Математическое моделирование процесса выведения молока доильным аппаратом попарного действия Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК (631.171:636);001.57

Н.П. Проничев, доктор с.-х. наук, профессор

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный агроинженерный университет имени В.П. Горячкина»

С.И. Щукин, канд. техн. наук, доцент

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тверская государственная сельскохозяйственная академия»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ВЫВЕДЕНИЯ МОЛОКА ДОИЛЬНЫМ АППАРАТОМ ПОПАРНОГО ДЕЙСТВИЯ

На процесс выведения молока из вымени коров экспериментальным доильным аппаратом попарного действия влияют многие факторы: технические, технологические, физиологические, человеческий, внешние условия и др. Главным выходным показателем является масса молока, извлеченная доильным аппаратом из вымени животных за один рабочий цикл пульсации, и его безопасное выведение с интенсивностью, равной интенсивности отдачи молока коровой.

В установившемся процессе машинного доения интенсивность выведения молока из вымени зависит от взаимодействия и эффективности функционирования биотехнической системы оператор — доильный аппарат — животное — внешняя среда (О — М — Ж — С).

Для определения зависимости выходных показателей процесса машинного доения экспериментальным доильным аппаратом попарного действия от его режима работы и физиологического состояния молочной железы вымени животного необходимо создание математической модели биотехнической системы (О — М — Ж — С).

Исследование процесса извлечения молока из вымени животных экспериментальным доильным аппаратом попарного действия показало, что отыскание оптимального сочетания факторов разной природы происхождения является задачей многофакторной. Использование при этом методов теории подобия и анализа размерностей в сочетании с теорией планирования эксперимента позволяет рассмотреть комплекс факторов, влияющих на процесс машинного доения во взаимосвязи.

Для этой цели удобно использовать кибернетический метод «черного ящика». Сущность метода заключается в том, что исследуемую модель биотехнической системы представляют при помощи характеристик вход — выход (структурная блок-схема, рисунок). В качестве выходных параметров (критериев) системы принимают задающие и управляющие воздействия. Выходные критерии определяют качество работы экспериментального доильного аппарата попарного действия и энергетическую сторону процесса машинного доения.

Входные факторы модели системы делят на управляемые и неуправляемые. К неуправляемым относятся исходные физиологические и морфологические особенности животных и конструктивные параметры экспериментального доильного аппарата попарного действия, к управляемым — параметры режима работы доильного аппарата попарного действия.

С позиций системного анализа представим объект исследования в виде сложной кибернетической системы (рисунок). На рассматриваемую систему действуют входные и выходные факторы.

Основные факторы, характеризующие процесс выведения молока экспериментальным доильным аппаратом:

Гь (В) — молоковыводящая сила в канале соска, Н;

Ж — жесткость сосковой резины, кПа;

р — плотность выдаиваемого молока, кг/м3;

g — ускорение свободного падения, м/с2;

С — внутренний диаметр сосковой резины, м;

Н — высота расположения входного отверстия присосковой камеры ,м;

Qц — цикловая масса молока, извлекаемая за одну пульсацию доильного аппарата, см3 (г; мл).

За входной критерий оптимизации принимаем цикловую массу Qц молока, извлеченную экспериментальным доильным аппаратом из четверти вымени за один рабочий цикл пульсации.

^

Процесс выведения

молока экспериментальным

► доильным аппаратом

попарного действия

I 1 I

Ж g р

Структурная схема процесса выведения молока экспериментальным доильным аппаратом попарного действия

67

В соответствии со структурной схемой (см. рисунок) представим факторы, характеризующие процесс молоковыведения экспериментальным доильным аппаратом в виде функциональной зависимости:

ф@ц, Н, с, ^ь, Ж, р, g) = 0. (1)

Выражая показатели уравнения (1) через основные величины, получим зависимость в относительных единицах:

ф(бц, А, d, Рь, Ж, р, g)

і У gZ

= 0.

(2)

Коэффициенты функциональной зависимости (5) — постоянные величины для кибернетической систем. Их определяют экспериментально.

Для трех первичных величин зависимость (5) примет вид

у = Ь0 + Ь1х1 + Ь2х2 + Ь3х3 + Ь 2х1х2 +

+ Ь13х1х3 + Ь2 3х2х3 + Ь123 х1х2 х3, где у — расчетное значение критерия оптимизации.

(6)

Коэффициент регрессии (6) определяют по формулам

Так как каждый член уравнения (2) является безразмерной величиной, то, применив метод нулевых размерностей, определим показатели степени а, в и Z, найдем критерии подобия или безразмерные комплексы:

я, =-

А

Я3 — _; Я 4 — ■

ж

рі3' " gpd3' 3 і gpd

При этом критериальное уравнение примет вид

(3)

О- = г

,3 ■>

рі

На основании расчетных и экспериментальных данных получим линейные зависимости

*1 = /1

ґ Р Л Рь gpd3

; *2 = /2

* 3 = /3

ярі

. (4)

Запишем зависимости (3) безразмерных комплексов в виде новых переменных:

у = р (^1, X» Хз).

Функциональную зависимость (3) можно аппроксимировать полиномом первой степени, который имеет вид

п п п

у=ьо+X Ьх+X Ьхх+ X хх]хг+...+, (5)

І=1

І=1

т

і=1

Г > ]>І

где Ь{ — коэффициенты регрессии; xi — факторы, влияющие на процесс; п — число факторов.

X Уи X Уи хЦ

X Уи хі,и х j,,

и - і=П . и - _____________; Ь - І=1

и0 - ; и1 - ; °ц -

-, (7)

где уи — значение функции отклика в и-м опыте; х[и — значение г-го фактора в и-опыте.

Для каждого фактора определяются два уровня варьирования в эксперименте. Для упрощения записи условия эксперимента и обработки экспериментальных данных масштабы по осям координат выбирают таким образом, чтобы верхний уровень фактора соответствовал +1, нижний--------1, ос-

новной — 0.

Для факторов с непрерывной областью определения этого достигают посредством следующего преобразования:

х1 - х01 Ах1

(8)

где х1 — кодированное значение фактора; х1 — натуральное значение фактора; хо1 — натуральное значение фактора на основном уровне; Ах — интервал варьирования факторов.

Численные значения критериев оптимизации функции отклика (6) и значения факторов определяют по плану-матрице эксперимента (таблица).

После определения коэффициентов модель проверяют на адекватность, т. е. на соответствие описания объекта полученной модели результатам эксперимента. Для характеристики среднего разброса относи-

План-матрица эксперимента типа ПФЭ23

п

Номер опыта *0 х1 Х2 Х3 х1х2 Х1Х3 Х2Х3 Х1Х2Х3 у

1 +1 +1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 У1

2 +1 -1 + 1 + 1 -1 -1 + 1 -1 У 2

3 +1 +1 -1 + 1 -1 + 1 -1 -1 У3

4 +1 -1 -1 + 1 + 1 -1 -1 + 1 У 4

5 +1 +1 + 1 -1 + 1 -1 -1 -1 У 5

6 +1 -1 + 1 -1 -1 + 1 -1 + 1 Уб

7 +1 +1 -1 -1 -1 -1 + 1 + 1 У 7

8 +1 -1 -1 -1 + 1 + 1 + 1 -1 У8

тельно линии регрессии вполне подходит остаточная сумма квадратов. Остаточная сумма квадратов, деленная на число степеней свободы, называется остаточной дисперсией или дисперсией адекватности:

N

!Ау2

г-1___

/

(9)

где / — число степеней свободы, равное разности между числом опытов и числом коэффициентов полного факторного эксперимента 23.

Для линейного уравнения регресии число степеней свободы

/= N - (к + 1) или/= 8 - (3 + 1) = 4.

Тогда

п 2

Х(усри уи)

-, (10)

о2 _ 1—1

5 ад _

/

где уСр и — среднее значение параметра оптимизации в и-м опыте при т повторностях; у и — значение параметра оптимизации, вычисленное по уравнению регрессии для условий и-го опыта.

Дисперсия воспроизводимости характеризует ошибку опыта. Ее рассчитывают по формуле

N N т 2

X 5и2 ХХ(уи - Уср и)

5у2 =

у N

1=1 1=1

N (т -1)

(11)

где 5и — дисперсия каждого опыта; N — число опытов; т — повторность опытов; уи — значение параметра оптимизации в и-м опыте; уср и — среднее значение параметра оптимизации в и-м опыте при т повторностях.

Для проверки однородности дисперсий используют различные статистические критерии. Одним из простейших является критерий Фишера, который предназначен для сравнения двух дисперсий. Критерий Фишера ^-критерий) представляет собой отношение большей дисперсии к меньшей. Рассчитанное значение сравнивают с табличным. Если численное значение отношения больше приведенного в таблице для соответствующих степеней свободы и выбранного уровня значимости, то это означает, что дисперсии существенно различаются, т. е. они неоднородны.

Адекватность модели проверяем по F-критерию Фишера:

(12)

Если рассчитанное значение F-критерия не превышает табличного, то с соответствующей доверительной вероятностью математическую модель можно считать адекватной. При превышении табличного значения принятую гипотезу отвергают.

После проверки полученной математической модели на адекватность ее можно использовать для определения значения Qц в выбранном факторном пространстве.

Ошибка опыта, которую называют в статистике дисперсией воспроизводимости, служит основой для оценки качества модели и ее элементов.

Необходимо знать, близки ли ошибки в разных областях факторного пространства, или, что одно и то же, однородны ли дисперсии параметра оптимизации в разных точках. Однородность дисперсий является одним из требований регрессионного анализа. Дисперсии параллельных опытов в точках плана должны быть сравнимы между собой, т. е.:

°2 {У1} = ^2 {У2 } = - = С2 {уп }.

Однородность дисперсий при одинаковом числе параллельных опытов оценивают по критерию Корхена:

G —.

2

у тах

тах N

152

и=1

(13)

при степенях свободы/1 = т - 1 и/ = N.

Если вычисленное значение критерия Gmax окажется меньше Gтаб, то гипотезу об однородности дисперсий принимают.

Данная методика использована при испытаниях экспериментального доильного аппарата попарного действия в опытном хозяйстве «Сахарово» Тверской государственной сельскохозяйственной академии на молочной ферме .

Методика позволяет выявить взаимосвязь системы оператор — доильный аппарат — животное — внешняя среда и оптимальную комбинацию факторов, влияющих на процесс извлечения молока доильным аппаратом из вымени коров.

Список литературы

1. Адлер, Ю.П. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий / Ю.П. Адлер, Е.В. Маркова, Ю.В. Грановский. — М.: Наука, 1976.

2. Мельников, С.В. Планирование эксперимента в исследованиях сельскохозяйственных процессов / С.В. Мельников, В.Р. Алешкин, М.П. Рощин. — Л.: Колос, 1980.