Математическое моделирование процесса разупрочнения железистых кварцитов, при их магнитно-импульсной обработке (МИО) Текст научной статьи по специальности «Физика»

------------------------------------ © С. А. Гончаров, П.П. Ананьев,

В.П. Бруев, 2005

УДК 51.001.57

С.А. Гончаров, П.П. Ананьев, В.П. Бруев

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА РАЗУПРОЧНЕНИЯ ЖЕЛЕЗИСТЫХ КВАРЦИТОВ, ПРИ ИХ МАГНИТНО-ИМПУЛЬСНОЙ ОБРАБОТКЕ (МИО)

1ГЛ ак было изложено в работе [1], разу--»V прочнение пород, содержащих минералы-ферромагнетики, при их МИО происходит в результате явления магнитострикции в зернах магнетита.

Для описания характера распределения напряжений в куске железистого кварцита при магнитострикции в отдельно взятом зерне магнетита рассмотрим следующую модель: сферическое зерно магнетита радиусом Я! находится внутри кварцевой сферы, радиус которой равен Я2 (рис. 1). При магнитострикции в зерне магнетита в связи с увеличением его размера на поверхности сферы радиусом Я!, возникает давление Р] при этом на поверхности сферы радиусом Я2 давление Р2 = 0.

Требуется определить характер распределения напряжений по толщине шарового слоя как функцию текущего радиуса г, который меняется в диапазоне от Я1 < г < Я2.

Согласно [2] радиальные агг и тангенциальные (окружные) напряжения авв = а(/хр по толщине шарового слоя соответственно равны:

1 - Л

авв а<р<р л л

1+-

(1)

(2)

При Я2 >>Я] значением Я1 можно пренебречь по сравнению с Л2 , тогда выражения (1) и (2) соответственно примут вид

а = РЛ3|

Л3

Л3 Л 1 (я, У

2 = _ Р | — 1

г3 , 1 1 1 г )

РЛ31 =Р (я

Я23 1 , 2г3 ) 2 г

(3)

(4)

Из (3) и (4) следует, что радиальные напряжения являются сжимающими, а тангенциальные - растягивающими и по абсолютному значению в два раза меньше радиальных сжимающих.

Так как предел прочности пород и минералов на сжатие примерно на порядок выше, чем на растяжение, то следует ожидать, что вероятность развития дефектов и микротрещин будет определяться в первую очередь тангенциальными напряжениями. Согласно (3) и (4) при

Р

г = Я1 агг = _Р1

авв 2

При г = я2

агг = 0 авв=а<„= 0 .

Радиальные и тангенциальные напряжения при магнитострикции в отдельно взятом зерне магнетита будут максимальны на его поверхности и в кварцевой матрице в непосредственной близости от поверхности зерна магнетита.

Величину давления Р} при магнитострикции на поверхности сферического зерна магнетита радиусом Я1 (рис. 1) можно рассчитать по формуле

Р = ЯтахЕМ = 7,76 • 10_5 • 23,2 •1010 = 180 • 105 Па

Рис. 1

=

где Ämax - максимальное значение коэффициента магнитострикции в магнети-

те, X = 7,76 • lG_5 ; EМ - модуль упругости магнетита, ЕМ = 2З,2 • lGlG Па.

Подставляя значение Pl из (5) в (З) и (4) и построив график, можно наглядно увидеть характер распределения Jrr и Jee как функцию r при Rl < r < R2 для разных значений Rl

(рис. 2). Из рис. 2 следует, что разупрочняю-щими являются растягивающие (тангенциальные) напряжения в кварцевой матрице, которые максимальны в сферическом слое вблизи r = Rl. Эти напряжения прямо пропорциональны размеру магнетитового зерна.

3.4. Энергетическая модель образования трещин

Для оценки влияния параметров МИО и свойств железистого кварцита на степень его разупрочнения воспользуемся известным выражением [З] для определения средних деформаций (є ) в зерне магнетита при магнитост-рикции

X H /.H, ^

є = Х ----------c— (6)

max b + H /2HC

где H - напряженность магнитного поля, А/м;

H

коэрцитивная сила, для магнетита

Нс =0,3 • 10 А/м; Ь - константа, для магнетита Ь « 5,2.

С учетом (6) для оценки степени разупрочнения железистых кварцитов при их МИО рассмотрим следующую модель:

Рис. 3. Поле упругих напряжений от двух соседних зерен магнетита при их магнитострикционной деформации

Рис. 2. Изменение радиальных Jrr и тангенциальных Jee напряжения по

радиусу r кварцевой матрицы при маг-нитострикции в зернах магнетита радиусом R1

два зерна магнетита диаметром IRl находятся в кварцевой матрице, расстояние между зернами равно h.

Данная модель представлена на рис. 3. При магнитострикци-онном деформировании зерен магнетита возникает поле упругих деформаций как внутри зерен, так и в окружающей кварцевой матрице.

Энергия упругих деформаций в элементарном сферическом объеме, находящемся на расстоянии r от центра и толщиной dr, обусловленная магнитострикционной деформацией магнетитового зерна, в общем виде определяется выражением [I]:

dWy = 2(rr + JÄ + ) )2dr (7)

Так как J< = J и є< = єт , то выражение (7) примет вид:

dWy = і (jtTrtr + 2jeeree ) 4^r2 dr (S)

Взаимосвязь напряжения и деформации для упруго-деформированного тела определяется выражениями:

= [Jrr _Mk (J +JÏ] ,

(9)

Эпюра напряжений .отчастицы 1

Эпюра напряжений от частицы 2

Суммарная эпюра напряжений

ш

Ri

SiCX

2Ri

k

h

r

б

4 [jw_Vk к+Jee)~) ■.

(lG)

где /лк - коэффициент Пуассона кварца, Ек -модуль упругости кварца

Подставляя выражения (9) и (10) в (8) получаем значение энергии упругой деформации для элементарного объема кварцевой матрицы, обусловленной деформацией одного зерна магнетита:

1 2

dWy =-------4 nr dr х

y IE,

<[(( + 2jæ)( _ßk)_ З^<

(ll)

Подставляя ранее полученные выражения (3) и (4), определяющие значения радиальных и тангенциальных напряжений в кварцевой матрице при магнитострикционном деформировании одного зерна магнетита, в (11), получим окончательное выражение для определения упругой энергии элементарного объема кварцевого шарового слоя в диапазоне от г до (г + (!г).

3пЯ61Р12 аг Е„ ' г4

dW„

(l2)

-+ Ri

W=2Г Зп^61р12

y J E

R1 к

l

l

r4 (h + 2R _ r )4

dr (1З)

Обозначив величину

ЗпМр2

E.

= CG , проин-

тегрируем выражение (1З). В результате получим:

-+ Rl

Cg

dr

~

_d(h + 2R1 _ r)

(h + 2R1 _ r )4

■(_ З) -

З r

Cg

Cg

1

З J (h + 2R _ r )З

Co

з( R+|)3

Co

3R3

CG

З

3(h + 2Rl _ Rl _ |)3

3(h + 2 R1 _ Rl)

l

l

(l4)

_ R (R + hf

Подставляя в (14) значение C0, окончательно получим:

^Rj3 Pi2

1 _-

Rl3

( Ri + h)3

(l5)

Так как на границе «магнетит» - «кварцевая матрица» давление одинаково и равно Р1, то подставляя в (15) вместо Р1 =еЕм, а вместо £ его значение из (6) получим зависимость упругой энергии в окрестности кварцевой матрицы одного зерна магнетита, с учетом амплитуды магнитного поля и магни-тострикционных свойств магнетита

Данное выражение не учитывает влияния соседних зерен магнетита.

При увеличении содержания магнетита в железистом кварците растет вероятность уменьшения расстояния между зернами, а поля их упругих деформаций усиливают друг друга.

Величина упругой энергии шаровой сферы с внутренним радиусом Я1 и внешним (Я1 + к ) в окрестностях одного зерна магнетита с учетом влияния соседних зерен определяется выражением:

nRlir2 E2

1

R13

(h + Ri)

nRl3 EM

(l6)

1

Rl3

(h + R1)3

H /2Hc b + H / 2Hc

Согласно (16), энергия упругой деформации в окрестностях одного зерна магнетита с учетом влияния соседних зерен определяется размером зерна R1, отношением модулей упругости магнетита и кварца, максимальной величиной магнитострикционной деформации Xmax, отношением величины магнитного поля к величине коэрцитивной силы, соотношением между R1 и h, которое в свою очередь однозначно зависит от содержания магнетита в железистом кварците.

Для определения взаимосвязи среднего расстояния h между зернами магнетита и величиной его объемного содержания Cv, выделим элементарный кубик с размером грани (h + 2R1 ), причем центр этого кубика совместим с центром зерна магнетита. Объем этого куба равен величине (h + 2R1 )3. Следовательно можно составить тождество:

\ 3

к

к

Rl

Так как V

n(2RJ3

примет вид: ( + 2R )3 • С Откуда

6

8nR;

то последнее выражение

(17)

(18)

На практике удобно пользоваться понятием весового содержания магнетита (Св), которое связано с объемным содержанием известным соотношением:

С = С.р Рм

(19)

103

где рм - плотность магнетита, рм = 5,5 кг/м3; ркв - плотность железистого кварцита Ркв =Рм • Св +Рк(1 _ Св); Рк- плотность

кварца, рк = 2,7 • 103 кг/м3

Подставляя (19) в (18), получим

к = 2 Ях( _1 + 3

пРм

6СвРк.

(20)

Подставляя (20) в (16) получим окончательно выражение для оценки энергии упругого деформирования кварцевой матрицы при магнитострикции в зернах магнетита в зависимости от его весового содержания в железистом кварците и параметров магнитного поля

nR¡ ЕM

1 -

■1 + 3

пРм

6Св&РК

+ 1

Am

H/2Hc b + H /2Hc

(21)

В итоге, энергия упругой деформации системы, определяемая выражением (21), может перейти в работу по созданию вновь образованной поверхности.

Так как напряжения достигают наибольшей величины на границе раздела «магнетит-кварц», то вновь образованная поверхность возникает с наибольшей вероятностью именно на этой границе раздела зерна магнетита и кварцевой матрицы.

В момент разрушения границы «магнетит-кварц» при магнитострикции в магнетите будет выполняться баланс энергий: работа по созданию вновь образованной поверхности должна равняться энергии упругого деформирования. При этом должно выполняться условие:

Шу. > у Ь2 (22)

где у - удельная поверхностная энергия кварца, у « 0,5 Дж/м2; к2 - площадь вновь образованной поверхности в кварцевой матрице между зернами магнетита.

Физический смысл этого выражения следующий: разупрочнение железистых кварцитов наступает, если энергия упругих деформаций, вызванная явлениям магнитострик-ции при воздействии поля, будет превышать площадь микротрещины между двумя соседними зернами магнетита умноженной на величину удельной поверхностной энергии железистых кварцитов. Подставляя в (22) значение Жу

из (21) и к из (20), получим:

Рис. 4. Зависимость необходимой напряженности магнитного поля (Н) от размеров зерна магнетита (Я1) для разупрочнения железистых кварцитов

Е

6

X

Ек Г

1 --

2 -1 + з,

прм

6Ср

+1

хЦт

н/2ИС Ь + н/2Н

> 4л -1 +

прм

6СвРкв

(23)

ния (23) через «А» и преобразовав его получим:

4 Л2Е ку

1 --

1

(2 А +1)3

Ат

н/2нс

Ь + н/2Нс

> 1 (24)

Выражение (23) свидетельствует о том, что если левая часть его будет больше или равна правой части, то энергия упругого деформиор-вания кварцевой матрицы при магнитострик-ции в зернах магнетита будет достаточна для образования в ней трещины единичной площади.

В графическом виде выражение (23) представлено на рис. 4 в координатах Н = /(Я1)

при разныхСв; на рис. (5) в координатах

Н = / (Св) при разных

Графики построены при Ем = 23,19 • 1010 Па; Ек = 9,5 • 1010 Па; Ь = 5,2; Нс = 0,3 • 105 А/м; Атах = 0,7038 • 10-4; у = 0,5 Дж/м2.

Обозначив выражение, стоящее в круглых скобках в правой части уравне-

Левая часть выражения (24) есть не что иное как критерий разупрочняемости железистых кварцитов при их импульсной электромагнитной обработке. Этот критерий включает в себя свойства железистых кварцитов (модуль упругости магнетита и кварца, плотность магнетита и железистого кварцита, коэффициент магнитострикции магнетита и его коэрцетивная сила, весовое содержание магнетита в железистом кварците, размер зерен магнетита и напряженность магнитного поля). Все вышеперечисленные свойства и параметры являются постоянными кроме К1, Св и Н .

Таким образом можно согласно (24) рассчитать необходимую напряженность импульсного магнитного поля для разупрочнения железистых кварцитов при заданных К1 и Св и на основании этого создать классификацию ра-зупрочняемости железистых кварцитов при их оказатели занятости на углепромышленных

1. Гончаров С.А., Ананьев П.М., Бруев В.П. Разупрочнение железистых кварцитов методом импульсной электромагнитной обработки. - М.: Горный журнал, М 1, 2004, с 73-75.

2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости

. - М.: Наука, 1987,с 247.

--------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

3. Белов К.П. Упругие, тепловые и электрические явления в ферромагнетиках. - М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1957, с 279.

— Коротко об авторах

Гончаров Степан Алексеевич - профессор, доктор технических наук, зав. кафедрой «Физика горных пород и процессов», Московский государственный горный университет.

Ананьев П.П. - кандитат технических наук, Центр высоких технологий Минатома РФ.

Бруев В.П. - ОАО «Михайловский ГОК».