Математическое моделирование процесса микрофильтрации биосуспензии в цилиндрическом канале Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 663.48

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА МИКРОФИЛЬТРАЦИИ БИОСУСПЕНЗИИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ КАНАЛЕ

В.И. Ряжских, Е.С. Попов, Д.С. Попов, Е.А. Пожидаева

Синтезирована математическая модель процесса разделения биосуспензии микрофильтрацией в цилиндрическом канале с пористыми стенками

Ключевые слова: биосуспензия, микрофильтрация, математическое моделирование

Необходимость разделения суспензий имеет важное значение в различных отраслях промышленности [1, 2] . Сопряженность этого процесса пока не позволяет формализовать его в виде обобщенной математической модели, что препятствует разработке стратегии при управлении параметров для рационального ведения процесса с целью прогнозирования и расчета конструктивных характеристик технологического оборудования. В последнее время к одним из перспективных направлений развития мембранных методов разделения следует отнести использование микро - и нано-фильтрации [1]. Следует отметить, что одной из проблем, возникающей при использовании микрофильтрации, является разделение биосуспензий в проточных пористых каналах с заданными характеристиками, которое имеет важное значение, особенно в пивоваренной промышленности [4]. В связи с этим разработка новых инженерных подходов к решению данной проблемы является актуальной.

1 - биосуспензия, 2 - мембрана, 3 - фильтрат

Положим, что имеется биосуспензия, т.е. композиция, где дисперсионной средой является жидкость, а дисперсной фазой - дрожжевые клетки. Необходимо осуществить процесс очистки биосуспензии от присутствия дисперсной фазы. Схематически данный процесс осуществляется следующим образом (рис. 1). Биосуспензия 1 подается в цилин-

Ряжских Виктор Иванович - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, e-mail: ryazhskih@scientist. com Попов Евгений Сергеевич - ВГУИТ, канд. техн. наук, доцент, e-mail: e_s_popov@mail.ru

Попов Дмитрий Сергеевич - ВГУИТ, аспирант, e-mail: popodi@rambler.ru

Пожидаева Екатерина Анатольевна - ВГУИТ, канд. техн. наук, доцент, e-mail: katerina-77707@mail.ru

дрический канал радиусом r0 и длиной l со скоростью dz под давлением Р. При движении потока по каналу из суспензии 1 через стенку 2 выделяется жидкая фракция 3 со скоростью дт. Физическая постановка позволяет перейти к математической идеализации, а именно, считать задачу осесимметричной и однонаправленной, и поэтому одномерной [2, 3].

На основе закона Фика запишем

+ + = оэф^Й + ^ + Й), (1)

dt т дт z дт эфЛдт2 т дт dz2J' v 7

где с - концентрация дисперсионной среды, % масс.;

Дэф- эффективный коэффициент диффузии,

м2/с.

Будем считать, что движение биосуспензии в канале установившееся, т. е.dz = const, а также вследствие малой проницаемости мембраны составляющая вектора скорости ~ 0, при этом плотность биосуспензии по длине мембранного канала практически не меняется, т. е.р ~ const.

На основе принятых допущений уравнение (1) принимает вид

(2)

Введем безразмерные переменные

С учетом (3) уравнение (2) будет иметь вид

^ = + (4)

д" Кди2 % дЯу 4 7

где Во = - критерий Боденштейна.

с граничными условиями

д!^ = -кс(1,г), (5)

где К = - коэффициент проницаемости

стенки мембраны, К - коэффициент скорости фильтрации жидкости через пористую стенку, м/с;

дС( 0,Z)

= 0;

эя

C(R,0) = 1.

(6) (7)

В результате применения одностороннего интегрального преобразования Лапласа к системе (4) -(7) получено аналитическое выражение для локального поля концентрации

C(fl,Z) = 2.Z£=i

4о(5п%)

(56+92)4о(5п:

exp(->?Z/#o), (8)

и ее осредненное значение по радиусу

C(Z) = 2 E =

Jo

Л(5п) .,2-

5п(5П+92)4о(5п

exp(->?Z/#o),

(9)

где /о и Д- функция Бесселя нулевого и первого порядка; - множество корней уравнения:

Л(>) = ^МмХ

Перепишем это характеристическое уравнение в виде:

Ji(>)=./o(>)->/i(>),

за изменением ее знака. Как только знак изменится, вычисления временно прекращаем и определяем интервал, где он изменяется, после этого методом бисекции вычисляем корень с заданной наперед точностью.

Далее вновь продолжаем движение по > до следующего изменения знака функции /!(>).

Для вычисления /о(>) и Д(>), входящих в функцию /!(>), воспользуемся интегральной формулой Бесселя:

/т(>) = 1/оРС05(ш^ -

где (т = 0,1,2,...). В частности для нашего случая запишем

/o(>) = i Q cos(>5int)Ft;

p o

Л(>) = p/o cos(t - >sint)Ft.

Использование последних формул требует уточненного численного интегрирования. В связи с этим применим формулу Симпсона

/аЬ/(Х)^Х = [_о - + 2 29=1(2У2;-1 + _2;)].

где > Е (0, го).

Стратегия поиска корней будет заключаться в следующем: с шагом Д> (из вида графиков ций /о и /1 следует, что достаточно взять Д>~10-1) от нуля по > начинаем вычислять /1(>) и следить

Задаваясь различными значениями К осуществляли поиск корней функции J1(>) (ограничимся в 100 корней для каждого К), который проводился на ЭВМ в системе аналитических вычислений Maple, часть которых приведена в таблице.

Значения корней функции J1 (>) при различных J

Значение К Значение корней функции J l(>)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,1 0,44 3,86 7,03 10,18 13,33 16,48 19,62 22,76 25,91 29,05

1 1,26 4,08 7,16 10,27 13,4 16,53 19,67 22,8 25,94 29,08

10 2,18 5,03 7,96 10,94 13,96 17,01 20,08 23,17 26,27 29,38

Далее, задаваясь различными значениями критерия Боденштейна #о, получая при этом комбинациии Во, получим зависимости изменения кон-

центрации дисперсионной среды биосуспензии по радиусу и длине цилиндрического канала (рис. 2, а, б).

а б

Рис. 2. Зависимость изменения концентрации дисперсионной среды биосуспензии по радиусу и длине цилиндрического

канала: а - при .=0,1, #о=1; б - при .=0,1, #о=10

С целью проверки математической модели на адекватность были проведены исследования процесса микрофильтрационного разделения биосуспензии на экспериментальной установке (рис. 3) в тангенциально - поточном режиме. С этой целью биосуспензия с помощью центробежного насоса 2 нагнеталась в мембранный модуль, где двигалась тангенциально, т.е. параллельно фильтрующей поверхности трубчатых мембранных фильтров 4. При этом часть биосуспензии фильтровалась через мембранные фильтры и отводилась из модуля, с замером количества фильтрата, а оставшаяся часть биосуспензи направлялась на рециркуляцию до достижения в ней заданного содержания сухих веществ.

Рис. 3. Фотография экспериментальной установки: 1 - циркуляционная емкость, 2 - центробежный насос; 3

- трубная решетка; 4 - трубчатый керамический мембранный фильтр; 5 - шпилька; 6,7 - запорная арматура; 8 - кран вывода концентрата; 9 - манометр; 10 - станина

Сравнительный анализ расчетных и экспериментальных данных (рис. 4) показал следующую сходимость: отклонение расчетных от экспериментальных данных не превышает 0,01 %, на основе чего можно сделать вывод об адекватности математической модели.

Рис. 4. Зависимость изменения средней концентрации дисперсионной среды биосуспензии по длине цилиндрического канала: 1 - расчет; 2 - эксперимент

Исходя из анализа графических зависимостей можно сделать вывод, что проведенные исследования могут дать не только количественную, но и качественную оценку процесса мембранного разделения суспензий в цилиндрических каналах с пористыми стенками, позволяющие идентифицировать локальную концентрацию суспензии в фильтрующем элементе в зависимости от его геометрических размеров, параметров проведения процесса и ее физико - механических характеристик, что можно использовать в различных отраслях промышленности.

Литература

1. Валентас, К. Дж. Пищевая инженерия [Текст] : справочник с примерами расчетов / К. Дж. Валентас, Э. Ротштейн, Р. П. Сингх ; пер. с англ. под общ. науч. ред. А. Л. Ишевского. - СПб. : Профессия, 2004. - 848 с.

2. Федоткин, И. М. Гидродинамическая теория фильтрования суспензий [Текст] / И. М. Федоткин, Е. И. Воробьев, В. И. Вьюн. - Киев: Вища шк. Головное изд-во, 1986. - 166 с.

3. Кафаров, В. В. Математическое моделирование основных процессов химических производств [Текст] : учеб. пособие для вузов / В. В. Кафаров, М. Б. Глебов. -М.: Высш. шк., 1991. - 400 с.

4. Федоренко, Б. Н. Пивоваренная инженерия [Текст] / Б. Н. Федоренко. - СПб. : Профессия, 2009. - 1000 с.

5. Помозова, В. А. Производство кваса и безалкогольных напитков [Текст]: учеб. пособие / В. А. Помозова. - СПБ: ГИОРД, 2006. - 192 с.

Воронежский государственный технический университет Воронежский государственный университет инженерных технологий

MATHEMATICALMODELINGOF MICROFILTRATION PROCESSING OF BIOLOGICAL SUSPENSION IN CYLINDRICAL CHANNEL

V.I. Ryazhskikh, E.S. Popov, D.S. Popov, E.A. Pozhidaeva

Synthesized mathematical model of the separation process of biological suspension by microfiltration in a cylindrical channel with porous walls

Key words: biological suspension, microfiltration, mathematical modeling