CC BY
57
- © Е.С. Слепцова, Л.В. Никифорова,
Б.В. Яковлев, А.И. Матвеев, 2014
УДК 51:622.7
Е.С. Слепцова, Л.В. Никифорова, Б.В. Яковлев, А.И. Матвеев
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА КОНЦЕНТРАЦИИ ТЯЖЕЛЫХ ЧАСТИЦ В ПОСТЕЛИ ОТСАДОЧНОЙ МАШИНЫ
Представлена математическая модель движения тяжелых частиц в окружении зерен в отсадочной машине. Зерна моделируются шарами определенного радиуса. Рассмотрен статистический подход для описания процесса. При этом используется модель движения броуновской частицы, в котором вместо кинетической энергии хаотического теплового движения молекул, бомбардирующих броуновскую частицу, учитывается кинетическая энергия зерен, окружающих рассматриваемое зерно тяжелой частицы и движущихся под воздействием вибрирующей силы отсадочной машины. Эта сила зависит от амплитуды и частоты, то есть параметров циклов отсадки. В результате математического моделирования получено уравнение типа Фоккера-Планка для фракций, распределяемых по плотности в камере отсадочной машины. Получены динамические кривые распределения тяжелых зерен по высоте постели.
Ключевые слова: отсадка, распределение, уравнение Фоккера-Планка, диффузия, вероятность, модель, концентрация.
При гравитационном обогащении полезных ископаемых методом отсадки возникают проблемы определения концентрации тяжелых фракций в постели отсадочной машины в зависимости от характеристик установки. Данная работа посвящена математическому моделированию процесса отсадки.
Для описания процесса используется статистический подход, в котором рассматриваются не только детерминированные механические процессы, но и стохастические. В известных работах [1, 2, 3, 4] должным образом не показано, какими предпосылками, допущениями получается уравнение Фоккера-Планка и как оно решается. В работе предлагается физическая модель процесса отсадки, на основе которой получено соотношение типа уравнения Фоккера-Планка. При решении этого уравнения используется модель броуновского движения частицы в поле действия гравитации земли [5]. Полученное решение можно распространить на случай, когда имеется множество невзаимодействующих частиц. Уравнение имеет неизвестные параметры, которые могут быть определены из физической модели и уточнены в результате проведения физического моделирования.
Рассмотрим следующую задачу.
В отсадочную постель помещены N одинаковых шаров с плотностью р1, радиуса г0. Шары находятся в некоторой среде с плотностью р^ и вязкостью п„. На определенной высоте h находится шар такого же размера, но с большей плотностью р0 > р1.
Постель отсадочной машины, (рассматривается как физическая емкость) приводится в колебательное движение с определенной частотой ю0 и амплитудой а0. При этом, пробная частица должна диффундировать вниз из-за действия силы тяжести. Требуется найти вероятность местонахождения частицы в произвольный момент времени.
Задача задается в одномерном варианте.
Вначале рассматривается система, когда в начальный момент времени тяжелая частица покоится в окружении легких частиц. При допущении отсутствия силы тяготения и границ, т.е. неограниченную систему, при придании колебательных движений системы частица будет двигаться согласно марковским процессам. Тогда это, броуновская частица, которая движется хаотическим образом под действием тепловых движений молекул окружающей среды. При этом, бомбардирующие частицу молекулы имеют определенные среднеквадратичные скорости в соответствии с температурой. В нашем случае, на перемещение тяжелой частицы в постели отсадочной машины, влияют окружающие легкие частицы, движущиеся под действием внешних периодических сил. Легкие частицы постели (окружающей среды) будут иметь кинетическую энергию в со-
ответствии с колебательными движениями среды, а именно т(у^ та,
2
'0 ®0
где а0 и ю0 - амплитуда и частота колебательных движений среды. На частицу будет действовать два вида сил: градиентные (так как, каждый момент времени рассматриваем как статистический ансамбль) Р и силы сопротивления. Силы сопротивления обусловлены соударением рассматриваемой частицы с окружающими ее шарами Р1 и вязкостью Р если процесс происходит, например, в воде. При этом, сила сопротивления Р5 = Р1 + Р2.
Силу сопротивления, возникающую вследствие соударений можно определить следующим образом. Усредненная тормозящая сила равна потере импульса. При каждом столкновении она полностью теряет направленную скорость. Приблизительно эта сила равна:
_ Ср ¿V V
И =--= -т — « -т —
1 А А т , (1)
где V - средняя скорость частиц, т - среднее время пробега частицы между столкновениями.
Среднее значение времени свободного пробега можно найти из колебательных характеристик системы. Средняя квадратичная скорость частиц при колебательных движениях отсадочной машины равна:
= ао ' ®о . (2)
Средняя длина пробега равна амплитуде колебаний, тогда среднее время пробега равно периоду колебаний: 2п
®о . (3)
Таким образом:
тю0 ^
-II
(4)
т = ■
И *--
2п
Силу сопротивления среды будем считать равной силе Стокса:
Рис. 1. Схема неоднородно распределенной одномерной системы
= -6пПГ0V ,
(5)
где п - коэффициент вязкости среды.
Для определения градиентной силы рассмотрим неоднородную одномерную систему, т.е., одномерную задачу, где п(х) зависит только от одной переменной , емкость с неоднородным распределением частиц (рис.1). Допустим, что в левой части от некоторой границы, концентрация частиц больше чем в правой п1 > п2.
Сила, действующая на левую границу области dx пропорциональна концентрации и равна ^^ ДS, на правую - ^^ДS, к = = та<0 Ю° . Сила действу-
2 3 3
ющая на одну частицу внутри области равна:
к (п2 - п1 )-Ав к (п х)-п х + dx))■AS к дп х)
дг = п^, х) ■А^^ ~ п^х^Аб^ "" п (^ х) дх (6)
Или в трехмерном виде:
^ =- ыЬ) уп (<, -)
п (г) . (7)
Математическим выражением закона сохранения количества вещества является уравнение непрерывности:
дп (t, г) , , ч ч -Л-^ + У^ п (t, г ) = 0
— (8) Баланс сил действующих на данную частицу:
X Р, = К + Р1 + Р2 = 0
(9)
дает соотношение:
п
-к— Уп (t, г ) - V - бппГэ V =--уг-г Уп (t, г = 0
г) 4 2п п (t,г) , (10)
т®0 /г
где а =-0 + б%цг0 .
2п
Из (8) и (10) имеем:
дп (t, г) к / /
^ = — Ап (^ г ) = ОАп (^ -)
дt а (11)
где О = — - коэффициент макродиффузии.
а
Полученное выражение является уравнением Фоккера-Планка для свободной частицы. Решения этого классического уравнения известны, в частности, фундаментальным решением этого уравнения для одномерного случая является:
^ х } = 7Шехр
1 Г х2 ^
4 т
(12) 241
Рассмотрим движение частицы в поле тяжести земли. Частица находится в емкости, ограниченной снизу непроницаемой стенкой, в окружении других частиц меньшей плотности. При колебательных движениях частица диффундирует вниз. На нее действует сила тяжести
Р3 = тд
4 з
где т = — тсг03р0 - масса исследуемой частицы.
Тогда уравнение Фоккера-Планка имеет вид: дп (t, х) тд дп (t, х)
V , } _ шд у , ) _ ОАп (^ х ) = о
дt а дх с начальными и граничными условиями:
п(0,х) = 8(х _ И)
| п (t, х) ёх = 1
п ( ^ х)
4 71х
дп (t, х )
дх
=0
=0
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
Шп (^ х) +
дп (t, х)
дх
= 0.
(19)
Последнее соотношение (19) является условием отсутствия потока через нижнюю поверхность.
При решении этой задачи используем решение подобной задачи для броуновской частицы [5] и получаем следующее аналитическое выражение:
К ^ х ) =
■ДПШ
ехр
4 О
+ ехр
( < и\2Л Л (х+И)
4 О
ехр
( (тд)21 тд (х _ И)^
//
4 ка
2к
тд
тд I тдх
+ —^ ехр I--— , --
к { к Ц4пО
| ехр
г
4 О
ёц
(20)
(X
На рис. 2 представлены графики зависимостей, согласно (20) в различные моменты времени, по горизонтальной оси направлена высота емкости с шарами.
Как видно из рис. 2, распределение вероятностей местонахождения частицы сначала расплывается, двигаясь вниз, и, в конце концов, преобразуется в распределение Больцмана.
Изложенная задача эквивалентна задаче когда множество N частиц с плотностью р0 распределены на одной плоскости на некоторой высоте И. Тогда распределения количества частиц будет описываться кривой (20), при этом
9 ш ! \ (=2с
Т 1
6 - К 1
5 1
4 -
3 Л (=150 е |
2 - \ (=100 с (=50 с 1
1 ^ \
Л
п(х)
| 1
'■1=100 с М=1 с -
\ /Л/=7с1 \ А
1=20 с! Хъ- 'Л 1 / V V ••. г д
<. 1 ^ 1 V/ " * 1 - ■ •>.
о о.: ол ».« 0.1 1 х
Рис. 2. Распределения вероятностей нахождения пробной частицы в зависимости от времени в камере отсадочной машины ч
мам,*, ммм*
.»••*»•••. м
ма.
*.*А*.*А*А*А*АМ •* а >•». м
>•••; ,*м
•А Л*.**. А*А*Л* »«1«м*»м»' м мм ммамм
». м*м Л А*А* ¡мммммм *
шшм
Рис. 3. Равномерно распределенная система
количество частиц будет пропорционально площади фигуры, заключенной внутри области граничащей горизонтальной осью и кривой на рис. 2.
В реальности, добываемые частицы тяжелых минералов, например, зерна кристаллов алмазов в над-решетном варианте отсадки находятся в объеме отсадочной постели случайным образом. При моделировании этого распределения можно воспользоваться генератором случайных чисел. Если имеется достаточно много зерен исследуемого материала, то первоначальное распределение будет приблизительно равномерным.
о 0_2 1)4 0.0 0-Я 1 X
Рис. 4. Распределение вероятностей местонахождения рассматриваемых частиц с первоначальным равномерным распределением
Поэтому, рассмотрим некоторую равномерно распределенную систему (рис. 3) Для такой системы суммарное распределение будет равно:
п(^х) = NN±п, (^х)
(21)
На рис. 4 показаны графики зависимостей суммарного распределения, когда начальное состояние имело равномерное распределение исследуемых зерен, в различные моменты времени.
Полученные распределения позволяют при заданных значениях исходных фракций (например, в процентах от общего объема) с равномерным начальным распределением вычислить вероятное время, за которое образуется некоторый заданный слой материала на дне емкости отсадочной постели с определенным распределением тяжелой (полезной) фракции. Результаты модели важны для описания надрешетного варианта отсадки, применительно к обогащению алмазов, наиболее важными параметрами, из которых являются время полноты осаждения тяжелых фракций из потока минералов в зоне отсадки и высота зоны концентрации (объем извлекаемых надрешетных концентратов).
1. Кизевальтер Б. В. Теоретические основы гравитационных процессов обогащения. - М.: Недра, 1979. - 295 с.
2. Виноградов Н.Н. Вопросы теории и интенсификации процесса отсадки: дисс. на соиск. уч. степ. д-ра техн. наук; Инс-т горючих ископаемых. - М., 1964. - 367 с.
3. Рафалес-Ламарка Э.Э. Применение методов теории вероятностных процессов при исследовании расслоения постели отса-
_ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
дочных машин / Труды Укр. НИИ углеобогащения. - М., 1964. - Т. 3. - С. 50-68.
4. Огурцов В.А., Огурцов А.В., Галие-ва А.Ф. Исследование распределения частиц мелкой фракции в слое сыпучего материала на поверхности сита виброгрохота // Вестник Ивановского госу-ного энергетического ун-та. - 2008. - Вып. 3. - С. 1-3.
5. Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. - М.: УРРС, 2003. - Т. 3.: Неравновесная термодинамика. С. 447. ЕПЗ
КОРОТКО ОБ АВТОРАХ_
Слепцова Екатерина Семеновна - научный сотрудник, e-mail: slept@mail.ru. Матвеев Андрей Иннокентьевич - доктор технических наук, зав. лабораторией, старший научный сотрудник, e-mail: andrei.mati@yandex.ru. Институт горного дела Севера им. Н.В. Черского СО РАН;
Никифорова Людмила Владимировна - ведущий инженер, e-mail: nliudmilav@mail.ru, Яковлев Борис Васильевич - доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: b-yakovlev@mail.ru,
Северо-Восточный федеральный университет им. М.К. Аммосова, Физико-технический институт.
UDC 51:622.7
mathematical modeling of the concentration of heavy particles in the bed jig
Sleptsova E.S., Researcher, e-mail: slept@mail.ru,
Matveev A.I., Doctor of Technical Sciences, Head of Laboratory, Senior Researcher, e-mail: andrei.mati@yandex.ru,
N.V. Chersky Institute of Mining of the North, Siberian Branch of Russian Academy of Sciences; Nikiforova L.V., Leading Engineer, e-mail: nliudmilav@mail.ru,
Yakovlev B.V., Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, e-mail: b-yakovlev@mail.ru, M.K. Ammosov North-East Federal University, Physical and Technical Institute.
The presented mathematical model of motion of the heavy particles in the surrounding grains in jigs. Grains are modeled in balls a certain radius. Considered is the statistical approach to describe the process. It uses a model of the motion of a Brownian particle, in which instead of the kinetic energy of random thermal motion of the molecules bombarding the Brownian particle is taken into account the kinetic energy of the grains surrounding the grain considered a heavy particle moving under the influence and power of the vibrating jig. This force depends on the amplitude and frequency, that is the cycle parameters jigging. As a result of mathematical modeling obtained the equation of the type Fokker-Planck for the fractions of the density distributed in the chamber jigging machine. Obtained the dynamic curves of the distribution of heavy grain bed adjustment jigging bed.
Key words: jigging, distribution, Fokker-Planck equation, diffusion, probability, model, concentration.
references
1. Kizeval'ter B.V. Teoreticheskie osnovy gravitatsionnykh protsessov obogashcheniya (Theoretical foundations of gravitational enrichment processes), Moscow, Nedra, 1979, 295 p.
2. Vinogradov N.N. Voprosy teorii i intensifikatsii protsessa otsadki (Questions of theory and process intensification jigging), Doctor's thesis, Moscow, 1964, 367 p.
3. Rafales-Lamarka E.E. Primenenie metodov teorii veroyatnostnykh protsessov pri issledovanii rassloeni-ya posteli otsadochnykh mashin, Trudy Ukr. NII ugleobogashcheniya (Application of methods of probabilistic processes theory in the analysis of bull jig bed foliation. Transactions of the Ukrainian Research Institute of Coal Dressing), Moscow, 1964, Vol. 3, pp. 50-68.
4. Ogurtsov V.A., Ogurtsov A.V., Galieva A.F. Vestnik Ivanovskogo gosudarstvennogo energeticheskogo universiteta, 2008, vol.3, pp.1-3.
5. Kvasnikov I.A. Termodinamika i statisticheskaya fizika (Thermodynamics and Statistical Mechanics), Moscow, URSS. 2003, vol.3, 447 p.
УМНАЯ КНИГА - ПРЕДМЕТ ПЕРВОЙ НЕОБХОДИМОСТИ_
ЭКСПЛУАТАЦИЯ СЛОЖНОЙ ТЕХНИКИ И ВОССТАНОВЛЕНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ ЗАВИСЯТ НЕ ТОЛЬКО ОТ КНИГОИЗДАНИЯ
Поставленные вопросы слишком сложны, чтобы отдавать их решение только издателям. Техническая политика, определяющая место государства в мировом сообществе, зависит от культуры общества, уровня его образования, ответственности инженеров и ученых за безопасность технологий, качества техники и инвестиционных проектов. Очевидно, специальное книгоиздание является только частью этих составляющих, хотя и немаловажной. Не стоит обманываться, по всем перечисленным позициям мы находимся в сложном положении. Определение «сложное» употребили, чтобы положение не казалось слишком мрачным.
Специальное книгоиздание могло бы связать образование, культуру и науку традиционными методами, давая интеллектуалам возможность самовыражения, обмена знаниями, заполняя свободное время осмысленной и полезной работой. Сложнейшие технические проекты, разработанные еще в СССР, могут остаться бесхозными, если не дать их авторам возможности изложить суть исследованного, придуманного и построенного в книгах, издать эти книги и сделать их доступными для специалистов. Осуществление программы сохранения знаний ученых и педагогов, публикации научно-технических отчетов и других материалов по выполненным ранее проектам не очень затратны и могут финансироваться университетами, предприятиями, библиотеками, коммерческими фирмами. И, опять-таки, не хватает координации и связующих звеньев.
Таким образом, необходимо объединить усилия АСКИ, университетов, активных издательств, общественных организаций для выработки единой политики защиты российского общества от низкой технологической культуры и потери ориентиров технического развития страны и отдельных отраслей. Возможно, Минобрнауки РФ в этот раз не упустит возможности включиться в эту работу.
Продолжение на с. 336
