CC BY
14УДК 517.977 DOI: 10.46960/1816-210X2021232
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА СТАБИЛИЗАЦИИ ЖЕСТКОГО РОТОРА, ВРАЩАЮЩЕГОСЯ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОДШИПНИКАХ
А.В. Мухин
ORCID: 0000-0003-2402-7016 e-mail: myhin-aleksey@yandex.ru
Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет
им. Н.И. Лобачевского Нижний Новгород, Россия
Рассмотрена задача оптимальной стабилизации жесткого ротора, вращающегося в электромагнитных подшипниках. Для решения задачи формируется линейный стационарный закон управления по принципу обратной связи для линеаризованной системы. Рассмотрены два подхода к решению задачи: стабилизация по состоянию и стабилизация по выходу полного порядка. Результаты, полученные в первом подходе, являются вспомогательными и используются для сопоставительного анализа. Основной результат, с точки зрения возможности практического использования, получен в рамках второго подхода, где в качестве измеряемых параметров рассматривались токи в цепях электромагнитов. В качестве критерия оптимальности использовалась обобщенная Нет-норма линеаризованной системы, позволяющая учесть как внешнее возмущение, так и начальное отклонения ротора. Для вычисления параметров обратной связи использовался аппарат линейных матричных неравенств. Представлены результаты математического моделирования динамики вращающегося ротора. Приведены оценки качества переходных процессов в системе.
Ключевые слова: линейные матричные неравенства, методы выпуклой оптимизации, обобщенная Нт-норма, ротор, управление.
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ: Мухин, А.В. Математическое моделирование процесса стабилизации жесткого ротора, вращающегося в электромагнитных подшипниках // Труды НГТУ им. Р.Е. Алексеева. 2021. № 2. С. 32-42. DOI: 10.46960/1816-210X_2021_2_32
STABILIZATION PROCESS MATHEMATICAL MODELING FOR RIGID ROTOR THAT ROTATES IN ELECTROMAGNETIC BEARINGS
A.V. Mukhin
ORCID: 0000-0003-2402-7016 e-mail: myhin-aleksey@yandex.ru
Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod Nizhny Novgorod, Russia
Abstract. The problem of optimal stabilization of a rigid rotor rotating in electromagnetic bearings is considered. To solve the problem, a linear stationary control law is formed, according to the feedback principle for a linearized system. Two approaches for the problem solution are considered: stabilization on condition, and stabilization on full order output. Results obtained in the first approach are auxiliary and are used for comparative analysis. Basic result, from the viewpoint of the possibility of practical use is obtained within limits of the second approach, where electromagnet circuit currents were considered as measured parameters. As an optimality criterion, generalized HM-norm of the linearized system was used; it allowed us to take into account both the external excitation and initial deviation of the rotor. To calculate the feedback parameters, the system of linear matrix inequalities was used. Results of rotating rotor dynamics mathematical modeling are presented. Quality estimations of transient phenomena in the system are given.
Key words: linear matrix inequalities, convex optimization methods, generalized Hm norm, rotor, control.
FOR CITATION: Mukhin, A.V. Stabilization process mathematical modeling for rigid rotor that rotates in electromagnetic bearings / A.V. Mukhin // Transactions of NNSTU n.a. R.E. Alekseev. 2021. № 2. Р. 32-42. DOI: 10.46960/1816-210X 2021 2 32
© Мухин А.В.
Введение
Электромагнитные подшипники представляют большой практический интерес для целого ряда промышленных применений. Преимуществом таких подшипников, в частности, является отсутствие физического контакта и, как следствие, отсутствие механического трения, что, в свою очередь, позволяет существенно увеличить срок эксплуатации и КПД по сравнению с традиционными механическими аналогами. Вместе с тем, одной из наиболее актуальных задач для электромагнитных подшипников является оптимальное управление динамикой ротора. Решению этой задачи посвящено немалое количество как отечественных, так и зарубежных работ [1-4]. В большинстве из них рассматриваются линеаризованные системы, а в качестве основного метода синтеза стабилизирующих управлений используется аппарат линейных матричных неравенств.
В настоящей работе представлено решение задачи стабилизации ротора, вращающегося в электромагнитных подшипниках. Основным результатом является решение задачи стабилизации по выходу полного порядка, когда измерению доступна только часть компонентов вектора состояния. В качестве вспомогательной задачи рассматривалась стабилизация ротора по состоянию. В качестве показателя качества переходных процессов использовалась обобщенная Нт-норма системы, позволяющая учитывать влияние внешних возмущений и ненулевых начальных условий [1]. Для реализации указанных задач использовались техника линеаризации исходных дифференциальных уравнений, аппарат линейных матричных неравенств [5,6], а также методы теории выпуклой оптимизации, реализованные в виде стандартных команд пакета программМЛТЬЛБ [7].
Математическая модель вращающегося ротора
Схема, описывающая вращение ротора в магнитном поле, создаваемом четырьмя парами электромагнитов, представлена на рис. 1 [2].
in
Рис. 1. Схема вращающегося ротора Fig. 1. Rotating rotor diagram
Предполагается, что сверху и снизу также расположены магниты, которые удерживают ротор в центре системы. Таким образом, механическая система представляет собой вывешенное с помощью эффекта левитации жесткое тело, которое вращается в вертикальной
плоскости. Исходная нелинейная система дифференциальных уравнений, описывающая такое движение в магнитном поле, записывается в следующем виде [2] (1):
]а - -1о(Р? - Р?) + - Р[)-]2ш$, ]р - 10(№ - Р?) - - Р?) + ]2ша,
тх - Р3и - Р? + Рз - Р?, (1)
ту - Р2 - Р1 + Р^- Р[,
где х, у - координаты центра масс ротора;
а, р - углы поворота ротора относительно осей X и У, соответственно; 10 - расстояние от центра масс ротора до верхнего и нижнего подшипников; т - масса ротора;
/, /2 - главные моменты инерции ротора; ш - угловая частота вращения ротора относительно оси 2.
Пары электромагнитных сил, действующих со стороны электромагнитов, определяются следующими соотношениями [2] (2).
Р21 -Р? Ьо^о \ 2 11и
2 [(Бо-Уи)2 (Бо+Уи)
Р2 -р1 ЬоБо Г 2 к 1
= 2 [(Бо-У1)2 (Бо+У1)2
рзи и - Р4 ЬоБо Г ки 2 14 и
2 [(Бо-Хи)2 (Бо+Хи)
Р3 -Р4 Ьо^о [ 3
2 (Бо+хд2.
(2)
где - сила тока в соответствующем электромагните; Ь0 - индуктивность каждого электромагнита; Б0 - зазор в электромагните;
Х1 ,У{- смещения ротора в электромагнитных подшипниках.
Смещения ротора связаны с переменными х, у, а, р следующими формулами (3):
хи - х+р10,х1 - х- р1о,уи = У - а1о,У1 - у + а10.
(3)
Представим силу тока в каждом подшипнике в виде суммы постоянной (10) и переменной ( ¿к) составляющих (4):
Ьи = 1о + Ч, Ьи = 1о - Ч, 1ц = 1о + Ь, = 1о - Ь, Ьи = ^о - Ь, Ьи = ¡о + Ь, 131 = ^о - Ч, ¡41 = ¡о + Ц.
(4)
Подставив уравнения (4) в уравнения (2), а затем уравнения (2) в (1), с учетом соотношений (3) получим систему нелинейных дифференциальных уравнений следующего вида
(5):
]а = 1о^
тх
Оо- к)2 0о +к)2
(Бо-У1)2 (Бо+У1)2
[(/о- 1 з)2 0о +к)2
Ц^о-Хи)2 (Бо+Хи)2
_ ЬоБо Г Оо- к)2
Оо-к) , Оо+к)
($о-Уи)2 ('о-14)2
+
+
(Бо+Уи)2 (1о+14)2
ту —
2
ЬоБо
(Бо-хО2 (Бо+хО2] 0о+к)2 +0о-к)2
-ишр,
+ ]2ша,
0о+к)2]
\-(Бо-Хи)2 (Бо+Хи)2 (Бо-хд2 (Бо+Х1)21
Оо- к) О о+к) , Оо-12)
+
0о +к)
2 [(Бо-Уи)2 (Бо+Уи)2 (Бо-У1)2 (Бо+Уь)2
2
2
После линеаризации в окрестности положения равновесия (/0,50) и перехода к безразмерным величинам система примет вид (6):
а = Я(/х — /2) + 2Яа — рД Р = Я(ц — /3) + 2Я^ + ра,
х = —(¿3 + ц) + 2х, (6)
У = -(¿1 + ¿2) + 2у.
Необходимо дополнить эту систему уравнениями для токов . Для этого запишем уравнения Кирхгофа для электрических цепей электромагнитов в линеаризованном виде (7):
11 = (у — — + иь Ч = — (У + а) — ^2 + «2,
13, = (х + 0) — д/з + из, (7)
г44 = —(х — — дц + и4.
Комбинация систем (6) и (7) дает полную систему дифференциальных уравнений, описывающих динамику ротора, вращающегося в электромагнитных подшипниках.
Для составления системы ОДУ первого порядка введем следующие обозначения: х1 =
^2 = *3 = = У, = ^6 = ^7 = = У, = ^1, *10 = ^2, ^11 = ^3, х12 = /4. Тогда объединенная линейная система ОДУ примет следующий эквивалентный вид (8):
Х1 = ^ х2 = ^ х3 = ^ Х4 = Х8,
х5 = Я( х9 — х10) + 2Ях1 — рх6 Хб = Я( Х12 — ХЦ) + 2ЯХ2 + РХ5, (8)
Х7 = —( Хц + Х12) + 2Хз, Х8 = ( Х9 + Хю) + 2X4,
х9 = ( х8 — х5) — дх9 + иь
*1о = ^8 + *5) — М*10 + «2, х11 = ( Х7 + Хб) — ДХц + из, = —( ^7 — *б) — М*12 + «4.
Параметры, входящие в систему уравнений (8) для рассматриваемого объекта равны: Я=5.12, д=0.065 и р=2.
Перед тем как непосредственно перейти к постановке задачи, необходимо отметить, что измерение всех компонент вектора состояний на практике весьма затруднительно и в ряде случаев может быть технически нереализуемой задачей. В связи с этим, целесообразно рассмотреть наиболее вероятный с практической точки зрения вариант, когда измерению доступна только определенная часть компонент вектора состояний, некоторая выборка. Будем считать, что измерению доступны только токи в цепях электромагнита, т.е. , компоненты вектора состояний х9, х10, х11, х12. При этих условиях введем для системы (8) уравнения измеряемого выхода для соответствующих компонент вектора состояний (9):
Уг = х^ + / = 14, (9)
- погрешность измерения 1-й компоненты вектора состояний.
Постановка задачи управления
Запишем систему в матрично-векторной форме для управляемой системы с учетом внешних возмущений, к которым относятся отброшенные при линеаризации нелинейные члены, а также погрешности, которые возникают при измерении токов (10):
х = Лх + + А2и, х(0) = х0 (10)
у = С2х +
где х = (х1,х2, ...,х12)т £ - вектор-функция состояния системы; ж = (ш1,ш2,..., w12)т £ - вектор-функция возмущений; и = (и1, и2, и3, и4)т £ - вектор-функция управления по току; У = (У1,У2, .,У4)Т £ - измеряемый выход.
Будем считать, что возмущение представляет собой ограниченную в пространстве ¿2 функцию с соответствующей нормой (11):
1М12 = /0>|2^ <
да
(11)
Отметим, что оптимальное подавление таких возмущений, а именно возмущений с ограниченной энергией, достигается с использованием Яда-управления. Считаем, что оно является непрерывной или кусочно-непрерывной функцией. Также будем считать, что начальное положение ротора отлично от нуля и представляет собой начальное возмущение. Наряду с измеряемым выходом у(0, введем в рассмотрение целевой выход 2 £ , описываемый следующей формулой (12):
(13):
2 = С1х + (12)
В качестве количественной характеристики целевого выхода будем считать ¿2-норму
||2||2 = /о = /0 (хтС1тС1х + хтС1тД1и + итД[С1х + м^Я^м)^. (13)
Минимизация функционала (13) позволяет ограничить не только величину управления, но также и величину вектора состояний. За счет подбора матриц можно варьировать компоненты измеряемого и целевого выходов. Матрицы, входящие в системы уравнений (10)-(12) можно представить в следующем виде:
1А11 ^12 М /02х2 02х2\
А = 1^21 ¿22 ^23 ), где ¿11=^13=^31 = 04X4, = /4x4, Л22 = (0^ Д2)
*21 ^22 ^23
^31 ^32 ^33
21/2x2 0
2X2 2^2Х2
= (
¿21
¿33 = — М^4Х4;
),
¿23 =
Я -я 0 0
0 0 -я я
0 0 -1 -1
-1 -1 0 0
¿32 =
^°2Х2 02Х2 ^02Х2 Р^
'-10 0 1
-1 0 0 1
0 1 1 0 Г
0 1 -1 0
в
1 = (04 8 04 4); ^2 = ( /Х4); ^2 = (08Х8 ^4Х4); ^2 = (08Х8 ^4Х4);
\ '8X8 08Х4/ \ '4 /
мс^-гг)
Квадрат нормы целевого выхода с учетом матриц С1 и будет равен (13*):
И2 —]Г(2121*? + 2?=1и?)л. (13*)
Отметим, что матрица А не является гурвицевой, следовательно, положение равновесия системы (10) является неустойчивым.
Будем различать два вида возмущений: начальное возмущение, когда х(0) = х0 0 и внешнее возмущение, определяемое ранее введенным вектором возмущений. Поскольку на объект могут действовать возмущения обоих видов, целесообразно ввести обобщенный уровень гашения возмущений [1] (14):
/(«) = зир -^-1, (14)
1М|2+Р12|хо12*0 [|М|2+Р12|ХО№
где р1 - весовой коэффициент.
Функционал (14) позволяет учесть возмущения обоих видов и поэтому, будет рассматриваться в дальнейшем в качестве основного. Теперь сформулируем две задачи, связанные с этим функционалом. Первая задача синтеза управления в предположении измерения полного состояния системы носит вспомогательный характер. С практической точки зрения эта задача не представляет собой особого интереса и используется в дальнейшем для сопоставительного анализа.
Задача 1. Для системы (10)-(12) найти закон управления в форме линейной обратной связи по состоянию вида (15):
и — 0х, (15)
где 0 е .
Предполагается, что в каждый момент времени известны значения всех компонент вектора состояний с высокой степенью точности.
Задача 2. Для системы (10)-(12) найти управление по измеряемому выходу в виде линейного динамического регулятора вида (16):
хг = Лгхг + 5гу (16)
^ — +
где хг е - состояние регулятора.
Систему уравнений (16) можно представить в виде одного эквивалентного уравнения
(16*):
и — СгЛгхг + Сг5гу + £гу . (16*)
Компоненты вектора управления можно представить в следующем виде (17):
^ — Е^Ч+Е^^УУ' ¿ — 1^. (17)
Результаты именно этой задачи представляют наибольший практический интерес.
Синтез обобщенных Яю-оптимальных законов управления
Подход, используемый для решения сформулированных задач, предложен и подробно расписан в работе [5]. Кратко изложим конечные результаты, которые позволят решить поставленные задачи.
Синтез обобщенного Нс-управления по состоянию. Уравнение замкнутой системы с учетом введения обратной связи вида и — 0х примет следующий вид (18):
х = (А + В20)х + В1ш, х(0) = х0 х = (С1 + Б10)х = Ссх,
(18)
где Ас = А + В2 & - матрица замкнутой системы.
Для объекта (17) выполняется неравенство / (и = Qх) < у тогда и только тогда, когда линейные матричные неравенства (19):
'ХАГ + АГТХТ
ТуТ
Вс'Х
С
Х Вс -у21пш 0
С
0 — I
<0, Х< у2р21п
(19)
разрешимы относительно матрицы Х = ХТ.
Если расписать все составные матрицы, входящие в первое неравенство (19), затем умножить слева и справа на блочно-диагональную матрицу й1ад(Х-1,1пт,1пг) и ввести обозначения Х-1 = У и! = 0У, а также применить лемму Шура ко второму неравенству, то получим следующие неравенства (20):
ау + утат + в2г + гтв2
Т Т
В1 УС1Т +2ТБ11
В1 Т
с1у + о1г
0
У21п„
0
<0
п,хпи
У
> 0
(20)
(21)
\1пх У2Р21пх/
Если неравенства (19), (20) разрешимы относительно матриц У = УТ и !, то параметры обобщенного Яда-управления по состоянию находятся как 0 = 2У~г. Для определения оптимального значения функционала (14), необходимо найти точную нижнюю грань значений у, при которой неравенства (20) и (21) разрешимы относительно У = УТ > 0, ! и у2 > 0. Такая задача успешно решается с использованием стандартной команды пакета МЛТЬЛВ.
Синтез обобщенного Н^-упраеления по выходу. Объединим уравнения динамического регулятора (16) с соотношениями для управляемого объекта (10) и введем новую переменную хс = со1(х,хг). Тогда уравнения замкнутой системы, выраженные через хс и ш, примут вид (22):
хс = Асхс + Всш, хс(0) = со1(х0,0)
(22)
г = Ссхс + 0сш,
(А + В70ТС7 В7СЛ (Вл + В70г07\ где Ас = ( ¡¿С" А/) Вс = ( 1 вХ ); Сс = (С1 + 0^2 О^); Бс = Ю^г-
Вычисление матрицы регулятора основывается на условии/( Q) < у. Для выполнения этого условия необходимо, чтобы линейные матричные неравенства (23):
Х Ас + Ас Т Х Т Х Вс Сс Т
Т Т
Вс Т Х
—у2и Ос' ) < 0, Хц < у2р21пх,
(23)
Сс 0с ^п2/
были разрешимы относительно положительной симметрической блочной матрицы Х, кото-
(Хц
V Т V ).
Х12 Х22
Технология решения состоит в следующем. С помощью серии матричных преобразований, учитывая блочную структуру матрицы Х, необходимо привести неравенство (23) к стандартному линейному матричному неравенству следующего вида (24):
Т
х
¥ + Р'0'^ + ^'0Р < 0. (24)
Это неравенство разрешимо тогда и только тогда, когда разрешимы следующие неравенства [5] (25):
Жрт< 0, < 0 (25)
где Жр и Жф - ядра матриц Риф соотвественно, т.е., РЖр — 0 и фЖ^ — 0.
При выполнении всех необходимых матричных преобразований в соответствии с указанной выше технологией неравенства (25) примут вид (26):
(*/ 0)( ^11 -К2'»» 0„>1х„1)('01 0)<0 (26)
\ 0пгхпш /
, т /Уц^+ЛУц УцС/ 51 \
С? 0)( ^ °"^х-)(о2 0)<0 (27)
где У11 - левый верхний блок положительной симметрической матрицы У — Х-1. Столбцы
т т
матриц и М2 образуют базисы ядер матриц ( С2 Д2) и (52 ) соответственно.
Поскольку матрицы Х и У должны быть взаимообратными, необходимо выполнение следующего неравенства [5] (28):
(Хц
У11
(£ У:;)а (28)
Для существования обобщенного Нс -управления по выходу при заданном параметре К необходимо и достаточно, чтобы неравенства (26)-(28), а также неравенство (29):
Хц < Г2р2/пх , (29)
были разрешимы относительно положительных симметрических матриц Х11 и У11.
Если матрицы Х11 и У11 найдены, матрица Х может быть восстановлена по формуле
[5] (30):
Х —( Х11 Х11-У11-1) (30)
Х11 - У11-1 Х11 - У11-1
Наконец, матрица параметров регулятора 0 находится из линейного матричного неравенства (24) с помощью стандартной команды пакета МАТЬАВ. Отметим, что матрица Х е Р2п*х2п* представляет собой матрицу ограничивающего эллипсоида, в котором заключен вектор хс.
Результаты численных расчетов
Прежде чем приступить к решению поставленных задач, необходимо преобразовать исходную нелинейную систему уравнений (5) к безразмерному виду. Для этого подставим соотношения (3) и (4) в систему (5) и получим следующую систему дифференциальных уравнений (31):
„ _ЯГ (1-1)2 (1+*1)2 ! (1-2)2 (1+*2)2 1 л 4 [ (1-у+а)2 (1+у-а)2 (1-у+а)2 (1+у+а)2]
■А _ ЯГ (1-is)2 ^ 4 [(1-х-£)2 у — 1[ (1-i3)2
4 L(1-x-£)2 у—1[(1-*1)2 у 4 L(1-y+a)2
(1+^s)2 (1+х+£)2
(1 + ^s)2 (1+х+£)2
(1+у2
+
+
(1-^4)2 (1-х+£)2
(1~*4)2 (1-Х+£)2 (1-^2)2
+
(I + I4)
¿4)2 1
-^)2J
(1+X-£)2J
(I + I4)2
+ Р^,
(1+у-а)2 (1-у+а)2 (1+у+а):
-¿4)2 1
е-£)2-Г ]■
(1+х-£)2 (1 + ^2)2
(31)
(32):
Тогда нелинейная система дифференциальных уравнений примет следующий вид
V - -V Л/" - V V — V V - "V
Л1 — Л5, л2 — ^6, ^3 — Л7, ^4 — Л8,
*5
Х-7
х^
— Я[-
4(
(1- *9Г
+
(1+ ^9)2
(1- х4+хг)2 _ ЯГ (1- Х„)2
4 [(1-Хз-%2)2 _ 1 Г (1- ХИ)2 4 [(1-Хз-%2)2
(1- *9)2___
4 L(1- х4+хг)2 (1+ х4
(1+ х4-хг)2 (1+ *и)2
+
(1- *io)2
— ![-
4(
(1+Х3+Х2)2 (1+ *и)2 (1+Х3+Х2)2 (1+ ^9)2
(1- Х4+Х1)2 (1- *12)2
(1+ *ю)2 (1+ Х4+Х1)2 (1+ ^12)2
+
Х1)2
+
(1-Х3+Х2)2 (1- ^12)2 (1-Х3+Х2)2 (1- *ю)2
+ (32)
(1- Х4+Х1)2
ДХ9 + Ub
(1+Х3-Х2)2 (1+ *12)2 (1+Х3-Х2)2 (1+ *ю)2 (1+ х4+х1):
4
Х9 — ( Х8 *1о — -( *8 + ^5) - М*10 + "2, Х11 — ( Х7 + Хб) - ДХц + Щ,
*12 = -( - Хб) - + "4-
Приведем результаты численных расчетов в графическом виде. Расчет включал в себя вычисление матрицы X, вычисление матриц параметров регулятора и замкнутой системы, а затем решение системы (31). Для решения систем дифференциальных уравнений использовались одношаговые явные методы Рунге-Кутта четвертого и пятого порядков.
Обобщенное Н^-управление по состоянию. Положим, что здесь и далее весовой коэффициент в функционале равен р1=0,05. Подставим найденный закон управления вида (15) в систему (31). Матрица параметров регулятора имеет размерность 0 £ й4х12. Графики зависимостей углов поворота ротора относительно осей ХнУх^^ и х2(0 показаны на рис. 2, 3.
0.12
0.06
0.02
3 4 5
t, отн.ед
Рис. 2. Зависимость угла поворота относительно оси X от времени Fig. 2. Angle of rotation relative to X-axis dependence on time
Рис. 3. Зависимость угла поворота относительно оси Y от времени Fig. 3. Angle of rotation relative to Y-axis dependence on time
Обобщенное Ha) -управление по выходу полного порядка. Как отмечалось выше, считаем, что измерению доступны только токи в цепях электромагнита. Матрица параметров регулятора представляет собой матрицу 0 G ß16x16, а матрица замкнутой системы Ас £ R24*24. Подставим найденный регулятор вида (16) в систему (32). Графики x1(t) и x2(t) представлены на рис. 4,5.
0.2 -1-1-1-т-т-т-1-1-I-
0.18 ;]
0.16
0.14
§ 0.12 х
5 о.1 * 0.08 0.06 0.04 0.02 0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 t, отн.ед
Рис. 4. Зависимость угла поворота относительно оси X от времени Fig. 4. Angle of rotation relative to X-axis dependence on time
Количественной оценкой качества переходного процесса данного закона управления является отношение действительных частей максимального и минимального собственных
чисел матрицы замкнутой системы Ас, т.е., величина ^ = ——-- [1J. Чем меньше отношение, тем, соответственно, лучше качество переходных процессов. Для данного закона управления имеем =7,86. Аналогичная величина для управления по состоянию составила Estate =5,9. На основании этих значений можно сделать вывод о высоком качестве переходных процессов.
0.09
0.08 • ■ (
0.07 --! i
0.06 • ! i ä;
i 0.05 - j i л о i ! j \ 3 0.04 • ! -I'M
см j • i i
* j i i л
0.03 - ! V \i \
0.02 -!
0.01
0 -1-1-1-1-1-1-1-1-1-
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 t, отн.ед
Рис. 5. Зависимость угла поворота относительно оси Y от времени Fig. 5. Angle of rotation relative to Y-axis dependence on time
Заключение
Рассмотрена задача стабилизации вертикально вращающегося ротора в электромагнитных подшипниках. Построен линейный динамический регулятор полного порядка на основе измерений токов в цепях электромагнитов. Для учета влияния возмущений и погрешности измерений рассматривалась ограниченная в ¿2-норме функция. В качестве показателя качества переходных процессов использовалась обобщенная Яда-норма системы, позволяющая учитывать влияние как внешних возмущений, так и ненулевых начальных условий. В качестве основного математического инструмента использовался аппарат линейных матричных неравенств. Проведенные численные эксперименты показали, что, измеряя только токи в цепях электромагнитов, можно синтезировать закон управления по выходу с высоким качеством переходных процессов.
Автор благодарит профессора кафедры дифференциальных уравнений, математического и численного анализа ИТММ Д.В. Баландина за консультацию и ценные замечания.
Библиографический список
1. Баландин, Д.В. Оптимальная стабилизация тела в электромагнитном подвесе без изменения его положения / Д.В. Баландин, Р.С. Бирюков, М.М. Коган, А.А. Федюков // Изв. РАН. ТиСУ. 2017. № 3. С. 12-24.
2. Баландин, Д.В. Управление движением вертикального жесткого ротора, вращающегося в электромагнитных подшипниках / Д.В. Баландин, М.М. Коган // Изв. РАН. ТиСУ. 2011. № 5. С. 3-17.
3. Davoodi, M. Н2- and Нт-Dynamic Output Feedback Control of a Magnetic Bearing System via LMIs / M. Davoodi, P.K. Sedgh, R. Amirifar // Proc. American Control Conf. Washington, USA, 2008. P. 25222527.
4. Yang, Yifei Optimal Control and Hm Output Feedback Design Options for Active Magnetic Bearing Spindle Position Regulation / Yifei Yang, Huangqiu Zhu // J. Networks. 2013. V. 8. P. 1624-1631.
5. Баландин, Д.В. Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств / Д.В. Баландин, М.М. Коган. - М.: Физматлит, 2007.
6. Boyd, S. Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory / S. Boyd, L. El Ghaoui, E. Feron, V. Balakrishnan. Philadelphia: SIAM, 1994.
7. Gahinet, P. The LMI Control Toolbox. For Use with Matlab. User's Guide / P. Gahinet, A. Nemirovski, A.J. Laub, M. Chilali. - Natick, MA: The MathWorks, Inc., 1995.
Дата поступления в редакцию: 11.12.2020
