CC BY
142
МЕХАНИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ДРЕВЕСИНЫ И ДРЕВЕСИНОВЕДЕНИЕ
УДК 536.24:674.047
О.Р. Дорняк
Воронежская государственная лесотехническая академия
Дорняк Ольга Роальдовна окончила в 1978 г. Воронежский государственный универси тет, доктор технических наук, и.о. зав. кафедрой сопротивления материалов и теорети ческой механики Воронежской государственной лесотехнической академии. Имее около 140 печатных работ в области процессов тепло- и массопереноса, математическо го моделирования, механики гетерогенных материалов, реологии. E-mail: olga@dorn.vrn.ru, sushka.vrn2010@yandex.ru
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА СУШКИ ДРЕВЕСИНЫ
Представлена математическая модель теплофизических процессов в древесине как в трехфазной системе с учетом широкого спектра физических и структурных факторов.
Ключевые слова: древесина, сушка, математическое моделирование, гетерофазная среда.
Прогресс в технологиях сушки древесины возможен на основе изучения фундаментальных закономерностей тепло- и массопереноса в этом сложном материале. Большое число физических и структурных факторов, определяющих результат интенсивного теплового воздействия на древесину, делает недоступным исследование механизма явлений путем прямого физического эксперимента. Успехи в этом направлении возможны при использовании методов математического моделирования.
К ограничениям известных исследований по моделированию тепломас-сопереноса в древесине, в частности [6, 7], следует отнести подход к древесине как к гомогенной среде, одномерный характер изучаемых процессов и недостаточный учет термодинамических особенностей поверхностно-капиллярных явлений. Для изучения движения газов и жидкостей, тепло- и массопереноса в реальных пористых средах, имеющих нерегулярную структуру, нельзя использовать обычные уравнения переноса, применяемые в сплошных гомогенных средах [5]. В таких системах как древесина, где внешние воздействия могут вызвать существенно различное поведение фаз и сделать значительными эффекты их взаимовлияния, основой математического моделирования явлений может быть механика многофазных систем [4].
© Дорняк О.Р., 2012
Цель данной работы - создание математической модели теплофизиче-ских процессов в древесине как трехфазной системе (твердая, жидкая и газообразная фазы) с учетом широкого спектра физических и структурных факторов, а также соответствующего программного комплекса.
Пусть древесный образец имеет форму бруска прямоугольного сечения (рис. 1). Материал считается трансверсально-изотропным. Волокна параллельны одной из сторон бруска, например x3. Начальная влажность по сечению образца может быть распределена произвольно. Жидкая фаза практически несжимаема, ее плотность постоянна. Влага из образца удаляется в виде пара. Перенос пара осуществляется преимущественно вдоль волокон и vj << vf, vf << vf (где v - скорость). При
..3 з,
0
W*x
d
Рис. 1. Расчетная схема
этом v = vj(x, X, X ) . Верхние индексы
1, 2, 3 обозначают компоненты векторов, нижние - принадлежность соответственно к газообразной (1), жидкой (2), твердой (3) фазам.
Запишем уравнения для усредненных по объемам фаз значений переменных, следуя [4] и опуская знак усреднения <...>. Например, под переменной f подразумевается <f2>2. Подчеркнем, что усреднение макроскопических переменных производится не по всему объему образца, как это принято в гомогенных системах, а по объему конкретной фазы, что обеспечивает возможность более глубокого анализа процессов тепло- и массопереноса в изучаемой гетерофазной среде.
Газовая фаза состоит из двух компонент - неконденсирующийся газ и водяной пар. Параметры, относящиеся к первой компоненте, имеют нижний индекс 1g, ко второй компоненте - 1v. Плотность парогазовой смеси p1 и концентрация х составляющих определены следующим образом:
po
po =pOv +p° ; х = ^; 1 -х = ^.
Pig
Pi
(1)
Pi
Здесь знак «о» означает истинное значение физической величины.
Примем предположение об идеальности паровой и газовой компонент. Для парциального давления р и удельной внутренней энергии u имеем:
Pig = PigT1B1g ; uig = Cv1gT1 ; Piv = Pi°vT1B1v ; uiv = Cv1vT1 , (2)
где T - температура, K;
В - индивидуальная газовая постоянная, Дж/(кг • K); cv - теплоемкость при постоянном объеме, Дж/(кг • K);
Давление в парогазовой смеси определяется законом Дальтона для смеси идеальных газов:
Pi = piTiBi; Bi = xBiv + (1 - x)Big . (3)
Значения скорости паровой и газовой компонент могут быть различны. Для их описания введены среднемассовая скорость смещений элементарных макрообъемов первой фазы v1 и диффузионные скорости пара и газа w1v и w1g:
vi = xviv +(i - x)vig; wig = vig - vi; wiv = viv - vi • (4)
Относительное движение компонент определяется законом бинарной диффузии Фика:
w3 = D ^; w3 =--£ D ^, (5)
Pi0g dx3 Pi0v dx3
где D - коэффициент бинарной диффузии, зависящий в общем случае от температуры газа.
Уравнения сохранения массы для парогазовой смеси и газовой компоненты при сделанных предположениях имеют следующий вид:
d(p0 ai) d(p 0 a i vf)
I + i = S 2J ; a i +a2 + a3 =i; (6)
dt dxз
d(p0a i(i-X)) , 5(P0ai(i-X)(vi3 + wg)) = 0
dt dx3
где a - объемное содержание (безразмерная величина);
j - поток массы пара, обусловленный фазовыми переходами, отнесенный
к единице времени и единице площади, кг/(м2с); s12 - удельная поверхность раздела 1-й и 2-й фаз, м-1.
Случай j > 0 соответствует испарению, j < 0 - конденсации. Запишем уравнение движения и теплопроводности парогазовой фазы при сделанных предположениях:
Р 0ai
fdvl 3 dv3 Ї dPi ai ^v3 ,
--+ v - = —a---^- ; (81
V dt 1 dx3 J i dx3 (0 i)
«Pi P0 Hf + v? 3=ai BT (.<«-^
■ + v-
1
dt dxi
+
d ( d?i) d ( . dTi ) d ( . dTi ) +—і a^i—4 +—l —4 +—l a^i—11 + dx V dx J dx2 V dx2 J dx3 V dx3 J
(dP0 dP0^
+ a iBTil -PL + v3 I + «vi*2JT|s12 - Ti) + 02i + 03i; (9)
v i J
h
«pi = x«piv +(i - x)cpig; Qj, = Sj^h,(TL,-T); ч = h 2
Здесь K13mm - коэффициент проницаемости 1-й фазы при полном насы-
щении в направлении m (m = 1, 2, 3) м2; ^(0) - относительная фазовая проницаемость;
6i - насыщенность объема порового пространства газообразной фазой;
ср - теплоемкость при постоянном давлении, Дж/(кгК);
X - коэффициент теплопроводности, Вт/(м К); а j - коэффициент теплоотдачи между фазами i и j, Вт/м.
Запишем уравнение теплопроводности для твердой фазы:
3 8T3 _ _ 8 . 8T3 N 8 . 8Т3ч 8 . Ж. ....
С3Р3а3 — = Q13 + Q23 + — (азХз^) +-Z— (азХзТ~)+ (азХэт—) • (10)
8t 8ху 8xy 8x2 8x2 8х3 8x3
Постановка задачи переноса жидкой фазы для процессов сушки древесины имеет особенности, связанные с тем, что механизм переноса воды зависит от формы ее связи с твердой фазой [3]. Известно, что свободная вода неподвижна в порах, если отсутствует внешний градиент давления. Ее удаление происходит за счет испарения. Связанная вода в тонких прослойках между твердыми поверхностями не испытывает фазовых переходов и при этом практически неподвижна вследствие высокого гидродинамического сопротивления. Связанная вода другого типа, которая формирует искривленные тонкие слои жидкости, смачивающие твердую фазу и имеющие границу раздела с парогазовой смесью, движется в результате воздействия градиента давления, который обусловлен проявлениями капиллярных эффектов 1-го и 2-го рода. Движение воды в граничных слоях происходит из области с большей насыщенностью в область с меньшей. Для описания этих явлений проведено дополнительное усреднение гидродинамических параметров по объемам свободной воды, воды в тонких прослойках и смачивающих пленках.
Представим усредненное давление в жидкой фазе в виде
{p\)2 = (т2свР2св + т2смР2см + т2т.слР2т.сл)/а2 •
Здесь введены дополнительные структурные параметры объемного содержания в образце свободной воды тсв = dV2CB/dV, воды граничных слоев в тонких капиллярах тт.сл = dV^JdV и воды в смачивающих пленках
тСм = dV2см/dV.
При решении задач кинетики переноса воды в пористых телах, где скорости течения пленок обычно невелики, можно воспользоваться уравнением Кельвина, справедливым в условиях локального равновесия на границе пленки с паром [1]. Полагая, что давление объемной жидкости равно давлению насыщенного пара над ее плоской поверхностью, для давления в смачиваемых слоях имеем:
Р2см = POat + P = Poat + RT ^ ^ , (11)
V Psat
где psat, p°sat - равновесное давление насыщенного пара над мениском и над плоской поверхностью воды;
V - объем 1 моля воды.
Так как твердая фаза древесины имеет гидрофильные свойства, мениски воды в ней вогнутые и poat < psoat , то р2см < psoat. Формула Кельвина (11) позволяет вычислять давление в жидкости с учетом капиллярных эффектов 1-го и 2-го рода, избегая прямого вычисления капиллярного и расклинивающего давлений в тонких искривленных смачивающих пленках на поверхности твердой фазы. Используя формулу Кельвина (11) и уравнение изотермы сорбции в виде
Ф = -РТ- = F(W, T), (12)
Poat (T)
имеем зависимость давления воды от влажности W и температуры T в рамках равновесной термодинамики двухфазных многокомпонентных систем.
Характерное время процесса сушки может оказаться сопоставимым с временем установления полей капиллярного и расклинивающего давлений. В этом случае процесс не является равновесным. Для учета неравновесных эффектов приняты различными температуры фаз гетерофазной системы. В качестве температуры Т в выражениях (11) и (12) используется температура жидкости в поверхностной фазе Е12. Уравнения сохранения массы, количества движения свободной и адсорбционной воды подробно представлены в [2]. В данной работе приведем уравнение теплопроводности жидкой фазы:
o -TZ - -TZ - -TZ - -T2 c Р°«ч —2 = — (a A —2) H--(a A —2) H--(a,, A, —2) -
Z Z Z Z Z Z Z Z Z
— -x -x -x2 -x2 -x3 -x3
-CSizJ(Tz\U2 -Tz) + Qiz + Qz, (13)
а также уравнения сохранения для воды в смачивающих пленках, реализуемых в тех зонах образца, где влажность древесины не превышает предела гигроскопичности:
p^^jJ + V(m2cMv2cM )] = -jsu + qTC; (14)
ot
p°m ^ = J^iK-X^L-vl) +v(m a } (15)
р2т2см m 2см р2см 1T( ґп ч + *('"2сми2см )■ (15)
— Ч2(02см )
Здесь дт.с - объемный расход жидкости в тонких прослойках (смачивающие пленки подпитываются водой тонких прослоек), кг/(м2с);
(K 1)f - след тензора, обратного тензору проницаемости 2-й фазы, м ; (j, - вязкость, Пас;
см - тензор напряжений жидкой фазы в смачивающих пленках, Па
Математическая модель включает уравнения сохранения на межфазных поверхностях. На границе раздела «жидкость-пар» в общем случае следует учитывать неравновесность фазовых переходов, связанную с тем, что количество пара, испаряющегося с поверхности раздела фаз зависит от кинетических возможностей паровой фазы. Кинетика неравновесных фазовых переходов
описывается уравнением Герца-Кнудсена-Ленгмюра. Взаимосвязь между давлением и температурой вдоль линии насыщения определяется уравнением Клапейрона-Клаузиса. Неравновесная схема фазовых переходов предполагает наличие скачка температур в граничном кнудсеновском слое пара [4].
Уравнение сохранения энергии в поверхностной Ei2 фазе без учета тепловой инерции этой фазы и влияния искривленности межфазных поверхностей на ее температуру представим в виде
Si2jL = aiH2Si2(Ti Ti|yi2) + a2 Zi2Si2(T2 T2 |yi2) .
(16)
Условия теплообмена на остальных поверхностях раздела фаз могут быть записаны в виде следующих балансовых соотношений:
Si3aHi3(TSi3 — T3) = —Si3aiZi3(TSi3 — T) ; (17)
(18)
П^З ИЗ
23 3 S23v 223
IH3V
(T223 — T3) = —S23a2223(T223 — T2) .
Краевые условия на внешних границах бруска: для пара
dPi dn
= РЇ (Pi| — Pc); —дх 1 г dn
111 I л dTi a, = i — a — a ; — A,—i
uг 2Іг 3Іг' i dn
для жидкости
= 0; v2| = 0 ; — Я2 dT2
Іг dn
:у іг (х|г —Xc);
= a[(Ti — Tc);
= a 2(TJ — Tc);
a
2Іг = 0,0i^(Tc, фс)a3p3/p2 ;
для твердой фазы
— Я-,
dT
dn
= a г (TJ — Tc)
(19)
(20)
(21)
Здесь atT - коэффициент теплоотдачи i-й фазы к окружающей среде, Вт/м2; Ргг, у і - коэффициенты массообмена i-й фазы с окружающей средой, м-1.
Индекс «г» означает принадлежность к внешним границам древесного образца, «с» - к окружающей среде.
Начальные условия имеют следующий вид:
v3 = 0; ai = ai0; х = х0; v2 = 0; v22 = 0; (22)
— ^20(, x, ) ; T — T — T — T) (, x, ) .
Поставленная начально-краевая задача (1)-(22) является нелинейной. Ее исследование выполнено с помощью численных методов. Проведена аппроксимация дифференциальной задачи разностной, разработан вычислительный алгоритм и соответствующий программный комплекс, что позволяет проводить вычислительный эксперимент по регулированию процесса сушки.
г
г
г
v
2
г
г
г
г
Рис. 2. Распределение в центральном поперечном сечении образца (x3/lxap = 0,5) избыточного давления в газообразной фазе Ap = p1 - рс (а, б), влажности W (в, г) и интенсивности парообразования j (д, е) при сушке в моменты времени
t/txap = 0,1 (а, в, д), t/txap = 4,0 (б, г, е) (4 = 120 °С; температура мокрого термометра ґм = 84 °С; xxap ~ 15 мин; jxap = p2lxap/txap; размеры образца 25x25x125 мм)
Задаются параметры сушильного агента (температура, давление и относительная влажность), а также произвольные неоднородные начальные поля температуры и влажности в образце. Результат численного моделирования - детальное описание характера изменения во времени полей давления парогазовой смеси, концентрации пара, распределения влагосодержания, а также температуры отдельных фаз. Рис. 2 иллюстрирует некоторые возможности вычислительного комплекса.
Выводы
На основе методов механики гетерофазных систем разработаны теоретические основы расчета взаимосвязанного тепломассопереноса в коллоидных
капиллярно-пористых анизотропных материалах (на примере древесины). Проведенные расчеты свидетельствуют о возможности применения сформулированной математической модели для выбора эффективных режимов сушки древесины. Модель не ограничена конкретным способом сушки и может быть использована для натуральной и уплотненной древесины любых пород. Заметим, что построенная модель тепломассопереноса в трехфазной системе в предельном случае переходит к модели диффузионно-фильтрационного влаготепло-переноса академика А.В. Лыкова. При реализации процедуры предельного перехода удалось получить аналитические выражения для представляющих трудность в определении коэффициентов диффузии влаги и критерия фазовых переходов. Эти соотношения могут быть использованы для технологических расчетов сушки пиломатериалов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гринчик Н.Н. Процессы переноса в пористых средах, электролитах и мембранах. Минск: АНК «Институт тепло- и массообмена» АН Беларуси, 1991. 251 с.
2. Дорняк О.Р. Гидродинамическая задача для процессов модифицирования древесины // Изв. СПб ЛТА. 2005. В. 172. С. 143-150.
3. Лыков А.В. Теория сушки. М.: Энергия, 1968. 471 с.
4. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978. 336 с.
5. Павлюкевич Н.В. Введение в теорию тепло- и массопереноса в пористых средах. Минск: Ин-т тепло- и массообмена им. А.В. Лыкова НАНБ, 2003. 140 с.
6. Сафин Р.Р., Хасаншин Р.Г., Сафин Р.Г. Математическая модель процесса конвективной сушки пиломатериалов в разряженной среде // Лесн. журн. 2006. № 4. С. 64-71. (Изв. высш. учеб. заведений).
7. Шубин Г.С. Сушка и тепловая обработка древесины. М.: Лесн. пром-сть, 1990. 336 с.
Поступила 18.05.11
O.R. Dornyak
Voronezh State Academy of Forestry Engineering Mathematical Modelling of Wood Drying Process
The article presents a mathematical model of thermal processes in wood as in a three-phase system taking into account a wide range of physical and structural factors.
Key words: wood, drying, mathematical modelling, heterophase environment
