CC BY
30
УДК 536.248.2:519.63
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ОХЛАЖДЕНИЯ ОТЛИВОК ИЗ ЖЕЛЕЗОУГЛЕРОДИСТЫХ СПЛАВОВ ПРИ ФОРМООБРАЗОВАНИИ ЛИТЬЁМ ПО ГАЗИФИЦИРУЕМЫМ МОДЕЛЯМ
ЧЕКМЫШЕВ К. Э., ОВЧАРЕНКО П. Г., МАКАРОВ С. С.
Удмуртский федеральный исследовательский центр Уральского отделения РАН, 426067, г. Ижевск, ул. Т. Барамзиной, 34
АННОТАЦИЯ. Рассматривается процесс охлаждения отливки формы куба из железоуглеродистого сплава с учётом особенностей литья по газифицируемым моделям. Приводится математическая модель сопряжённого теплообмена между железоуглеродистым расплавом, противопригарным покрытием и сухим кварцевым песком при охлаждении отливки, с учётом фазовых переходов, которые имеют место в железоуглеродистом сплаве и кварцевом песке. Получены результаты численных расчётов температуры отливки методами конечных разностей по схеме расщепления по направлениям и контрольного объёма. Показано, что максимальное относительное отклонение температуры, полученной обоими методами, при их сопоставлении не превышает 2 %. Подобраны шаги пространственно-временной сетки, позволяющие корректно учесть фазовые переходы в ячейках на границе сопряжения разнородных материалов. Установлено, что при моделировании охлаждения отливок из серого чугуна СЧ-15, имеющих размеры 30*30*30 мм, можно ограничиться линейной зависимостью выделения доли твёрдой фазы при кристаллизации расплава. Приведены результаты выделения доли твёрдой фазы из расплава при изменении температурного поля отливки по времени.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: математическая модель, охлаждение, фазовый переход, сопряжённый теплообмен, численный расчёт, литьё по газифицируемым моделям.
ВВЕДЕНИЕ
В условиях современного литейного производства существует ряд актуальных задач, одной из которых является разработка эффективных способов получения отливок, обладающих улучшенными физико-механическими и эксплуатационными свойствами. Литьё по газифицируемым моделям (ЛГМ) является одной из эффективных технологий, которая позволяет получать отливки высокой сложности с повышенными физико-механическими и эксплуатационными свойствами, главным образом, за счёт введения модификаторов, лигатур или вставок в литейные формы (модели из пенополистирола) [1, 2]. Особенность процесса ЛГМ - применение разовой не извлекаемой модели, которая газифицируется при заливке литейных форм металлическим расплавом [3].
Важным этапом технологического процесса литья, в частности и ЛГМ, является охлаждение отливки. Скорость охлаждения различных слоёв отливки не одинакова и существенно влияет на формирование структуры слитка, наличие дефектов, скорость образования и размер дендритов, и как следствие, на физико-механические характеристики. Построение и исследование математической модели процесса охлаждения позволит проводить параметрические исследования и определять условия, при которых будут формироваться требуемая структура и физико-механические свойства материала отливки.
Цель работы: разработка математической модели охлаждения отливки из железоуглеродистых сплавов с учётом выделения доли твёрдой фазы при кристаллизации расплава в условиях ЛГМ.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Построение математических моделей процесса охлаждения стальных заготовок рассматривалось в работах [4, 5]. Технологический процесс ЛГМ в общем случае можно разделить на несколько этапов: изготовление моделей из пенополистирола (литейные формы) с последующей сборкой их в модельные блоки и окрашивание противопригарным
покрытием, установка блоков в опоку, заполнение опоки несвязанным огнеупорным материалом (сухим кварцевым песком), непосредственно заливка расплава с попутным выгоранием (газифицированием) модели и выдержка (охлаждение) отливки в опоке.
Рассмотрим случай, когда металл отливки полностью заполнил литейную форму, а модель из пенополистирола полностью газифицировалась (выгорела). Пренебрежём воздействием литника на тепловое состояние отливки, и будем считать, что отливка имеет форму куба со стороной Ь. Расчётная схема процесса приведена на рис. 1, а. Между металлом (расплавом) 1 и кварцевым песком 3 учтём противопригарное покрытие 2 на основе корунда, которое было нанесено на модель до её газификации. Назначение покрытия - исключить химическое взаимодействие металла с кварцевым песком. Поскольку задача симметрична, то рассмотрим 1/8 часть общей модели отливки и песка (рис. 1, б). Расчётная сетка не равномерна и сгущается к границе сопряжения разнородных материалов.
а) б)
1 - металл отливки; 2 - противопригарное покрытие; 3 - кварцевый песок; т. А - центр отливки; т. В - граница металла с противопригарным покрытием
Рис. 1. Расчётная схема процесса охлаждения (а) и её 1/8 часть (б)
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ОХЛАЖДЕНИЯ
Изменение температурного поля при охлаждении рассматриваемой схемы найдем решением дифференциального уравнения теплопроводности:
ер^ = • (Т)) + О,, (1)
ot
здесь Т - температура материала; t - время; теплофизические характеристики материала: с - удельная теплоёмкость, р - плотность, 1 - коэффициент теплопроводности; - мощность внутренних источников тепловыделения:
а. = * г У, <2)
dt
где Ь - скрытая теплота фазового перехода; у - объёмная доля фазы, выделяющейся при фазовом переходе.
Запишем удельную теплоёмкость материала с с учётом (2) в виде эффективной удельной теплоёмкости материала с [6]:
йу
с = с -Ь-
йТ
йу
где--производная доли выделяющейся фазы по температуре для материала с наличием
йТ
двухфазной зоны, образующейся при фазовом переходе, например, для фазовых переходов
йу = 1 = 2А
«жидкость ® аустенит + графит» и «аустенит ® феррит»; -= — - для материала
йТ
без двухфазной зоны, например, для фазового перехода «Ь -кварц ® а -кварц»; 2А - температурный интервал сглаживания. Тогда уравнение теплопроводности (1) примет вид:
_ дТ д ср-=-
и дг дх
ЛдТ 1+А
дх I дУ
ядТ 1+А
дУ I д7
лТ ].
. д7 I
(3)
Уравнение (3) замыкается условиями однозначности.
Начальное условие: при г = 0, Тмм (X, У, 7,0) = Т0; Тш (X, У, 7,0) = ТАд (X, У, 7,0) = ТЕ , где Т0 - начальная температура металла, ТЕ = 24 °С - температура окружающей среды. Подстрочные индексы: ММ - параметр металла, AW - параметр противопригарного покрытия, AQ - параметр кварцевого песка.
Граничные условия:
- на всех шести внешних границах расчётной области (рис. 1, б) учитывается условие симметрии;
- на границах: «металл - противопригарное покрытие» и «противопригарное покрытие - кварцевый песок» ставится граничное условие сопряжения (равенство температур и тепловых потоков).
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Решение дифференциального уравнения теплопроводности (3) численными методами сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). В работе рассмотрено решение уравнения (3) методом конечных разностей по схеме расщепления по направлениям [7, 8] и методом контрольного объёма [9], реализованного в последовательном решении СЛАУ поточечным последовательным методом Гаусса - Зейделя.
Коэффициент теплопроводности на границе соседних ячеек и в местах сопряжения материалов с различными коэффициентами теплопроводности на неравномерной сетке определялся по среднегармоническому закону [9].
ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
В качестве металла отливки примем серый чугун СЧ-15 со средней концентрацией углерода С = 3,6 % масс. и кремния = 2,2 % масс., в соответствие с ГОСТ 1412-85. В соответствие с диаграммой Бе-С-81 [10] (рис. 2) в СЧ-15 наблюдается 2 фазовых перехода: «жидкость ® аустенит + графит» (Ж ®у + С) в температурном интервале от Ты<2 » 1145 °С до Тзоь »1105 °С, и фазовый переход «аустенит ® феррит» (у® а) в температурном интервале от Ту » 837 °С до Та » 780 °С (рис. 2).
г с
1400 1200
1000
800
а
600
\а+ а(6)+Ж 1 1 1 Ж+С \
1-
У- Ж 1 1 т 1 ) 1 \г 145°С
I / \ С.
Е Г, И' 105°С - 1 ж .г
Г*4 Г+С ь г - 837°С 7-^ 1 7\ +(- 1
/ ■I а+ с - ~780°С / 1 С=3,6% 1 1 1-у+С
0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 С%
а - феррит, у - аустенит, Ж - жидкость, С - углерод (графит) Рис. 2. Разрез диаграммы Ре-С-81 параллельно стороне Ре-С при концентрации 81 = 2,0 % [10]
Зависимости объёмной доли твёрдой фазы при кристаллизации расплава у(Т) и альфа фазы уа(Т) от температуры можно принять линейными, или определить по диаграмме Бе-С-81, используя правило отрезков [11], например для альфа фазы из соотношения уа(Т) = Ъа/Ъе (рис. 2). Линейная зависимость для уа(Т) и для у(Т) от температуры
описывается уравнениями (4) и (6) и представлена на рис. 3, а зависимость, полученная по правилу отрезков, уравнениями (5) и (7).
а) б)
1 - доли фаз, полученные из диаграммы Бе-С^ методом отрезков;
2 - аппроксимация полиномом; 3 - линейное изменение долей фаз
Рис. 3. Значения доли а - фазы (а) при фазовом переходе « у ® а » и доли твёрдой фазы (б) при фазовом переходе «Ж ® у + С» и их аппроксимации
уа(Т) = -0,017544 • Т +14,68433 ,
уа(Т) = 0,000049 • Т2 - 0,0966 • Т + 46,536;
у(Т) = -0,025 • Т + 28,625 ;
(4)
(5)
(6)
у (т )=
£ а • г при т80Ь < т < т 1=0
£ Ъг • т при Т1 < т < т1
(7)
ид
где т = 1125 °С - значение температуры при котором осуществляется сопряжение полиномов; а0 = 366236,2843; а1 =-985,62791334; а2 = 0,88419078; а3 =-0,0002643988; Ъ0 = 71617,14354; Ъ1 = -187,64193 ; Ъ2 = 0,1638787 ; Ъ3 = -0,0000477084 - коэффициенты уравнения (7).
При аппроксимации данных твёрдой фазы, полученных по методу отрезков, учитывалось, что у* (ть1д ) = 0 и у (тзоь) = 1, а также что в месте сопряжения двух полиномов
функция у*(Т) является неразрывной и гладкой, то есть у* (т+) = у* (т-)
йу (т;+) йу (тт)
и
йт
йт
Первые производные по температуре от функций уа(т) и у(т) имеют вид:
йуа(т)
йт
йу*д (т ) = йт
йу(т)
йт
йу (т) йт
= -0,017544;
0,000098 • т - 0,0966 ;
= -0,025;
£ а •т пРи т8оь < т < т1 1=0
£ Ъ • т при т1 < т < т
(8) (9) (10)
(11)
1=0
где а0 =-985,62791334; а1 = 1,76838156; а2 =-0,0007931964; Ъ0 =-187,64193; Ъ1 = 0,3277574 ; Ъ2 = -0,0001431252 - коэффициенты уравнения (11).
Скрытая теплота кристаллизации при эвтектическом превращении серого чугуна, согласно данным [12], составляет Ц®у+С = 247 кДж/кг, а скрытая теплота фазового перехода « у ® а » составляет Ц® = 33 кДж/кг.
Теплофизические свойства металла (СЧ-15) [12, 13] с учётом линейных зависимостей (4) для уа(Т) и (6) для у(т):
т < та
рмм (Т ) =
т < т < т
а — ~ у
- 0,000225 • т2 - 0,1738 • т + 7003,5 при
0,3684 • т + 6443,7 при
- 0,000225 • т2 - 0,1738 • т + 7055,1 при Ту < т < тзоь;
- 9,7047 • Т +17312 при тзоь < т < ти
(12)
1од
6200
при
т > т
1=0
Лмм (т ) :
- 0,0182 • т + 49,3 при т < т8оь
- 0,249 • Т + 304,33 при т8оь < т < т
- 0,0099 • т + 30,56 при т > тыд
ид
(13)
(т у
1,35323•Ю-6 • т3 -0,0013168• т2 + 0,536314• т + 405 при
0,13479 • т + 559,226 при
1,4889• 10-6 • т3 - 0,004584• т2 + 4,66535 • т - 894,5 при
5,31875 • т - 5204,8132 при
0,0001122• т2 - 0,4927 • т +1302,2 при
т < та
т < т < т
а — ~ у
т < т < т
±у^± V. 1 доь
т < т <т
18оь од
т > т
(14)
од
Теплофизические свойства металла (СЧ-15) [12, 13] с учётом зависимостей (5) для у*а (Т) и (7) для у* (Т), полученных по правилу отрезков:
рмм (т ) =
-0,000225 • т2 - 0,1738 • т + 7003,5 -0,00111- т2 + 2,1617 • т + 5720,3 -0,000225 • т2 - 0,1738 • т + 7055,1
при при при
-0,100989 • т3 + 337,7054 • т2 -376428,5 • т +139870998,36 при -0,0179156• т3 + 61,578• т2 -70550• т + 26949183,13 при
6200 при
т < та т < т < т
т < т < т
1у ^ 1 ^ 8оЬ
т < т < т
8оЬ 1
т < т < т
11 — 1 — 1ыд
;(15)
т > т
од
с
Лмм (т ):
0,0182 • т + 49,3
при
т < т
8оЬ
£ а, • Г
пРи т8оь < т < т1
(16)
■ 0,0004891 • т3 +1,6808 • т2 -1925,4 • т + 735230,97 при т < т < ^
ид
- 0,0099 • т + 30,56
т > тТ1
где а0 = 3747403,53; а1 =-10085,75; а2 = 9,0483; а3
пРи - -ид
= -0,00270585 - коэффициенты уравнения (16).
Массовая удельная теплоёмкость для у*а (Т) и у* (Т), определяется по уравнению (14) с учётом формул (9) и (11).
Противопригарное покрытие на основе корунда и кварцевый песок являются пористыми средами. Их плотность, удельная массовая теплоёмкость и коэффициент теплопроводности [14] определялись с учётом пористости согласно уравнениям (17) - (19):
р(Т )=(1 - П )р (Т)+ П Ра (Т); (17)
с(Т)= gl • с(Т)+ gA • сА(Т); (18)
1(Т) = 1(Т )1-П •ЛА (Т)п , (19)
где П - пористость; g1 и gА - массовые доли связки и воздуха; р1 (Т), с1 (Т) и 1(Т) - зависимость плотности, удельной массовой теплоёмкости и коэффициента теплопроводности материала связки от температуры; рА (Т), сА (Т), 1А (Т) - то же для воздуха [15, 16].
1=0
Теплофизические свойства противопригарного покрытия на основе корунда рассчитаны по формулам (17) - (19) на основании данных о теплофизических свойствах чистого корунда [17, 18] для значения пористости П = 50,7 %:
pAw (Т) =-1,056 ■ 10-5 • Т2 - 0,03736 • Т +1956; (20)
cAW (Т) = 139,276 • 1n(T)+ 295; (21)
1AW (Т) = -1,255 -10-10 • Т3 + 6,791-10-7 • Т2 -0,00092 ■ T +1,03 . (22)
Теплофизические свойства сухого кварцевого песка рассчитаны по формулам (17) - (19) на основании данных о теплофизических свойствах чистого кварца [17 - 19] для значения пористости П = 45 % [3] с учётом фазового перехода « 5 -кварц ® а -кварц»:
paq (t ) =
-3,9248-10-7 - T3 + 2,4-10-4 - Т2 -0,101-Т +1460 при T < (TK-А)
- 0,94822 - Т +1948,2068 при (TK -Д)< T < (TK + Д), (23)
1,493-10-5 - T2 - 0,02204 - T +1406 при T >(TK +Д)
caq (T ) =
-18,824 •Ю6 •(т + 273 )-2 + 0,57187 • т + 938,5 при т < (тк-А)
-11,76 • Т + 7941,174 при (тк-А)< т <(тк +А), (24)
0,1353 • т +1041,9 при т >(тк +А)
1Ад (Т)= 3,2946 • 10-7 • Т2 - 9,4 • 10-5 • т + 0,508, (25)
где Тк = 575 °С - температура фазового перехода «5 -кварц ® а -кварц»; 2А = 10 °С -температурный интервал сглаживания при фазовом переходе « ¡5 -кварц ® а -кварц».
В общем случае, при атмосферном давлении в чистом кварце могут происходить следующие фазовые переходы: « 5 -кварц ® а -кварц ®а -тридимит ®а -кристобалит ® жидкость», однако в модели учитывался только фазовый переход « ¡ -кварц ®а -кварц», поскольку он происходит быстро и полностью, остальные же фазовые переходы могут происходить только в присутствие минерализаторов и протекают в течение длительного времени (около 30 - 40 часов) из-за значительных различий в свойствах и кристаллической структуре [20]. Скрытая теплота фазового перехода « 5 -кварц ® а -кварц» приведена в [18] и составляет ЦАд = 10,452 кДж/кг.
Формулы (12) - (16) и (20) - (25), описывающие теплофизические свойства металла (СЧ-15), противопригарного покрытия и кварцевого песка справедливы в температурном интервале от 20 до 1500 °С. Сопряжение полиномов в формулах (12) - (16), (23) и (24) выполнялось с учётом того, что в местах сопряжения функция является неразрывной и гладкой.
РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЁТОВ
Рассмотрим охлаждение отливки в форме куба со стороной Ъ = 30 мм, расположенной в центре опоки с кварцевым песком длиной 6Ъ = 180 мм (рис. 1, а). На поверхности отливки
учтём противопригарное покрытие на основе корунда толщиной = 0,5 мм. Расчётная
сетка для 1/8 части расчётной схемы (рис. 1, б) не равномерна и состоит из 106 расчётных узлов (элементов), в том числе по оси Х - 100, по оси У - 100 и по оси 2 - 100. Пространственные шаги уменьшались от центра отливки (1,23 • 10-3 м) к границе сопряжения
разнородных материалов (5 •Ю-5 м). Начальная температура металла (расплава) принималась равной Т0 = 1200 °С, что на 35 °С меньше, чем температура заливки, что связано с полным
выгоранием модели из пенополистирола [3]. Температура окружающей среды тЕ = 24 °С. Наибольшее отклонение расчётной температуры при использовании метода Гаусса - Зейделя для решения СЛАУ принималось равным А = 10" °С.
Решение уравнения (3) осуществлялось методами конечных разностей по схеме расщепления по направлениям и контрольного объёма. Расчёт проводился как с постоянным
12 3
шагом по времени Аt = 1, 10, 10 и 10 с, так и с экспоненциальным А^Х1, А?ЕХ2, А^Х3 согласно формуле (26) для конечного времени расчёта 120 с. Параметры экспоненциальных шагов А^Х1: А^ = 0,1 с, к1 = 0,1396, ы = 0,8 с; : Дt2 = 0,01 с, к2 = 0,1162, = 0,09 с; А^Х3: Аtз = 0,001 с, к3 = 0,093, = 0,011 с.
^ЕХ = I10"7-Р[к(п " 1)1 при t £ ^ (26)
10
Аt при t > t0
где Аt - постоянный шаг по времени; ^ - время, с которого учитывается постоянный шаг по времени; к - коэффициент уравнения (26); п - момент времени.
В ходе численных расчётов установлено, что для постоянного шага по времени Аt =10 с и экспоненциальных зависимостей А^Х1, , А^Х3 изменение температуры центра отливки (т. А, рис. 1, б) и контакта металла с противопригарным покрытием (т. В) незначительно. Для последующих расчётов предлагается использовать экспоненциально изменяющийся шаг А^Х2, поскольку применение данного шага позволит корректно учесть фазовые переходы в ячейках (контрольных объёмах) на границе «металл - противопригарное покрытие» и снизить машинное время расчёта в 10,7 раз по сравнению с постоянным шагом Аt = 10-3 с.
В результате тестовых расчётов при сравнении значений температур в расчётных точках А, В и С (имеет координаты X = У = 2 = 0,25Ъ), полученных методом контрольного объёма и методом конечных разностей, установлено, что для шага по времени А^Х2 максимальное относительное отклонение значений температур наблюдается в конце фазового перехода «Ж ® у + С» и не превышает 2 %. Для дальнейших расчётов использовался метод конечных разностей, поскольку его применение позволит сократить машинное время расчёта в 5 раз по сравнению с методом контрольного объёма для шага по времени .
На рис. 4 представлено сопоставление температур в центре отливки, полученных при использовании линейной зависимости (6) выделения доли твёрдой фазы у(Т) из расплава и зависимости (7), полученной по правилу отрезков. Видно, что при использовании зависимости (7) фазовый переход «Ж ® у + С» в центре отливки (т. А) начинается раньше на 8 си длится дольше на 10 с (5,3 %) по сравнению с линейной зависимостью (6). Это связано с тем, что в зависимости (7) выделение твёрдой фазы происходит не равномерно. Так, в начале процесса кристаллизации для температурного интервала те [1135;1145]°С (рис. 3, б) выделение твёрдой фазы из расплава минимально, а максимума оно достигает для интервала те [1120;1132] °С и конца кристаллизации те [1105;1110]°С. Однако, относительное изменение температуры в рассматриваемых точках В и С не превышает 0,75 % (рис. 4, б), а в центре отливки (т. А) 3,5 %. При дальнейшем охлаждении отливки после фазового перехода «Ж ® у + С», относительное отклонение температур в расчётных точках А, В и С, полученных с учетом (6) и (7) минимально (АТ/Т << 0,1 %), поэтому при моделировании охлаждения отливок из серого чугуна СЧ-15, имеющих размеры 30^30x30 мм, можно ограничиться линейной зависимостью (6) выделения доли твёрдой фазы при кристаллизации расплава.
Поскольку для конечного времени расчёта 120 с температура в центре отливки (т. А) составляет ТА = 950 °С, то фазовый переход « у ® а » не успевает произойти, и зависимости (4) и (5) не используются. Выделение доли а - фазы при фазовом переходе « у ® а » также предлагается принять по линейной зависимости (4).
1 - линейная зависимость выделения твёрдой фазы из расплава (6);
2 - зависимость, полученная по правилу отрезков (7)
Рис. 4. Изменение температуры в центре отливки (а) и относительное изменение температуры в точках А, В, С (б) по времени
На рис. 5 показана доля твёрдой фазы, формирующаяся при изменении температурного поля по времени при фазовом переходе «Ж ® у + С», имеющем место в материале отливки (СЧ-15) при охлаждении. В начальный момент времени весь металл отливки находится в жидком состоянии (у(Т) = 0). По истечении t = 5 с (рис. 5, а) в вершинах отливки присутствует область полностью кристаллизовавшегося металла (у(Т) = 1), а толщина двухфазной области, в которой металл находится между температурами ликвидуса и солидуса (0 <у(Т)< 1), составляет около 2,5 мм. Через 10 с (рис. 5, б) область полностью кристаллизовавшегося металла и толщина двухфазной области увеличатся примерно в 2 раза, а при t = 60 с от начала процесса (рис. 5, в) уже около половины отливки будет находится в твёрдой фазе. Из рис. 5 видно, что жидкий металл равномерно кристаллизуется от стенок литейной формы с противопригарным покрытием к центру, поскольку отливка имеет форму куба со стороной Ъ = 30 мм и граничные условия одинаковы. Полное время кристаллизации отливки при фазовом переходе «Ж ® у + С» составляет 80 с.
а) t = 5 с; б) t = 15 с; в) t = 60 с
Рис. 5. Доля твёрдой фазы, формирующаяся при изменении температурного поля по времени
в плоскости Х2 для У = 0
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Разработанная математическая модель охлаждения отливок из железоуглеродистых сплавов и численный алгоритм её реализации могут использоваться для получения данных о доле твёрдой фазы, формирующейся в материале отливки при изменении температурного поля по времени и скоростей охлаждения различных слоёв отливки, необходимых для прогнозирования структуры и физико-механических свойств материала. В результате тестовых расчётов установлено, что относительное отклонение температуры рассматриваемых точек отливки, полученной методами конечных разностей и контрольного объёма, при их сопоставлении не превышает 2 %. Для задачи сопряжённого теплообмена двух тел при температурных градиентах до 1500 °С подобраны шаги пространственно-временной сетки, позволяющие корректно учесть фазовые переходы в ячейках на границе сопряжения. Установлено, что при моделировании охлаждения отливок из серого чугуна СЧ-15, имеющих размеры 30x30x30 мм, можно ограничиться линейной зависимостью выделения доли твёрдой фазы (аустенит + графит) при кристаллизации расплава, и не использовать зависимость, полученную по правилу отрезков, поскольку относительное изменение температуры в центре отливки для обеих зависимостей не превышает 3,5 % во время фазового перехода «жидкость ® аустенит + графит», а при дальнейшем охлаждении
составляет менее 0,1 %. Для фазового перехода «жидкость ® аустенит + графит» получены
результаты выделения доли твёрдой фазы из расплава при изменении температурного поля отливки по времени.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Овчаренко П. Г., Лещев А. Ю. Способ изготовления моделей из пенополистирола для получения композиционных отливок // Патент РФ № 2510304, 2014.
2. Фарафошин В. В., Ильин Б. Д., Овчаренко Г. И., Васильев С. В., Липанов А. М., Лещев А. Ю., Овчаренко П. Г. Способ легирования поверхности металлических изделий // Патент РФ № 2475331, 2013.
3. Шуляк В. С. Литье по газифицируемым моделям. СПб. : НПО «Профессионал», 2007. 408 с.
4. Чекмышев К. Э., Дементьев В. Б., Макаров С. С. Математическая модель процесса охлаждения стальных заготовок // Известия Самарского научного центра Российской академии наук. 2014. Т. 16, № 4-3. С. 659-663.
5. Чекмышев К. Э., Макаров С. С. Математическое моделирование процесса охлаждения стальных заготовок плоской и цилиндрической формы // Труды Института механики УрО РАН "Проблемы механики и материаловедения". Ижевск: Изд-во ИМ УрО РАН, 2016. С. 310-316.
6. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Вычислительная теплопередача. М. : Едиториал УРСС, 2003. 784 с.
7. Самарский А. А. Теория разностных схем : учеб. пособие. М. : Наука, 1977. 656 с.
8. Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск : Наука СО, 1967. 196 с.
9. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости : пер. с англ. М. : Энергоатомиздат, 1984. 152 с.
10. Геллер Ю. А., Рахштадт А. Г. Материаловедение. М. : Металлургия, 1989. 456 с.
11. Гуляев А. П. Металловедение. Учебник для вузов. 6-е изд., перераб. и доп. М. : Металлургия, 1986.
544 с.
12. Лариков Л. Н., Юрченко Ю. Ф. Тепловые свойства металлов и сплавов. Киев : Наукова думка, 1985.
439 с.
13. Казанцев Е. И. Промышленные печи. Справочное руководство для расчётов и проектирования. 2-е изд. доп. и перераб. М. : Металлургия, 1975. 368 с.
14. Васильев Л. Л., Танаева С. А. Теплофизические свойства пористых материалов. Минск : Наука и техника, 1971. 264 с.
15. Михеев М. А., Михеева И. М. Основы теплопередачи. М. : Энергия, 1977. 344 с.
16. Сычёв В. В., Вассерман А. А., Козлов А. Д., Спиридонов Г. А., Цымарный В. А. Термодинамические свойства воздуха: ГСССД. Серия монографии. М. : Издательство стандартов, 1978. 276 с.
17. Кржижановский Р. Е., Штерн З. Ю. Теплофизические свойства неметаллических материалов. Л. : Энергия, 1973. 336 с.
18. Самсонов Г. В., Борисова А. Л., Жидкова Т. Г., Знатокова Т. Н., Калошина Ю. П., Киселёва А. Ф., Кислый П. С., Ковальченко М. С., Косолапова Т. Я., Малахов Я. С., Малахов В. Я., Панасюк А. Д.,
Славута В. И., Ткаченко Н. И. Физико-химические свойства окислов. Справочник. М. : Металлургия, 1978. 472 с.
19. Rosenholtz J. L., Smith D. T. Linear thermal expansion and inversions of quartz, var. rock crystal // American Mineralogist. Table of Contents, 1941, vol. 26, № 2, pp. 103-109. URL: http://www.minsocam.org/ammin/AM26/AM26_103.pdf (дата обращения 14 февраля 2018).
20. Стрелов К. К., Мамыкин П. С. Технология огнеупоров. 3-е изд., перераб. М. : Металлургия, 1978.
377 с.
MATHEMATICAL MODELING OF THE COOLING PROCESS OF CASTS FROM IRON-CARBON ALLOYS BY CASTING ON CONSUMABLE PATTERN
Chekmyshev K. E., Ovcharenko P. G., Makarov S. S.
Udmurt Federal Research Center, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Izhevsk, Russia
SUMMARY. The numerical solution of the cooling process of casting from iron-carbon alloy is considered taking into account the peculiarities of the method of casting on consumable pattern. The casting has the correct cube shape with side b and it is located in the center of casting box with side 6b. The casting box is filled by dry arenaceous quartz. There is a non-stick coating based on corundum between the casting and arenaceous quartz. The mathematical model of the cooling process based on the differential equation of unsteady thermal conductivity is presented. The coupling condition (equality of temperatures and heat fluxes) is put in places of heterogeneous materials contact. The phase changes taking place in the iron-carbon alloy and arenaceous quartz are taken into account in the mathematical model. The numerical computation results of the casting temperature are obtained by the finite difference method according to the scheme of splitting on directions and by the control volume method. The relative divergence of the casting temperature obtained by both methods is shown to be less than 2 %. The steps of the space-time grid are chosen. They allow us to correctly take into account the phase changes in the cells at the interface of heterogeneous materials at large temperature gradients (up to 1500 °C) and to reduce the computational time compared to the constant step. The influence of kind of solid phase separation at the melt crystallization on the casting temperature is considered in paper. The solid phase separation at the melt crystallization is estimate to occurs both a linear dependence and a the power dependence obtained by the rule of segments from the state diagram Fe-C-Si. The relative divergence of casting center temperature for both dependences being less than 3.5 % and the kind of solid phase separation has being little effect on further cooling, preferably used a linear dependence of solid phase separation at modeling of cast cooling from grey cast iron (C = 3.6 % and Si = 2.2 %) having dimensions 30*30*30 mm. The results of solid phase separation from the melt at the change in time of casting temperature field are obtained for phase change «liquid ® austenite + graphite».
KEYWORDS: mathematical model, cooling, phase change, coupled heat transfer, numerical computation, casting on consumable pattern.
REFERENCES
1. Ovcharenko P. G., Leshchev A. Yu. Sposob izgotovleniya modelej iz penopolistirola dlya polucheniya kompozicionnyh otlivok [A method of manufacturing models from polystyrene for composite castings making]. Patent RU2510304, 2014.
2. Farafoshin V. V., Il'in B. D., Ovcharenko G. I., Vasil'ev S. V., Lipanov A. M., Leshchev A. Yu., Ovcharenko P. G. Sposob legirovaniya poverhnosti metallicheskih izdelij [Method of alloying of metal products surface]. Patent RU 2475331, 2013.
3. Shulyak V. S. Lit'e po gazificiruemym modelyam [Casting on consumable pattern]. St. Petersburg: NPO Professional Publ., 2007. 408 p.
4. Chekmyshev K. E., Dement'ev V. B., Makarov S. S. Matematicheskaya model processa ohlazhdeniya stal'nyh zagotovok [Mathematical model of steel blanks cooling process]. Izvestiya Samarskogo nauchnogo centra Rossijskoi akademii nauk [Izvestia of Samara Scientific Center of the Russian Academy of Sciences], 2014, vol. 16, no. 4-3, pp. 659-663.
5. Chekmyshev K. E., Makarov S. S. Matematicheskoe modelirovanie processa ohlazhdeniya stal'nyh zagotovok ploskoj i cilindricheskoj formy [Mathematical modeling of cooling process of steel blanks having a flat and a cylindrical shape]. Trudy Instituta mekhaniki UrO RAN. Problemy mekhaniki i materialovedeniya [Reports of Institute of Mechanics UB RAS. The problems of mechanics and materials science]. Izhevsk: Institute of Mechanics UB RAS Publ., 2016. pp. 310-316.
6. Samarskij A. A., Vabishchevich P. N. Vychislitel'naya teploperedacha [Computational heat transfer]. Moscow: Editorial URSS Publ., 2003. 784 p.
7. Samarskij A. A. Teoriya raznostnyh skhem [Difference scheme theory]. Ucheb. posobie. Moscow: Nauka Publ., 1977. 656 p.
8. Yanenko N. N. Metod drobnyh shagov resheniya mnogomernyh zadach matematicheskoj fiziki [Fractional steps method for solving multidimensional problems of mathematical physics]. Novosibirsk: Nauka SO Publ., 1967. 196 p.
9. Patankar S. Numerical heat transfer and fluid flow. Hemisphere Publishing Corporation, Washington DC and McGraw-Hill, New York, 1980. 197 p.
10. Geller Yu. A., Rahshtadt A. G. Materialovedenie [Materials science]. Moscow: Metallurgiya Publ., 1989.
456 p.
11. Gulyaev A. P. Metallovedenie [Metallurgy]. Uchebnik dlya vuzov. Moscow: Metallurgiya Publ., 1986.
544 p.
12. Larikov L. N., Yurchenko Yu. F. Teplovye svojstva metallov i splavov [Thermal properties of metals and alloys]. Kiev: Naukova dumka Publ., 1985. 439 p.
13. Kazancev E. I. Promyshlennye pechi [Industrial furnace]. Spravochnoe rukovodstvo dlya raschyotov i proektirovaniya. Moscow: Metallurgiya Publ., 1975. 368 p.
14. Vasil'ev L. L., Tanaeva S. A. Teplofizicheskie svojstva poristyh materialov [Thermophysical properties of porous materials]. Minsk: Nauka i tekhnika Publ., 1971. 264 p.
15. Miheev M. A., Miheeva I. M. Osnovy teploperedachi [The fundamentals of heat transfer]. Moscow: Energiya Publ., 1977. 344 p.
16. Sychyov V. V., Vasserman A. A., Kozlov A. D., Spiridonov G. A., Cymarnyj V. A. Termodinamicheskie svojstva vozduha: GSSSD [Thermodynamic properties of air: GSSSD]. Seriya monografii. Moscow: Izdatel'stvo standartov Publ., 1978. 276 p.
17. Krzhizhanovskij R. E., Shtern Z. Yu. Teplofizicheskie svojstva nemetallicheskih materialov [Thermophysical properties of non-metallic materials]. Leningrad: Ehnergiya Publ., 1973. 336 p.
18. Samsonov G. V., Borisova A. L., Zhidkova T. G., Znatokova T. N., Kaloshina Yu. P., Kiselyova A. F., Kislyj P. S., Koval'chenko M. S., Kosolapova T. Ya., Malahov Ya. S., Malahov V. Ya., Panasyuk A. D., Slavuta V. I., Tkachenko N. I. Fiziko-himicheskie svojstva okislov [Physical and chemical properties of oxides]. Spravochnik. Moscow: Metallurgiya Publ., 1978. 472 p.
19. Rosenholtz J. L., Smith D. T. Linear thermal expansion and inversions of quartz, var. rock crystal. American Mineralogist. Table of Contents, 1941, vol. 26, № 2, pp. 103-109. URL: http://www.minsocam.org/ammin/AM26/AM26_103.pdf (accessed February 14, 2018).
20. Strelov K. K., Mamykin P. S. Tekhnologiya ogneuporov [Refractory technology]. Moscow: Metallurgiya Publ., 1978. 377 p.
Чекмышев Константин Эдуардович, младший научный сотрудник, Институт механики УдмФИЦ УрО РАН, e-mail: chekk.90@mail.ru
Овчаренко Павел Георгиевич, научный сотрудник НЦМФМ УдмФИЦ УрО РАН, e-mail: ovcpg@yandex.ru
Макаров Сергей Сергеевич, кандидат технических наук, старший научный сотрудник, Институт механики УдмФИЦ УрО РАН, e-mail: ssmak15@mail ru
