CC BY
123
И.А.Галимов I.A.Galimov
Уфа, Россия Ufa, Russia
Л.Ю. Уразаева L.J.Urazaeva
Нижневартовск, Россия Nizhnevartovsk, Russia
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ MATHEMATICAL MODELING
ПРОЦЕССА ТЕПЛООБМЕНА В СОЛНЕЧНОМ OF HEAT TRANSFER IN SOLAR
КОЛЛЕКТОРЕ С УЧЕТОМ ВРЕМЕНИ COLLECTORS INCLUDING
РЕЛАКСАЦИИ ТЕПЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ THERMAL RELAXATION TIME
Аннотация. Рассматривается математическое моде- Abstract. This work is devoted to the mathematical лирование процессов теплообмена в солнечном кол- modeling of heat transfer in a solar collector. The authors лекторе при различных наборах входных параметров consider the influence of various input parameters, taking модели с учетом инерции теплопередачи. into account inertia of a heat transfer.
Ключевые слова: математическое моделирование Key words: mathematical modeling of heat exchange процесса теплообмена; солнечный коллектор; альтер- process; solar collector; alternative energy sources; the нативные источники энергии; учет инерции теплопе- account of inertia of a heat transfer; hyperbolic equation редачи; гиперболическое уравнение теплопроводно- of heat conductivity taking into account heat transfer
сти с учетом инерции теплопередачи.____________inertia._______________________________________
Сведения об авторах: Галимов Ильяс Амирович1, About the authors: Galimov Iljas Amirovich1, chief главный специалист; Уразаева Лилия Юсуповна2, до- specialist; Urazaeva Lilija Jusupovna2, assistant professor цент кафедры физико-математического образования. of the department of Physical and Mathematical education. Место работы: 1 Центр информационно-коммуни- Place of employment: 1 Center for information-commu-кационных технологий республики Башкортостан; nication technologies of the republic of Bashkortostan;
2 Нижневартовский государственный гуманитарный 2 Nizhnevartovsk State University of Humanities.
университет.__________________________________________________________________________________
Контактная информация: 628611, г. Нижневартовск, ул. Дзержинского, д. 11; тел. 905 0065100.
E-mail: 1 ilyas_qalimov@yandex.ru, 2 delovoi2004@mail.ru
Актуальность
В России и во всем мире в последнее время уделяется большое внимание развитию использования альтернативных (возобновляемых) источников энергии. В нашей стране, в частности, был принят Федеральный закон «Об энергосбережении и о повышении энергетической эффективности и о внесении изменений в отдельные законодательные акты Российской Федерации» № 261-ФЗ от 21.11.2009 г.
В связи с этим возрастает значение использования альтернативных источников энергии. Исследованию различных проблем, связанных с использованием возобновляемых источников энергии, в том числе математическому моделированию в области возобновляемых источников энергии, посвящено много работ [1, 2, 4, 5 и др.].
Солнечные коллекторы — это самое первое открытие человеком возможности использования возобновляемой энергии солнца для своих нужд. В настоящее время использование солнечных коллекторов также широко распространено. Интерес представляет математическое моделирование процессов теплообмена в солнечном коллекторе для повышения эффективности его работы и для возможности управления солнечным коллектором.
Постановка задачи
Солнечные коллекторы делятся на два основных типа — плоские солнечные коллекторы и трубчатые (вакуумные). Наибольшее распространение имеют плоские коллекторы, это определяется их дешевизной, простотой использования.
Стандартный деревянный стеклопакет, установленный в большинстве квартир, построенных до 90-х гг., представляет собой также солнечный коллектор. У пластиковых стеклопакетов возможности поглощения и накопления тепла выражены слабее, так как нет той самой весьма полезной с точки зрения поглощения тепла широкой прослойки воздуха между внутренними и внешними рамами.
Можно использовать набор из двух пластиковых стеклопакетов и реализовать прослойку воздуха между ними, таким образом добиться эффекта солнечного коллектора.
С практической и научной точки зрения представляет интерес решение проблемы учета инерции теплопередачи при наличии воздушной прослойки. В частности, представляет интерес оценка влияния теплопотерь через оконные конструкции с учетом застекленной лоджии.
В случае наличия застекленной лоджии даже при использовании пластиковых стеклопакетов образуется воздушное пространство между оконными конструкциями наподобие коллектора, влияние этого воздушного пространства требуется оценить с использованием математической модели на основе уравнения теплопроводности, остальные процессы в первом приближении не учитываются, так как основное внимание уделяется учету инерции теплопередачи.
Отметим, что при стандартном подходе к выводу уравнения теплопроводности используется закон Фурье. Применение закона Фурье предполагает, что имеет место бесконечная скорость распространения тепла в среде [6. С. 40]. В случае, когда требуется учитывать конечность скорости распространения тепла, т.е. инерцию распространения тепла, следует модифицировать закон Фурье.
В связи с учетом инерции передачи тепла в законе Фурье появляется дополнительное выражение в правой части, и закон Фурье после модификации примет вид:
q = -к^аёТ - тг —, дг
где q — вектор плотности теплового потока, т.е. количество энергии, проходящей в единицу времени через единицу площади, к — коэффициент теплопроводности, Т — температура, тг — время релаксации тепловых напряжений.
С учетом инерции теплопередачи уравнение теплопроводности при наличии источников тепла с известной плотностью запишется в следующем виде [6]:
(дТ д2Т} д&
ср-----ъ тг —— = &у(к£уаёТ) + / + тг —,
дг г дг 2 )
дг
здесь / определяет мощность внутренних источников теплоты, с — удельная теплоемкость, р — плотность среды.
Приведенное выше уравнение теплопроводности является гиперболическим уравнением теплопроводности, оно учитывает конечность скорости распространения тепла. Положим для простоты р = 1.
Для двумерной задачи в отсутствие источников тепла и при допущении постоянства к будем иметь уравнение вида:
2„ ( Я2„ д2„Л
ди д и ,
с— + тге—- = к
дг дг2
д2и д2и 2 + ^ТТ
^ дг
дх2 дУ2 )
Для одномерной задачи при тех же предположениях будем иметь уравнение вида:
ди д2и , д 2и
с----Утгс—- = к—
дг дг дх
При решении этого уравнения, как правило, используют следующие начальные условия и(х,0) = <р(х), — (х,0) = ф(х) и граничные условия и(х, I) = у(1,) на границе G.
Уточним граничные условия для постановки нашей задачи, будем считать, что изнутри одномерный стержень, простейшая модель оконного простенка, имеет на соответствующем конце температуру, изменяющуюся со временем по следующему закону и (х, I) = у(г), а снаружи — температуру равную температуре внешней среды.
Интерес представляет изучение распределения температуры согласно гиперболическому уравнению теплопроводности вдоль стержня в зависимости от времени релаксации.
Расчеты на основе гиперболического уравнения теплопроводности
Для упрощения расчетов и фокусирования внимания на исследовании влияния времени релаксации на результаты положим в нашей модельной задаче, что к=с=1.
Заменим уравнение его сеточным аналогом, используя:
ди = 1 -
дї И
ди = <+1 - 2<, + <-1
дї2 и2 '
д2 и = иІ+і., - 2иІ,, + иІ-1}
дх2 кх
Получим с учетом наших предположений сеточное уравнение
и!,+' - и'.,
Л,к+1
+ ?„
к-1 Л
и+и - 1иі . ,
+ иі
1.,
2
И
И
И
Согласно рекомендациям [6] при численном решении сеточного уравнения использовались те же ограничения на шаг по времени, что и при решении стандартного уравнения теплопроводности по явной схеме, в случае гиперболического уравнения теплопроводности шаг по времени существенно зависит еще от времени релаксации.
С использованием записанного выше сеточного уравнения и наших допущений было проведено численное моделирование с использованием программы, написанной на С++. При компьютерном моделировании с учетом времени релаксации были получены результаты, представленные на графиках (рис. 1, 2).
Рис. 1. Распределение температуры на временном слое при времени релаксации 0,005
На графике представлены результаты расчета изменения температуры на слое с учетом релаксации. В расчетах принималось, что с внутренней стороны нашего коллектора подается тепло, и температура на границе становится 18 градусов, в то время как на противоположной границе температура равна 10 градусам. Оказалось, что вследствие учета времени релаксации температура при всех прочих условиях меняется не сразу, как и ожидалось, наблюдается излом температуры, об этом возможном явлении упоминается также в [3]. Отметим, что приведенные графики представлены для расчетов при временных слоях с одинаковым номером, но шаг по времени зависит от времени релаксации, поэтому сами моменты времени различны.
Рис. 2. Распределение температуры на временном слое при времени релаксации 0,001
Ввиду того, что изменение времени релаксации влияет на величину шага по времени, не имеет смысла отображать полученные результаты при разных величинах времени релаксации температурного напряжения на одном графике. Расчеты показывают, что во всех случаях наблюдается излом температур. Чем меньше время релаксации, тем сильнее излом. В нашей задаче предполагается, что на холодную прослойку воздуха между двумя оконными конструкциями с одной стороны подается тепло. При компьютерном моделировании время релаксации температурного напряжения являлось входным параметром.
Анализ результатов и выводы
Полученные результаты имеют важное теоретическое и практическое значение. На основе проведенных расчетов можно утверждать, что использование гиперболического уравнения теплопроводности, мало распространенного в литературе, имеет смысл. Результаты расчетов адекватно отражают картину распределения тепла, когда ввиду инерции температура не сразу передается по следующим слоям. Температура терпит излом, причем чем меньше время релаксации, тем быстрее происходит этот излом, затем происходит восстановление значений температуры к ожидаемым значениям. Практическое значение состоит в том, что на практике необходимо учитывать время релаксации и явление инерции теплопередачи, особенно для тех объектов, температурный режим которых должен поддерживаться на определенном уровне. Особое значение имеет учет инерции теплопередачи при расчете эффективности солнечных коллекторов.
1. Галимов И. А., Уразаева Л.Ю. Использование математического моделирования в управлении возобновляемыми источниками энергии. М., 2011.
2. Информационные технологии: приоритетные направления развития / Под общ. ред. С.С.Чернова. Новосибирск, 2011. Кн. 6.
3. Кудинов В. А, Кудинов И.В. Об одном методе получения точного аналитического решения гиперболического уравнения теплопроводности на основе использования ортогональных методов // Вестн. СамГТУ Сер. Физ.-мат. науки. 2010. № 5(21).
4. Митина И.В., Стребков Д.С., Трушевский С.Н. Расчетно-экспериментальная методика определения тепловых характеристик солнечных коллекторов с вакуумироваными стеклопакетами // Альтернативная энергетика и экология. 2008. № 11.
5. Расчет систем солнечного теплоснабжения. М., 1980.
6. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. М., 2003.
