше, когда режим

горения в принципе может приближаться к диффузионному. Однако при горении таких капель скорость горения паров в действительности получается не слишком большой по сравнению со скоростью испарения [9]. Зона горения по расчетам, проведенным в работе [9], оказывается довольно протяженной, горение начинается ближе к поверхности капли, но пары сгорают не полностью (при этом они частично выносятся в окружающую среду), температура оказывается ниже расчетной. Тем не менее это обстоятельство слабо сказывается на самой скорости испарения жидкости, так как к поверхности подводится практически такое же количество тепла, что и при диффузионном горении. Реальный процесс горения паров у

поверхности капли сложен, нагрев паров обеспечивается не только подводом тепла из зоны более высокой температуры, где сгорает основная масса паров, но и реагированием паров с окислителем в зонах, расположенных ближе к поверхности капли. Это формально приводит к понижению теплоемкости.

Мелкие капли топлива диаметром в сотые и десятые доли миллиметра ведут себя в процессе горения иначе, чем крупные капли: они не окружаются собственными факелами, а только испаряются, образуя газопаровую смесь, которая воспламеняется и горит по законам горения газов [4; 7; 8].

При горении крупных капель диаметром 1 мм существенной становится естественная конвекция, в силу которой пламя принимает характерную форму капли, вытянутой кверху. В случае очень мелких капель форма пламени, очевидно, приближается к сферической. Среди характеристик горения капель жидкого горючего основной интерес представляет время сгорания, или время жизни капли. Время сгорания капель жидкого, полностью испаряющегося горючего прямо пропорционально квадрату начального диаметра капли, что отражает основной закон горения капель жидкого горючего. Для обычных углеводородов при начальном диаметре капли 1 мм время сгорания составляет примерно 1 с. Если принять, что закон горения справедлив также и в случае гораздо более мелких капель, то при начальном диаметре порядка нескольких десятков микрометров время сгорания, по оценке, составит несколько миллисекунд. По данным Б. Л. Жаркова (1962), время воспламенения мазутных капель размером 0,5 1,5 мм при их сжигании в потоке воздуха, нагретого до 1 120 К и движущегося со скоростью около 3 м / с, составляет примерно 0,3.. .0,5 с [4].

Время пребывания капли топлива тпр в объеме топки не может быть определено однозначно для всех капель топливного факела, так как они движутся по разным траекториям. Наиболее просто тпр определяется для капель, траектории движения которых совпадают с осью топки и, следовательно, с общим направлением движения продуктов горения. В этом случае [4]

пр Q

где ¥ - коэффициент заполнения топки; VТ - объем топки выше уровня горелок; Qs - секундный расход газа.

Одновременно с экспериментальными исследованиями имеются также и теоретические исследования горения жидких капель. Продолжающиеся попытки аналитически описать процессы в топке имеют целью создание основ более точного технического расчета процессов скорости сгорания, тепловыделения и всего топочного процесса.

Постановка задачи и описание математической модели процесса горения. Теоретическим и практическим вопросам горения посвящено довольно много работ, в том числе вопросу горения капли жидкого топлива. При этом считается [8], что пары топлива сгорают в весьма тонком сферическом слое радиуса ге, который называется зоной горения. Скорость горения определяется подводом к зоне горения кислорода извне и паров топлива изнутри. Такой подход позволяет вычислить скорость испарения капли, температуру в зоне горения, радиус зоны горения, температуру капли. В практически важных случаях температура капли оказывается близкой к температуре кипения. Данная теория развита для случая молекулярных процессов горения [8]. Ее можно распространить и на случай конвективного тепло- и массообмена. Однако в этом случае она встречается с серьезными трудностями, так как экспериментально установлено, что температура в зоне горения значительно ниже расчетной [10].

Имеются некоторые расхождения в математических методах анализа, используемых разными авторами, но для стационарного сферического горения используется единый подход. В целях упрощения анализ проводится при следующих предположениях [9; 10]:

1) жидкая капля имеет сферическую форму;

2) влиянием конвекции пренебрегают, пламя рассматривают как сферическую поверхность, концентрическую с каплей;

3) пламя считают разновидностью диффузионного пламени, которое образуется в результате реакции между парами горючего и воздухом, которые реагируют в стехиометрическом соотношении;

4) стационарное состояние рассматривают при постоянном диаметре капли, хотя реально диаметр жидкой капли уменьшается по мере горения, однако это изменение происходит медленно по сравнению с изменением скорости диффузии и прочими факторами;

5) температура капли одинакова по всему объему;

6) давление в течение всего процесса горения считается постоянным;

7) влияние излучения рассматривают отдельно.

В качестве объекта исследования была выбрана трубчатая печь, широко распространенная в нефтехимических производствах [10]. Исходя из законов механики сплошных сред, можно составить модель нестационарного горения, представленную тремя уравнениями: уравнением непрерывности, уравнением сохранения импульса и уравнением сохранения энергии

1. Уравнение непрерывности (сохранения массы)

— + div (pu ) = 0, или + d(pu) = 0,

dt dt dl

Если принять, что рж - плотность жидкости в капле, то

4

масса капли т = р О , где О =— па - объем капли;

3

а - радиус капли. Пусть п - концентрация капель в смеси, рх

тогда пт = рх, п = —.

т

2. Уравнение сохранения импульса для одномерного процесса выглядит следующим образом:

''Эи „ ^ „ (Эи Эм 4

- + и\и +ур = 0, или р

dt

+ u

У dt dl ^

+ f = 0. (3)

3. Уравнение сохранения энергии

(— + uVS 4 dt

pT

=—q - Q (T), или т

pT

dS ds

-------+ u —

dt dl

= ^ - Q (t ),

(4)

где q - теплота сгорания; Q (Т) - потери на излучение;

5 - энтропия, причем £ = Су 1п—, здесь у = 1,0...1,4 ,

Рт

так как для жидкостей различие между Ср и Су незначительно.

Таким образом, одномерная математическая модель нестационарного горения капли может быть представлена следующей системой:

Эр + Э(рм)=о

д/ д/ ’

pT

d(px) d(pxu )= px

dt dl т

du du

-----+ u —

dt dl

\

dS dS

Vdp=0,

(5)

dl

= pxq - Q (T).

т

(l)

где /, I - независимые переменные; р - массовая плотность смеси; и - скорость движения смеси. Если иметь в виду покомпонентную модель процесса горения в камере печи, то уравнение (1) можно записать в следующем виде:

Э(рх) рх Э(рх) Э(рхм) рх

——- + dlv(рхм) = ^—, или ——, (2)

Э1 т Э1 т

где х - концентрация горючего вещества в смеси (0 < х < 1); т - время сгорания, которое зависит от температуры в смеси.

■ + и ~

ydt dl ^

Стационарная модель процесса горения следует по (5). В этом случае уравнения могут быть значительно

упрощены. При этом — = 0 , первое слагаемое в левых dt

частях уравнений (5) обращается в ноль и , так

как остается лишь одна независимая переменная. Уравнение (1) может быть проинтегрировано, что приводит к простой форме уравнения неразрывности: pu = M - const,

^ , ч рх (6)

—(рих ) =-------.

dlV ’ т

Уравнение сохранения количества движения может быть приведено к интегральному виду в случае плоского установившегося одномерного течения. Оно сводится к уравнению

du dp

pu----1----= 0,

dl dl

которое имеет интеграл pu2 + P = const = П . Тогда уравнение сохранения энергии перепишется в виде

d ln—

Cv pTu-

p- = q - Q (t ).

М т

Запишем систему, полученную с учетом первого уравнения этой системы:

dx х

dl ut

Mu + P = П - const,

(7)

d

M

dl

yuP

= —q - Q(T). ut

2 (y-1)M

Третье уравнение системы (7) сократим на M и получим

d

dl

dx _ ~dl ~ yuP

ut

х

= — q-

ut

Q(T)

M.

(8)

2 (у - 1)М

Система (8), состоящая из обыкновенных дифференциальных уравнений, теперь может быть разрешена относительно скорости движения смеси и концентрации горючего вещества в смеси по длине камеры сгорания. Это решение может быть использовано для получения других параметров печи, которые зависят от х и и .

Формулировка и метод решения краевой задачи Коши. Для определения х и и как функций длины в камере сгорания можно сформулировать задачу Коши, задавая значения х и и на входе в камеру сгорания.

Начальные условия при 0 < I < L следующие: х(0) = а1, м(0) = а2, йх х й1 и1 йи Мдх(у -1) - uтQ(T )(у -1)

и = ■

ut(uM (у -1) + yP)

Для системы дифференциальных уравнений

ф- = / (Х, Уи У2,■■■, Уп X хо ^ х ^ х dx

(9)

применяем программу пошагового интегрирования, выполненного методом Кутта-Мерсона, который имеет вид

Я1 = Л/(х0. Уo), >”0 = У(х0)!

Я2 = Л/(х0 + ^ >0 + 3

Я3 = Л/(х0 + - >0 + ~ Я1 + Т Я2 X

3 6 6

1 1 3

Я4 = Л/(х0 + Т >0 + ТЯ1 + ТЯ2 X

2 88 (10)

Я5 = Л/(х0 + Л, >0 + 2 Я1 - Я3 + 2Я4 X

>1( х0 + Л) = >0 + — Я1 - "2 Я3 + 2Я4’

2 12 1

> (х0 + Л) = >0 7 Я1 + 7 Я4 + 7 Я5 •

6 3 6

Величина Я = 0,2 ( - >2) служит для оценки погрешности метода и для автоматического выбора интегрирования. Если е - предписанная точность вычислений, то шаг интегрирования выбирается следующим образом. Берется некоторый начальный шаг и производятся вычисления по формулам (10). Определяется величина R: при Я > е шаг интегрирования в два раза уменьшается; при Я < — шаг в два раза увеличивается; если 64

же — < R < £, то шаг считается выбранным правильно.

После этого в качестве начальной точки х0 берется точка

х0 + Ни весь цикл повторяется снова. В качестве прибли-

2 1

женного решения выступает величина у , а величина у носит вспомогательный характер. Описанный выше метод оценки погрешности и выбор шага интегрирования называется методом вложенных фигур. Программа состоит из главной программы и двух подпрограмм (рис. 1).

Главная программа обращается к подпрограмме EKUT, которая выполняет интегрирование вместе с подпрограммой EF, используемой для записи величины -^У..

dx

Главная программа считает текущее значение х(Х), требуемую точность (АСС), число вводимых дифференциальных уравнений (NEQS), шаг, с которым выполняется интегрирование (INSTER), и соответствующую величину у в точке x(y).

В подпрограмме EKUT дифференциальные уравнения раскрываются до пятого порядка, получаемая точность оценивается с помощью вычисления разницы между четвертым и пятым членами. При каждом повторении эта разница сравнивается с требуемой точностью. Если последняя не достигается, то длина шага уменьшается и интервал покрывается за большее число шагов. Подпрограмма EKUT обычно начинается с логической переменной START, равной TRUE. В этом случае У полагается равным INSTER / NSREQD. Тогда интегрирование, выполняемое с заданной точностью, будет повторено снова для получения меньшей погрешности. При выходе из подпрограммы EKUT величина START всегда имеет значение FALSE. Требуемые величины возвращаются в массив SOLN.

По составленной программе были проведены расчеты горения капель различного диаметра для решения задачи Коши с начальными условиями: х(0) = 0,346, u(0) = 1,0 м/с.

Капли с диаметром 0,01 мм имеют время сгорания Д = 0,000 11 с и потери на излучение Q=0,000 014 98 Дж / с капли с диаметром 0,1 мм - т = 0,011 с и Q = 0,001 498 Дж / с капли с диаметром 1 мм - т = 0,7 с и Q = 0,149 8 Дж / с капли с диаметром 2 мм - время сгорания т = 2,3 с и Q = 0,278 18 Дж / с. В задаче использовались и постоянные величины: давление Р = 101 000 Па, теплота сгорания q = 260 000 00 Дж / кг (с учетом диссоциации^ продуктов

сгорания), массовый расход М = 144 кг, у = = 1,1.

В заключение можно отметить, что при правильно принятых физических предпосылках результаты решения дифференциальных уравнений, описывающих рассматриваемые процессы, могут отражать общий ход этих процессов и меру влияния отдельных факторов на их протекание. Качественный анализ полученных соотношений и зависимостей может явиться основой для построения (уточнения) физической модели горения жидкого топлива, моделирования и оптимизации сложных процессов разделения и систем управления.

Результаты проведенных расчетов показывают, что скорость горения и концентрация горючего вещества по длине печи, как и потерянное излучение, существенно зависят от размеров капель топлива (рис. 2, 3). Наилуч-

х

шие параметры горения имеют капли диаметром 1 мм, причем по скорости горения для этих капель наблюдается локальный максимум.

Целью дальнейших исследований станет накопление, анализ и обобщение результатов работ в области горения жидких топлив и обоснованный выбор требующихся параметров для решения задач оптимизации и управления распределенными системами в направлении повышения эффективности топочных процессов.

Библиографический список

1. Лавров, Н. В. Процессы горения топлива и защита окружающей среды / Н. В. Лавров, Э. И. Розенфельд, Г. П. Хаустович. М. : Металлургия, 1981. 240 с.

2. Кулагин, В. А. Методы и средства технологической обработки многокомпонентных сред с использованием эффектов кавитации : автореф. дис.... д-ра техн. наук / В. А. Кулагин; Краснояр. гос. техн. ун-т. Красноярск, 2004. 47 с.

3. Балабышко, А. М. Гидродинамическое диспергирование / А. М. Балабышко, А. И. Зимин, В. П. Ружицкий. М. : Наука, 1998. 331 с.

4. Ахмедов, Р. Б. Технология сжигания горючих газов и жидких топлив / Р. Б. Ахмедов, Л. М. Цирульников. Л. : Наука. Ленингр. отд-ние, 1984. 283 с.

5. Справочник по котельным установкам: Топливо. Топливоприготовление. Топки и топочные процессы / А. Н. Алехнович, В. И. Антоновский, Д. Б. Ахмедов и др. ; под общ. ред. М. И. Неуймина, Т. С. Добрякова. М. : Машиностроение, 1993. 392 с.

6. Ведрученко, В. Р Анализ динамики преобразований капель в факеле водомазутной эмульсии как топливе для котельных установок / В. Р. Ведрученко, В. В. Крайнов, А. В. Казимиров // Проблемы энергетики. 2003. № 11-12. С. 44-53.

7. Кулагина, Л. В. Анализ теплофизических и гидродинамических процессов при сжигании различных видов топлива в энергетическом котле КВ-ТМ-180-150-2 / Л. В. Кулагина // Социальные проблемы инженерной экологии, природопользования и ресурсосбережения : материалы конф. Вып. Х. Красноярск, 2004. С. 29-46.

8. Вильямс, Ф. А. Теория горения / Ф. А. Вильямс. М. : Наука, 1971.

9. Демиденко, Н. Д. Моделирование и оптимизация тепломассообменных процессов в химической технологии / Н. Д. Демиденко. М. : Наука, 1991. 240 с.

10. Демиденко, Н. Д. Управляемые распределенные системы / Н. Д. Демиденко. Новосибирск : Наука. Сиб. изд. фирма РАН, 1999. 393 с.

Рис. 2. Изменение скорости горения смеси по длине печи: Рис. 3. Изменение концентрации горючего вещества по длине

1 - диаметр капли 1 мм; 2 - диаметр капли 2 мм; 3 - диаметр печи: 1 - горение капель диаметром 1 мм; 2 - диаметром

капли меньше 1 мм 2 мм; 3 - диаметром менее 1 мм

N. D. Demidenko, L. V Kulagina

THE MATHEMATICAL SIMULATING OF PROCESSES OCCURING IN TECHNOLOGICAL FURNACES

Theses deal with a mathematical model and a solution method applied in liquid fuel burning processes of tubular furnaces in petroleum-refining and petrochemical industry. The physical interpretation of results has been executed.