CC BY
14
DOI 10.25987^Ти.2020.16.2.002 УДК 51-74
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКОЙ
ДЕСТРУКЦИИ ОБЛУЧЕННЫХ РЕЗИН
СЛ. Подвальный1, А.А. Хвостов1,2,4, А.В. Карманов1, Г.С. Тихомиров3, А.П. Попов4
воронежский государственный технический университет, г. Воронеж, Россия 2Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил Военно-воздушная академия им. профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина, г. Воронеж, Россия 3Воронежский государственный университет, г. Воронеж, Россия 4Воронежский государственный университет инженерных технологий, г. Воронеж, Россия
Аннотация: представлены результаты исследования термомеханической деструкции резин, предварительно подвергнутых воздействию ионизирующего излучения на установке ускоренных электронов дозами 100, 150 и 200 кГр. Термомеханообработку облученных резин на основе бутилкаучука осуществляли в камере роторного вискозиметра в течение 40 минут при температурах 373, 393, 413 К. Предложенный процесс термомеханической деструкции облученных резин обеспечивает более эффективную переработку полимеров и позволяет получить полимерный материал с заданными вязкоупругими свойствами. Установлено, что увеличение дозы обработки бутиловых резин ионизирующим облучением приводит к снижению вязкости по Муни примерно в 2,6-3,9 раз. В ходе исследования процесса проведена оценка влияния температуры и времени термомеханической обработки на изменение вязкости по Муни облученных резин. Предложена математическая модель динамики процесса изменения вязкости по Муни в процессе термомеханообработки облученной резины. С использованием экспериментальных данных измерения вязкости по Муни образцов рассчитаны кинетические характеристики процесса. Установлено, что скорости отдельных стадий процесса определяются условиями облучения исходных образцов и мало зависят от температуры обработки. Анализ результатов моделирования подтвердил адекватность модели, погрешность вычислений не превысила 8 %
Ключевые слова: математическая модель, деструкция, бутилкаучук, вязкость, кинетика
Благодарности: работа выполнена в рамках гранта программы «У.М.Н.И.К-2018», г/к № 14279ГУ/2019 от 10.07.2019 г.
Введение
Интерес многих исследователей [1-3] к проблеме описания процессов, происходящих в полимерах под действием внешних воздействий различной природы, связан, прежде всего, с необходимостью совершенствования технологии получения полимерных композиций, а также возможностью улучшения их технологических свойств за счет регулируемой деструкции полимерной матрицы.
Реакции деструкции полимеров происходят под действием различных внешних факторов - нагревание, механические напряжения, ионизирующие излучения, химические агенты и др., в том числе их комбинации.
При воздействии ионизирующих излучений в полимерах происходят радиационно-химические превращения полимеров (деструкция, сшивание), приводящие к изменению их химического состава и физических свойств. Установлено [4-5], что в бутилкаучуке и резинах на его основе под действием ионизирую-
© Подвальный С.Л., Хвостов А.А., Карманов А.В.. Тихомиров Г.С., Попов А.П., 2020
щих излучений происходит деструкция преимущественно в результате разрыва основной полимерной цепи, приводящая к снижению молекулярной массы (ММ) полимера. При этом одновременно с разрывом основной цепи в резинах на основе бутилкаучука происходит разрушение поперечных межмолекулярных связей [6-8]. Для оценки вязкоупругих свойств полимерной композиции, тесно связанных с ММ, обычно используют значение вязкости по Му-ни. Показано [9-10], что с увеличением поглощенной дозы наблюдается интенсивное снижение вязкости по Муни облучаемых резин.
Дополнительная механообработка облученных резин на основе бутилкаучука может обеспечить более эффективную деструкцию поперечных связей и получить полимерный материал с заданными вязкоупругими свойствами.
Определяющими факторами процесса ме-ханодеструкции являются продолжительность и температура обработки, а также исходная молекулярная масса полимера (или вязкость полимерной композиции). Скорость изменения молекулярной массы обычно довольно велика в
начале процесса, а затем постепенно снижается до достижения некоторого предела. Из уравнения кинетики деструкции [2] следует, что при прочих равных условиях скорость механоде-струкции пропорциональна значению исходной молекулярной массы. В работах [11-13] экспериментально обосновано увеличение числа фрагментов макроцепи полимера, образовавшихся в результате деструкции при снижении ММ полимеров.
Таким образом, общие теоретические подходы к описанию деструкции полимеров, основанные на анализе влияния различных факторов на кинетику процесса, обусловливают необходимость создания математического аппарата, который позволит описать кинетические особенности и закономерности процесса, предсказать свойства полимера после обработки, а также разработать методы регулирования вязкоупругих свойств эластомеров.
Исследованы свойства резин на основе бу-тилкаучука, подвергнутых обработке ускоренными электронами при поглощенной дозе 100, 150 и 200 кГр. Условия облучения: энергия электронов -10 МэВ; ток импульса - 400 мА; среда при обработке - воздух; доза, подаваемая за проход - 10 кГр.
Термомеханообработку облученных резин осуществляли в камере роторного вискозиметра в течение 40 минут при температурах 373, 393, 413 К и оценивали изменение вязкоупру-гих свойств по показателю вязкости по Муни.
Моделирование процесса
Исходя из предположения, что в процессе термомеханической обработки полимерные молекулы разрушаются по схеме:
Р ——— 2R "" — 2R
->P.
R —
R + Я-
где Р - текущая массовая доля полимера; Я -текущая массовая доля образовавшихся радикалов (фрагментов макромолекул, подвергшихся деструкции),
Р + Я = Р0,
где Р0 - исходная массовая доля полимера в облученной резине.
С учетом того, что радикалы образуются из полимера и текущая массовая доля определяется выражением Р(?) = Р0 - Я(?), уравнение динамики образования радикалов описывается дифференциальным уравнением Бернулли:
dR(t)
= Фо - R(t)] + k2R(t) - k3R2(t)
R(0) = 0
(1)
Полученное уравнение имеет несколько решений, из которых, исходя из соображений физического смысла и ограничений на значения параметров к1> 0, к2> 0, к3> 0, выделено одно решение следующего вида
R(t) = -
f i -kl + k2 + ■ tg -y[<2 ■- + arctg
ki -k"2 Ж
2 ■ k3
, (2)
где Q = -k12 + 2k1k2 - k| - 4k1k3P0
Поскольку R(t) не представляется возможным оценивать в реальных условиях, для характеристики процесса целесообразно использовать косвенный показатель - вязкость по Муни.
При построении модели, описывающей динамику изменения вязкости по Муни приняты следующие допущения:
- исследуемая система состоит из набора элементов, характеризующихся функцией распределения
F
л
(х)= Jp(l)dl ,
где р(1) - функция плотности распределения;
- изменение системы под воздействием внешних факторов происходит во временной области по следующему закону: единичный элемент системы, характеризующийся параметром х, распадается на два элемента с параметрами I и (х - I) соответственно, где I - равномерно распределенная на [0, х] случайная величина.
Тогда вязкость по Муни полимерной композиции согласно [14] связана с концентрацией радикалов следующими выражениями:
a ^dR(y)
aR(t )
Мь(?) = Мь(0) • е ^ Р° = Мь(0) • е (^+1)Р> , (3)
где в - константа Марка-Куна-Хаувинка, а - константа.
Полученные зависимости (2)-(3) представляют собой математическую модель динамики изменения вязкости по Муни в процессе термомеханообработки облученной резины.
Результаты и их обсуждение
Для оценки параметров модели (2)-(3) проведены экспериментальные исследования изменения Мь облученных резин, полученных при разных дозах облучения, от времени механообработки при разных температурах. Результаты испытаний представлены на рис. 1.
Отмечено, что увеличение дозы обработка бутиловых резин ионизирующим облучением (при дозах облучения 100-200 кГр) приводит к снижению вязкости по Муни примерно в 2,63,9 раз (рис. 1, табл. 1).
Известно [15], что вязкость связана с температурой обработки выражением:
Е
Мь = А • г^Т , (4)
где А - константа, характеризующая молекулярную структуру полимера, Е - энергия активации вязкого течения.
На основе статистического анализа экспериментальных данных (рис. 1) проведена оценка параметров зависимости (4).
Mh 300
200
100
10
20
30
40 t, min
Рис. 1. Изменение вязкости по Муни облученных резин, полученных при дозах 100 кГр (1), 150 кГр (2), 200 кГр (3) в ходе механообработки при температуре 373 К; точки - эксперимент, линия - расчет
Таблица 1
Экспериментальные данные и результаты расчета по зависимости (4)
в T nin. nut Пп./ nut E Eut. Ain. Auit.
373 317 120 2,64
10 393 259 98 2,69 11479 11670 7,22 2,57
0 413 218 82 2,67
373 222 79 2,77
15 393 182 69 2,82 11409 11556 5,18 1,79
0 413 2,87
153 54
373 159 41 3,87
20 393 130 33 3,91 11847 11710 3,21 0,86
0 413 3,92
108 28
в - поглощенная доза, кГр; Т - температура обработки, К; Пп. - начальное значение вязкости, усл. ед.; nit.- конечное значение вязкости, усл. ед.; £,in. and Eult. _ энергия активации вязкого течения в начале и конце процесса, Дж/моль; An and Aut. - значения параметра А в начале и конце процесса.
Установлено, что энергия активации вязкого течения для всех исследуемых образцов является величиной постоянной и не зависит от структуры полимерной матрицы, и математическое ожидание энергии активации равно M(E)=11,6 кДж.
Анализ зависимости (3) показал, что представляется возможным оценить динамику изменения массовой доли макрорадикалов в процессе термомеханодеструкции с использованием выражения:
m = _ in( MM.).
(5)
Мк (0)
На основе расчетов, полученных с использованием зависимости (5) установлено, что в исследуемом диапазоне температур (373-413 К) изменение массовой доли макромолекул, участвующих в процессе деструкции (распадающихся на макрорадикалы), не зависит от температурного режима обработки облученных резин. В то же время величина поглощенной дозы оказывает существенное влияние на интенсивность образования макрорадикалов.
Зависимость констант скоростей элементарных реакций к\, к2, к3 аппроксимируем линейными функциями вида:
к = а1в + Ь,(/ = 1,3), (6)
где / - порядковый номер константы скорости.
Переписывая уравнение (1) с учетом влияния поглощенной дозы на скорость реакций и
а
заменяя на а, запишем математическую модель, описывающую динамику изменения вязкости по Муни в процессе термомеханоде-струкции облученных резин, в следующем виде:
dR(t)
= (а1в + b1 )(P0 -R(t)) + (а2в + b2)R(t) - (а3в + b3)R2(t)
aR(t)
Л
мк (0 = мк (0)^
Р(0) = 0.
(7)
В качестве среды моделирования использована интерактивная графическая среда имитационного моделирования MathWorks Simulink™, позволяющая осуществлять исследование, оценку параметров и численное решение уравнений математической модели в рам-
0
0
ках одной среды моделирования. Преобразование системы дифференциальных уравнений в структурную Simulink™ модель осуществлялось по методике, представленной в [16]. Для интегрирования системы дифференциальных уравнений использовался метод Рунге-Кутта 4/5 порядка в модификации Дорманда-Принца (функция ode45), а в случае большого разброса в значениях интенсивностей метод конечных разностей переменного порядка в сочетании со схемой обратного дифференцирования (метод Гира функция ode15s) [17].
В качестве критерия оптимизации использовался критерий вида
M N
3 -КХР)2 — ^„ы >mn, (8) ]=1•=1 ......
где М - число экспериментов; N-число измерений в одном эксперименте.
Для минимизации критерия (8) использовался нелинейный метод наименьших квадратов на основе алгоритма Левенберга-Марквардта [18] из библиотеки Optimization-ToolboxMathWorks™ [19]. Структурная схема математически модели представлена на рис. 2.
Subsystem A3*Doza+B3
Рис. 2. Структурная схема математической модели процесса деструкции
Графики расчетных и экспериментальных незначимы и могут быть исключены из уравне-значений представлены на рис. 1. Средняя от- ний математического описания. носительная ошибка расчета составила 7,5%.
Значения найденных параметров модели представлены в табл. 2.
Анализ результатов данных табл. 2 показал, что коэффициенты Ъ и Ъ3 статистически
Таблица 2
Параметры модели (1)
Порядковый ai b
номер реак-
ции
1 1,4410-3 3,1310-8
2 1,11-10"3 7,6810-2
3 6,56-10"9 7,12-10"12
На рис. 3 представлена зависимость изменения Мь от поглощенной дозы и продолжительности механообработки облученной резины. Данные позволяют прогнозировать вязко-упругие свойства облученных резин, то есть выбирать такую продолжительность механообработки, которая обеспечит требуемый уровень вязкости по Муни облученной резины.
в , кбу
Рис. 3. Зависимость изменения вязкости по Муни резины на основе бутилкаучука от дозы облучения и продолжительности термомеханообработки
Выводы
Исследованы свойства резин на основе бу-тилкаучука, полученных путем их обработки ионизирующим излучением на установке ускоренных электронов при дозах облучения 100, 150 и 200 кГр. Исследовано влияние температуры и времени термомеханооработки на изменение вязкости по Муни облученных резин.
Получено математическое описание процесса термомеханодеструкции, связывающее вязкоупругие свойства облученных резин с условиями их получения: температурой, продолжительностью механообработки и дозой облучения. Проведена параметрическая идентификация модели, подтверждена ее адекватность, погрешность вычислений по модели составила 7,5 %.
Поступила 02.03.2020; принята
Литература
1. Догадкин Б.А., Донцов А.А., Шершнев В.А. Химия эластомеров. М.: Химия, 1981. 374 с.
2. Барамбойм Н.К. Механохимия высокомолекулярных соединений. М.: Химия, 1978. 384 с.
3. Казале А., Портер Р. Реакций полимеров под действием напряжений. Л.: Химия, 1983. 440 с.
4. Бугаенко Л.Т., Кузьмин М.Г., Полак Л.С. Химия высоких энергий. М.: Химия, 1988. 368 с.
5. Assessment on radiochemical recycling of butyl rubber/ T. Zaharescu, C. Cazac, S. Jipa, R. Setnescu // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research. 2001. No. B 185. Elsevier, Pp. 360-364.
6. Recycling of gamma irradiated inner tubes in butyl based rubber compounds/ В. Karaagaf, М. §en, V. Deniz, O. Guven // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research. 2007. No. B 265. Elsevier, Pp. 290-293.
7. Radiation degradation of spent butyl rubbers / A.V. Telnov, N.V. Zavyalov, Yu.A. Khokhlov, N.P. Sitnikov, M.L. Smetanin, V.P. Tarantasov, D.N. Shadrin, I.V. Shorikov, A.L. Liakumovich, F.K. Miryasova // Radiation Physics and Chemistry. 2002. No. 63. Pergamon, Pp. 245-248.
8. Хаккимулин Ю.Н. Структура, свойства и применение радиационных регенератов резин на основе бутил-каучука: монография, 2010. 188 с.
9. Оценка влияния ионизирующих излучений на вязкоупругие свойства вулканизаторов бутилкаучука/ С.Л. Подвальный, С.Г. Тихомиров, О.В. Карманова, А.А. Хвостов, А.В. Карманов // Известия Российской академии наук. Серия физическая. 2019. Т. 83. № 9. С. 1232-1234.
10. Obtaining and using of reclaimed butyl rubber with the use of ionizing radiation / O.V. Karmanova, S.G. Tikhomirov, S.N. Kayushnikov, etc. // Radiation Physics and Chemistry. 2019. V. 159. Pp. 154-158.
11. Моделирование кинетики термомеханической деструкции аморфных каучуков / С.Г. Тихомиров, О.В. Карманова, И.А. Хаустов, А.А. Хвостов, А.П. Попов, А.М. Скачков // Каучук и резина. 2018. Т. 77. № 4. С. 256-259.
12. Разгон Л.Р., Дроздовский В.Ф. О взаимодействии полимерных радикалов, образующихся при механической деструкции вулканизатов с акцепторами радикалов // Высокомолекулярные соединения. 1970. Т. 7. № 5. С. 1538-1543.
13. Шутилин Ю.Ф., Карманова О.В. Некоторые особенности деструкции и сшивания полидиенов // Каучук и резина. 2012. № 2. С. 19-21.
14. Исследование и моделирование процесса деструкции полимера в массе / С.Г. Тихомиров, С.Л. Подвальный, А.А. Хвостов, О.В. Карманова, В.К. Битюков // Теоретические основы химической технологии. 2018. Т. 52. № 6. С. 83-92.
15. Research into kinetics of radiation destruction of elastomers / S.G. Tikhomirov, O.V. Karmanova, S.L. Podvalny, A.A. Khvostov, A.V. Karmanov // Advanced Materials & Technologies. 2018. No. 2. Pp. 9-17.
16. Herman R. L. Solving Differential Equations Using Simulink. 2017. 83 p.
17. Moler C. B. Numerical Computing with MATLAB. The MathWorks, Inc., Natick, Massachusets. 2008. 184 p.
18. Branch M.A., Grace A. MATLAB Optimization Toolbox User's Guide. The Mathworks, Inc, Natick, Massachusets. 1996. 346 p.
19. Messac A. Optimization in Practice with MATLAB. Cambridge University Press. 2015. 30 p.
к публикации 24.03.2020
Информация об авторах
Подвальный Семен Леонидович - д-р техн. наук, профессор, Воронежский государственный технический университет (394026, Россия, г. Воронеж, Московский проспект, 14), e-mail: [email protected], тел.: +7(929)011-21-53 Хвостов Анатолий Анатольевич - д-р техн. наук, профессор, Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил Военно-воздушная академия им. профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина (398600, Россия, г. Воронеж, ул. Старых Большевиков, 54a); Воронежский государственный технический университет (394026, Россия, г. Воронеж, Московский проспект, 14); Воронежский государственный университет инженерных технологий (394036, Россия, г. Воронеж, проспект Революции, 19), e-mail: [email protected], тел.: +7(906)581-62-68
Карманов Андрей Викторович - аспирант, Воронежский государственный технический университет (394026, Россия, г. Воронеж, Московский проспект, 14), e-mail: [email protected], тел.: +7(920)414-39-29
Тихомиров Герман Сергеевич - магистрант, Воронежский государственный университет (394018, Россия, г. Воронеж, Университетская площадь, 1), e-mail: [email protected], тел.: +7(915)584-75-12
Попов Алексей Петрович - канд. техн. наук, доцент, начальник управления информационных технологий, Воронежский государственный университет инженерных технологий (394036, Россия, г. Воронеж, проспект Революции, 19), e-mail: [email protected], тел.: +7(473)255-38-56
MATHEMATICAL MODELING OF THERMOMECHANICAL DESTRUCTION OF IRRADIATED
RUBBERS
S.L. Podvalny1, A.A. Khvostov1,2,4, A.V. Karmanov1, G.S. Tikhomirov3, A.P. Popov4
Voronezh State Technical University, Voronezh, Russia 2Military Scientific Educational Center of Military-Air Forces "N.E. Zhukovsky and Ju.A. Gagarin
Military-Air Academy", Voronezh, Russia 3Voronezh State University, Voronezh, Russia 4Voronezh State University of Engineering Technologies, Voronezh, Russia
Abstract: the paper presents the results of a study of the rubber thermomechanical destruction previously exposed to ionizing radiation in electron accelerator at doses of 100, 150 and 200 kGy. Thermomechanical treatment of irradiated rubbers based on butyl rubber was carried out in a rotary viscometer chamber for 40 minutes at temperatures of 373, 393, 413 K. The proposed process of thermomechanical destruction of irradiated rubbers provides a more efficient processing of polymers and allows one to obtain a polymer material with specified viscoelastic properties. We found that an increase in the dose of butyl rubber treatment with ionizing radiation leads to a decrease in the Mooney viscosity by about 2.6-3.9 times. During the process study, we evaluated the influence of temperature and duration of thermomechanical treatment on the change in Mooney viscosity of irradiated rubbers. We proposed a mathematical model of the dynamics of the process of changing the Mooney viscosity during the thermomechanical treatment of irradiated rubber. Using the experimental data for measuring the Mooney viscosity of the samples, we calculated the kinetic characteristics of the process. We found that the rates of individual stages of the process are determined by the irradiation conditions of the initial samples and weakly depend on the processing temperature. Analysis of the simulation results confirmed the adequacy of the model; the calculation error did not exceed 8%
Key words: mathematical model, destruction, butyl rubber, viscosity, kinetics
Acknowledgments: the work was carried out in the framework of the grant of the program "U.M.N.I.K.-2018", no. 14279GU/2019 dated 10.07.2019
References
1. Dogadkin B. A., Dontsov A. A., Shershnev V. A. "Chemistry of elastomers" ("Khimiya elastomerov"), Moscow, Khimiya, 1981, 374 p.
2. Baramboim N.K. "Mechanical chemistry of macromolecular compounds" ("Mekhanokhimiya vysokomolekulyarnykh soedi-neniy"), Moscow, Khimiya, 1978, 384 p.
3. Casale A., Porter R. "Reactions of polymers under the action of stresses" ("Reaktsii polimerov pod deystviem napryazheniy"), Leningrad, Khimiya, 1983, 440 p.
4. Bugaenko L.T., Kuz'min M.G., Polak L.S. "Chemistry of high energies" ("Khimiya vysokykh energiy"), Moscow, Khimiya, 1988, 368 p.
5. Zaharescu T., Cazac C., Jipa S., Set-nescu R. "Assessment on radiochemical recycling of butyl rubber", Nuclear Instruments and Methods in Physics Research, Elsevier, 2001, no. B 185, pp. 360-364.
6. Karaagaj B., §en M., Deniz V., Guven O. "Recycling of gamma irradiated inner tubes in butyl based rubber compounds", Nuclear Instruments and Methods in Physics Research, Elsevier, 2007, no. B 265, pp. 290-293.
7. Telnov A.V., Zavyalov N.V., Khokhlov Yu.A., Sitnikov N.P., Smetanin M.L., Tarantasov V.P., Shadrin D.N., Shorikov I.V., Liakumovich A.L., Miryasova F.K. "Radiation degradation of spent butyl rubbers", Radiation Physics and Chemistry, Pergamon, 2002, no. 63, pp. 245-248.
8. Khakimullin Yu.N. "Structure, properties and application of radiation regenerates rubber compounds based on butyl rubber" ("Struktura, svoystva i primenenie radiatsionnykh regeneratov rezin na osnove butilkauchuka"), monograph, 2010, 188 p.
9. Podvalnyy S.L., Tikhomirov S.G., Karmanova O.V., Khvostov A.A., Karmanov A.V. "Assessment of the influence of ionizing radiation on the viscoelastic properties of butyl rubber vulcanizates", Proceedings of the Russian Academy of Sciences. Physical series (Izvestiya Rossiyskoy Akademii nauk. Seriyafizicheskaya), 2019, vol. 83, no. 9, pp. 1232-1234.
10. Karmanova O.V., Tikhomirov S.G., Kayushnikov S.N., etc. "Obtaining and using of reclaimed butyl rubber with the use of ionizing radiation", Radiation Physics and Chemistry, 2019, v. 159, pp. 154-158.
11. Tikhomirov S.G., Karmanova O.V., Khaustov I.A., Khvostov A.A., Popov A.P., Skachkov A.M. "Modelling the kinetics of thermomechanical destruction of amorphous rubbers", Caoutchouc and Rubber (Kauchuk IRezina), 2018, vol. 77, no. 4, pp. 256-259.
12. Razgon L.R., Drozdovskiy V.F "On the interaction of polymer radicals formed during mechanical destruction of vulcanizates with radical acceptors", High-Molecular Compounds (Vysokomolekulyarniye soyedineniya), 1970, vol. 7, no. 5, pp. 1538-1543.
13. Shutilin Yu.F., Karmanova O.V. "Some features of destruction and crosslinking of polydienes", Caoutchouc and rubber (Kauchuk i rezina), 2012, no. 2, pp. 19-21.
14. Tikhomirov S.G, Podvalnyy S.L., Khvostov A.A., Karmanova O.V., Bityukov V.K. "Research and modeling of polymer destruction process in mass", Theoretical Bases of Chemical Technology (Teoreticheskie osnovy khimicheskoy tekhnologii), 2018, vol. 52, no. 6, pp. 83-92.
15. Tikhomirov S.G., Karmanova O.V., Podvalny S.L., Khvostov A.A., Karmanov A.V. "Research into kinetics of radiation destruction of elastomers", Advanced Materials & Technologies, 2018, no. 2, pp. 9-17.
16. Herman R.L. "Solving differential equations using Simulink", 2017, 83 p.
17. Moler C.B. "Numerical Computing with MATLAB", The MathWorks, Inc., Natick, Massachusets, 2008, 184 p.
18. Branch M.A., Grace A. "MATLAB optimization toolbox user's guide", The Mathworks, Inc, Natick, Massachusets, 1996, 346 p.
19. Messac A. "Optimization in practice with MATLAB", Cambridge University Press, 2015, 30 p.
Submitted 02.03.2020; revised 24.03.2020 Information about the authors
Semyon L. Podvalny, Dr. Sc. (Technical), Professor, Voronezh State Technical University (14 Moskovskiy prospekt, Voronezh, 394016, Russia), e-mail: [email protected], tel.: +7 (929) 011-21-53.
Anatoliy A. Khvostov, Dr. Sc. (Technical), Professor, Military Scientific Educational Center of Military-Air Forces "N.E. Zhukovsky and Ju.A. Gagarin Military-Air Academy" (54A, Starykh Bolshevikov str., Voronezh, 398600, Russia), Voronezh State Technical University (14 Moskovskiy prospekt, Voronezh, 394016, Russia), Voronezh State University of Engineering Technologies (19 Revolutsii prospekt, Voronezh, 394036, Russia), e-mail: [email protected], tel.: +7 (906) 581-62-68.
Andrey V. Karmanov, Graduate student, Voronezh State Technical University (14 Moskovskiy prospekt, Voronezh, 394016, Russia), e-mail: [email protected], tel.: +7 (920) 414-39-29.
German S. Tikhomirov, MA, Voronezh State University (1 Universitetskaya square, Voronezh, 394018, Russia), e-mail: [email protected], tel.: +7 (915) 584-75-12.
Aleksey Popov, Cand. Sc. (Technical), Associate Professor, Voronezh State University of Engineering Technologies (19 Revolutsii prospekt, Voronezh, 394036, Russia), e-mail: [email protected], tel.: +7 (473) 255-38-56.
