Математическое моделирование процессов пищевой технологии Текст научной статьи по специальности «Математика»

664.724.001.573

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПИЩЕВОЙ ТЕХНОЛОГИИ

И.П. ВЫРОДОВ

Кубанский государственный технологический университет

В процессах пищевой технологии, таких как перегонка, ректификация, абсорбция, адсорбция, экстракция, сушка и другие сложные процессы тепломассопереноса с перекрестными эффектами, основными элементами качественного и количественного их описания являются физические и математические модели.

Физическая модель устанавливает качественное течение процесса, его основные физико-химические, теплофизические и другие свойства. Установление физической сущности процесса позволяет формализовать его в виде краевой задачи математической физики либо в виде замкнутой, отражающей законы сохранения системы уравнений: непрерывности, движения (в самом общем виде — уравнения Навье—Стокса), энергии (теплопроводности), состояния и фазового перехода. При невозможности установления замкнутой системы дифференциальных уравнений остается метод анализа размерностей, основанный на абелевости группы независимых физических величин (элементов), образующих размерно однородную, инвариантную величину в виде произведения степеней этих физических (базовых) элементов [1, 2].

Практически реализация метода заключается в следующем [3-5]. Сначала определяют, какие из четырех базовых элементов, обладающих элементарными размерностями длины Ь, времени Т, массы М и температуры 0, характеризуют изучаемый процесс. Затем устанавливают физические величины, определяющие данный процесс в целом, а также с помощью П-теоремы Букингема число независимых физических величин, равное общему их числу минус число базовых размерных величин. Для независимых физических величин определитель показателей степеней при значении базовых элементов не должен быть равен нулю. Далее производят запись критериального уравнения в виде произведения независимых физических величин, возведенных в степени, определяемые в последующем с помощью уравнивания размерностей левой и правой частей критериального уравнения, содержащего в виде произведения также функцию от выделенных критериев [5]. В общем критериальном уравнении показатели степеней критериев находят в результате экспериментов. На этом заканчивается физическое моделирование исследуемых процессов.

Математическое моделирование основано на анализе имеющейся математической модели процессов. Классические краевые задачи математической физики хорошо разрабатываются точными (в квадратурах) и приближенными (численными) методами. Встречающиеся в реальных процессах пищевой технологии задачи, как правило, такими методами не решаются из-за непреодолимых математических трудностей. Определенные трудности возникают для сплошных неоднородных систем не только при решении уравнений, но и при их составлении. В связи с этим в некоторых работах практикуется введение в уравнения средних параметров, таких как теплопроводность, коэффициент диффузии и другие физические величины. Этот ошибочный подход заключается в непоследователь-

ности идеи использования метода осреднения величин переноса, ибо осреднению должны подлежать потоки, в которые входят параметры тепломассопереноса, а также все остальные физические величины в уравнениях тепломассопереноса.

При локальном осреднении по объему некоторой скалярной величины

(1)

справедливы следующие две теоремы, используемые при корректном последовательном осреднении уравнений переноса в целом [6]. Первая теорема содержит информацию о локальном осреднении по объему градиента некоторого скаляра В, распределенного по объему Уа:

1

(2)

<УВ> = У<В> + — / ВЫЭ) у^

Отсюда следует, что перестановочность операции градиента (V) и осреднения (< >) возможна лишь в том случае, если поток величины В через поверхность раздела фаз отсутствует. Вторая теорема содержит ту же информацию относительно перестановочности операции дивергенции:

1

<сНуВ> = сНу<В> + — (В(пй8) . (3)

Увсф

В капиллярно-пористой системе имеем: V — полный объем осреднения, 1/д — объем капилляров (или жидкости, заполняющей поры и капилляры), Уа — объем твердой фазы, 8а^ — поверхность раздела фаз.

В качестве примера рассмотрим основополагающие соотношения для двухфазных систем, которые можно обобщить и для многофазных систем [7]. Пусть внутри каждой из фаз выполняется уравнение теплопроводности

рС = &Щ1гЧТ)

И (Я

(4)

с соответствующими краевыми условиями. Средние величины температур по фазам:

Тогда с учетом долей фаз. внутри объема

V,

а

V’

= 1

справедливы соотношения <Т„> = £„< Т„>

<Г3> - е.р< Тр>^.

(5)

(6)

(7)

а а

Проведем осреднение (4), например, по /?-фазе, которая может представлять собою поры и капилляры, заполненные фильтрующейся жидкостью:

. С у1

6) МО)

прово;

где

Ост

уравн

краев:

чим:

где л<

ввеце гаемс сана Ан а-фаа нить /3-фаз щесп ент д

Ср, о

нени

ф] урав. гиро твер) инте фит но о неко полу

где

П|

новл

обез;

ных

г

ни, ч;*,

724.001.573

ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. ПИЩЕВАЯ ТЕХНОЛОГИЯ, № 6, 1997

11

В

&ы-

М£Ь:

Ь'ЛЫ 7ППЛС-ркгическле

ЖДІІча': л у гіікстй-

Ш

ГҐПҐ^“І,у V Р-ін ОфВДН'і-

6; І І^і-иач Ізсрсді І ґіайа'ра В.

ї:.

№

Кп :ЛЛ"ТМ-I и ^г.іп^:ш

Н:Г Іі іе|^м

Ііті^За к'о-

)ІіҐТІЇЛЙ£5

$і'ч

ІУі {3) иі'м: У —

.Чі.г:Мьт?-

; ^ киліі.т-■ лїіве г-ч1-

і: Ю.г.1].-;.‘0-’.I ИЙСыЛм!1

іпст-еь- ."].

СЧ чрЧ.Ї і-

(4)

іик. &іед-

ш

(61

і?)

и ^ $£зе. ‘І

і1 г.-лю:

ФсЛа-

;■ =- Ї-,

~Ьафт^]\ +

= ііу^кр[\ <Тр> +

к^Т^Б, (9)

*іпА'

где

)й

^<тв>

Ш

+ 17-/"дЛ«і} +

УН\е>

где локальная температура

Тр = <т,>[і

V

£Ііу| V <Тр 1

>^ +

/

+ Та

(Ю)

(11)

введена с помощью некоторого поправочного слагаемого То, процедура нахождения которого описана в работе [7].

Аналогичное уравнение можно записать и для а-фазы. Полученный результат можно распространить также на процессы диффузии вещества в /5-фазе, в частности, на процессы экстракции веществ из пористых материалов. Введем коэффициент диффузии вещества в /?-еЬазе Д концентрацию

V.

Ср, объем пор Уа, тогда пористость £ -

нение диффузии представим в виде

дСд с I

с31у|бО [¥<Сд>^ + ~

Уоав-

Ы

II г1 ■

т а і ^ ■ч,

г - ^ .V-

+ \ /я^С^Я

(12)

Физический смысл последнего интеграла в этом уравнении заключатся в непосредственном экстрагировании либо сорбции вещества на поверхности твердой фазы. Обычно величина потока в этом интеграле вводилась через соответствующий коэффициент сопротивления [8]. В данном случае можно ограничиться структурой пограничного слоя с некоторой его эффективной толщиною /э. Тогда получим градиент концентрации

V <Св>

с= - с,

(13)

где

і

концентрация вещества в растворе; концентрация вещества на поверхности твердого тела.

При непреодолимых трудностях решения установленных уравнений тепломассопереноса они обезразмериваются для установления безразмерных критериев, определяющих течение процессов.

(8>

С учетом определяющих соотношений (1—3), (5, 6) можно получить следующее уравнение теплопроводности по /3-фазе

пар —единичныи вектоо нормали к меж-фазной поверхности.

Оставляя дальнейшей преобразования [7] этого уравнения с учетом физико-химических свойств и краевых условий системы, в конечном счете получим:

Р

Сюда включаются и критерии, определяемые краевыми условиями.

Далее, как и в методе анализа размерностей, включается П-теорема Букингема. Следует, однако, учесть, что в случае процессов тепломассопереноса с фазовыми превращениями дополнительные условия на фронте слабых и сильных разрывов получаются из основных уравнений с помощью обобщенных алгоритмов [9].

Итак, математическое моделирование процессов, как и физическое, завершается установлением критериальных уравнений, в которых недостающие коэффициенты получаются опытным путем.

Пожалуй, наиболее сложная ситуация обоих методов моделирования возникает в процессах тепломассопереноса, осложненных турбулентностью. Несмотря на то, что основные закономерности турбулентных процессов сформулированы [ 10-12], применение их в решении задач пищевой технологии встречает большие затруднения. До сих пор реализована лишь гипотеза Локкарта—Мартинел-ли о пропорциональности напряжений в турбулентном слое величине кинетической энергии паровой фазы [13, 14]:

АР = Кі а

ри

(14)

завершившаяся ведением (с помощью уравнений Навье—Стокса) критериального уравнения

Д/’„ = /(Не, Рг, Кг).

(15)

где

К, — критерий турбулентного напряжения [13].

Если в уравнения Навье—Стокса ввести осред-ненные и пульсационные слагаемые согласно выражениям [11]

и - и + и!, Р = Р + р’, р = р + р’, [16]

то при последующем обезразмеривании уравнения получим следующие критерии, содержащие величины II, и’, р и р-р'\

ри;и

ри. и:

К- =

К- ..

ри

Первый из них

ж

к: =

Р Щ М,

~п

(17)

это уже введенный нами ранее критерий турбулентных напряжений, учитывающий, как и третий критерий, корреляцию пульсаций скорости и не учитывающий последнюю, как второй критерий.

Таким образом, введение единого критерия турбулентных напряжений при описании турбулентности недостаточно. Дело в тощ что турбулентность вносит качественно новые свойства явлений тепломассопереноса, например, масштаб турбулентности /т [10], характеризующий статистическую зависимость между вихрями (турбулентными комками [10]) и названный в последующем путем перемешивания вихрей.

Для вихрей был сформулирован закон сохранения диффундирующей субстанции 5 [10, 15]:

Щ + Ц- — Аре, #)’. - —(К Щ-Х (18)

</£ дх. дх, г дх; щ г дх;

аналогичный по виду уравнению конвективной диффузии. Если под 5 понимать концентрацию вихрей, то она должна быть помечена индексом, указывающим на размер диффундирующих вихрей, и в правую часть этого уравнения должна быть введена функция источника, отражающая

время жизни и размер вихря. Статистически скоррелированная пара таких уравнений отражает закон эволюции вихрей.

Несмотря на значительное различие масштабов молекулярной и турбулентной диффузий, уравнение (18) отражает их единую статистическую сущность. Для наглядности различия коэффициентов диффузии в работе [15] приводятся расчеты Ктур6 и Виол, отличающиеся на несколько порядков, примерно так же отличаются и потоки молекулярной и турбулентной диффузий. Однако в случае мелкомасштабной турбулентности разница между этими потоками может быть значительно снижена. Так, в случае мелкомасштабной турбулентности (длина перемещения вихрей порядка КГ1 см, скорость 103 см/с) величина окажется порядка 102 см2/с. В газовых потоках средняя длина свободного пробега молекул — 10 4 см, скорость — 10' см/с, поэтому коэффициент диффузии — порядка 10 см"/с.

Этот оценочный расчет показывает пределы величин, характеризующих коэффициенты переноса молекулярной и турбулентной диффузий. Практически ситуация оказывается сложнее, так как, во-первых, существует функция распределения вихрей по размерам, во-вторых, крупные вихри передают энергию мелким вихрям, в-третьих, время жизни крупных вихрей меньше времени жизни мелких (как и ассоциатов в жидкостях) и т.д.

Основные представления в теории турбулентности были сформулированы А.Н. Колмогоровым в виде трех гипотез [10, 11, 16]. Первая гипотеза заключается в изотропности мелкомасштабной турбулентности. Согласно второй гипотезе при достаточно больших числах Рейнольдса, когда движение вихрей определяется только силами трения и инерционными силами, турбулентность описуе-ма величинами кинематической вязкости V и скорости диссипации энергии е. Это область универсального равновесия. Величины г' и £ в работе [10] используются для введения характерных длины (масштабы длины = к3 4/е и времени ? = = V1 ‘/е1 “) При расстоянии между вихрями Ь = Се /,4 где С — некоторая постоянная. Полезность замены переменных заключается в необходимости введения двух критериев Рейнольдса [11]. Так, введя вместо времени скорость диффузии турбулентных комков V = (уе) ' , можно получить величину критерия Рейнольдса в этих переменных

Re =

щ

(19)

Но если взять скорость пульсаций и’, масштаб диссипации Я (средний размер вихрей, через которые проходит диссипация) и средний размер энергосодержащих вихрей /, то можно образовать два критерия Рейнольдса

Ред =

(20)

р _ и’1

V ’ / V ■

Первый критерий определяет свойства системы в меньшем масштабе по сравнению с вторым критерием. Так как полная диссипация согласно [11]

,2

Е = 15v-

(21)

то оба критерия оказываются взаимозависимыми:

Re, = ARelj

(22)

Для выполнимости второй гипотезы Колмогорова необходимо выполнение неравенств

(23)

Ref4 > > > 1, Ref2 > > > 1.

Согласно третьей гипотезе при бесконечно большой величине критерия Рейнольдса, когда силами трения можно пренебречь и ’’работают” только инерционные силы, когда ЯД<<Я<</ [16], энергетический спектр зависит от е, не зависит от V и справедлив закон Колмогорова

(24)

2/3.-5/3

где

Е(&, е) = const £ k

k 2лп

— волновое число, равное ——;

п — частота пульсации скорости; и — средняя-.скорость движения вихря.

В этой области

Ref8 > > > 1,

>>>]

(25)

В настоящее время функция энергетического спектра известна во всех диапазонах волнового числа к [11], поэтому всю необходимую информацию о свойствах вихревого движения можно получить с помощью этой спектральной функции. Так, в области энергосодержащих вихрей существует критерий Рейнольдса

£/2

Л = тт-, (26)

который в случае вырождения энергосодержащих вихрей равен

Rx = 0,15Re]

(27)

Отсюда можно получить время вырождения энергосодержащих вихрей

?1 = Re;l(0,15^)1/2.

(28)

Область универсального равновесия Колмогорова наступает при

Д15кі/2

h»>(-т-г-

(29)

Сделанный нами краткий экскурс в область свойств турбулентного движения показывает, что оно характеризуется целым спектром критериев Рейнольдса и напряжений, которые следует выбрать при корректном расчете использованных в настоящей работе параметров турбулентности.

Начиная с 1979 г. в КубГТУ ведутся экспериментальные исследования по созданию промышленной установки для обработки влажного зерна жидкими консервантами. Экономическая эффективность установки очевидна, однако перспективы внедрения и широкого применения последней могут быть раскрыты лишь в результате всестороннего научного иследования технологических и конструктивных особенностей установки в процессе ее реализации.

Основным условием промышленной реализации установки является моделирование ее лабораторного образца. Физическое и математическое моделирование включает уравнения движения сыпучей среды в поле сил тяжести, распыления консерванта, фильтрации парогазового консерванта сквозь встречный поток зерна, сорбции и капиллярной конденсации в зерновках. Составление

ГИЯ, *5 1=, '><Г,

I К'_|.' ИЙЙрО-к

ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. ПИЩЕВАЯ ТЕХНОЛОГИЯ, № 6, 1997

]

баД!-.оги пйвмч гггг

I _ ^ |. эаарттй-

КСПТ ПТ- 1- и.

Ш)

*ноа . ; Ь

нир^сш; ,менгя ^

Ш

гйтп,“йси-,;11>

шли Ы'СШ

ш игнфпрмя-МЛЧ!1 и МОЛ

им-ьл. Тг-к. су- (.ептмУкг

ту

Должна ш.!А

(2 71 ||рЭДщ<_ыня

Щ)

Килигптпро-

(25) н иЗли^ть

Ч'П>

КрКТР.Т5>"еЬ ^1IIу'14 :на-рБ&НЧЬ:? Т« |\1Юи Л. СЛ*Т*кгйН-[1Г"1 1 I .1?11-

Ярриа; .■кид-■ !1-

МБ^'ГИ'ЛЫ ГЯДЧЭ'Н УО-к’Лфик не-ккзс к кпк-5 I |:\! ЙСи?

|.-ьг1й5а:шг ИЙедя ГО[ь |Глп:: Г.ЮД-З-1= -IП СЧПу-И.Н К.^]: ^(_'р-1С р I:"_ 1- Я ■1 *:. I И-1 СТ^Йгек У,г

такой системы дифференциальных уравнений и особенно краевых условий для них представляет почти непреодолимые трудности, поэтому остается с самого начала воспользоваться приемами физического моделирования с выходом на критерии подобия. Такие работы нами были проделаны [5, 17,18] частично, так как технологический режим установки задается дозой консерванта, необходимой для оптимальной реализации поставленной задачи. Данная величина является многофакторной, поэтому возникают большие трудности при физическом моделировании дозирования зерна консервантом.

Покажем это на конкретном примере. Пусть величина дозы консерванта будет ?/ , равная отношению массы консерванта т к массе зерна тз. Она зависит от времени обработки г , зерна консервантом, температуры обработки /о6р, времени установления равновесия ?р консерванта в высокоразвитой капиллярно-пористой структуре зерна, плотности консерванта рк, его активности ак, определяемой некоторым эффективным химическим потенциалом консерванта. Величина дозы зависит также от плотности зерна р3, его влажности Ш3, удельной поверхности 53, времени обработки времени хранения ? температуры хранения Т и среднего размера зерна гз.

Все эти физические величины включают полный набор базовых элементов, поэтому матрица размерностей, состоящая из 12 физических величин в соответствии с теоремой Букингема, позволяет выделить восемь безразмерных величин (критериев подобия). Кроме того, матрица размерностей позволяет выбрать определитель четвертого порядка, не равный нулю. Действительно, выписывая матрицу размерностей

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Размер- ности Пь т - 1 оор Рк ак Рз ?3 ^обр ^3 & Т ■’ф

М 0 0 0 1 1 ! 0 0 0 1 -1 0

£ 0 0 0 -3 2 -3 0 1 0 -3 2 0

Т 0 1 0 0 -2 0 1 о 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1

Д =

* о,

(30)

и выписывая не равны-и нулю определитель четвертого порядка

0 1-10 0-320 10 0 0 0 0 0 1

устанавливаем базовые размерные физические величины, зависящие от базовых элементов

Г06р =

ХР3 = Л1а2/А7*2в<4 53 = Ма^Туз&^,

Т= Ма^Ту*ед1. (31)

хр

Согласно теории размерных однородностей, или инвариантности преобразуемой величины

?/к = КХ2’Х3’ •••> х\2) (32)

величина ?/к ооразует аоелеву группу, представимую в виде

12 12

?7К = Пх*‘ = П (33)

1 — 2 г —2

Уравниванием размерностей левой и правой частей получим систему уравнений для определения К1 -величин. В результате приходим к матрице решений в следующем виде

к{ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

П3 ч* Ч т 1 обр Рк ак Рз ^хр ^обр 5 2 Г*р

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

П2 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1

л4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 0

Пь 0 0 0 0 1 0 0 0 2 4 5 0

!>-, 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -1 1 0

П- 0 0 0 0 0 0 1 0 -I 0 0 0

П8 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0

С помощью этой матрицы решений выпишем восемь фундаментальных критериев подобия

Я, = * = ф), П2 = |Ц, Я, = (■£*),

ч оор хр

обр

чг-

Я; - г—). Ц. = С------ —гг! .

Ч.. ! ЕЙРЙ& 1

(34)

|ш&-|,ь-| т 1

В соответствии с абелевостью группы критериев подобия общая зависимость между ними представима в виде

?7К = Я, = АПРЛК3*П«*П*ЬП£ПК7ГП$. (35)

Нахождение /С.-величин можно осуществить методом наименьших квадратов, для чего следует с помощью необходимых экспериментов составить систему алгебраических уравнений восьмого порядка.

Критериальное уравнение можно укоротить, если в соответствии с поставленной задачей часть физических величин опустить. Но можно и удлинить, если в соответствии с поставленной задачей возникнет необходимость введения дополнительных физических величин, ужесточающих условия, накладываемые на величину дозы консерванта. Эти условия могут быть выражены в виде следующих критериев: механической порчи зерна Я9, биологической порчи зерна Я10, механической засоренности зерна Я,,, всхожести зерна Я12,.биологической засоренности зерна Я13, контактного состояния консерванта Я14, пространственного хранения зерна Я15 и др. Естественно, полезность полученного критериального уравнения определяется корректным выбором физических величин, содержащихся во внутреннем и внешнем тепло-массопереносе. Если имеется возможность выбора математической модели в виде дифференциальных

уравнении переноса, то процедура решения задачи облегчается.

В настоящее время для описания внутреннего влагопереноса широко используются дифференциальные уравнения тепломассопереноса в капил-лярно-пористых телах, каковыми и являются зерна различных злаков [19]. В эти уравнения вводятся так называемые потенциалы массопереноса © и влагосодержания и, включающего аддитивно все виды конденсированной и парообразной влаги. В связи с этим нетрудно показать, что величина 0 = с~1и [19] не обладает свойством потенциала, так как при фиксированном значении величины и она характеризует бесчисленное множество состояний с различным распределением влаги по указанным фазам, причем законы переноса влаги указанных фаз различны по природе. Так, для фильтрации жидкости в капиллярно-пористой системе справедлив закон Дарси, а при отсутствии градиента давления — закон капиллярного переноса, при конденсации паровой фазы возникают законы капиллярной конденсации, для парообразной фазы можно воспользоваться законами молекулярной диффузии и т.д. Используемые в [19] локальные величины 0 и и по мере перехода из одной фазы в другую претерпевают скачки. Таким образом, по самой своей природе эти величины являются неоднозначными функциями своих аргументов и не могут быть использованы для записи уравнений переноса по аналогии с законом теплопроводности Фурье. В этом методе вызывает также возражение введение постоянных коэффициентов переноса, которые по мере заполнения или опустошения пор и капилляров изменяются на несколько порядков. Но самое главное здесь то, что они так же, как и величины 0 и и в уравнениях переноса, не имеют никакого физического смысла. Этот факт стал бы особенно ясным, если к указанным уравнениям массопереноса применить метод локального осреднения по объему, который был нами рассмотрен в начале статьи.

Таковы основные аспекты физического и математического моделирования процессов пищевой технологии в сложных условиях тепломассопереноса.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бенедек П., Ласло А. Научные основы химической технологии, — Л.: Химия, 1970. — 378 с.

2. Курош А.Г. Теория групп. — М.: Гостехиздат, 1953. — 265 с.

3. Гухман А.А. Введение в теорию подобия. — М.: Высш. школа, 1963. — 255 с.

4. Гухман А.А. Применение теории подобия к исследованию процессов тепломассообмена. — М.: Высш. школа. 1967.

— 304 с.

5. Выродов И.П., Росляков Ю.Ф. Математическое моделирование сорбционных процессов при консервации зерна в противотоке парогазовой среды / / Изв. вузов. Пищевая технология. — 1996. — № 5-6. — С. 12—iA.

6. Слеттери Дж.С. Теория переноса импульса, энергии и массы в сплошных средах. — М.: Энергия, 1978. — 448 с.

7. Nozad I., Carbonell R., Whitaker S. Heat conduction in multiphase Systems // Chem. Eng. Sci. — 1985. — № 5.

— P. 843-863.

8. Сердюк В.И., Малашихин К.В., Выродов И.П. Описание процессов экстракции с учетом сорбционных явлений / Тр. КНИИПП, т. V. — 1969. — С. 223.

9. Выродов И.П. Метод операторных разностей Адамара— Предводителева и фронтовой метод установления скоростей перемещения сильных и слабых разрывов. — Деп. в ТВТ 04.06.92, ,№ 1839.

10. Колмогоров А.Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой вязкой жидкости при больших числах Рейнольдса // Докл. АН СССР. — 1941. — 30. — № 4. — С. 301.

П.Хинце И.О. Турбулентность. — М.: ГИФМЛ, 1963. — 680 с.

12. Шлихтинг Г. Теория погпаничиого слоя. — М.: Наука, 1969. — 744 с.

13. Выродов И.П. Об основных физических аспектах теории массообмена в двухфазных потоках / / Изв. вузов. Пищевая технология. — 1970. — № 3. —.С. 132.

14. Выродов И.П. О введении гиперкомплексов при исследовании технологических процессов / / Изв. вузов. Пищевая технология. — 1972. — № 2. — С. 131.

15. Монин А.С. Общий обзор по атмосферной диффузии / Атмосферная диффузия и загрязнение воздуха. — М.: ИЛ, 1962. — С. 44.

16. Панчев С. Случайные функции и турбулентность. — Л.: Гидрометеорологич. изд-во, 1967. — 448 с.

17. Выродов И.П., Росляков Ю.Ф. Математическое моделирование сорбционных процессов при консервации зерна в противотоке парогазовой среды // Изв. вузов. Пищевая технология. — 1996. — Л'Ь 3-4. — С. 67-Л).

18. Выродов И.П. К теории струйно-газового распыливания жидкостей. — Деп. в ВИНИТИ 27.09.96, № 2896.

19. Гинзбург А.С., Дубровский В.П., Казаков Е.Д. Влага в зерне. — М.: Колос, i969. — 224 с.

Кафедра физики

Поступила 15.05.97

Vljr-j Л '-

Та.Ч иШЛ- I П|1

:ЛИ