Математическое моделирование процессов развития дефектов в рельсовом пути Текст научной статьи по специальности «Математика»

41

Информационные технологии и безопасность Библиографический список

1. Концентрация и централизация оперативного управления движением поездов / В. В. Сапожников, Д. В. Гавзов, А. Б. Никитин. - М. : Транспорт, 2002. - 102 с.

2. Типовые требования к регистрации, отображению, прогнозированию, учету и анализу движения поездов в автоматизированных системах диспетчерского контроля и управления (ДК и ДЦ) на диспетчерских участках и в железнодорожных узлах : руководящий документ / Г. М. Грошев, В. В. Ипатов, А. С. Башилов; науч. рук. Г. М. Грошев / Утв. МПС РФ 25.06.99. - СПб. : Техинформ. - 1999. - 78 с.

3. Организация, технология и информационное обеспечение автоматизированного оперативного управления перевозками на железной дороге. Ч. 1. Организация и технология автоматизированной деятельности оперативного персонала дорожного диспетчерского центра управления перевозками : учеб. пособие / В. И. Бадах, Г.М. Грошев, В. И. Ковалёв и др.; под общей редакцией д-ра техн. наук В. И. Ковалёва, д-ра техн. наук А. Т. Осьминина, канд. техн. наук Г. М. Грошева.- СПб. : ПГУПС, 2005. - 99 с.

4. Типовые требования к единым диспетчерским центрам управления (ЕДЦУ) перевозками" / В. В. Ипатов, Г. М. Грошев, М. Т. Иванов и др.; науч. рук. Г. М. Грошев / Утв. МПС РФ 25.06.99. - М. : ВНИИАС МПС РФ, - 1999. - 124 с. + 182 с. (прил.).

5. ГИД "Урал-ВНИИЖТ". Автоматизированная система оперативного управления эксплуатационной работой Х. Ш. Зябиров, Г. А. Кузнецов и др // Железнодорожный транспорт. - 2003. - № 4. - С. 36-44.

6. Комплексная эргономическая оценка и проектирование автоматизированной деятельности персонала : учеб. пособие / Г. М. Грошев, И. Ю. Романова, Я. В. Кукушкина и др.; ред. Г. М. Грошев. - СПб. : ПГУПС. - 2005. - 52 с.

УДК 681.5 (075.8)

В. Г. Дегтярёв, В. А. Ходаковский

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ РАЗВИТИЯ ДЕФЕКТОВ В РЕЛЬСОВОМ ПУТИ

Рассматривается метод математического моделирования процессов развития дефектов железнодорожного пути, основанный на цепях Маркова с дискретными состояниями и непрерывным временем, а также на решении дифференциальных уравнений Колмогорова и дополненный вторым, но уже дискретным параметром, который определяет положение участка пути. Предложенный метод реализован в среде MathCAD-2000; приведены пример и результаты моделирования.

Введение

При решении задачи оценивания эффективности использования средств неразрушающего контроля железнодорожного пути возникает необходимость построения математических моделей развития дефектов и

ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС

2008/3

Информационные технологии и безопасность

их поиска средствами неразрушающего контроля. Наиболее

проработанным математическим методом построения первого типа модели является использование цепей Маркова, то есть случайных процессов с дискретными состояниями и непрерывным параметром.

Цепи Маркова достаточно просто позволяют описать

однопараметрические процессы (параметром обычно является время). При этом задача сводится к описанию устойчивых состояний, заданию плотностей вероятностей состояний, построению размеченного графа состояний и построению дифференциальных уравнений Колмогорова. Решение таких уравнений позволяет при заданных начальных условиях определить характер изменения вероятностей состояний.

В задаче неразрушающего контроля необходимо учитывать два параметра: время и линейное положение участка пути с некоторым состоянием.

В нашем случае дискретным параметром i будет являться положение участка рельсового пути с дискретным состоянием Sk, а непрерывным параметром будет являться время t.

1 Постановка задачи нахождения вероятностей состояний железнодорожного пути

Пусть каждый i-й участок железнодорожного пути может находиться в следующих дискретных состояниях:

Si' - исправное;

S2l - исправное, но есть мелкие необнаруживаемые дефекты;

S3 - исправное, но есть средние обнаруживаемые дефекты;

S4l - условно исправное (наличие опасного дефекта);

S5 - неисправное;

S6l - ремонт.

Переход каждого из участков пути из состояния в состояние может происходить в любой момент времени. Граф состояний пути изображен на рис. i.

Рис. 1. Граф состояний l-го участка рельсового пути

Обозначим через Pk (t) вероятность того, что на участке i в момент t рельсовый путь будет находиться в состоянии Sk (к = 1, 2, 3, 4, 5, 6). Так как события, состоящие в том, что на участке i в момент t рельсовый путь

ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС

2008/3

43

Информационные технологии и безопасность

находится в состояниях Sj, S2, S3, S4, S5, S6, несовместны и образуют

полную группу событий, то ^ p'k (t) = 1.

k=1

Поставим задачу об определении вероятностей pj(t), p2(t), Рз (t), p4(t), p5(t), p6(t) для любого i-го участка в момент t. Для этого необходимо знать характеристики процесса, аналогичные переходным вероятностям pkm(t) для дискретной цепи Маркова. Вероятность перехода i-го участка рельсового пути из состояния в состояние в случае процесса с непрерывным параметром точно в момент t будет равна нулю (как вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины).

Вместо переходных вероятностей pkm(t) введем понятие плотности вероятности перехода

= lim

Dt ®0

pL (Dt)

Dt

(1)

Это есть предел отношения вероятности перехода i-го участка рельсового пути из состояния Sk в состояние Sm к длине интервала времени At, когда этот интервал стремится к нулю.

В (1) pkm(t) - вероятность того, что рельсовый путь в точке i,

находящийся в состоянии Sk, на промежутке At перейдет в состояние Sml (при k Ф m), кроме того, из (1) следует, что при малом At вероятность plkm(At) (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) равна

1 kmAt-

Если все плотности вероятностей перехода 1\m(k, m = 1, 2, 3, 4, 5, 6) не зависят от t, то Марковский процесс называют однородным, если все эти плотности или часть из них являются функциями положения 1 km(t), то процесс называют неоднородным. В данной работе рассматриваются однородные процессы.

Пусть известны плотности вероятностей перехода 1 km для всех пар состояний (Sk, Sm).

Построим граф состояний i-го участка рельсового пути и против каждой стрелки проставим соответствующую плотность вероятностей перехода (рис. 2).

ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС

2008/3

Информационные технологии и безопасность

Рис. 2. Размеченный граф состояний i’-го участка рельсового пути

Такой граф называют размеченным графом состояний непрерывной цепи Маркова.

2 Построение дифференциальных уравнений Колмогорова

Зная размеченный граф состояний i-го участка рельсового пути, можно определить вероятности состояний пути на любой момент времени. Эти вероятности удовлетворяют дифференциальным уравнениям Колмогорова. Решая указанные дифференциальные уравнения для каждого 1-го участка пути при заданных начальных состояниях этого участка можно найти вероятности состояний рельсового пути для любого момента времени t.

Решим задачу составления дифференциальных уравнений Колмогорова.

Начнем с нахождения вероятности p\{t) - того, что на участке i в момент времени t рельсовый путь будет находиться в состоянии S\(t) -исправно. Придадим t малое приращение At и найдем вероятность того, что на участке i и промежутке t + At рельсовый путь будет находиться в состоянии S\(t) - исправно. Это событие может произойти в двух случаях (рис. 2):

• на участке i в момент t рельсовый путь уже был в состоянии S\(t) и на промежутке t + At не вышел из этого состояния, то есть не перешел в состояние S2(t),

• на участке i в момент t рельсовый путь находился в состоянии S6(t) и на промежутке t + At перешел в состояние S\(t).

В первом случае вероятность события находим по теореме умножения вероятностей как произведение вероятностиpii(t) - того, что на участке i в момент t рельсовый путь находился в состоянии S1i(t) - исправно, на условную вероятность того, что, будучи в состоянии Sii(t), рельсовый путь на промежутке At не перейдет в состояние S{(t). Последнюю вероятность можно вычислить как вероятность противоположного события по отношению к событию «перешел в S{(t)», то есть в виде (1 - At) с

точностью до бесконечно малых высших порядков.

Во втором случае вероятность события равна произведению вероятности p6(t) - того, что на участке i в момент t рельсовый путь находился в состоянии S6 (t) - ремонт, на условную вероятность перехода на промежутке At в состояние S\(t), то есть pl6 (t) • 161 Dt.

ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС

2008/3

Информационные технологии и безопасность

45

Объединяя оба эти случая по теореме сложения вероятностей несовместных событий, получим:

p (t + Dt) = p (t) • (1 -12 • Dt) + p (t) • 16, • Dt.

Переносяp\(t) из правой части уравнения в левую часть и разделив на At, получим:

(p,(t+м) - p,(t))

Dt = -1,2 • p1(t) + 16, • p6(t).

Далее, устремив At® 0 и переходя к пределу, находим:

Hm(p1(t + Dt)-т)/ы = -1,2 • р(0 + 161 • p6(t)-

Dt ®0

В левой части стоит производная функции p1(t), поэтому получаем:

^ = -112 • p (t) + 16, • p6 (t). (2)

dt

Таким образом мы получили дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять функция pi(t). Применяя аналогичные рассуждения, получим дифференциальные уравнения для вероятностей

p2(t), p/(t), p4 (t), p/(t), p6(t).

Окончательно система дифференциальных уравнений для вероятностей состояний i-го участка рельсового пути, соответствующих размеченному графу состояний (рис. 2), имеет вид:

dp1(t) dt

dp(t) dt

dp3(t)

dt

dp4(t)

dt

dp5(t)

dt

dp6(t) . dt

= -1

12

= -1

23

= -1

34

= -1

45

= -1

56

= -1

61

• p1(t)+1?61 • p6(t);

• p2(t)+112 • p1(t);

• p3(t)+1?23 • p2(t);

• p4(t)+1?34 • p3(t);

• p5(t)+1?45 • p4(t); •p6(t)+1?56 • p5(t).

(3)

ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС

2008/3

Информационные технологии и безопасность

3 Задание начальных условий

Начальные условия для системы (3) берутся в зависимости от того, каково было начальное состояние i-го участка рельсового пути. Например, если в начальной точке (i = 0) в начальный момент времени t = 0 рельсовый путь находился в состоянии S\, то начальные условия для системы (3) будут иметь вид:

p1(0) = 1, P2i(0) = 0, p3(0) = 0, P4i(0) = 0, P5i(0) = 0, pd(0) = 0 (4)

или в векторном виде

P (0)

f! 1 0

0

0

0

V 0 0

(4*)

Система дифференциальных уравнений (3) для начальных условий (4) дает решения в виде функций pk(t). В некоторый момент времени tn одна из функций pk(tn) достигает максимума, а затем, через некоторое время, в системе наступает установившийся режим, когда вероятности состояний выравниваются.

4 Алгоритм получения функции вероятностей состояний для любого момента времени

Для получения случайного процесса, характеризующего вероятности состояний i-го участка пути на последующие после tn моменты времени необходимо в момент tn запомнить значения вероятностей

pii(tn), p2(tn), p3(tn), p4(tn), p5 (tn), pe (tn). (5)

Затем для значений вероятностей событий (5) необходимо получить новое случайное состояние пути S\tn)k (новые начальные условия для системы (3) для момента времени tn), где индекс к означает номер состояния пути:

к-1

S' (tn )k

=1 при условии ^ pi (tn) < md(1) < ^ pi (tn) ,

j=i j=i (6)

= 0 в противном случае,

ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС

2008/3

Информационные технологии и безопасность

47

где rnd(1) - случайное число, распределенное по равномерному закону в интервале [0,1].

Алгоритм (6), в частности, выделяет для участка пути i состояние SI(tn)3 = 1 в случае, _ если pi\tn) + p2(tn) < rnd(1)< p\(Q + p2(tn) + P3i(tn), а состояние Si(tn)k = 0 для всех к ф 3.

Для новых начальных условий (6) и для того же участка пути i вновь решается система (3) и получается новое решение pk(t) для интервала времени tn <t < tm. Для момента tm вновь фиксируются вероятности

p\(tm), pi(tm), p3 (tm), p4 (tm), p5 (tm), p6(tm). (7)

Вновь определяется новое состояние, аналогичное (6), но уже для момента tm, и продолжается решение системы (3) для всего искомого интервала времени [0, tk]. По достижении конца интервала времени tk проводится решение системы (3) для всех остальных участков пути для всего искомого интервала времени [0, tk].

Результатами решения задачи математического моделирования процессов развития дефектов в рельсовом пути являются:

поверхность, характеризующая значения вероятностей дискретных состояний пути в пространстве время - номер участка;

поверхность, характеризующая текущее состояние пути в пространстве время - номер участка.

Указанные поверхности могут служить в качестве исходных данных для моделирования процессов поиска неисправностей пути различными средствами неразрушающего контроля.

5 Реализация предложенного метода моделирования в среде MathCAD

На рис. 3 приведена программа для системы математического моделирования MathCAD-2000, реализующая описанный алгоритм математического моделирования.

В первых строках программы приведены интенсивности переходов из состояния в состояние.

Вектор W(L,P) задает вектор значений производных в системе дифференциальных уравнений Колмогорова.

Функция f(A) позволяет по заданным вероятностям состояний определить новые начальные условия. Аргументом в ней является вектор значений вероятностей начальных состояний пути или состояний, полученных в процессе текущего шага моделирования. Основой данной функции является оператор проверки попадания сгенерированного по равномерному закону в диапазоне [0,1] числа в интервал, соответствующий вычисленным значениям вероятностей состояний пути.

Основная программа Res позволяет в цикле решать систему дифференциальных уравнений Колмогорова путем вызова стандартной

ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС

2008/3

Информационные технологии и безопасность

процедуры Рунге-Кутта с переменным шагом Rkadapt(PN, mn, mk, M, W), где аргументами являются:

PN - вектор начальных условий; mn - начальное время; mk - конечное время;

М - число шагов;

W - вектор производных.

Завершающие циклы в программе позволяют сформировать матрицу решений, строки в которой являются шагами по времени, а столбцы содержат значения вероятностей состояний пути.

112:=0.001 123:=0.02 ^=0.01 145:=0.03 ^=0.07 161:=0.09 M:=50 Q:=10(

f л P + л P\ f(A):= n—lengtljA)

—112P0 + 161P5

a—rnc(1)

W(LP):

-123P1 + 112P0 -134P2 + 1235P1

-145P3 + ^34P2

-156P4 + 145P3 4-A61P5 + 156P4 0

V k =0 0 k =0

E — 0 otherwise E

fori e0..n -1

( i-1 ) i

Ej — 1 if if i >0, ^Ak,0 <a< ^ A

Ak,0 <a<

Res:

PN — f(( 0.64 0.2 0.1 0.00001 0.0001 0.06)T)

0.64 0.2

for i e 1.. Q

mn — (i - 1)-M mk — (i)-M

Ri-1 — Rkadap1(PN, mn, mk, M, W) for k e 0.. 5

t := (Res) ^ p1 := (Res) ^ p2 := (Res) ^ p3 := (Res) p4 := (Res) ^ p5 := (Res) ^ p6 := (Res) ^

PN — f([(p0)M (pi)M Hm (p3>M (p4)M Ни ]T)

PN

for i e 0.. Q - 1 for j e 0.. M - 1 for k e 0.. 6

RWi -M+j, k — (Ri) j, k

RW

ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС

2008/3

Информационные технологии и безопасность

Рис. 3. Текст программы в среде MathCAD-2000

49

На рисунках 4, 5, 6 приведены результаты моделирования состояния трех участков железнодорожного пути, причем показано изменение вероятностей неисправного состояния каждого из участков.

Рис. 4. Изменение вероятности неисправного состояния первого участка

Рис. 5. Изменение вероятности неисправного состояния второго участка

Рис. 6. Изменение вероятности неисправного состояния третьего участка

Заключение

Предложенный метод является основой для построения обобщенной математической модели развития и поиска неисправностей рельсового пути приборами неразрушающего контроля при различной стратегии их применения. Дальнейшим развитием метода может являться переход к

ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС

2008/3

Информационные технологии и безопасность

неоднородной цепи Маркова, когда плотности вероятностей перехода 1кт (к, m = 1, 2, 3, 4, 5, 6) являются функциями положения участка рельсового пути.

Библиографический список

1. Математические методы и модели в коммерческой деятельности / Г. П. Фомин. - М. : Финансы и статистика, 2005. - 616 с. - ISBN 5-279-02828-3.

2. Теория вероятностей и её инженерные приложения / Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. - М. : Высшая школа, 2007. - 491 с. - ISBN 978-5-06-005714-0.

3. Исследование операций. Задачи, принципы, методология / Е. С. Вентцель. - М. : Высшая школа, 2007. - 208 с. - ISBN 978-5-06-005826-0.

4. Введение в теорию массового обслуживания / Б. В. Гнеденко. - М.: ЛКИ, 2007. - 400 с. - ISBN 978-5-06-003860-6.

5. Моделирование систем / Б. А. Советов, С. А. Яковлев. - М. : Высшая школа, 2007. - 400 с. - ISBN 978-5-06-003860-6.

6. Теория вероятностей и математическая статистика / В. Е. Гмурман. - М. : Высшее образование, 2008. - 479 с. - ISBN 978-5-9692-0192-7.

УДК 656.254.7

А. К. Канаев, В. А. Кудряшов

КОМПЛЕКС МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМЫ МОНИТОРИНГА ВОЛОКОННО-ОПТИЧЕСКИХ ЛИНИЙ СВЯЗИ

Анализируются принципы построения и функционирования систем мониторинга волоконно-оптических линий связи с позиций инженернокибернетического подхода к формированию технических систем электросвязи и исследуются возможности повышения отказоустойчивости и оперативности функционирования систем мониторинга волоконно-оптических линий связи при минимизации капитальных затрат на основе разработанных математических моделей.

волоконно-оптические линии связи, мониторинг.

Введение

Анализ процессов эксплуатации современных

телекоммуникационных систем (ТКС), проведенный в [1], показал, что количество повреждений кабельных линий связи с каждым годом значительно возрастает, при этом средняя продолжительность устранения повреждений увеличилась более чем в два раза. Это ведет не только к

ISSN 1815-588 X. Известия ПГУПС

2008/3