МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ТЕПЛООБМЕНА В МНОГОСЛОЙНОЙ КОМПОЗИТНОЙ КОНСТРУКЦИИ НА ЭТАПЕ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО РАЗОГРЕВА Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2023. No 1

Научная статья

УДК 536.4:517.958

doi: 10.17213/1560-3644-2023-1-17-22

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ТЕПЛООБМЕНА В МНОГОСЛОЙНОЙ КОМПОЗИТНОЙ КОНСТРУКЦИИ НА ЭТАПЕ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО РАЗОГРЕВА

Е.О. Каракулина, В.В. Тугов

Оренбургский государственный педагогический университет, г. Оренбург, Россия

Аннотация. Рассмотрено математическое моделирование процесса теплообмена в многослойной композитной конструкции с сотовым заполнителем на этапе предварительного нагрева при изготовлении методом формования в автоклаве. Представлено решение задачи нестационарной теплопроводности для многослойной неограниченной пластины с заданными начальными условиями, граничными условиями 3-го рода на внешних границах и условиями сопряжения на поверхностях контакта слоев. Решена задача методом конечных интегральных преобразований для определения температурных полей в многослойных конструкциях с различными теплофизическими характеристиками. Показано применение полученного решения для девятислойной композитной конструкции, составленной из слоев стеклоткани и сотового заполнителя. Полученные температурные зависимости в различные моменты времени позволяют изучить особенности протекания теплообменных процессов внутри данной конструкции и корректировать температурный режим для достижения более качественного изделия.

Ключевые слова: многослойная композитная конструкция, сотовый заполнитель, задача теплообмена, метод конечных интегральных преобразований, автоклавное формование

Для цитирования: КаракулинаЕ.О., ТуговВ.В. Математическое моделирование процесса теплообмена в многослойной композитной конструкции на этапе предварительного разогрева // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2023. № 1. С. 17-22. http://dx.doi.org/10.17213/1560-3644-2023-1-17-22

Original article

MATHEMATICAL MODELING OF THE HEAT TRANSFER PROCESS IN A MULTILAYER COMPOSITE STRUCTURE AT THE PREHEATING STAGE

Е.О. Karakulina, V.V. Tugov

Orenburg State Pedagogical University, Orenburg, Russia

Abstract. The work is devoted to mathematical modeling of the heat transfer process in multilayer composite structures with honeycomb filler at the preheating stage, which are produced by molding in autoclaves. The problem of non-stationary heat conduction for a multilayer unlimited plate with given initial conditions, boundary conditions of the 3rd kind on the outer boundaries, and conjugation conditions on the contact surfaces of the layers is solved. The solution of the problem is obtained by the method of finite integral transformations and is used to determine the temperature fields in multilayer structures with different thermal characteristics. The application of the obtained solution for a nine-layer composite structure made up of layers offiberglass and honeycomb is shown. The obtained temperature dependences at different points in time make it possible to study the features of the flow of heat exchange processes inside a given structure and adjust the temperature regime to achieve a better product.

Keywords: multilayer composite structure, honeycomb filler, heat transfer problem, finite integral transformation method, autoclave molding

For citation: Karakulina Е.О., Tugov V.V. Mathematical Modeling of the Heat Transfer Process in a Multilayer Composite Structure at the Preheating Stage. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Techn. nauki=Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Technical Sciences. 2023; (1):17-22. (In Russ.). http://dx.doi.org/ 10.17213/1560-3644-2023-1-17-22

© Каракулина Е.О., Тугов В.В., 2023

ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION.

TECHNICAL SCIENCES. 2023. No 1

Введение

Композитные конструкции с заполнителем применяются во многих отраслях промышленности. Некоторые такие конструкции имеют большие габариты, и их изготавливают методом автоклавного формования. Одним из основных технологических параметров при этом является температура формования, которая должна соответствовать температуре отвержения связующего. Отвержение композита сопровождается выделением теплоты, что обусловлено процессом полимеризации связующего [1].

Температурный режим при изготовлении композитных конструкций в автоклавах задается без учета выделения тепла полимеризации, что вызывает нарушение технологических требований и может привести к перегреву внутренних слоев конструкции и образованию дефектов. Выбор правильного температурного режима путем непосредственного эксперимента достаточно трудоемкий и энергозатратный процесс, поэтому целесообразно проводить имитационные исследования, которые требуют разработки математических моделей, описывающих температурные процессы, происходящие внутри многослойных конструкций [2].

Учитывая технологию производства композитных конструкций методом автоклавного формования, температурный режим целесообразно разделить на три этапа: предварительный разогрев, стабилизация температуры и остывание композита [3]. Теплообменные процессы каждого этапа имеют свои особенности и требуют отдельного подхода к постановке математической модели.

Целью работы является постановка и решение задачи теплообмена в многослойной композитной конструкции с сотовым заполнителем на этапе предварительного разогрева.

Постановка и решение задачи

Рассмотрим многослойную конструкцию, крайние слои которой составлены из слоев стеклоткани, средний слой состоит из сотового материала, который изготовлен из материала с низким коэффициентом теплопроводности. Так как толщина конструкции намного меньше ее длины и ширины, то проведем анализ теплообмена через плоскую бесконечную пластину, представляющую собой совокупность нескольких пластин с различными теплофизическими характеристиками (рис. 1). Начальное распределение температуры каждого слоя задается некоторой функцией и (х-,0) = £ (х-).

Между поверхностями пластины и окружающей средой происходит теплообмен по закону Ньютона. Между граничными поверхностями слоев имеется идеальный тепловой контакт, который описывается условиями сопряжения [4].

Рис. 1. Бесконечная А'-слойная пластина / Fig. 1. Endless N-layer plate

Математическая модель процесса теплообмена в многослойной композитной конструкции с сотовым заполнителем на этапе предварительного нагрева описывается системой уравнений теплопроводности [5]:

Щ (X,т)_ 2 (X ,т) + q (Xj ,т)

St

- 0x2

cipi

i = 1,2,..., N, 0<х^ <b, x > 0, с начальными условиями

U (х- ,0) = f (х- ), (2)

неоднородными граничными условиями

I

N

SU, (0, т) , . ч ч

2 ' ' - а (Uj (0,т) - Ucl ) = 0 ; (3)

+ (Un (bN, т) - Ucn ) = 0 (4)

Sx,

SUN (bN, т)

Sx

и граничными условиями 4-го рода на поверхностях контакта слоев:

и,(Ь, т ) = и,+1 (0,т);

Sx

V+1 '

Sx,-

1 = 1,2,..., N - 1,

где а2 = —---коэффициент температуропровод-

С-Р-

ности слоев; с, - удельная теплоемкость; рг- - плотность материала слоев; X, - теплопроводность слоев; а1, аN - коэффициенты конвективной

ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION.

TECHNICAL SCIENCES. 2023. No 1

теплоотдачи от внешних поверхностей в окружающую среду; £/<л(т), исы(т) - температуры окружающей среды; и(х,т) - температура тела на глубине х в момент времени т; дг (хг, т) -функция источника теплоты.

Решения поставленных задач будем искать в виде суммы решений стационарной и нестационарной задач теплопроводности [6]:

и (Хг,т) = уг- (Хг) + (Хг,т),

где уг- (хг) - решение стационарной задачи с неоднородными граничными условиями

d(x )

dx,

= 0, i = 1,2,..., N, 0<x <b, (6)

с граничными условиями 3-го рода dVi ( 0 )

dx1

к

- a! (Vl (0)-Uci ) — 0, (7) ъ N^dxN ) + a n (Vn Ы-UCN ) — 0 (8)

и с условиями сопряжения

V j ( bi )=v j+i(0) ;

К

dV; (bj) к dVj +l (0) ■ — К

dxj

j+1'

dxj+1

, i = 1,2,..., N - 1. (9)

dx,

— Di.

(10)

Далее, интегрируя (10), получим решение стационарной задачи (6) в виде

^ (xi ) — Dixi + Ei. При Xi = 0 : у (0) = Ei, при Xi = bi V (b )- Vi ( 0)

(11)

D — ■

b

dx,

Учитывая последнее равенство и граничные условия (7)-(9), получим систему уравнений

Ч = а1 (VI (0)- ис1),

ч = ^ (VI (¿1)-VI (0)) = ^ ((0)-VI (0 )), Ь1 ¿1

Ч = ^ ( V2 (¿2 )-V2 ( 0 )) = ^ (Vз (0)-^ ( 0)),

¿2 ¿2

....................................................................... , (12)

д = 1Г ( VN (ЪМ ) - VN (0)) ,

Ч = «ы (исы - VN (ъы )) • Выразив из этих равенств разности температур и сложив правые и левые части, получим

q

1 К1 К 2 К N --ь — + — +... +

+ -

va1

bN

1

N

— UCN UC1 .

Отсюда

q—К

dVi ( x )

UCN UC1

dx.

a

1 N

h+z

Кк

1 к—1 bk

a

N

и согласно равенству (10), найдем

После интегрирования уравнения (6) имеем dVf ( xf )

Di —

dVi ( xi )

UCN - UC1

dx

■1 + Z £+-1

a1 к—1К к a

N У

Далее из (12) последовательно вычисляем температуры поверхностей слоев

Vi (bi )—ucn - q

N b

Z

К,

- + -

1

л

V k=i +1 Л-к aN У Из равенства уг- (bi) = Д- bi + Ei находим

(Ucn - uc1 )

Г;

Подставляя найденные выражения для Е и Ог в (11), получим

V, (х, ) = V, (0) + х,.

Так как при стационарной теплопроводности плотность теплового потока через границы каждого слоя одинакова и пропорциональна разности температур [7], то имеет место равенство

dvi (х ) V, (Ъ,)- V, (0) К, -;- = К, -;- = Ч •

Ei — UCN - ■

Л

Z bk к=2+1 Кк

1

л

lN у

^+Z b

a1 i—1К

1

lN

Подставляя найденные выражения для Ег и Ог в (11), получим решение стационарной задачи (6). Решение нестационарной задачи Qi (хг,т) находим из уравнения:

ôQ ( x, т)— 2 ô2Q ( x )

0т

— a

ôxi

-v( xi )■.

x > 0, i = 1,2,., N - 1, 0 < x < bi,

К

ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. TECHNICAL SCIENCES. 2023. No 1

с начальными условиями

Q (*,0) = fi (X)-(Xi) ;

однородными граничными условиями Q ( 0, Т )

(14)

Из условия (20) найдем Cm n :

sin ( ф j+1, „ )

C — C .

CJ,n Cj+l,n f

hl

dx,

- aiQi ( О,т ) — О, (15)

sin

ц nbJ

(25)

v cJ

v J

+Ф

J,n

Л dQN (bN,т) n, (и \ n hN-Ô-- + аNQN (bN , т ) — О (16)

dxN

при этом примем, что Суп = 1.

Используя граничное условие (20), опреде-

и условиями сопряжения

Qj (b-, Т ) = Q-+i ( 0,Т ), A Q- (b-, Т ) . dQj+1 ( ^ т )

A j-= A j+i-

tXj dXj+1

i = 1,2,..., N - 1.

лим

Ф1, n — arctg

f hib ^ v aiai J

(17)

и с учетом (23) и (25) найдём рекуррентное соотношение для фт,„:

(

Решение задачи (13)-(17) получено методом конечных интегральных преобразований [8]. Формула перехода к изображениям имеет вид

Ф J+l,n — arctg

h,.+, а f ц:Ь

V+ici

tg

n J

JcJ+i i = 1,2,..., N - 1.

аí v J

Ф

j,n

J)

— Z hf-bf Q,m (Xm^(xf,ц)dx, . (18) ™ корень уравнения:

m—l am 0

Из (21) находим, что ци - n-й положитель-

h n ц f цЬ

Ядро интегрального преобразования Жт(хт, Цп) является решением вспомогательной задачи

<2Жт ,ц) + + ^ (Хт,ц) = 0,(19)

йхт а2

т = 1,2,.,N 0<хт <Ьт

cos

cN

Л

N

v aN

+ Ф N

+ aN sin

цЬ

N

v CN

+ Ф N

— О.

Применяя преобразование (18) к задачам (13)-(17), переходим к уравнениям в изображениях:

dQi ( цп ,т) + 2

dт

с граничными условиями dWi ( 0, ц )

+ ciïnQi (ц:,т)-v(цn,т) — О , (26)

N h bm

h

dx.

dWN (bN, ц)

N

dx

- aiW (О,ц) — О , (20)

+ anWN (bN ,ц) — О (21)

где v(ц:,т)— Z -2 j v (xm,т)Wm (x,, ^ )dx„

m—l cm 0

Q (цп ,О) —

N

N h bm

Z "f j ffm ( Xm ) - Vm ( Xm )] Wm ( Xm, цп ) dxm •

и условиями сопряжения

Wj (bj, Ц) = Wj+1 ( 0,ц),

m—1 cm 0

h,

dWj (bj, ц)— h dWj+i ( 0, ц)

dx,

J+i

dx,

(22) (23)

Интегрируя уравнение (26) и учитывая (14), получим

■] +1 1 = 1,2,., N - 1. Проинтегрировав линейное дифференциальное уравнение второго порядка (19), найдём его решение:

Q (ц п ,т ) — Q ( цп ,О)е

-ац2т

+

1 - е

"ац:т

ац П

;(цп,т).

Перейдя к оригиналу по формуле

Wm (Xm, цп ) = Cm,n sln

ц nXf

V Cm

Л

Q ( Xi , т )— Z Q ( цп ,т )W ( Xi ,цп )

n—l

Mn

+ ф,

(24)

и используя (24), найдем

ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION.

TECHNICAL SCIENCES. 2023. No 1

N К,

ь„

Mn — Z^ J ^ ( , Ц „ ) dxm — m—1 am 0

N К

(

Z 2 J C2,n Si

sin

m=1 am 0

ЦпХ2

л

v am

2b - am

m

Цп

sin 2

Ц nbm

v am

+ Ф2

+ Ф2

nV К 2 dx — Z -me

m=1 Cl„

л Л

- sin (2Фт,n )

— DlXl + Ег + Z g (Цn )W (■ n ) .

n=1

M„

Характеристика Стеклоткань Сотовый материал

Теплопроводность, X, Вт/(м-К) 0,23 0,02

Плотность, р, кг/м3 1510 40

Удельная теплоемкость, С, Дж/(кг-К) 800 1000

Толщина слоя, м 0,00006 0,001

x = 1 ч

x = 0,6 ч

Слои стеклоткани

7,2 8,4 9,6 10,8 12 13,2 14,4

X = 0,2 ч

ши

Х„ M IO 4

Таким образом, решение исходной задачи (1)-(5) имеет вид

иг ( *г >т ) = Vг ( *г ) + Яг ( *г ) =

Практическое применение

Полученное выше решение краевой задачи использовано для описания нестационарного температурного поля девятислойной композитной конструкции с сотовым заполнителем. Крайние слои конструкции составлены из двух и шести слоев стеклоткани, а средний представляет собой сотовый заполнитель. Теплофизические и структурные характеристики материалов представлены в табл. 1 [9]. Предварительный разогрев, согласно технологии изготовления данной конструкции, протекает в течение 1,17 ч, до достижения температуры полимеризации (125 ± 5) °С с постоянной скоростью повышения температуры 2 °С/мин.

Таблица 1 / Table 1 Свойства материалов / Material properties

Результаты расчетов распределения температур по толщине пластины в различные моменты времени показаны на рис. 2. Полученные зависимости показывают, что слои стеклоткани, находящиеся ближе к сотовому слою, не успевают прогреваться до нужной температуры из-за низкой теплопроводности заполнителя. Максимальное отклонение от теоретических значений температур достигает 15 °С при т = 1,17 ч.

Рис. 2. Распределение температуры по толщине образца в

различные моменты времени / Fig. 2. Temperature distribution over the thickness of the sample at different times

В работе [10] показаны результаты решения задачи (1) - (5) для девятислойной композитной конструкции с заполнителем, полученные численными методами, которые согласуются с полученными аналитическими решениями.

Заключение

Таким образом, в работе представлено решение задачи нестационарной теплопроводности для многослойной неограниченной пластины с использованием метода конечных интегральных преобразований. Произведено имитационное моделирование предварительного разогрева для определения температурных полей в многослойных конструкциях. Расчетным путем установлено, что в процессе разогрева наблюдается неоднородное распределение температуры по толщине панели, что требует применения системы автоматизированного технологического контроля в сочетании с термометрией формуемого изделия.

Список источников

1. Берсудский В.Е., Крысин В.Н., Лесных С.И. Технология изготовления сотовых авиационных конструкций. М.: Машиностроение, 1975. 296 с.

2. Тугов В.В., Акимов И.А. Управление процессом теплообмена в многослойных конструкциях с фазовыми переходами // Автоматизация. Современные технологии. 2017. Т. 71, № 6. С. 243-247.

3. Akimov A.I, Karakulina E.O, Akimov I.A., Tugov V.V. Mathematical Models of Heat Exchange in Multilayer Constructions with Various Thermalphysic Characteristics in Industrial // International Review on Modelling and Simulations 2018. Vol. 11, Iss 2. P. 59-66.

4. Кошляков Н.С., Глинер Н.С., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высшая школа, 1970. 712 с.

5. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967. 599 с.

6. Туголуков Е.Н. Решение задач теплопроводности методом конечных интегральных преобразований. Тамбов: Изд-во ТГТУ, 2005. 116 с.

7. Карташов. Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. М.: Высшая школа, 1985. 479 с.

х

ISSN 1560-3644 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION.

8. Карташов Э.М. Метод интегральных преобразований в аналитической теории теплопроводности твердых тел // Известия РАН. Энергетика. 1993. No 2. С. 99-127.

9. Панин В.Ф., Гладков Ю.А. Конструкции с заполнителем: Справочник. М.: Машиностроение, 1991. 272 с.

TECHNICAL SCIENCES. 2023. No 1

10. Каракулина Е.О., Спиридонова Е.В. Численное решение задачи теплообмена в многослойной композитной конструкции с сотовым заполнителем на этапе предварительного разогрева // Научно-технический вестн. Поволжья. 2020. № 2. С. 72-74.

References

1. Bersudsky V.E., Krysin V.N., Lesnykh S.I. Manufacturing Technology of Honeycomb Aircraft Structures. Moscow: Mashi-nostroenie; 1975. 296 p.

2. Tugov V.V., Akimov I.A. Control of the Heat Transfer Process in Multilayer Structures with Phase Transitions. Automation. Modern Technologies. 2017;71(6):243-247. (In Russ.)

3. Akimov A.I, Karakulina E.O, Akimov I.A., Tugov V.V. Mathematical Models of Heat Exchange in Multilayer Constructions with Various Thermalphysic Characteristics in Industrial. International Review on Modeling and Simulations. 2018; 11(2):59-66.

4. Koshlyakov N.S., Gliner N.S., Smirnov M.M. Equations in Partial Derivatives of Mathematical Physics. Moscow: Vysshaya shkola; 1970. 712 p.

5. Lykov A.V. Theory of Thermal Conductivity. Moscow: Vysshaya shkola; 1967. 599 p.

6. Tugolukov E.N. Solving Problems of Heat Conduction by the Method of Finite Integral Transformations. Tambov; 2005.116 p.

7. Kartashov E. M. Analytical Methods in the Theory of Thermal Conductivity of Solids. Moscow: Vysshaya shkola; 1985. 479 p.

8. Kartashov E.M. The Method of Integral Transformations in the Analytical Theory of Thermal Conductivity of Solids. Izvestiya RAN. Energy. 1993;(2):99-127. (In Russ.)

9. Panin V.F., Gladkov Yu.A. Placeholder Designs: A Handbook. Moscow: Mashinostroenie;1991. 272 p.

10. Karakulina E.O., Spiridonova E.V. Numerical Solution of the Problem of Heat Transfer in a Multilayer Composite Structure with a Honeycomb Filler at the Stage of Preheating. Scientific and Technical Bulletin of the Volga Region. 2020;(2):72-74. (In Russ.)

Сведения об авторах

Каракулина Елена Олеговнав - ст. преподаватель, кафедра «Математика и методика преподавания математики», elok2004@yandex.ru, ospu@ospu.ru

Тугов Виталий Валерьевич - канд. техни. наук, доцент, кафедра «Управления и информатики в технических системах», vitalya99@mail.ru, sau@mail.osu.ru

Information about the authors

Karakulina Elena O. - Senior Lecturer, Department «Mathematics and Methods of Teaching Mathematics», elok2004@yandex.ru, ospu@ospu.ru

Tugov Vitaly V. - Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Department «Management and Informatics in Technical Systems», vitalya99@mail.ru, ost@mail.osu.ru

Статья поступила в редакцию/the article was submitted 22.11.2022; одобрена после рецензирования /approved after reviewing 05.12.2022; принята к публикации / acceptedfor publication 12.01.2023.