CC BY
32
УДК 539.374
В.Ю. Легейда, асп., (4872)35-18-32, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ РАЗДАЧИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ТОНКОСТЕННОЙ ЗАГОТОВКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОГО ДАВЛЕНИЯ
Рассмотрена задача по раздаче тонкостенной цилиндрической заготовки под действием равномерно распределенного давления. Проводилось сопоставление аналитических и численных результатов.
Ключевые слова: раздача, деформация, заготовка, метод конечных элементов.
Рассмотрим аналитически-численное решение задачи (на базе математической молели [1]) по раздаче тонкостенной цилиндрической заготовки под действием равномерно распределенного давления.
Целью аналитического решения задачи является установление связи между давлением q и величиной изменения радиуса раздаваемой заготовки w = г - г0 (рис. 1).
а
ез
-Чп
<7,
а
//////
Рис.
1. Схемы формообразования тонкостенной цилиндрической заготовки: а - нагружения; б - деформирования
Рассмотрим равенство работы внешних и внутренних сил, то есть
4 = А, (1)
где Ад - работа активных сил (вызывающих деформацию); Ав - работа внешних сил.
Работа деформации
Ад = ! (а181 + а282 + а383 )сЭ , (2)
Э
где СЭ - элемент объема.
Так как максимальное давление, прикладываемое к стенке заготовки и вызывающее пластические деформации в оболочке, весьма мало по сравнению с другими напряжениями, то можно допустить СТ3 * 0.
Кроме того, в рассматриваемом процессе меридиональная деформация
82 = 0.
Тогда работа внутренних сил (при условии постоянства объема при деформировании)
Ад = |^181<^э , (3)
Э
где 81 - окружная (тангенциальная) деформация, которая может быть выражена зависимостью 81 = (г - го)/го = w/го .
В процессе нагужения материал упрочняется. Примем, что в данном случае имеет место линейный закон упрочнения
а/ = а0 + АЕ/, (4)
где а/ - интенсивность напряжения; Е/ - интенсивность деформации; а о, А - константы материала.
В рассматриваемом случае а/ = а1, Е/ = Е1, с учетом этого выражение (3) примет вид
А ж
Ад = \ сто + А —
ЭЧ Г0 у
ж
—dЭ. (5)
Г0
Элементакрный объем определяется следующей зависимостью:
сЭ = 2 п Г0 Sо ,
где £о - толщина исходной заготовки.
Таким образом, имеем
Ад = |
л ж ст0 + А —
ж
— 2 п Го So dh. Г0
Э\ го.
Учитывая, что высота заготовки Н остается постоянной в течение всего периода деформирования, окончательно будем иметь
Ад
\
А Ж
сто + А —
Го у
• ж • 2 п Sо Н . (6)
Выражение работы внешних сил имеет вид Н
Ав = 12 п (го + w) • q • wdh = 2 п (го + w) • q • w • Н . (7)
0
По уравнению (2) с учетом (6) и (7)
Г \
—
ао + А — • — • 2 п Sо Н = 2 п (го + —) • q • — • Н
V г0 у
отсюда после некоторых преобразований получим
А
ао +----w
q = ^-
го + w
(8)
V го У
На основании этой зависимости может быть определена величина давления, необходимого для формообразования трубчатой заготовки с радиусом го + w.
Для определения действительной толщины стенки детали после деформации воспользуемся условием несжимаемости
81 + 82 + 83 = ^
где 81 = w/го, 83 = (&1 - &о)/&о = &//&о -1, а 82 в данном случае равна нулю.
Тогда из условия постоянства объема имеем
-+А -1 = о,
г0 &0
откуда
^ = 1--. (9)
&0 г0
Для того чтобы выразить связь 8//Бо через давление q, определим величину — из (8) и подставим ее в (9). Следовательно, зависимость для определения величины изменения толщины стенки имеет следующий окончательный вид:
= 1_ ао&о - Ш (10)
&о ^о - А&о
Численное решение задачи проводились с использованием варианта конечно-элементного подхода, основанного на принципе минимума функционала полной мощности деформированного тела.
Для аналитического и численного решения задачи принимались
следующие исходные данные: Н0=80 мм; R1=39 мм; R2=40 мм; Б0=1 мм.
Материал заготовки - алюминиевый сплав АМцАМ, уравнение состояния которого при холодной деформации описывается следующей
зависимостью: аи = 100 + 3008и МПа.
В силу симметрии процесса относительно оси абсцисс расчетная схема учитывает 1/2 часть меридионального сечения заготовки (рис. 2).
Кроме того, из экспериментальных исследований известно, что для данного сплава значение наибольшей тангенциальной (окружной)
деформации для заготовки с начальной толщиной стенки S0=1 мм при формообразовании за одну операцию составляет 8]Т1ах = 28 %.
Рис. 2. Формоизменение заготовки при численном решении задачи:
1 - исходная заготовка; 2- заготовка после раздачи
При численном анализе деформированного состояния рассчитывали форму заготовки, распределение главных деформаций вдоль образующей заготовки, утонение стенки заготовки, а также величину м = г _ г0 при различных величинах давления.
Результаты численных расчетов, в том числе зависимости q = f (м) и В^/Бо = f (м) приведены на рис. 3, 4. На графиках используются следующие обозначения: q - давление газа (МПа); L - изменение расстояния вдоль образующей заготовки от верхней ее точки до нижней; м = г. _ г0 - величина изменения внешнего радиуса заготовки; 81 -тангенциальная, 82 - меридиональная, 83 - радиальная, 8н - накопленная деформации соответственно; £¿/£9- относительная толщина стенки
48.0 -
32. 0 -
16.0 -
64.0 -
0.0
ни -
0.0
16.0
32,
заготовки; дд
— q р
——— • 100 %, где qт - величина давления, рассчитанная
qт
теоретически по формуле q =------------- ао 1-м , qp - величина давления,
го +м ^ го )
ST - SP
полученная при численном решении задачи; б£ = —-----------— ■ 100 %, где Бт -
БТ
величина Б^/Бо, рассчитанная теоретически по формуле (10); ^ -величина Б^/Бо, полученная при численном решении задачи.
Отрицательное значение величины 83 означает, что расчетное значение текущей толщины больше теоретического,а положительное - наоборот.
8
о.з
0,2
0,1
0
-0.1
-0,2
-0,3
-0,4
:
: \
| \ \
\ \£н \ ^1
|
; \
\е_2 е3
:
0 0.01 0,02 0,03 0.04 0.05 0.06 М I-
а
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 М I.
б
Рис. 3. Распределение главных деформаций, накопленной деформации и относительной толщины стенки вдоль образующей заготовки
при 81 = 30 %
а
б
Рис. 4. Графики зависимости q = f (^) и Бг /Б0 = f (^): 1 - численный
расчет; 2 - расчет по теоретической зависимости; 3 - расхождение между теоретическим и численным решением в процентах
Анализ графиков, представленных на рис. 2. и 3, показал, что труба раздалась в идеальную трубу с большим диаметром и с меньшей толщиной стенки. Численное и теоретическое решения задачи достаточно близко совпадают (усредненное в пределах всего периода деформирования
отклонение составляет * 3,5 %), что позволяет сделать положительное заключение об адекватности разработанной модели.
Статья выполнена в рамках целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)» по проекту № 2.1.2/2843.
Список литературы
1. Кухарь В.Д., Селедкин Е.М., Селедкин С.Е. Формовка листовых заготовок в состоянии сверхпластичности. Тула: Изд-во ТулГУ, 2009. 168 с.
V. Legeyda
The problem of distribution of thin-walled cylindrical workpiece under the action of uniformly distributed pressure is considered. A comparison of analytical and numerical results is conducted.
Key words: distribution, deformation, billet, finite element method.
Получено 04.08.10
УДК 539.374
В.Ю. Легейда, асп., (4872)35-18-32, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)
ГАЗОСТАТИЧЕСКАЯ ФОРМОВКА ТРУБЧАТОЙ ЗАГОТОВКИ В МАТРИЦУ С ЗАДАННЫМ РЕЛЬЕФОМ
Рассмотрен процесс формоизменения трубчатой заготовки типа «стакан» в матрицу с геометрией произвольной формы. Показано, как происходит заполнение гравюры матрицы при различной величине приложенного давления на каждой операции формообразования.
Ключевые слова: формоизменение, газовая среда, деформация, заготовка.
Рассмотрим процесс деформирования трубчатой заготовки типа «стакан» под действием давления газа в жесткую матрицу произвольной формы. На рис. 1. показана форма матрицы, которая дает представление о форме полуфабриката, который требуется получить из заготовки типа «стакан».
Формообразование будем осуществлять за несколько операций, включающих в себя такие характерные операции, как обтяжка цилиндрического выступа на дне матрицы и воспроизведение заданной гравюры матрицы.
