Математическое моделирование при учёте силы тяжести течений жидкости, возникающих в результате разрушения плотины Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95:533.6:532.5 DOI: 10.25513/2222-8772.2017.4.73-85

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИ УЧЁТЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ ТЕЧЕНИЙ ЖИДКОСТИ, ВОЗНИКАЮЩИХ В РЕЗУЛЬТАТЕ РАЗРУШЕНИЯ

Уральский государственный университет путей сообщения (УрГУПС)

Аннотация. В работе рассматриваются трёхмерные изэнтропические течения политропного газа в условиях действия силы тяжести. В качестве математической модели используется система уравнений газовой динамики для политропного газа. При показателе политропы 7 = 7.02 эта система описывает движение воды. В системе вводится ортогональная криволинейная система координат. Для постановки задачи о распаде специального разрыва в системе делается вырожденная замена переменных, а именно: зависимые и независимые переменные меняются ролями. В новых переменных для системы ставится начально-краевая задача с данными на звуковой характеристике и дополнительным условием. Решение начально-краевой задачи строится в виде степенных рядов. Доказывается сходимость построенных рядов в области от поверхности слабого разрыва до границы газ-вакуум включительно. Для определения закона движения границы газ-вакуум выписывается квазилинейная система уравнений с частными производными, которая с помощью характеристического параметра сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

Ключевые слова: математическое моделирование, политропный газ, вакуум, сила тяжести, система уравнений газовой динамики, граница газ-вакуум, задача о распаде специального разрыва, начально-краевая задача, звуковая характеристика.

Введение

Задачи об истечении газа в вакуум в условиях действия внешних массовых сил рассматривались ранее [1]-[6]. Подробный обзор полученных результатов можно найти в [1]. В работах [7]-[8] при описании движения воды предложена модель газовой динамики для политропного газа с показателем политропы 7 = 7.02. Представляется, что эта модель сжимаемой сплошной среды является адекватной физической природе жидкости и позволит получить новые содер-

ПЛОТИНЫ

С.Л. Дерябин

д.ф.-м.н., профессор, e-mail: [email protected] А.С. Кирьянова

аспирант, e-mail: [email protected]

жательные результаты. В данной работе использование значений политропы 7 = 7.02 будет моделировать течения воды.

1. Постановка задачи

В работе рассматриваются трёхмерные изэнтропические течения политроп-

о'1

ного газа с уравнением состояния р = и следующими искомыми газодина-

2=1 ТТ

мическими параметрами: с = р 2 — скорость звука газа; и — вектор скорости газа; Ь,х,у,г — независимые переменные; и1,и2,т — декартовы координаты вектора скорости газа; р — плотность газа; р — давление; 7 > 1 — показатель политропы газа.

Пусть в момент £ = 0 вертикальная непроницаемая стенка Г отделяет идеальный политропный покоящийся газ от вакуума. В задаче предполагается, что на газ действует сила тяжести (см. рис. 1). Будет предполагаться, что в начальный моменты времени £ = 0 на стенке Г функция с|г > 0, то есть имеет место разрыв плотности газа.

Покоящийся газ

и1 = V1 = w = 0 §

С = Со (2)

г

Вакуум

и1 = V1 = w = 0

С = 0

Рис. 1. Области покоя и вакуума

В момент £ = 0 непроницаемая стенка Г мгновенно разрушается и начинается истечение газа в вакуум (см. рис. 2). В результате распада разрыва возникает волна разрежения, отделённая от области покоящегося газа поверхностью Г12, являющейся звуковой характеристикой этих течений. С другой стороны волна разрежения примыкает к вакууму через свободную границу Г02.

Далее для описания воды будем использовать уравнения состояния для дав-

2 7

ления политропного газа р = с показателем политропы 7 = 7.02, в = 1

[7], [8]. 7

Свободная граница Г02 — это граница между водой и воздухом. Поскольку плотность воды и воздуха существенно отличаются, будет предполагаться, что на свободной поверхности Г02 плотность жидкости будет равна нулю во все моменты времени:

Покоящийся газ

1 1 л

u = v = w = 0 c = Co(z)

г

Волна разрежения

Го

Вакуум

11 u = v = w = 0

c = 0

Рис. 2. Области покоя, вакуума и волны разрежения

p(t,x,y,z)| Го2 = 0.

Последнее предположение делает используемую модель приближенной. В работе будут строиться законы движения: свободной поверхности Г02, поверхности слабого разрыва Г12 и волна разрежения.

Система уравнений, описывающая трёхмерные изэнтропические течения идеального политропного газа в форме Громеки-Лэмба в условиях действия силы тяжести с учётом уравнения состояния, имеет вид [9]:

7 - 1

ct + U ■ grade + --c ■ divU = 0,

1 2 22 (D

Ut + rotU x U + -gradU2 +---c ■ grade = F,

2 7 — 1

где F = {0,0, —g}, g — ускорение свободного падения.

Вертикальная поверхность Г является линейчатой поверхностью. В плоскости z =0 задаётся линия L, которая, двигаясь вдоль оси Oz, определяет поверхность Г.

Пусть линия L задаётся параметрически

x = ф1(£) У = ф2

или в векторной форме r = r(£).

Делается переход от декартовых координат x,y,z к новым ортогональным криволинейным координатам £,n,z по следующим формулам

x = ф1(£)+ У = ф2 (£) + ПП2(£), z = z',

или в векторной форме R = r(£) + nn(C)

Здесь R={x,y,z} — радиус-вектор произвольной точки пространства, £ — параметр, с помощью которого задаётся L, п — расстояние от Г, измеряемое вдоль нормали, n(£)={n1,n2} - единичный нормальный вектор к линии

Ь. Далее для определённости будет предполагаться, что вектор п направлен внутрь вакуума.

Якобиан преобразования равен 7 = ИпИИ. Если |г?| =0 в точке £ = на линии Ь (п = 0), то эта точка М°(£0,0) не является особой точкой линии Ь. В дальнейшем это предполагается выполненным. Тогда якобиан преобразования 7 будет отличен от нуля в точке М°(£0,0) и её окрестности.

Для перехода в системе (1) к ортогональным криволинейным координатам г необходимо вычислить коэффициенты Ламе:

Н1 = |И- | = 1, Н2 = |И | = |г? + пп? |, Нз = |И- | = 1.

Поскольку п? = —)г? [10], где &(£) — значение кривизны линии Ь, то Н2 = |г?|(1 — &(£)п). Заметим, что на поверхности Г Н2|г = |г?| = 0. Коэффициент Ламе обращается в ноль при п = к1), то есть в точках пространства, удалённых от Г в направлении нормали на расстояние, равное радиусу кривизны линии Ь.

Заметим, что функция Н2- = — &(£)|г^| зависит только от независимой переменной а функция Н2, зависит от неизвестной функции г).

Система уравнений (1) для данной криволинейной системы координат имеет вид [1]:

1 о. — 1 ( ^ 1 ^ #2- #2-

—с? V + с- т +--— с и- + — ^ + т- + —— и + —

Л2 2 \ Л2 Н2 Л2

^2- 2 , —-V2 ,

Н2 ? - Н2 7 — 1 ^2- ^ + Н2-Н Н2 Н2 7 — 1Н2

с + с-и + — с?V + с?т +--— с и- + — ^ + т- + —7-и + —-т = 0,

Н2 Н2 Л;

1 Н2- 2 2

и + ип и +--и? V + и т--- V +--ссп = 0,

Я2 Я2 7 — 1

1 Н2- Н2- 2 1

(2)

V + V-и + — ^ V + V- т + —— uv + —— vw +---—сс? = 0,

Л2 Л 2 7 — 1

1 Н2- 2 2

т + т- и + — V + т- т--— V +--- сс- = —д.

Л2 Л2 7 — 1

Здесь и^,и> — проекции вектора скорости газа на координатные оси соответственно. В этой системе координат переменная г сохраняется и поэтому в качестве неизвестной функции сохраняется третья координата вектора скорости газа т.

Если в системе (1) положить и1 = и2 = т = 0, то, как и в [6], первые три уравнения выполняются тождественно, а в четвёртом уравнении получим сс- = —д. Интегрируя полученное уравнение, имеем с = с0(г) =

= Vс20 — (т — 1)дг — распределение скорости звука покоящегося газа. Здесь с00 — скорость звука покоящегося газа при г = 0.

Далее волна разрежения строится для значений г из интервала

с2

0 ^ г ^ 7^00-. (3)

с2

Причём на верхней границе при г = -—00 волна разрежения примыкает

(т — 1)д

к вакууму. В данной работе волна разрежения будет построена для внутрен-

них точек интервала (3). Конфигурация течения в окрестности непроницаемой стенки г = 0 и верхней границы газ-вакуум рассматриваться не будет.

Для построения волны разрежения, как и ранее [1] при решении задачи о распаде разрыва, в системе (2) делается замена переменных. Независимая переменная п и неизвестная функция с меняются ролями, то есть за независимые переменные берутся ¿,с, а за неизвестные функции п, и,г>,Ш. В результате такой замены вместо системы (2) получается система:

1 7 - 1 п = и - ТГ п? V - п* ш +--— с

Л2 2

1

2п

и + Пс 77" V? + Ш + —— И - — п? ^ - Пг Ш

Л2 Л2 / Л2

1

1

п^ И + V + ИгШ - Л^^ + - п* - нп?V - пг^ Ис + ^С = 0,

1

2

1

2п

1

пП + 7ГV?V + ^ш + —^«V I + I И - п - 77"п?V - п*Ш I ^---т^-сп? = 0,

Л2 Л2 / \ Л2 / 7 - 1 Л2

21

1

1

п^Ш + ЛШ?V + Ш+ ^и - п - нп?V - пг^ Шс - у= -£пс

2 2 (4)

Для удобства дальнейшего исследования систему (4) перепишем в виде:

1 , 7 - 1

п = И--ТГ п? V - пг Ш +--— С

Л 2 2

1 Л2п

Ис + пс I ТГ V? + + —— И I - — п? ^ - пгШ Л 2 Л2 / Л 2

Л

пЛ И + — И? V + Игш -

Л 2 Л 2

Л

2ч ,2

-

7 - 1

Ис+

+пс I ТГ V? + Шг + —И I - — п? ^ - пг Шс Л 2 Л2 I Л 2

Ис +

Я-

2п

п^ V* + Л V? V + ^ Ш + уИ^ - 2

7 - 1

с

, ,1 , ^ 1

+пН Л V? + Шг + - ^п? ^с - пг Шс

^с -

1 т -1

пс I Ш* + Л Ш? V + Шг Ш )--— С

7 - 1

Ис+

2 1 7 -1 Л

Ис+

с = 0,

сп? = 0,

О. I 1 О. 1

+пс ТГ V? + Ш + ^Г" И - — п? ^с - пг Ш Л 2 Л2 / Л 2

2

Шс -

7 - 1

Спг = -^пс

(5)

Закон движения характеристики Г12 (п = по(¿,£,¿0) определяется из решения дифференциальной задачи [9]

по* = со^Ы! +

|г?|(1 - к(£)по)

п2? + п0г,

п(0,£,г ) = 0.

(6)

Задача (6) по теореме Ковалевской имеет единственное аналитическое решение, что позволяет поставить начальные данные на характеристике Г12:

и|П=П0(*,?,г) = 0 Ш|ч=Ч0(*,?,г) = 0, с|п=По(*,?,г) = с0(г).

(7)

1

2

1

1

Течение в области между Г12 и Г02 будем строить как решение системы (5) с данными на характеристике Г12 (7). Поскольку Г12 — характеристика кратности один, то для получения единственного локально-аналитического решения необходимо задать одно дополнительное условие [11]. Если бы поверхность Г12 убиралась медленно, то таким условием было бы условие непротекания на стенке. Поскольку стенка п =0 убирается мгновенно, этим условием в пространстве переменных £,с, г служит [1] соотношение

П(0,с,г,е) = 0. (8)

2. Построение волны разрежения

Теорема 1. Существует £0 такое, что при 0 ^ £ ^ £0 в некоторой окрестности М0(£0,п0(¿0,£0,г0)) существует единственное локально-аналитическое решение задачи (5), (7), (8) о распаде специального разрыва.

Доказательство. Доказательство теоремы состоит, как и в [1], в сведении задачи (5), (7), (8) к характеристической задаче Коши стандартного вида [11].

Разложим решение задачи (5), (7), (8) в ряд по степеням 1

£(£,£,с,г) = ^к! , : = {П,и,^т}. (9)

к=0 !

В системе (5) положим 1=0 и с учётом (8) получим уравнения для определения нулевых коэффициентов ряда (9):

, 7 — 1 П1 = и0 +--— си0с,

7 — 1 2 2

си0с +--7 с = 0,

2 0С 7 — 1 7 — 1 2

7 — 1

си0^0С = 0, си0Ст0С = 0.

2

После преобразований получим простейшую систему дифференциальных уравнений:

2

и0С = ±-т, Voc = 0, ^0С = 0.

7 — 1

Выбор направления вектора п позволяет определить знак в первом уравнении системы. Это знак минус. В результате интегрирования системы с учётом (7) имеем:

22

П1 = —2ас +--- с0(г), и0 =--- (с — с0(г)), Vo = 0, т = 0.

7 — 1 7 — 1

Здесь 2а = ^ + 1. Заметим, что = 0, п1с = —2а, п1- = —2— с0-(г).

7 — 1 7 — 1

Продифференцируем систему (5) по положим 1=0 и с учётом (8) получим:

П2 = и1 + ^^и1е + Н-, = |г? |,

22

си1с — аи1 =-ак(£)с(с — с0 (г)),

7 — 1

cv1c — 2аv1 = 0, 4

с^1С — 2ат1 = 2ад + --— сс0- (г).

(7 — 1)2

В результате интегрирования имеем: при a = 1, a = 2

- = - (3Y1)

2 1 2 2 1 +-7 -k(£)c + -т a:¡-k(£)cü(z )C,

Y — 12 — a y — 11 — a

vi = 0, 2 2

Wi = wiü(z)c a---Cüz(z)c - g;

Y - 1

при a = 1 (y = 3)

ui = ui0(z)c + k(C)c2 - k(£)co(z)clnc;

при a = 2 (y = I)

ui = ui0(z)c2 + 6fc(£)c2 ln c + 6fc(f)cü(z)c. Продифференцируем систему (5) по t дважды и с учётом (8) получим:

Y - 1

П3 = —2 +--— CU2c + F2i (с, Z, £),

CU2c - 2a—2 = F22(c,£,z),

CV2c - 4av2 = Í2i(c,£,z), CW2c - 4aW2 = F24 (c, £, z).

Здесь:

7 - 1

¿21 = - +--— С

— + «0 + н2

+ 2^1с ^ +

2п

но

и1

2п

но2

к? |к(С)П1«0

1

¿22 = — П1с «0.г — ^ П2с«1 +

, 7 — 1 +--^— с

1 Н2п . ( Н2п Н2п

«о + П1с ^^ + «1 — Н02 П1«0 ) — ПЬ

+

+

¿23 ¿24

7 — 1 2

21

I 1 2п

с«1с ( «1с + П1с «0

7 — 1 к? I 2

I о. 7 — 1 С «1? +--С«1с?

-,-СП2г — £П2с + (7 — 1) ^ «1с + П^ТТТ«0 ) ^1с.

7— 1 V н20

Я2

Эти функции имеют следующую структуру:

¿21 =с2а+1Рп(е, г) + с2аР12(е, *о + са+1Р1з(е, г) + ¿Ыс, г) + с2мс, г)+

+ ф16(С,г) + Р10(С,г), ¿22 =с2а+1Р21(С, г) + с2>2(£, г) + с2а-1Р2з(£, г) + с^ЫС, г) + с4ЫС, г) +

+ с3р2б(С,г) + с2р27(С,г) + ср2в(С,г) + Р20(С,г), ¿23 =са+1рз1(е, г) + С3Р32(£, г) + с2рзз(С, г),

¿24 =с3а-1р41(£, г) + с2а+1Р42(£, г) + с2>4з(С, г) + Са+1Р44(£, г) + с>45(£, г) +

+ са-1р4б(С, г) + С3Р47(С, г) + с2р4з(с, г) + Ф4о(£, г) + Р40(С, г). В итоге имеем:

«2 =с

2а

^2 =С

,4а

^2 =С

4а

«20 (г) + Д ¿22(с,г,£)с-2а-Мс

«20^)+ / ¿2з(с,г,С)с-4а-1^с

^20(г) + / ¿24(с,г,е)с-4а-1^с

После интегрирования получаем следующую структуру для коэффициентов:

«2 = с2а+1521(£, г) + с2>2(£, г) + с2а-1^з(С, г) + са+ЫС, г) + с4525(С, г) +

+ с3^26(С, г) + ^(С, г) + с^С, г) + 529(С, г)с2а 1п с + 520 (С, г), «2 = са+1^з1(С,г) + с35з2(С,г) + с2фзз(С,г),

^2 = с3а-1541(С, г) + с2а+1942(С, г) + с2%з(С, г) + са+ЫС, г) + са545(С, г) + + са-154б(С, г) + с3547(С, г) + с2548(С, г) + £^49 (С, г) + фю(С, г).

Продифференцируем систему (5) по t k раз и с учётом (8), получим

Y - 1

Пк+1 = Ufc +--cufcc + Fk(c,z,£),

cMfcc - 2auk = Ffc2(c,f,z), cvfcc - 4avk = Fk3(c,£,z), cwfcc - 4awk = Ffc4(c,£, z).

Здесь ^к1, ^к2, ^к3, ^к4 — функции, заданные известным образом, зависящие от уже найденных коэффициентов ряда (9). Интегрируя, имеем

Uk = c

<ak

Uk°(z)+ Д Fk2(c,z,e)c-ak-1dc

Vk = c

2ak

Vko(z) + / Fk3(c,z,£)c

-2ak-1

dc

Wk = c

2ak

Wk°(z)+ / Fk4(c,z,£)c-2ak-1dc

Структура решения для a = 1, 2 в целом совпадает с полученной выше и здесь не приводится в виду громоздкости.

Анализ структуры коэффициентов ряда (9) приводит к следующим леммам.

Лемма 1. Коэффициенты ряда (9) при k ^ 1, 1 <y< 3 имеют следующую структуру: fk(c,z,£) = f°(z,£) + cPk(c,cln c,ca), где Pk есть многочлены от указанных аргументов, степени которых не выше чем Ak (A = const). Коэффициенты многочленов — функции, зависящие от z,£.

Лемма доказывается индукцией по k. База индукции следует из структуры начальных коэффициентов ряда (9). После индуктивного предположения показывается, что правые части дифференциальных уравнений для fk обладают нужной структурой. После интегрирования системы доказывается, что и fk обладают нужной структурой.

На основании леммы 1 можно утверждать, что структура решения задачи (5), (7), (8) следующая:

П = n°(t,z,£) + c^(t,c,z,£),

u = u°(t, z, £) + cu1(t, c, z, £), v = v°(t, z,£) + cv1(t, c, z, £), w = w°(t, z, £) + cw1(t, c, z, £),

где

п0(*,*,о = £ п0(*,е) к,

к=0 ' -к

и0(м,е ) = £ «км) к,

к=0 ' (10)

) = £ ) к, к=0 '

(М,£) = £ ) к,.

к=0 '

(11)

Для ), ), ад0(-,г,£) справедлива следующая лем-

ма.

Лемма 2. Ряды (70) являются решением следующей задачи:

П + тг Щ V + Пг ^ = и, п(0,*,О = 0;

Н2

1 Н2п 2 / 2 / ч

и* + 77" ч V + « ад = —1V, и(0,г,£) =-- ^(г);

"2 "2 7 — 1

1 Н

V + — V + ^ ад = — «V, ^(0,г,£) = 0;

Н2 Н2

ад* + — ад^V + адгад = —#, ад(0, г, £) = 0.

Н2

В этой системе для простоты восприятия верхние нулевые индексы опущены.

Лемма доказывается разложением в ряд по степеням - решения задачи (11) и сравнением полученных рядов с рядами (10). Ряды оказываются равными. Система (11) не имеет особенностей, поэтому задача (11) имеет единственное локально-аналитическое решение, которое можно представить рядами. Следовательно, ряды (10) сходятся. На основании приведённых лемм доказывается следующая

Теорема 2. Для 1 < 7 < 3, при 0 ^ - ^ ¿* область сходимости рядов (10), а также рядов ^, ^, ^ ^ покрывает всю зону течения от Г12 до Г02 включительно. При этом закон движения свободной границы определяется из решения вспомогательной задачи (11).

Доказательство. Доказательство теоремы аналогично доказательству из [1] и проводится по методике [11], позволяющей установить неограниченность области сходимости рядов по соответствующей переменной. При доказательстве используется теорема 1 и полиномиальная структура коэффициентов ряда. ■

Проведём исследование задачи (11). С помощью введения характеристического параметра данная система уравнений с частными производными сводится

к следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений [12]. ^ 1 1

^т ' ^т Н2 ' ^т ' ^т ' (12)

Н2п 2 ¿и Н2п ^

-д.

^т Н2 ^т Н2 ^т

Из первого уравнения системы (12) получим £ = т. Интегрируя седьмое уравнение системы (12), будем иметь ^ = —

Умножая пятое уравнение в системе (12) на м, шестое на V, складывая их, получим:

ммт + тт = 0. (13)

Интегрируя уравнение (13), имеем:

м2 + V2 = С2 , (14)

где С — константа, определяемая точкой на исходной поверхности Г. Если мы на поверхности Г возьмём точку с координатами (£0 ,г0), то С определится из 2

формулы С =-со (г). И тогда

7 — 1

м2 + V2 =(усо(г)) . (15)

Система (12) в общем случае не интегрируется, но при задании конкретного значения кривизны &(£) может быть исследована численными методами.

3. Выводы

Проведённые исследования позволяют сделать следующие выводы:

1. Доказаны локальная по времени и глобальная по пространству теоремы существования и единственности поставленной начально-краевой задачи.

2. В виде сходящихся рядов построено течение газа в области волны разрежения от поверхности слабого разрыва до границы газ-вакуум включительно.

3. Для определения закона движения границы газ-вакуум и значений газодинамических параметров на ней получена система обыкновенных дифференциальных уравнений.

4. Построенное решение задачи о распаде разрыва является аналитическим в интервале 1 < 7 < 3. Для моделирования течений воды необходимо задать 7 = 7.02. Поэтому, построенное решение может быть использовано для моделирования течений, возникающих после разрушения плотины только приближенно. В этом проявляется ограниченность метода построения аналитических решений. Заметим, что в плоско-симметричном случае [6] решение построено при 7 > 1. Это позволяет надеяться, что и в трёхмерном случае приближенные решения будут адекватны физической природе жидкости.

Благодарности

В заключении авторы благодарят С.П. Баутина за полезное обсуждение

данной работы.

Литература

1. Баутин С.П., Дерябин С.Л. Математическое моделирование истечения идеального газа в вакуум. Новосибирск : Наука, 2005. 390 с.

2. Дерябин С.Л. Трёхмерное истечение в вакуум неоднородного движущегося газа в условиях действия внешних массовых сил // Динамика сплошной среды: Сб. науч.тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1987. Вып. 83. С. 60-71.

3. Дерябин С.Л. Одномерное истечение самогравитирующего идеального газа в вакууме // Вычислительные технологии. 2003. Т. 8, № 4. С. 32-44.

4. Дерябин С.Л., Мезенцев А.В. Эволюция газовых течений, примыкающих к вакууму, в условиях действия сил тяготения и Кориолиса // Труды института математики и механики. Екатеринбург : УрО РАН. 2010. Т. 16. С. 63-74.

5. Баутин С.П., Дерябин С.Л., Мезенцев А.В., Чуев Н.П. Начально-краевые задачи для моделирования движения сплошной среды с особенностями на свободной границе. Новосибирск : Наука, 2015. 191 с.

6. Дерябин С.Л., Кирьянова А.С. Обобщение центрированной волны Римана при учёте силы тяжести // Математические структуры и моделирование. 2017. № 1(41). С. 44-53.

7. Нигматуллин Р.И., Болотнова Р.Х. Широкодиапазонное уравнение состояния воды и пара. Метод построения // Теплофизика высоких температур. 2008. Т. 46, № 2. С. 206-218.

8. Нигматуллин Р.И., Болотнова Р.Х. Широкодиапазонное уравнение состояния воды и пара. Результаты расчётов // Теплофизика высоких температур. 2008. Т. 46, № 3. С. 362-373.

9. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. М.; Ижевск : Ин-т компьютерных исследований, 2003. 336 с.

10. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. Москва : Изд. Едиториал УРСС, 2003. 432 с.

11. Баутин С.П. Характеристическая задача Коши и её приложения в газовой динамике. Новосибирск : Наука, 2009. 368 с.

12. Курант Р. Уравнения с частными производными. М. : Мир, 1964. 830 с.

MATHEMATICAL MODELING OF FLUID FLOWS UNDER GRAVITY IS APPEARING AS A RESULT OF DAMAGE TO THE DAM

S.L. Deryabin

Dr.Sc. (Phys.-Math.), Professor, e-mail: [email protected] A.S. Kiryanova

Second Year Graduate Student, e-mail: [email protected]

Ural State University of Railway Transport (USURT)

Abstract. The paper examines the three-dimensional isentropic flows of a polytropic gas under the action of gravity. As a mathematical model, a system of equations of gas dynamics for a polytropic gas is used. With the polytropic index y = 7.02, this system describes the movement of water. The system introduces an orthogonal curvilinear coordinate system. To formulate the problem of the disintegration of a special discontinuity, the system makes a degenerate change of variables, namely: dependent and independent variables change roles. In new variables, an initial-boundary value problem with data on the sound characteristic and an additional condition is posed for the system. The solution of the initial-boundary value problem is constructed in the form of power series. The convergence of the constructed series in the region from the surface of a weak discontinuity to the gas-vacuum boundary is proved. To determine the law of motion of the gas-vacuum boundary, a quasilinear system of partial differential equations is written out, which, with the help of the characteristic parameter, reduces to a system of ordinary differential equations.

Keywords: polytropic gas, vacuum, force of gravity, the gas dynamics equations, gas-vacuum boundary, initial-boundary value problem, Riemann problem, centered wave.

Дата поступления в редакцию: 24.06.2017