Математическое моделирование процессов центрифугирования Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 519.711.2

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ЦЕНТРИФУГИРОВАНИЯ

И.А. Прошин, В.В. Бурков

В статье описывается математическая модель отражающая зависимость момента инерции центрифуги от угловой скорости ее вращения

Ключевые слова: математическая модель, центрифуга, момент инерции

С точки зрения математического описания гидродинамики центрифугирование

представляет собой весьма сложный процесс. Рассмотрим математические зависимости, описывающие вертикальную осадительную центрифугу.

Математическая модель (ММ),

описывающая гидродинамику центрифуги в данном случае, объединяет:

1. Уравнение неразрывности, которое в случае осевой симметрии (когда производная по углу поворота ф равна нулю) в цилиндрической системе координат [1,2]

дуг дуг

------ +—2

дг йг

- = 0.

во

2. Уравнение Навье Стокса вращающейся системе координат [1,2]

ду

"дГ

йіч V = 0,

которые в проекциях на оси цилиндрической системы координат принимают вид [1,2]

д^ К, дv дvr ^ / 2 ч

V,.—L + ——L + V,—L —- = (гю + 2юу ) —

дт г дф д, , V Ф/

дг

(д \

±_ др

Р у дг

+ v

Г +

1 д2

дг г1 дф2

- АЙКф-.и

г2 дф г2

г-+

д \г 1 дкг

—2т +------------г

дг г дг

Л

Прошин Иван Александрович - ПГТА, д-р техн. наук, профессор, тел. (8412) 49-61-59

Бурков Всеволод Валерьевич - ПГТА, аспирант, тел. (8412) 43-77-24

дv V дv дv V V

V + -ф—ф+ V = —20^ -

дт г дф д, г

1 др р/г дф

+ V

(д_х +

дг2

+1

г дг

г2 дф2 &2

!.- — ^ - ^ г2 дф г2

д^ v ф дvz дvz =1 др

г дт г дф 2 й2 р}- д,

( д2 V 1 д2 V д2 V 1 д^

-------- +--------------- +--------- +----------

дг2 г2 дф2 с22 г дг

+V

где

кинематическая вязкость,

радиальная составляющая скорости жидкости, V, - осевая составляющая скорости жидкости, Vф - окружная составляющая скорости, г, ф, і -

текущие значения координат цилиндрической системы, а - угловая скорость, ру - плотность

центрифугируемой жидкости.

3. Уравнение распределения давления, в прямоугольных координатах [1,2]:

йР =р ( хСх + уСу + гй, ) .

Для определения формы свободной поверхности жидкости можно воспользоваться уравнением распределения давления, в цилиндрической системе координат, которое, учитывая режим течения жидкости, можно записать как [1,2]

ЯСг + хСх = Р .

Тогда уравнение свободной поверхности жидкости можно получить из условия равенства нулю давления (Р = 0)

ЯСг + хСх = 0, где Я = а2г, ъ - составляющие давления по осям координат цилиндрической системы. Следовательно

ю2гСг — gdz = 0 .

Отсюда получим

V

V

г

V

г

г

гй2 гСг ю2 г2

, = 1---------= _7_ + !

J g 2g

2 2 й г * =--------+ ,0.

2 g

(1)

где 2а - постоянная интегрирования, которая

будет зависеть от объема жидкости, изначально залитого в центрифугу.

Для упрощения предварительных расчетов будем считать угловые скорости всех элементарных объемов жидкости постоянной, тогда форма свободной поверхности будет иметь параболическую форму. Если рассматривать реальную центрифугу, то внутренние слои жидкости будут отставать от наружных, поэтому в реальной центрифуге форма параболы свободной поверхности будет более пологой, что учтем путем введения коэффициента запаздывания. Константу интегрирования 2й определим исходя из постоянства объема жидкости находящегося в центрифуге:

2g , )

где г (х) = ——— зависимость радиуса от

й

координаты ъ, Нц - высота центрифуги, Я -

радиус центрифуги, g - ускорение свободного падения, ю - угловая скорость, ъ - текущая координата ъ, Уп - объем жидкости изначально залитый в центрифугу. Подставив, зависимость радиуса от координаты ъ и выразив, ,0

получим:

,0 = Нп —

ю2 Я2 2 g

(2)

Подставим выражение для г0 в уравнение для свободной поверхности жидкости (1): ю2 г2 ю2 Я2

2 =------+ Н--------,

2Я п 2Я

где нп - уровень жидкости в положении покоя.

Момент инерции определяется по выражению

тп

3 = | г2 Ст .

Учитывая, что

Ст = рСУ , а СУ = 2жdгdz, получим

3 = 2лр| г3 СгС, .

(3)

После подстановки (2) в (3) и интегрирования, имеем

3 (ю, г) = 2рп

(ю2г6 Нпг4 ю2Я2г4 Л

12 g

16g

. (4)

Выражение (4) применимо только в случае если выполняется условие:

Здесь

Я

Я

В этом случае жидкость в центрифуге принимает форму, изображенную на рисунке (1а). Данная форма свободной поверхности характерна для начального этапа разгона центрифуги. В зависимости от размеров центрифуги, ее конструктивного исполнения и количества жидкости залитого в нее возможны четыре формы свободной поверхности, представленные на рис.1. Для трех других случаев при которых жидкость принимает форму изображенную на рис. 1б, 1в, 1г

выражение (12) принимает другой вид:

Рис 1. Форма свободной поверхности жидкости

Для случая, изображенного на рис .1б. угловая скорость ю >ю1 и ю >ю2, момент инерции определяется выражением

3 = 3(ю,г2) — 3(ю,г1)+ Нр(я4 — г24).

Для случая, изображенного на рис. 1в, угловая скорость: ю >ю1 и ю <ю2, момент инерции определяется выражением

3 = 3 (ю,Я) — 3 (ю,г1);

ю <ю1 и ю <ю2.

Н

Для случая, изображенного на рис. 1г, угловая скорость: ю <ю1 и ю >ю2, момент инерции

определяется выражением

3 = 3 (ю, Я )+ НЦ—(я4 — г24)

где г1 и г2 рассчитываются по формулам:

ЯІ—2Н

2 ю2

Я — 2g (н ц — Нп )

2 ю2

Таким образом, момент инерции

вертикальной осадительной центрифуги определяется по формуле:

3 (ю, г), если ю < ю1 и ю < ю2;

3 (ю, г2) — 3 (ю, г1) + нц рп

3Ц =

^ :(Я4 — г4)

3 (ю, Я) — 3 (ю, г ), если ю > ю и ю < (

3 (ю, Я) +

+НЦ2рп(Я4 — г4),

(5)

(ю2г6 Нпг4 ю2Я2г4 Ї +

где 3 (ю, г) = 2рп

I 12g 4 ^

Рассмотрим математические зависимости вертикальной фильтрующей центрифуги -основным отличием фильтрующей центрифуги от осадительной является изменение находящейся в центрифуге жидкости во времени. Уравнение ламинарного

фильтрования имеет вид:

су

Fd т V и

ГосХос~ + иЯФ

Е

где V - объем жидкости, р - давление, гос -удельное сопротивление осадка, хос -отношение объемам осадка к объему фильтрата, и - динамическая вязкость жидкости, ЯФ - сопротивление фильтрующей перегородки, Е - площадь фильтрующей поверхности.

Ввиду того, что на разные участки действует разное давление и через разные участки пройдет различное количество жидкости уравнение фильтрования примет вид:

СУ С т

рС¥

СУ о

госХос~^ + МЯФ

С¥

(6)

Рис 2. Распределение жидкости при центробежном фильтровании

Здесь й¥ - элемент фильтрующей поверхности, на границах которого можно пренебречь разностью давления (рис. 2). В общем случае й¥ = 2пЯёх.

Применительно к случаю центробежного фильтрования для определения давления можно воспользоваться формулой:

Р =

3рю2 Я2 рgF рgУ

4 2пЯ пЯ2

Тогда форма свободной поверхности будет описываться зависимостью:

•(z ) =

(

2g

Л

ю

Объем жидкости находящейся в центрифуге определяем как:

г

2

V1=n|R2 -[r (z) dz --

' 2gz Нц r ІНЦ - Hn

R2 z -

(

R2 z -

gz

gz

Hц z + Rz H - H,

m2 m

Hц z + R± \НЦ - H, m

ю~ ю~ ю у £

Подставив, полученные зависимости в уравнение фильтрования (6) и проинтегрировав, получим выражение:

dV _______________

d т I ^

rocxocn

2nRpdz

g • z - Hц R \Hц - Hn

g

+uR

2nRp

x ln

R --

■+m

H ц - h л

+ ^ф

V g , /

2nRpm> s

TocXoc^g ( (

x ln

R - g • z - H ц + R IH^" Hn

л л + uRt

ю ю у £

Таким образом, зависимость момента инерции от времени вертикальной фильтрующей центрифуги определяется по формуле:

J (m, r ),

J (m, r2)- J (m, r1) +

Hц pn,

Jц =

dV

^ :(R4 -r4),

J (m, R)- J (m, r1), если m>m1 и m<< J (m, R) +

Hц pn

+ —:------

2

2nRpm2

(7)

(R4 - r4),

oc oc ( (

cln

-uRф

На рис. 3 представлены зависимости

момента инерции от угловой скорости вертикальной осадительной и вертикальной фильтрующей центрифуг соответственно.

Рис. 3. Зависимость момента инерции осадительной (верхний график) и фильтрующей (нижний график) центрифуги от угловой скорости при разгоне центрифуги

Таким образом, ММ (5) и (7) являются составной частью общей ММ вентильноэлектромеханической системы [3]и позволяют совместно с ММ «непосредственный

преобразователь энергии - асинхронный двигатель» моделировать переходные и установившиеся режимы работы центрифуг.

По результатам моделирований на базе предложенных моделей разработаны и внедрены в серийное производство системы управления центрифугами.

Литература

1. Жужиков В.А. Фильтрование. Теория и практика разделения суспензий. М. Химия. 1980, 398 с.

2. Дытнерский Ю.И. Процессы и аппараты химических технологий. В 2-ч кН. - М.: Химия, 1995. -400с.

3. Прошин И. А. Управление в вентильно-

электромеханических системах книга вторая математическое моделирование вентильно-

электромеханических систем - Пенза: ПТИ 2002, 307 с.

Пензенская государственная технологическая академия

MATHEMATICAL MODELLING OF PROCESSES OF CENTRIFUGATION

I.A. Proshin, V.V. Burkov

In article described the mathematical model reflecting dependence of the moment of inertia of a centrifuge on angular speed of its rotation

Key words: mathematical model, centrifuge, the inertia moment