CC BY
37
СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ И ПРОИЗВОДСТВА ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
УДК 641.528
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ТЕПЛОПЕРЕНОСА В ОБЪЕМЕ ЗАМОРОЖЕННОГО ПРОДУКТА В УСЛОВИЯХ ХРАНЕНИЯ В ТОРГОВОМ ХОЛОДИЛЬНОМ ОБОРУДОВАНИИ
Б.А. Вороненко1, И.Г. Кобылянский2, О.А. Цуранов3
1Университет ИТМО, 191002, Санкт-Петербург, ул. Ломоносова, 9;
Мурманский государственный технический университет, г. Мурманск (Мурманская обл.), Спортивная ул., д. 13;
3Санкт-Петербургский государственный торгово-экономический университет,
194021 Санкт-Петербург, ул. Новороссийская, д. 50
На основании экспериментальных исследований поставлена и решена краевая задача теплопроводности, описывающая температурное поле в объеме замороженного продукта в условиях хранения его в торговом холодильном оборудовании - холодильном шкафу-витрине. Полученное аналитическое решение дает возможность определить темп охлаждения (нагрева), наименьший удельный расход энергии для поддержания необходимого режима, а также выбрать оптимальное соотношение продолжительностей периодов работы и отключения холодильной машины.
Ключевые слова: моделирование, шкаф-витрина, замороженный продукт, ступенчатое изменение температуры среды.
MATHEMATICAL MODELING OF PROCESS OF HEAT TRANSFER IN VOLUME OF THE FROZEN PRODUCT IN STORAGE CONDITIONS IN TRADE REFRIGERATING
APPLIANCES
B.A. Voronenko, I.G. Kobylyansky, O.A. Tsuranov
University ITMO, 191002, St. Petersburg, Lomonosov str., 9;
Murmansky state technical University, Murmansk (Murmansk region), Sports str., 13;
Sankt Petersburg state University of trade and Economics, 194021 St. Petersburg, Novorossiyskaya str., 50 On the basis of experimental studies of posed and solved the boundary-value problem of heat conduction, which describes the temperature field in the volume of frozen food storage conditions in its commercial refrigeration equipment - refrigerated display cabinet. The analytical solution obtained makes it possible to determine the rate of cooling (heating), the lowest specific energy consumption in order to maintain the desired mode, and choose the optimal ratio of length of employment and off the chiller.
Keywords: modeling, the case show-window, the frozen product, step change of temperature of the environment.
Холодильное оборудование пищевой индустрии предназначено для кратковременного хранения скоропортящихся пищевых продуктов в торговых залах магазинов. Доброкачественность этих товаров обеспечивается пра-
вильным хранением и соблюдением температурного режима. Шкаф-витрина холодильного торгового оборудования рассчитывается на требуемый режим при максимальных внешних и внутренних теплопритоках.
1Вороненко Борух Авсеевич - доктор технических наук, профессор, тел.: +7 921 902 07 02,e-mail: [email protected];
2Кобылянский Иван Григорьевич - тел.: +7 911 318 63 00, e-mail: [email protected];
3Цуранов Олег Алексеевич - кандидат технических наук, доцент, тел.:+7 921 779 81 57, , e-mail: office @mstu. edu. ru
Если холодопроизводительность системы при данных условиях не соответствует действительным теплопритокам, это приводит к изменению заданной температуры. Недостаток холодопроизводительности не может быть компенсирован мерами регулирования. Избыток холодопроизводительности системы регулируется с помощью периодического выключения и включения компрессора. При этом температура в охлаждаемом объеме изменяется в зависимости от частоты открывания дверей [13].
В химической технологии широко распространены теплообменные и массообменные процессы со ступенчатым изменением потенциала среды. В теплообменных процессах в каждой секции аппарата (в разных периодах процесса) ступенчато изменяется температура, в диффузионных - концентрация вещества [421]. На экспериментальной модели была установлена зависимость температуры воздуха от продолжительности открывания дверей холодильных шкафов-витрин (рис.1). Шкаф загружали контрольными пакетами с термопарами. После загрузки шкаф работал до наступления установившегося режима. Работа оборудования продолжалась не менее 24 часов и включала не менее трех периодов оттаивания.
В соответствии с результатом эксперимента поставлена краевая задача теплопроводности в объеме замороженного продукта, представленного в виде неограниченной пластины. В шкафу-витрине требуется решить одномерное уравнение теплопроводности для однородного и изотропного тела
t,°c
dt(x, Т) d 2t(x, Т) = a--—
ЭТ
дх2
( т > 0, 0 < х < R)
при равномерном начальном температуры
t(х,0) = t1 = const , дискретном граничном условии
(1)
распределении (2)
t (R, т) =
fi(т) = t2 + (ti -t2)e~klX, (k1 = const > 0);
Л(Т) = ti + (fi(Ti) - ti)e -k2(T-Tl) (k2 = const > 0)
и условии симметрии
* = 0. дх
(3)
(4)
T? т4 T; т6 Tc
Рисунок 1 - Зависимость температуры воздуха от продолжительности открывания дверей холодильных шкафов
Решение симметричной задачи (1) - (4) является одновременно решением задачи нахождения температурного поля в неограниченной пластине толщиной Я, когда одна поверхность ее имеет тепловую изоляцию (при х = 0 поток
дг(0,т) ^
тепла отсутствует, так как -= 0), а про-
дх
тивоположная поверхность х = Я поддерживается при температуре, описываемой условием (3).
Решение краевой задачи теплопроводности (1) - (4) получено методом интегрального преобразования Лапласа. Распределение температурного поля в продукте имеет следующий безразмерный вид:
го \ го
Am
2
T = X ^ + X AnBn cos(|n*)enFo +...
... + -
m=i nm n=i
A
Pd2 F02
где: A = i + Pd2 Foi + e Pd 2 Pdi
(5)
-Pd 2 F02 - -Pd 2 Foi —
-e
-Pd2( F02-Foi) — Pd2 (i — e-PdiFoi);
2nmFo . 2nmFo Am = Xi cos --+ x 2 sin-
Fo
Fo
An =-(-i)n+i - начальная тепловая ампли-
In
туда;
П
I n = (2n -i)^;
Bn = Ti +■
r T2 enFo 2
i - e
-I nFo2
(6)
-
(i - e -1«Foi). Ti(i - e n (Fo2- Foi)) +
i
+
e
_Ц2„Fo2 (eFox(\X2 -Pdi) _ e-Pd2Foi _ ^
. Pd 2
1--2~ V-
Ц n
- Pd 2 (F02 _ Foi)+Ц nF02
; %1 = p1(a13xa13 + a24xa24^ _P 2(a13 xa24 _ a24xa13);
Jj
X 2 _ p2(ai3 xai3 + a24 xa24) + Pi(ai3 xa24 a24 xai3 ) ' ( (
. 2imFoi p1 = sin-1+-
1 _ e
_ Pd1Fo1
Fo
2
1+
1
Pd2 Fo2 2im
2
Pd2 Fo2
2im
cos-
2imFo
_ Pd 2 Fo2|1_
Fon
-e
Fo1 ^ Fo2
_ sin-
2imFo
Fon
1 +
Pd1Fo2
( _PdFo . 2nmFo, Pd1Fo2 (
e 11 sin-1 + —1—2
Foо
2nm
1 _ e
- Pd1 Fo1
cos
2nmFo1
\\
Fo
2 jj
2nm
2%mFo1 p 2 = 1 _ cos-1 + -
i _ Pd1 Fo1
1 _ e 1 1
Fo2
1 +
Pd 2 Fo2 2im
1
cos
2imFo
Fo2
_Pd2Fo2 I 1_
e
Fo1 Fo-i
+ -
Pd 2 Fo2
2im
sin-
2imFo
Fo2
PdiFo^
,2
i _ Pd1Fo1
1 _ e 1 1
cos-
2imFo
1 + | " и1ги2 | ^ ^ 2пт ) Для сокращения записи новых формул введены следующие обозначения [21]:
Foс
+
Pd1Fo2 2im
sin-
2imFo
Fo-
mi
^ a ; гиперболические тригонометри-
\Fo2
ческие функции, а также безразмерная координата заменены индексами: ch ^ 1; sh ^ 2; cos ^ 3; sin ^ 4; X ^ x; например:
(
ch
mi
Л
Fo sh
X
f
cos
2 j mi
mi
Л
Fo2
X
: a13x;
Fo
• sin
2
mi
Fo
= a24 •
2
Выводы
1. На основании экспериментальных исследований поставлена и решена краевая задача теплопроводности, описывающая температурное поле в объеме замороженного продукта в условиях хранения его в торговом холодильном оборудовании - холодильном шкафу-витрине.
2. Полученное аналитическое решение дает возможность определить темп охлаждения (нагрева), наименьший удельный расход энергии для поддержания необходимого режима, а также выбрать оптимальное соотношение про-должительностей периодов работы и отключения холодильной машины.
3. После экспериментальной проверки и компьютерного исследования охлаждающего
устройства разработанная математическая модель может быть рекомендована для инженерных расчетов и автоматизации качественного и безопасного хранения скоропортящихся продуктов в холодильном шкафу-витрине.
Обозначения:
?(х, т) - температура, оС, К; ^ - минимальная температура; ?2 - максимальная температура; А? = ?2 - ^ > 0; х - текущая координата; Я -половина толщины пластины при симметричном теплообмене тела с окружающей средой; т - время, с; То = 0 - время начала процесса; не
уменьшая общности исследования проблемы рассматриваем одинаковыми длительности циклов (периодов) процесса "нагрев - охлаж-
дение": [0, Т2] = [Т2,Т4]
[T2(n_1) _T2n ]
= Ах = const, n € N ; N - множество натуральных чисел; a - коэффициент температуропроводности, м/с; k k2 - коэффициенты скорости (нагрева, охлаждения), 1/c; k1 > k2;
f1 (T1) = t2 + (t1 -12 )e"k1T1 = 12 - 8 - t2
(0 < e << |t21); f2(T2) - t1; f при
T 2(n-1) <T<T 2n-1; f2 при T 2n-1 <T<T 2n ;
T = T(X, Fo)= (xT)-1 - безразмерная (от-
t2 -11
2
2
Б.А. Вороненко, И.Г. Кобылянский, О.А. Цуранов
носительная) температура; T¡ = -¡-, i = 1,2;
At
X = — - безразмерная координата; Fo = ■аТ -R R2
ax-
число Фурье;) Fo: =—¡ (i = 1,2);
R 2
Pd:
kR
- число Предводителева, i = 1, 2.
Литература
1. Кобылянский И.Г. Модель дымогенератора для исследования утечек воздуха: пат. 93629 РФ: МПК А 23В4/044/ Голубев Б.В., Шутов А.В., Кобылянский И.Г., Коваль А.Б., Липин Д.Е.; заявитель и патентообладатель Мурман. гос. техн. ун-т - № 200914194; заявл. 18.12.09; опубл. 10.05.2010., Бюл. №13.-12с.
2. Кобылянский И.Г. Модель дымогенератора для исследования утечек воздуха: пат. 114155 U1 РФ: МПК GOIN 11/00 (2006/01)/ Голубев Б.В., Шутов А.В., Кобылянский И.Г., Коваль А.Б.; заявитель и патентообладатель Мурман. гос. техн. ун-т - № 2011140192; заявл. 03.10.2011; опубл. 10.03.2011., Бюл №7.-14с.
3. Кобылянский И.Г. Модель шкафа-витрины для исследования утечек холодного воздуха: пат. 106932 РФ: МПК F17D 5/00/ ГолубевБ.В., Шутов А.В., Кобылянский И.Г., Коваль А.Б.; Заявитель и патентообладатель Мурман. гос. техн. ун-т. - № 2011110096; заявл. 16.03.11; опубл. 27.07.2011., Бюл. №21. -11с.
4. Данилова И.Н. О температурном поле в неограниченном полом цилиндре, когда температура внешней среды меняется по закону ломаной // Изв. АН СССР, ОТН, Энергетика и автоматика, №1, 1959. -С.131-133.
5. Козлова М.С. Аналитическое исследование тепло-и массопереноса в неограниченной пластине и шаре // Труды МТИППа, Вопросы теплового переноса, М.: Пищепромиздат, вып.15, 1960. - С74-81.
6. Плят Ш.Н. О допустимых скачках температуры среды при обжиге абразивных изделий // ИФЖ, т. IV, №9, 1961.- С.90-93.
7. Davidson J.F., Ribson M.W. L.6 Roesler F.C. Drying of granular solids subjected to alternating boundary conditions. "Chem7 Eng.Sci.",v.24, №5, 1969. - P.815-828.
8. Белобородое В.В., Вороненко Б.А., Дементий В.А. Математическая модель диффузии с дискретным отводом вещества // Труды ВНИИЖ, Л., вып. 28, 1971. - С.95-101.
9. Козлова М.С., Красников В.В. Об оптимальном периоде осциллирования //Сб. "Тепло- и массопере-нос", т.6, "Тепо- и массоперенос в капиллярнопори-стых телах и процессах сушки", Минск, 1972. -С.134-143.
10. Гельперин Н.И., Айнштейн В.Г. О процессах переноса тепла или вещества при ступенчатом изменении потенциала среды // Теор. Основы хим. Тех-
нол., 9, №5, 1975. -С.780-783.
11. Кукоз Ф.И., Гончаров В.И. Гладун К.К. Диффузия при единичном импульсе потока вещества // Изв. СКНЦВШ, №1, Технические науки, 1976. -С.80-83.
12. Кошевой Е.П., Скрипников А.А. Дискретная диффузия из твердой фазы в многоступенчатом процессе экстракции (МППЭ) // Изв. СКНЦВШ. Серия: Технические науки. - №1, 1976.- С.94-96.
13. Кошевой Е.П., Вороненко Б.А., Рослякова Т.К. Дискретная диффузия при многоступенчатой экстракции растительного материала с различной степенью вскрытия клеточной структуры// Тезисы Все-союзн. конф. по экстракции. Рига: Зинатне, т.2, 1977. - С.81-93.
14. Михайленко А.В., Фролов В.Д. К расчету тепло- и массопереноса в аппаратах с периодически изменяющимся потенциалом среды. // Теор. основы хим. технол., XIII, №3, 1979. - С. 389-395.
15. Цуранов О.А., Вороненко Б.А., Кириевский Б.Н., Евреинова В.С. О некоторых особенностях хранения замороженных продуктов в торговом холодильном оборудовании. // Сб. научн. трудов (Межвузовский) "Проблемы совершенствования торгово-технологического оборудования", - М.: ЗИСТ, вып.
16. 1981. - С.25-30.
16. Цуранов О.А., Вороненко Б.А., Евреинова В.С. и др. Исследование тепло- и массопереноса при хранении замороженных продуктов в торговом холодильном оборудовании // Сб. научн. трудов (Межвузовский), "Проблемы совершенствования торгово-технологического оборудования".-Л.: ЛИСТ, ЗИСТ (г. Москва), 1982. - С.60-67.
17. Вороненко Б.А., Евреинова В.С., Цуранов О.А. К вопросу о выборе математической модели тепло- и массопереноса в объеме замороженного продукта в условиях хранения в торговом холодильном оборудовании // Межвузовский сб. научн. трудов "Исследование тепло- и массопереноса при холодильной обработке и хранении пищевых продуктов". - Л.: ЛТИХП, 1982. - С.313-135.
18. Вороненко Б.А., Ключкин В.В. Аналитическое исследование температурного поля слоя масличных семян при управляемых температурных воздействиях // Масло-жировая промышленность, №3-4, 1997. - С.1-4.
19. Вороненко Б.А. Решение системы уравнений совместного тепло- и массопереноса процесса хранения масличных семян // Вестник ВНИИЖ, Л., №1, 1997. - С .20-24.
20. Алексеев Г.В., Вороненко Б.А., Головацкий В.А., Аналитическое исследование процесса импульсного (дискретного) теплового воздействия на перерабатываемое пищевое сырье // Новые технологии. № 2, Майкоп. 2012. - С.11-15.
21. Вороненко Б.А. Решение системы уравнений совместного тепло- и массопереноса процесса хранения масличных семян // Вестник Всероссийского НИИ жиров. №1. 2004.-С. 20-24.
а
