Математическое моделирование продольных токов смещения и поверхностного эффекта в многослойной земле и проводах линий электропередачи Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.311.1

В.Г.Гольдштейн, Н.В.Сайдова, А.К.Танаев

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОДОЛЬНЫХ ТОКОВ СМЕЩЕНИЯ И ПОВЕРХНОСТНОГО ЭФФЕКТА В МНОГОСЛОЙНОЙ ЗЕМЛЕ И ПРОВОДАХ ЛИНИЙ ЭЛЕКТРОПЕРЕДАЧИ

Рассматриваются основные положения математического моделирования анализа электромагнитных квазистационарных процессов в многокомпонентных системах и устройствах на примере исследования поверхностного эффекта в проводах многопроводной воздушной линии электропередачи и проводящей земле, имеющей неоднородную горизонтальную многослойную структуру при пренебрежении составляющими векторов напряженностей: продольной для магнитного и поперечной для электрического полей.

Математическое описание распространения электромагнитных волн в многокомпонентных системах и устройствах, таких, как многопроводные воздушные и кабельные линии, заземляющие устройства, линии и кабели связи и др., основано на анализе систем уравнений Максвелла, построенных для соответствующих электромагнитных полей [1]. При этом должны быть удовлетворены граничные условия на поверхностях раздела сред с различными характеристиками (воздух, земля с неоднородной структурой, провода, грозозащитные тросы, металлические конструкции и т.д.).

Решение названных задач в подавляющем большинстве случаев производится с помощью классического перехода от дифференциального описания в рамках теории электромагнитных полей к интегральным представлениям с помощью схем замещения в виде цепей с сосредоточенными и распределенными параметрами. Эти параметры и позволяют интегрально учесть, с одной стороны, физические условия, разнообразные технические условия, среды и границы между ними. С другой стороны, они позволяют определить в названных технических системах соответствующие реакции в виде токов, напряжений, мощностей и других параметров стационарных и переходных режимов, что необходимо для принятия технических решений [2].

Обобщенное представление квазистационарных и импульсных процессов в названных выше многокомпонентных системах производится с помощью телеграфных уравнений, решение которых необходимо производить в очень широком диапазоне частот. Одним из наиболее значимых физических процессов при этом является поверхностный эффект в проводах и земле [3], имеющей неоднородную, чаще всего, слоистую структуру.

Рассмотрим учёт этого эффекта для многокомпонентных систем, не умаляя общности рассуждений, на примере многопроводной воздушной линии электропередачи. Отметим, что способы и методика решений с необходимыми изменениями могут быть использованы для других многокомпонентных систем и устройств, в частности, заземляющих конструкций и др.

Для многопроводной линии [4] названное влияние поверхностного эффекта в однородной земле и проводах учитывается в матрице продольных сопротивлений добавкой сопротивлениям идеальной линии без потерь №=/ р^¥/к в первом приближении (с допущениями о пренебрежении составляющими векторов напряженностей: продольной для магнитного и поперечной для электрического полей) с помощью интегралов Карсона [3]. В этом случае матрица ¥ имеет вид

где ¥г - квадратная матрица интегралов Карсона, в которой элементы fzкm (к и т - номера проводов многопроводной линии) определяются с помощью интегральных выражений

¥ = ¥г + ¥п ,

(1)

(2)

¥п - диагональная матрица, собственные элементы которой определяются в виде [4]

п = т Кк 1 о(ук )

У кк Т/\

ту к 1 (у)

(3)

В выражении (2) г = ^ [(Нк + кт )2 + а2] рц0у, ив = аг^ | акт ЦИк + Ит ) | - параметры

интегралов Карсона, зависящие от геометрических и электромагнитных характеристик линии, таких, как Нк, Нт, акт - соответственно, высоты над горизонтальной землей к -го и т -го проводов и расстояние между ними по горизонтали, л0 - магнитная проницаемость, рг=\/ у2- удельные сопротивление и проводимость земли, р - оператор интегрального преобразования Лапласа.

Выражение (3) учитывает поверхностный эффект [4] в к - ом проводе. В нём У к = Гк рЦкУк - аргумент модифицированных функций Бесселя 10(щк), ЬУи), рк =\/ Ук -

удельное сопротивление и проводимость, цк - магнитная проницаемость (при пренебрежении намагничиванием стальной части провода), кск - коэффициент, приближенно отражающий многожильность, скрутку повивов провода, окисление поверхности и т.д., гк - радиус одиночного провода (для расщепленных проводов эквивалентный радиус рассчитывается по формуле гкэ = ^гкар 1 , где гк - радиус одной из 5 составляющих провода, расщепленного с шагом

а р [2]).

Вычисление элементов матрицы ¥„ по формуле (3) упрощается тем, что при значениях аргумента |у\>20 с погрешностью не более \0-4 можно принять 10 (у)/1] (у)~1 [5].

Выражение (2) справедливо при пренебрежении токами смещения для однородной земли. Однако исследования показывают, что массивы земли часто неоднородны, причем самой распространенной является горизонтально-слоистая структура. В частности, для северных районов страны характерны малое удельное сопротивление верхнего слоя грунта и очень большое (до \0000 Омм и более) - для нижнего слоя вечной мерзлоты.

Для учета этого фактора при расчете продольных сопротивлений (матрицы ¥) необходимо иметь интегральные выражения вида (2), аналогичные решению Карсона [3]. Получим эти выражения при допущениях Карсона для наиболее распространенного случая, когда земля состоит из двух слоев (диэлектрические, магнитные проницаемости и удельные сопротивления и проводимости соответственно £ I, £ II, Л I, Ц II, Р1 =1/ У1, Ри =1 / уц), граница между которыми лежит на глубине d.

Будем характеризовать волны, распространяющиеся по линии (её для упрощения изложения будем считать пока однопроводной) вдоль оси Х, токи, заряды и поле общим динамическим гармоническим (при р = ) коэффициентом е~Гх+ю( ( Г - постоянная распространения),

который для удобства может быть опущен в формулах. Это предложение соответствует допущению о наличии синусоидальных волн, распространяющихся только в сторону положительной оси Х, и отсутствии встречных волн. При этом общее решение волнового уравнения, вытекающего из системы уравнений Максвелла, составленной для данных условий, может быть записано, например, для продольной электрической напряженности в земле в следующем виде:

<

E = - JМ, (l)ehz coslydl -1М/ (Я)е~hz coslydl для 0 > Z >-d;

0 0

¥ (4)

E11 =-jM!n (X)eh,z cos lydl для - d > Z >-¥,

0

где h, =Vя2 + jwm,g, + w(moeo- m,e,) = Vя2 -;

= ^ Я + Уц + ю(ц0£0 - Циец ) = д/Я - т2ц ; М[ (Я),М1/ (Я),М и (Я) - произвольные

функции X, определяемые из граничных условий.

Конструкция выражений (4) обуславливается симметрией поля относительно оси Z, необ-

ходимостью обращения в нуль Ех при Z = - да и ограниченностью первого слоя земли (две составляющих в Е1). Кроме того, построение выражений для п, позволяет учесть продольные

токи смещения в земле.

Полагая по Карсону [3], что в земле поперечные составляющие Ez и Ey незначительны по

а

сравнению с Ex, можно получить из уравнения Максвелла rot E = - m— H с учетом (4) сле-

dt

дующие соотношения:

rH-

<

Hi =

jwmi

ї

jam

=

IhIM'I(X)eniZ cosЯуёу - ^hiM'! (Я)є hiZ cosЯуйЯ 00 ¥¥

| UMi DehiZ cos Яуйу -1XMi (Я)є~hiZ cos ЯуйЯ 00 ї ¥

-----\huMjj (Я)ehuZ cos ЯуёЯ,

mmn 0

¥

:----1mu (Я)є^ cos ЯуёЯ.

чнл =

0

Представим поле в воздухе состоящим из двух составляющих, например

ну = ну + ну, нг = н0 + н;,

(б)

где И°у,Н0 определяют поле от тока I в проводе, а Н!у,И'г - поле от тока в земле.

Теперь, считая распределение тока по сечению провода симметричным, можно записать на основании закона полного тока для любой точки в воздухе с координатами у, г:

h 0 =

где d =

d = ylу2 + (h - z)2 , cose

Н0 = cose I у d 2-

h - z п у

--, sin в = — .

dd

sin в i d 2-

(7)

В частности, на границе раздела Z = 0, H°y и H° могут быть выражены с помощью интегралов Фурье

у ¥ у ¥

H0 = — f cos 1ye~Xhd1, Hz° =— f sin lye~khdX. (8)

ylz=0 2p 0 z|z=0 2p 0 Вторичное магнитное поле в воздухе, так же как и в [3], может быть принято в виде

И у =| Ф(1) соб 1уе ~Azd1, Н'г =| Ф( 1) бій 1уе ~1d1. (9)

о о

На поверхностях раздела сред с различными характеристиками нормальные и тангенциальные составляющие Ну и Н должны удовлетворять следующим условиям:

НуЬ = НУ, moHzb = miHz для z = 0;

ну = ну, mHz = muHz для z

(ї0)

Это позволяет составить систему для определения неизвестных функций М'1(Я), М_//(Я). Мц (Я), Ф(Я) на основании выражений (5-9):

г

—hMi (Я) --'—hM1; (Я)e -Я+ф (Я);

jami jwmi 2-

<

m0

—- ту (Я)+ж'ї (Я)

jami j'mi

= mI

2- e - ф(Я) 2-

(її)

Ц1М,1{Х)е-ЛіМЇ(ХУіСІ = ЛіІМИ (1)е;

^ т \му (1)е-Ці<1 + мЧ (1)е^ ] = тІІмІІ (1)е-Ціі<1.

Решая систему (11) для часто встречающегося случая тІ = тІІ = №0, получим выражения для функций МІ (1), МІ (1), МІІ (1), Ф(1) в виде

¥

¥

M[ (Я) = 1ehid-Яг (hr + hir), M; (Я) = ^°ie-hid-Яг (hr - hir)

jamo

2-Сї

2-Сї

jamo

Mii(Я) =----------rhie

h„d - Як

cz

-х1

Ф(Я) = ^^le-Яh, 2-Сї

где Сї = (hr2 + hiiЯ)shhid + (hihii + hi^c^hid, С2 = (hi2 - hiiЯМhid + (hihii - hi^c^hid. С помощью этих выражений могут быть записаны все интересующие нас составляющие поля в каждом слое земли.

Для дальнейшего анализа нам понадобятся продольная составляющая Е, вектора электрической напряженности и тангенциальная составляющая Нув вектора магнитной напряженности:

¥ —Як л

jam т: e cos Яу \

ExI = -

-

II

- ув

- у у

-\hIchhr (z + d) + hirshhi (z + d)^Я.

(їЗ)

Нв = H,, + H, =^^^I^_e-<h+z) cosЯусіЯ.

d 2р * Х\

Для определения продольной составляющей Ехв электрической напряженности в воздухе используем известное выражение

(14)

д

E =- jaA -—V.

хв J хв ^

дх

(15)

где Ахв - продольная составляющая векторного потенциала, V - скалярный потенциал.

Составляя теперь разность величин, входящих в (\5), для точек (у , я) и (у , 0) на поверхности раздела Z = 0, а также учитывая, что

z

Axв (у, z) - Axв (у,0) = mo I нув (у, z)dz,

(їб)

можем записать

д

Exв = Exв (у,0) - mo I нув (у, z )dz -~zzU

(17)

где и - разность потенциалов V(y,z) и V(y,0).

Интеграл (\7), вычисленный с учетом (\4), состоит из двух слагаемых:

; 1-^,2 ' 1 2 ¥ -Як л

Ц | н„ (у,я) d; = Ц11п Vу + к + Ц|е с°ЯЯуС2(1 - е е'-Я).

' 2Р '--2 ■ -ч2 "'ГГ ^

4у2 + (h - z)2 2- 0

СїЯ

(1S)

Подставляя теперь (1З) и (1S) в ( 17), получим E jamo r¥e-e^z) Я jan0 rf

Exв = —-1 j —я—cos Яу 1J

¥-~ Я ~ Kh+z) jam0 Лhirshhrd + hrchhrd

-—e (h+z) cosЯуйЯ -

-

j®mo

1 in-

Сї

-д U.

(19)

лани

2р д/у2 + (к - я)2 дя

Здесь первый интеграл в правой части представляет собой разновидность интеграла Фрул-

¥

и I

¥ e ~Як e ~Я(к+z)

Я

cos Яydy = in

У2 + (h + z)2

можно записать в виде

E =-0. r

хв

-

¥ e —Я(h+z)

I

4yr+h2

cos Яу

. Окончательно, после упрощений, (19)

dH + in D Я + A(Я) d

-^ V, дz

(20)

17З

где Л(Л)=11 11 +«1 >, ,, „=1, о=4у 2+(л+г )2. ^^У2^.

1+1, дс^; Пи

Откуда, приравнивая продольную напряженность на поверхности провода найденному выражению (20), получим аналогично (2) выражение для учета влияния двухслойной земли и продольных токов смещения в матрице сопротивлений линии, выведенное с допущениями Карсона:

¥ 2р~Х(к + Нт ) СО« Я П

= г 2е-------с°1т;я . (21)

гы 0 Я + А(Я)

Более точное решение этой задачи можно построить при использовании методики Гринберга и Бонштедта [6].

Рассмотренный метод учета влияния двухслойной земли в матрице продольных сопротивлений обладает большой наглядностью. Однако для многослойной земли выкладки становятся весьма сложными. Поэтому целесообразно рассмотреть метод, позволяющий решать такую задачу. В этом случае выражения, аналогичные Е1х (4), должны быть записаны для п - 1 верхних слоев и аналогичные Е1х для последнего. Это позволит так же, как и в (5), определить общий вид Их и Ну для всех слоев, и построить систему граничных условий типа (10) для всех границ раздела 21=0,1,2,... ,п-1 = - * (20=0). Если, как и ранее, положить ц, = ^0 (- = 1,2,... ,п), то система уравнений для определения функций М[ (Я),М. (Я), Ф(Я) примет вид:

Г 1 -М1/(Я)~-^—М”(Я) = —е-Як + Ф(Я);

№Ио №то 2р

Я Л ,/ ,*^ . Я 1<-///1\ , „-Як

-М/ (Я) + —М/ (Я) = — е-Як - Ф(Я);

№ио №то 2р

^М/Ще-4* -^М^ЯУ* = щМ^е1, -щМ!//(Я)еЦ1А ; { М/Ще1, + М1//епА = М'2(Я)е-п“;‘ + М'ЦУ11*1;

чМ/(Я)е1 -чМ-ЯУ* = ЛмМм(Я)е1; -П/М+Я11* ; М[(Я)е1 + М/е= М/+1 (Я)е+ М+1(Я)е1+А ;

(22)

-+1 V / -+1

Пп-МЦ-'1"-1п-1 пМЦ-1-*-1 = ПпМп (Я)^^-1:

\М/п_1(Я)е-1п-1;п-1 + М/'_1е-1-1‘1п-1 = М/п(Я)е^1п *п-1 .

Для каждой границы раздела составлено по два уравнения. Меняя знаки в каждом первом из двух (кроме уравнения границы 2 = 0) и деля на его левую и правую части соответствующие части второго уравнения, получим после преобразований:

Г хл 1 —е~Хк -Ф(Я)

< М1 +1 = hL 2р_________________ .

М1 -1 Я е-Як + Ф(Я)

2р

ецЛ + Ме1 = 1, е1* + М2е^ЦиС‘1 ;

(23)

<

ецЛ - М1е п,;‘ 1,, е1,,*, - М2е ^ ’

е1; + М1е~1‘л‘ = 1 е11+1;1 + Мг+1е~ц‘+л

е1; - Ме1- 1+1 е11+1; - М++1е-щ+л

е1п-1 *п-1 + М .е п-1 ~1п-\^п- 1 1п-1

К^е1 П-1*п-1 _ е 1п-1*п-1 1

М/(Я)

где Mi = —------------- .

г М/(Я)

Система (23) (за исключением первого уравнения) может быть представлена в виде:

1 Л- 1

с^Л di------ІпМі) = —— с^(лі+^і---------1пМі+, ), і = 1,2,.п-2;

2 Лі+і 2

сЛЛп-^п-,- ^1п Мп-і) = -Лп-1

2П-1 ✓

1п

откуда можно выразить

1 1

-1пМп-1 = 1п-1 ;п-1 + агс-Л-^ (25)

2 1п

и подставить полученное выражение в предыдущие уравнения. Проделав эти операции для всех М1, получим окончательно из первого уравнения (24) соотношение

—1п М1 = 1, А*, + атс™ —- сЬ- 1,, А*,, +... + агсШ[...[ = с, (26)

2 [Ли { 1п ] }

где Аdi = - ;-1, что позволяет определить

М = М//(Я) = е2 с, (27)

1 М1//(Я)

Используя теперь (27) в первом уравнении системы (23), получим

— е-Як - Ф(Я) с1Ьс = ---------1, (28)

, -Як Я

откуда

е-Як + Ф(Я)

2р

Ф(Я) = —е-Я 1 - Яс1Ьс . (29)

2р 1, + Яс1Ьс

Подставляя Ф(Я) в два первых уравнения (22), определим М1(Я) и М1/ (Я):

м;'(Я) = ^е-» с1Ьс +1 , м"(Я) = е-» с1Ьс +1 . (зо)

2р ЯйЬс +1, 2р ЯйЬс +1,

Теперь можно последовательно найти все остальные неизвестные в системе (22), записать выражения для Е1х и Нув с помощью выражений, аналогичных (16-19), и определить Ехв в виде

Ехв = -^°I Г—с1Ьс— е-Я(к+2) сов Яу*Я - 11п — - д V. (31)

р о 1, + Яс1Ьс 2р * дг

Это позволяет записать выражение, учитывающее в матрице продольных сопротивлений влияние многослойной земли, вид которого совпадает с (21) при А(Х) = ц, № х, где % определяется из (26):

¥ 2е~Я(кс+кт) сов Яп /г = Г -----------соЯт;Я (32)

к о Я+1, гЬ%

В частности, для случая, когда земля может быть представлена двумя слоями и в диапазоне частот Ю5-Ю7 Гц проникновением волны в глубокие слои можно пренебречь (первый слой с конечной толщиной, а второй - не ограничен) можно после преобразований записать для А(Я) выражение:

А(Я) = 1, с1Ь(Я, А;} + агс1Ь1-) = —I {—I 11 + ^^). (33)

1,, 1 + 1, ,;,

Соотношение (33) тождественно тому, что получили для А(Я) Ведепол и Весли [7], но более удобно для численных расчетов.

^ /к. = / (Г )

0,5

= /(Г )

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

-0,2

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0

0,0 1,5 3,0 4,5 6,0 7,5 9,0 10,5

Р и с. 1. Зависимости:

а - Яе/г = /(г); б - ,т/2 = /(г); 1 - с учетом токов смещения; 2 - без учета токов смещения;

П I / п II = Ю; 0 = 0 °;= 15 м

,т/г„ = / (г )

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0

б

Р и с. 2. Зависимости:

а- Яе/2т = /(г); б- ,т/2т = /(г); 1 - при п I / п п = оЛ; 2 - при п I / п п = 1;

3 - при п I/ п п = 1о; 0 = 0 °; = 15м.Токи смещения в расчете не учитывались

*е /^ = / (г )

,т/2т = / (Г) 2,0 р

1,6

0,0 1,5 3,0^ 4,5 6,0 7,5 9,0 10,5

а б

Р и с. 3. Зависимости:

а- Яе /2т = /(г); б - ,т/2т = /(г); 1 - при р!/рц =0,1; 2 - при р,/рц = 1;

3 - при рI /рц = 10; 0 = 60 °; = 15 м. Токи смещения в расчете не учитывались

,т/2т = / (г)

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0

Р и с. 4. Зависимости:

а- Яе/г = /(г); б- ,т/г = /(г); 1 - с учетом токов смещения; 2- без учета токов смещения;

при р, /рп = 0,1; 0 = 60°; = 15 м

г

г

б

а

г

а

г

г

г

а

Нетрудно установить его связь с выражениями, полученными Карсоном. В самом деле, для однородной земли A(l) = hi = л]l + pm-i YI - P2(m0e0 _ mIeI) , что эквивалентно результатам Уайза [8], уточняющим интеграл Карсона при mIeI ^ m0e0 (учет продольных токов смещения), а при mIeI = m0e0 получаем совпадение с выражением (2).

На рис. 1-4 представлены результаты расчетов интегралов (33) с учётом (34) при некоторых конкретных соотношениях электрических и магнитных характеристик слоев двухслойной земли. Анализ численных результатов расчетов показывает, что влияние двухслойности земли в основном сказывается при малых частотах (им соответствуют малые значения параметра r ). Отметим, что для двухслойной земли параметры r и 0 вычисляются аналогично случаю однородной земли с характеристиками первого слоя. Это не имеет принципиального значения, однако удобно для сравнения результатов расчётов.

Влияние токов смещения проявляется на более высоких частотах, где вследствие их емкостного характера появляется пик в действительной части интеграла (4) и резкий спад в мнимой части. Это наиболее четко выражено для случая, когда pI = 1/ gI > PII = 1/ YII• В противоположных случаях (pI < pII ) этот эффект проявляется незначительно при 9 = 0 и становится существенным с ростом 9.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Л.Р.Нейман, К.С.Демирчян. Теоретические основы электротехники. М.: Энергоатомиздат, 2001. 320 с.

2. В.И.Идельчик. Электрические системы и сети. М.: Энергоатомиздат, 1989. 458 с.

3. J.R.Carson. Wave propagation in overhead wires with ground return// BSTJ. V. 5. №4. 1926. Р. 31-37.

4. М.В.Костенко, Л.С.Перельман. К расчёту волновых процессов в многопроводных линиях//Известия АН СССР. Сер. Энергетика и транспорт. 1963. №6. С. 71-80.

5. И.С. Градштейн, И.МРыжик. Таблицы сумм, интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: ГИФМЛ, 1962. 388 с.

6. В.Г.Гольдштейн, Н.В.Сайдова, А.К.Танаев. Уточнённая математическая модель поверхностного эффекта в многослойной земле // Вестник СамГТУ. Серия: Физико-математические науки Вып. 19. 2003. С. 129-134.

7. L.M.Wedepohl, R.G.Wasley. Wave propagation in multiconductor lines. Calculation of series impedance for multilayer earth. Proc. IEE. V. 113. №4. 1966. Р. 36-42.

8. W.H. Wise. Propagation of high frequency currents// Proc. IRE. V.22. 1934. Р. 29-37.

Поступила 4.04.2003 г.