Математическое моделирование процессов газообмена Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 629.424.3

А.Н. Сопижук

преподаватель, кафедра «Вагоны и вагонное хозяйство», ФГБОУ ВО «Омский государственный университет

путей сообщения»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ГАЗООБМЕНА

Аннотация. Статья посвящена математического моделирования процессов газообмена. Приведены возможности основных подходов расчета процессов газообмена. Показаны особенности моделирования процессов газообмена на основе уравнений газовой динамики.

Ключевые слова: математическая модель, газообмен, закон сохранения массы, импульса и энергии.

A.N. Sopizhuk, Omsk State Transport University

MATHEMATICAL MODELLING OF PROCESSES GAS EXCHANGE

Abstract. The article is devoted mathematical modeling of processes of gas exchange. Possibilities of the main approaches of calculation of processes of gas exchange are given. Features of modeling of processes of gas exchange on the basis of the equations of gas dynamics are shown.

Keywords: mathematical model, gas exchange, conservation law of weight, impulse and energy.

Требования к характеристикам современных двигателей внутреннего сгорания (ДВС) с каждым годом ужесточаются. В течение долгого периода на первом месте было повышение цилиндровой мощности и коэффициента полезного действия с одновременным снижением удельных показателей расхода топлива и масла. В настоящее время идет постепенное повышение требований по экологической безопасности ДВС, что приводит к необходимости снижения вредных выбросов и уровня шума. И на сегодняшний день именно экологические показатели стали приоритетными, в особенности для дизелей нового поколения.

Совершенствование ДВС необходимо вести по двум основным направлениям:

• улучшение процессов сгорания топлива на частичных нагрузках и переходных режимах;

• оптимизация процессов газообмена.

Процессы газообмена в цилиндре двигателя характеризуются неустановившимися турбулентным истечением газов через органы газораспределения и теплообменом между рабочим телом и стенками цилиндра, между отдельными зонами рабочего тела с различной температурой и составом (зоной свежего заряда и зоной продуктов сгорания); физико-химическими процессами (испарение, реакции окисления и т.п.); изменением параметров и состава рабочего тела по объему рабочей полости и по времени, объема рабочей полости и проходных сечений органов газораспределения, а также параметров потока в газовоздушных каналах у органов газораспределения. Аналитически описать взаимосвязь всех параметров и факторов, определяющих протекание процессов в рабочей полости при газообмене, чрезвычайно сложно.

Математическая модель процессов должна включать систему дифференциальных уравнений нестационарной газовой динамики, нестационарного теплообмена и т.д. На практике эта задача решается с некоторыми допущениями, позволяющими существенно упростить решение данной задачи при соответствующей для цели исследования точности. В зависимости от целей исследований, начальных условий приходится уточнять допущения, а соответственно и систему уравнений. Традиционно при проведении численных исследований нестационарных и установившихся течений газовых потоков в проточных частях машин и механизмов решение считается найденным в том случае, если исследователь может вычислить параметры рабочего тела (р, р, Т, W) любой произвольный момент времени в каждой точке исследуемого пространства.

В настоящее время существуют два основных подхода к анализу процессов в органах впуска и выпуска поршневых двигателей: подход, основанный на принципе изотропности рабочего тела, и подход, при котором для анализа движения газа в органах впуска и выпуска используются уравнения газовой динамики.

На базе первого подхода создан ряд расчётных методик, позволяющих учитывать и исследовать влияние таких факторов, как порядок работы, число цилиндров, объединённых одним коллектором, конструктивные параметры органов газораспределения (число и диаметры впускных и выпускных отверстий, фазы газораспределения, объём коллекторов и т.п.) и других. Однако положенный в основу этих методик принцип изотропности рабочего тела, то есть равенства параметров газа по всему расчётному объёму, исключает возможность оценки распределения параметров газа по длине газовоздушного тракта и, как следствие, волновую настройку органов впуска расчётным путём. Данные методики находят применение при оценочных расчётах характеристик системы газообмена, особенно для малооборотных двигателей.

Существенно большими возможностями обладают методики, построенные на решениях основных уравнений газовой динамики. Параметры газового потока, которые необходимо рассчитать, определяются тремя законами сохранения - законами сохранения массы, импульса и энергии [1]:

Г д — —

-—| р-с1У = 0 р• (/ • с1Р) д!

--—|р-//V с1У = 0р• //V• (//Vс1Р) + 0рс1Р (1)

д!

д — — — — -—1 р•Е • с1У = 0 р • Е • с1Р) + 0 р • / • с1Р). д

Анализ результатов экспериментальных работ по исследованию течения газа в газовоздушных трактах ДВС показывает, что оно имеет сложную трехмерную структуру, сопровождается нестационарными отрывами, вторичными течениями.

Отыскание решения системы уравнений (1) в трёхмерной постановке представляет собой трудноразрешимую задачу. Кроме того, в большинстве технических задач, в том числе и при моделировании процессов газообмена в поршневых двигателях внутреннего сгорания, трёхмерная постановка, в которой параметры газового потока зависят от всех трёх Эйлеровых координат, не является целесообразной [2]. Это обусловлено тем, что, во-первых, изменения параметров газового потока по двум координатным осям, как правило, пренебрежимо по сравнению с изменениями параметров газового потока по третьей оси координат, и во-вторых, чаще всего исследователя интересует то, как изменяются параметры газового потока вдоль газового тракта, а не в поперечном сечении канала.

На основании сказанного, при моделировании процессов газообмена поршневых двигателей внутреннего сгорания допустимо отойти от реальной картины течения газовых потоков и предположить квазиодномерный характер течения газов, сделав допущение о неизменности параметров газового потока в поперечном сечении канала. Таким образом, можно считать, что в сделанном приближении все параметры газового потока зависят только от одной Эйлеровой координаты (рис. 1).

В связи с тем, что течение газа в органах впуска и выпуска сопровождается потерями, определяемыми вязкостью газа и теплообменом со стенками органов впуска и выпуска, в рамках конкретной физической задачи моделирования процессов газообмена поршневого двигателя внутреннего сгорания мы будем пренебрегать такими малосущественными факторами, как действие сил внутреннего трения, теплообмен газа со стенкой канала, теплопроводность газа и другими, ещё более слабыми процессами.

Допустимость применения модели невязкого совершенного газа определяется удовлетворительными совпадениями результатов большого числа методических расчётов, выполнен-

ных на модели идеальной среды, с результатами экспериментов [3; 4]. Очевидно, причиной этого является тот факт, что при выполнении расчётов конечность шагов по времени и шагов по пространственной координате определяет появление в решаемых уравнениях диссипативных членов, характеризующих так называемую аппроксимационную (схемную) вязкость. Однако следует иметь в виду, что коэффициенты схемной вязкости зависят от шага расчётной сетки и величины локальной скорости потока и потому по своей сути не могут в полной мере компенсировать погрешность, вносимую допущением об отсутствии вязкости.

1 -| н 1 1

-

1 1

I

| I I I I I I I I I | I М I | I I I I | I I I I | I I I I | ■ I I I | I I I I | I I I I | I I I I | I I I I |-*

X

Рисунок 1 - Квазиодномерность процессов газообмена

Допустимость применения модели адиабатического течения газа подтверждается оценкой величины отношения теплового потока, отданного в стенки, ограничивающие расчетную область, к энтальпии потока. Как показывают расчёты [4], при режимах течения рабочего тела, характерных для поршневых ДВС, относительное количество теплоты, отданное в стенки, не превышает 2%. Следует отмстить, что расчёт процессов течения газа в органах впуска и выпуска поршневых двигателей внутреннего сгорания, с учётом теплообмена, особых трудностей не вызывает, но при этом необходимо знать распределение температур как по времени, так и по поверхностям стенок. Причём ошибка в их задании может привести к большим погрешностям расчёта, нежели при выполнении расчетов без учёта теплообмена.

На изменение давления рабочего тела в цилиндре также оказывает незначительное влияние, так как изменение температуры, обусловленное теплообменном за такт выпуска или впуска, более чем на порядок меньше абсолютного значения температуры рабочего тела. Поэтому расчет процессов газообмена, с учетом теплообмена, обычно выполняется только в специальных исследованиях.

Правомерность сделанных допущений подтверждается, кроме того, всем опытом применения подобных приближений для решения большого количества прикладных задач при создании разнообразных машин и аппаратов [5; 6; 7; 8], а также при сопоставлении расчетных и экспериментальных индикаторных диаграмм на участке газообмена в двигателях различных типов. Для дизеля с газотурбинным наддувом и изобарными газовоздушными системами расчетные значения давления практически соответствуют экспериментальным. В быстроходном двухтактном бензиновом двигателе с кривошипно-камерной продувкой расчетные значения давления заметно отличаются. Эти расхождения объясняются влиянием газодинамических явлений в газовоздушных каналах, которые в данном методе не учитываются.

Система уравнений (1) после вычисления соответствующих интегралов, с учётом принятых допущений и дополнения её уравнением состояния для конкретного рабочего тела, связывающем его основные термодинамические параметры, принимает следующий вид:

- р Эр _ др • / Р

- эГ _ дх

д/ ... д/ др

- р--_ р • /--+ —

Й дх дх (2)

дЕ дЕ др • / Р

- р Р--_ р • / Р--+ —-

д! дх дх

р _ р К • Т.

Система уравнений (2) имеет бесчисленное множество частных решений. При решении конкретной задачи моделирования процессов газообмена поршневого двигателя внутреннего сгорания из всех возможных решений необходимо выбрать то, которое будет удовлетворять некоторым дополнительным условиям, вытекающим из физического смысла изучаемого процесса. Такими дополнительными условиями являются начальные условия, относящиеся к моменту времени начала изучения рассматриваемого процесса, и граничные условия, принимаемые в каждой конкретной ситуации из той или иной гипотезы или же из опыта.

В ходе моделирования процессов газообмена решаются две задачи:

1. определяются термодинамические параметры рабочего тела, находящегося в цилиндре, в любой произвольный момент времени цикла (задача о цилиндре);

2. определяются термодинамические параметры и поля скоростей рабочего тела, находящегося в органах впуска и выпуска, в любой произвольный момент времени (задача об органах впуска и выпуска).

Для решения задачи о цилиндре производим преобразования системы уравнений (2) к виду, соответствующему конкретным условиям рассматриваемой задачи. Закон сохранения энергии преобразуется к виду:

дЕ _дМ • с • Т +1 дМ + Р дБ, (3)

р св св 4 '

где дМ и дМсв - соответственно масса удалённого и поступившего рабочего тела; Ср - изобарная теплоемкость; ¡св - энтальпия свежего рабочего тела.

Изменение полной энергии рабочего тела, находящегося в цилиндре двигателя, представляет собой разность полной энергии рабочего тела, находящегося в цилиндре в момент времени (! + д!) и полной энергии рабочего тела, находящегося в цилиндре в момент времени (!):

дЕ _ (Е + дЕ) - (Е) _ {(М + дМ) • си • (Т + дТ) + исв • дМсв} - {м • сц • т}. (4)

Энергия, поступившая в цилиндр двигателя со свежим рабочим телом:

I •дМ _ (и + р • и )•дМ _ и •дМ -р дУ. (5)

св св св тр тр св св св тр

Изменение энергии за счет работы, свершаемой над рабочим телом со стороны поршня:

Р •дБ _-(р - р ) • \ дБ _-(р - р ). (6)

'тр' цил 'тр' 4 '

Подставляя выражения (4 и 5) в закон сохранения энергии в форме (3) и производя сокращения и преобразования, получаем:

дТ _ (к -1) • Г дМ-дУ!. (7)

т М, М V)

Для расчёта изменения массы рабочего тела преобразовываем закон сохранения массы и получаем:

дМ _ ' • / • р, (8)

где 1 = ^ - эффективная проходная площадь отверстия; W - скорость истечения через отверстие; р - плотность истекающего рабочего тела.

Характер истечения рабочего тела через впускные и выпускные отверстия зависит от перепада давлений, и критический перепад давлений составляет:

к

(9)

Р,

кр Р

к + Як-1

2

При перепаде давлений менее критического скорость истечения может быть определена по следующей формуле:

W =

2 • к 2-1 ^ Р1 ^ Р11

к

1 -

' Рг Х

V Р1 ,

V I /

к-1

(10)

При перепаде давлений более или равном критическому скорость истечения составляет величину, равную местной скорости звука в критическом сечении, и может быть определена по следующей формуле [9]:

W =

2 • к Р1

(11)

к + 1 Р1

Таким образом, для отыскания трёх неизвестных параметров рабочего тела (Т, Р, М) имеем систему из двух уравнений (7) и (8). Так как уравнений меньше, чем переменных, то система является незамкнутой, поэтому дополним её уравнением состояния рабочего тела:

Р • V = М • Р • Т. (12)

Дифференцируя и преобразовывая уравнение состояния, получаем:

Эр ЭУ = ЭМ ЭТ Р + V = М + Т .

(13)

Подставляя выражение (7) в выражение (13) и производя преобразования, получаем следующую систему уравнений:

, (ЭМ ЭV

Эр = р•к• I---

V М V

ЭМ

— = \ • W • р

(14)

Так как ЭV = f (Э), то данная система уравнений легко может быть сведена подстановкой к обыкновенному нелинейному дифференциальному уравнению первого порядка следующего вида:

Эр = f (Э1). (15)

К сожалению, нахождение аналитического решения уравнения (15) в виде р = ^ (Э), где

^ была бы представлена в виде конечного числа элементарных функций, не представляется

возможным и целесообразным, особенно с учетом того факта, что численное интегрирование данного уравнения вполне может быть осуществлено.

Имея начальные и граничные условия на каждом шаге интегрирования и производя соответствующие вычисления, получаем функцию р = ^ (Э), в табличном виде. Найдя решение

уравнения (15), возможно определить остальные параметры рабочего тела, заключённого в

цилиндре двигателя, в любой произвольный момент времени по уравнениям (7) и (8).

Решение задачи об органах впуска и выпуска при моделировании процессов газообмена ведется на основании наиболее употребительного для этого случая физической модели квазиодномерного нестационарного изоэнтропийного течения газа, описываемой первыми двумя уравнениями из системы (2) и уравнением адиабаты Пуассона:

Эр Эр-W F

— F - — —-

Э1 Эх

ЭW ... ЭW Эр —р-—— р - W -— + . (16)

Э Эх Эх

— const

рк

Обоснованность применения данной физической модели обуславливается нестационарными граничными условиями у прилегающего к цилиндру сечения органов впуска и выпуска, порождаемыми сугубо нестационарным характером совместной работы кривошипно-шатунного механизма и газораспределительного механизма, большой, относительно поперечных размеров, длиной газовых каналов и относительным тепловым равновесием, установившимся после совершения двигателем множества циклов между органами впуска и выпуска и потоком рабочего тела [5].

Скорость распространения малых возмущений в газе при изоэнтропийном течении равна скорости распространения звука:

a — . ik - P.

(17)

Давление и плотность при изоэнтропийном изменении состояния газа могут быть определены через параметры, отнесённые к нормальным атмосферным условиям:

k

P — Pr

( \ T

T„

k — 1

( \

—P

2 - k k — 1

(18)

р — р

( \ T

0

T

0

k — 1

—р

( \

0

Дифференцируя последние уравнения, получим:

2 - k

2 - k

dp — P0 - k—1

(

k — 1

—1

k — 1

'o)

da a0

(19)

(20)

dP — р

2

0 k — 1

a

k — 1

—1

0 )

da a0

(21)

После подстановки значений ф и ф в систему уравнений (16) и некоторых преобразований, осуществляемых с учётом постоянства площади поперечного сечения органов впуска и выпуска, система уравнений принимает вид:

2 - a + W| + (W + a)- — ( 2

- a + W I — 0

Э^

Э ^ k — 1 ") " ' '' Эх ^ k — 1

— — - a — W | + (W — a) - — | ■— - a — W | — 0 Й \ k — 1 Jv ' Эх I k — 1 )

(22)

a

a

0

1

2

a

a

0

a

2

a

Система дифференциальных уравнений (22) должна быть решена в соответствии с поставленными начальными и граничными условиями.

При решении обеих задач из всех возможных решений необходимо выбрать то, которое будет удовлетворять начальным условиям, относящимся к моменту времени начала рассматриваемого процесса газообмена, и граничным условиям, определяемым задачей о впускных и выпускных органах. К начальным условиям относятся (начало рассмотрения процесса газообмена - момент открытия выпускного отверстия): давление, температура и масса рабочего тела, заключённого в цилиндре двигателя.

Названные начальные условия определяются характеристиками кривошипно-шатунного механизма (начальный объем рабочего тела, заключённого в цилиндре), характеристиками газораспределительного механизма (момент открытия выпускного отверстия) и характеристиками действительного цикла (начальная масса, температура и состав рабочего тела). Все названные начальные условия могут быть определены для конкретного двигателя из расчёта его действительного цикла и из его конструктивных характеристик.

К граничным условиям относятся: закон изменения во времени эффективной проходной площади впускного и выпускного отверстия; давление, плотность и температура рабочего тела во впускных и выпускных органах у впускного и выпускного отверстия.

В связи с тем, что граничные условия непрерывно изменяются во времени, будем считать их в течение одного шага интегрирования квазистационарными. Справедливость этого допущения обеспечивается выбором достаточно малого шага интегрирования, в ходе которого изменения граничных условий настолько малы, что ими допустимо пренебречь. Названные граничные условия могут быть определены из характеристик газораспределительного механизма и при определении термодинамических параметров и полей скоростей рабочего тела, находящегося в органах впуска и выпуска.

Использование упомянутой выше математической модели газообмена позволяет оценить технический уровень двигателя и определять наличие или отсутствие резервов для дальнейшего повышения энергетических и экономических показателей ДВС.

Список литературы:

1. Пасноков, В.Н. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена [Текст] / В.Н. Пасноков, П.И. Полежаев, Л.А. Чудов. - М.: Наука, 1984. - 286 с.

2. Артюхов, А.В. Методика расчета двумерного нестационарного течения газа в выпускной системе ДВС [Текст] / А.В. Артюхов, В.В. Бравин, Ю.Н. Исаков // Двигателестроение. - 1985. - № 11. - С. 57-60.

3. Бутов, И. А. Экспериментальная проверка методов расчета длины резонансной трубы дизеля [Текст] / И.А. Бутов // Изв. Высш. учеб. заведений. Машиностроение. - 1961. - № 1. - С. 12-15.

4. Вихерт, М.М. Конструирование впускных систем быстроходных дизелей [Текст] / М.М. Вихерт, Ю.Г. Грудский. - М.: Машиностроение, 1982. - 152 с.

5. Глаголев, Н.И. Рабочие процессы двигателей внутреннего сгорания [Текст] / Н.И. Глаголев. - М.: Машгиз, 1950. - 212 с.

6. Кабарно, Л.И. Работа по инерционному наддуву [Текст] / Л.И. Кабарно // Дизеле-строение. - М., 1983. - № 7. - С. 14-17.

7. Фокс, Д.А. Гидравлический анализ неустановившегося течения в трубопроводах [Текст] / Д.А. Фокс. - М.: Энргоиздат, 1981. - 248 с.

8. Вырубов, Д.Н. Физические основы процессов в камерах сгорания поршневых ДВС [Текст] / Д.Н. Вырубов, В.П. Алексеев. - М.: МВТУ, 1977. - 84 с.

9. Идельчик, И.Е. Гидравлическое сопротивление [Текст] / И.Е. Идельчик. - М.: Госэнер-гоиздат, 1954. - 464 с.