Математическое моделирование поведения железобетонной балки во время пожара при помощи метода конечных элементов Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

С. В. Поздеев

канд. техн. наук, доцент, начальник кафедры Академии пожарной безопасности им. Героев Чернобыля МЧС Украины, г. Черкассы, Украина

И. Ю. Тищенко

канд. ист. наук, доцент, проректор Академии пожарной безопасности им. Героев Чернобыля МЧС Украины, г. Черкассы, Украина

УДК 624.012

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ЖЕЛЕЗОБЕТОННОЙ БАЛКИ ВО ВРЕМЯ ПОЖАРА ПРИ ПОМОЩИ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Проведено математическое моделирование поведения железобетонной балки во время пожара при помощи метода конечных элементов. При этом рассмотрены математические модели материалов, приведенные в современных нормативных документах. В результате исследований определены фактические пределы огнестойкости и наиболее эффективные математические модели для выполнения расчетов на огнестойкость изгибаемых железобетонных элементов.

Ключевые слова: железобетонные конструкции, огнестойкость, математическое моделирование, метод конечных элементов.

Введение

В связи с интенсификацией строительства, обусловленной уплотнением структуры жилых и производственных площадей зданий и сооружений, увеличением количества пожаров и других чрезвычайных ситуаций, которые могут стать причиной пожара или являются его следствием, все более актуальными становятся задачи совершенствования методов определения огнестойкости железобетонных строительных конструкций, основанных на математическом и компьютерном моделировании. Важность этих задач обуславливается также недостаточным испытательным обеспечением лабораторий, трудоемкостью и высокой стоимостью огневых испытаний железобетонных строительных конструкций.

Применение методов математического моделирования для исследования поведения элементов железобетонных конструкций связано с большими трудностями, что обусловлено неоднородностью свойств железобетона, а также ярко выраженной нелинейностью процессов, происходящих при его высокотемпературном нагреве во время пожара. Данной проблеме посвящены многочисленные научные исследования [1-3]. Однако значительная часть этих работ посвящена вопросам теплообмена, в то время как механическая реакция железобетона на температурное воздействие исследована в меньшей степени и требует своего раскрытия с применением новейших средств математического и компьютерного моделирования.

Математическое моделирование механической реакции нагруженных элементов железобетонных конструкций на тепловое воздействие пожара основано на комплексном решении уравнений в частных производных типа уравнения теплопроводности и полной системы уравнений напряженно-деформированного состояния (НДС) твердого тела. Для решения данных уравнений наиболее эффективным является метод конечных элементов (МКЭ), поскольку он универсален, а алгоритмы его численной реализации очень хорошо отработаны и позволяют учесть все значимые особенности поведения железобетона при комбинированном действии высокотемпературного нагрева и механических нагрузок. Кроме того, данные алгоритмы применяются в универсальных компьютерных МКЭ-системах типа ANSYS, COSMOS, ABAQUS, ЛИРА и др., в которых реализованы наиболее эффективные математические модели поведения материалов, учитывающие обширный опыт зарубежных и отечественных исследователей.

Важным представляется также вопрос корректного применения математических моделей материалов и расчетных методик, описанных в нормативной документации. Развитию математических моделей механических и теплофизических свойств материалов посвящено также большое количество научных работ, например [1-3]. Вместе с тем следует заметить, что в нормативных документах (например [4, 5]) даны четкие расчетные методики и математические модели свойств материалов. Это

обуславливает необходимость применения их для расчетов пределов огнестойкости железобетонных конструкций проектируемых зданий на практике. В связи с этим достаточно важным представляется развитие методологии для решения практических проектных задач, основанной на базовых нормативных документах с применением уточненных методов.

Состояние вопроса

В результате многочисленных исследований [1-5] установлены различные математические модели поведения бетона и арматурной стали в условиях нагрева при пожаре. Сравнительный анализ данных моделей показал их существенное различие, поэтому для построения математической модели поведения железобетонной балки во время пожара были выбраны математические модели, описанные в нормах [4, 5]. Анализ подходов в данных источниках позволил сформулировать основные предпосылки и допущения, которые в общем виде можно сформулировать следующим образом:

1. Математическая модель температурной и механической реакции натепловое воздействие пожара описывается при помощи уравнения теплопроводности и системы дифференциальных уравнений НДС твердого тела при их численной реализации на базе МКЭ.

2. Для решения теплотехнической задачи используется нестационарное двумерное квазилинейное уравнение теплопроводности с эффективными теп-лофизическими характеристиками (ТФХ) бетона и арматурной стали согласно нормативным документам [4, 5] в допущении, что НДС на них не влияет.

3. Учитывается возможность трещинообразова-ния в бетоне при растяжении. Поведение бетона при сжатии имеет нелинейный характер с учетом ниспадающей ветви диаграммы деформирования, характер которой зависит от температуры.

4. Трещинообразование в бетоне определяется соответствующей теорией прочности бетона.

5. Поведение арматурной стали одинаково при сжатии и растяжении и имеет нелинейный характер

с учетом ниспадающей ветви диаграммы деформирования, зависящей от температуры.

6. Температурная деформация определяется с учетом температурной усадки.

7. Состояние тотального разрушения элемента железобетонной конструкции определяется критическими пластическими деформациями.

Основная часть

В нормативных документах [4, 5] описаны математические модели температурной реакции на тепловое воздействие пожара, основанные на использовании нестационарного двумерного квазилинейного уравнения теплопроводности в виде:

cp(T) p(T) |T =V(T)VT) (1)

с граничными условиями (ГУ) III рода в виде: ЯТ

-ЦТ) = а(Tp - Tw) + еа(ТЛР - Т4), (2)

где ср(Т) — удельная теплоемкость; p(T) — плотность бетона; Х(Т) — коэффициент теплопроводности; r — координата в заданном направлении; Тр, Tw — температура соответственно среды пожара и поверхности балки; е — степень черноты поверхности балки; а — постоянная Стефана-Больцмана. Температура пожара определяется стандартной температурной кривой.

Эффективные ТФХ бетона определяются согласно табл. 1.

Плотность бетона согласно [4] изменяется по зависимостям, приведенным ниже: p(T) = p (20 °C) = 2300 кг/м3 при 20 < Т < 115 °C; p(T) = p (20 °C)(1 - 0,02(T - 115)/85)

при 115 < T < 200 °C; p(T) = p (20 °C)(0,98 - 0,03(T- 200)/200)

при 200 < T < 400 °C; p(T) = p (20 °C)(0,95 - 0,07(T - 400)/800)

при 200 < T < 400 °C. Граничные условия определяются по табл. 2.

Таблица 1. Теплофизические характеристики бетона

Заполнитель бетона Зависимости ТФХ от температуры Источник

Коэффициент теплопроводности X(T), Вт/(м-°С) Объемная теплоемкость cp(T)p, Дж/(м3-°С)

Верхняя граница 2 - 0,2451(T/100) + 0,0107(T/100)2 p(T)-900 при 20 < T< 100 °C, p(T)(900 + (T - 100)) при 100 < T < 200 °C, [4]

Силикатный Нижняя граница 1,36 - 0,136(T/100) + 0,0057(T/100)2 p(T)(1000 + (T - 200)/2)) при 200 < T < 400 °C, p(T)1100 при 400 < T < 1200 °C

1,2 - 0,00035T 2300(710 + 0,83T) [5]

Таблица 2. Параметры ГУ теплотехнической задачи

Параметр ГУ Значение параметра Источник

Коэффициент конвективного теплообмена, Вт/(м2-К): обогреваемая поверхность необогреваемая поверхность 25 25 [4]

обогреваемая поверхность необогреваемая поверхность 29 6 [5]

Параметры радиационного теплообмена:

степень черноты постоянная Стефана-Больцмана, Вт/(м2-К) 0,85 5,8610-8 [2]

НДС железобетона описывается системой дифференциальных уравнений НДС, известных из теории упругости, имеющих вид [6]:

уравнения статического равновесия: p = 0;

DT а

(3)

уравнения преобразования вектора напряжений к вектору напряжений, действующих на нормальной площадке, с граничными условиями на поверхности массива:

q = T а q| „ = q;

(4)

кинематические уравнения совместности деформаций с граничными условиями на поверхности:

e = Du + б,,

= u;

(5)

• уравнение состояния:

а = Е(б + б, ) + оо. (6)

В данные уравнения входят следующие параметры:

Я Я

0

DT

д

0 0

дх

д

0 0

ду

д

0 0

&

д_ ду

д_ дх

— 0 — — 0

тт- 0 — —

д_ dz

д_ дz

ду дх

матрица диф-

ференциального оператора;

s = (°х Тху V Tzx f — вектор напряЖений;

\Т

p = (XYZ) — вектор объемных сил; s = (^х ^ у Т

х у z ху yz zx

T

вектор напряЖений

e = (бх Бу Бz Уху 4yz Ух )T — вектор деформаций; Е — матрица коэффициентов упругости;

T

вектор температурных де-

e = (atT aTt atT 0 0 0)T формаций;

s0 — вектор действующих напряжений при нагруз-

0,016

Рис. 1. Модели деформирования бетона марки В30 согласно СТО 36554501- 006-2006 (1-5) и БЫ 1992-1-2:2005 Еигосоёе 2 (1*-5*) при разных температурах его нагрева: 1, 1* —100 °С; 2,2* — 300 °С; 3,3* — 500 °С; 4,4* — 700 °С; 5, 5* — 800 °С

а, МПа 4-108

3-Ю8

2-10

1-Ю8

о

1*

/■ • f- 2*

// 3 ----- ----

и/ ' t / 3* 4 / 4* /

М/ и' ... ----- ----

С * — s ~ :--- ^5*

О 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 £

Рис. 2. Модели деформирования арматурной стали марки Ст. 3 согласно СТО 36554501- 006-2006 (1-5) и EN 1992-1-2:2005 Eurocode 2 (1*-5*) при разных температурах ее нагрева: 1, 1* — 20 °С; 2, 2* — 200 °С; 3, 3* — 500 °С; 4, 4* — 700 °С; 5, 5* — 800 °С

TT =

х n

Пх 0 0 пу 0 nz

0 пу 0 пх nz 0

0 0 nz 0 пу Пх

матрица на-

ке согласно расчетной схеме конструкции;

правляющих косинусов к нормали заданной площадки.

Для решения данной системы уравнений применяется МКЭ в комплексе с методом приближений Ньютона-Рафсона.

Для составления основных разрешающих уравнений для данной системы уравнений документами [4, 5] определяются законы деформирования для бетона и арматурной стали (рис. 1 и 2). Температурные зависимости предела прочности на растяжение бетона [4] показаны на рис. 3. Температурные деформации с учетом температурной усадки представлены на рис. 4 и 5.

Для описания трещинообразования в конечном элементе (КЭ) применена теория прочности [7, 8],

u

Яы, МПа

3,4 3,2 3,0 2,8

2,6-----

0 250 500 750 1000 Т, °С

Рис. 3. Зависимость предела прочности бетона на растяжение от температуры

Рис. 4. Модели температурных деформаций тяжелого бетона на гранитном заполнителе: 1 — по СТО 36554501006-2006; 2 — по БЫ 1992-1-2:2005 Еигосоёе 2

Рис. 5. Модели температурных деформаций арматурной стали: 1 — по СТО 36554501-006-2006; 2 — по БЫ 1992-1-2:2005 Ецгосоёе 2, ненапряженная арматура; 3 — то же, предварительно напряженная арматура

которая прогнозирует разрушение хрупких материалов. При этом учитываются механизмы как трещи-нообразования, так и разрушения при дроблении.

Критерий разрушения бетона при сложном напряженном состоянии может быть выражен следующим образом [7, 8]:

Е/Яъ - 5 > 0, (7)

где Е — функция состояния главных напряжений

(СТ^ G2, СТз).

Если условие (7) не выполняется, то трещино-образование не происходит. При этом все напряженные состояния ограничиваются определенной поверхностью площадью 5, которая называется поверхностью разрушения. Эта поверхность определяется главными напряжениями и пятью прочностными параметрами: Яъ, Яы, Ясъ, ЯсЫ и Яыа.

Согласно теории прочности "Шаш и ""атаке [8] поверхность разрушения может быть задана с использованием пределов прочности на сжатие Яъ и на растяжение Яы. Остальные параметры можно определить по формулам:

Ясы = 1,2Яъ; Яъ1 ст = 1,45Яъ; Ясъ = 1,725Яы (8)

Критерий прочности (7) является составным, и поверхность разрушения строится на основе рассмотрения четырех возможных вариантов разрушения.

Для моделирования принята балка (рис. 6), которая нагревается при пожаре с трех сторон.

Прочностные характеристики бетона и арматуры сведены в табл. 3.

Задача решалась в два этапа.

На первом этапе проводилась предварительная верификация модели при сравнении результатов экспериментов по испытанию железобетонной балки на изгиб с экспериментальными данными, приведенными в работе [8]. Для этого была смоделирована железобетонная балка с идентичной геометрией и начальными параметрами.

г г

>_

5 см Ъ = 20 см

¿2 = 0,5 см

Г

¿1 = 1,8 см

/

20 см

^=30кН

Г

: 1м

500 см

3 м

I ^=30кН ,-£

1м —

Рис. 6. Расчетная схема железобетонной балки

Таблица 3. Прочностные характеристики железобетона

Параметр Значение параметра

Начальная прочность бетона, МПа:

на сжатие 3,1

на растяжение 3,5

Коэффициент передачи касательных на-

пряжений через трещину в бетоне:

открытую 0,3

закрытую 1,0

Начальная прочность стали, МПа:

на сжатие 410

на растяжение 410

Начальный модуль упругости стали, МПа 2,1105

На втором этапе, после верификации используемых математических моделей, было проведено математическое моделирование поведения железобетонной балки во время пожара. При моделировании была воспроизведена история нагружения балки — сначала механическими, а затем — температурными нагрузками. Моделирование проводилось при помощи универсальной компьютерной МКЭ-сис-темы АЫБУБ МиШрИузкз.

Результаты

Результаты верификации математических моделей свойств материалов по зависимости поперечной силы от максимального прогиба балки представлены на рис. 7.

Результаты расчета показали, что наиболее близкими к результатам эксперимента оказались данные,

Р, Н

4-Ю4

2104

5 /уу./ Жу

7717'

ИТ ^

Г

V

0,005

0,02

0,04

0,06

0,08

0,010

А/, м

Рис. 7. Сравнительный анализ математических моделей механических свойств при нагружении балки до ее разрушения: 1 — данные эксперимента согласно [8]; 2 — результаты расчета согласно [8]; 3 — результаты расчета согласно [4]; 4 — результаты расчета согласно [5]; 5 — сила, действующая на балку

полученные на основе математических моделей свойств, указанных в нормах [4].

При моделировании поведения железобетонной балки в качестве нагрузок использовались температуры в узлах КЭ, полученные в результате решения теплотехнической задачи. С использованием формул (1), (2) и ТФХ согласно табл. 1 с помощью МКЭ-системы АЫБУБ МиШрЬу81с8 была решена теплотехническая задача. Результаты этого решения представлены на рис. 8.

Анализируя рис. 8, можно заметить, что данные, рассчитанные по математическим моделям [4], более правдоподобны, потому что учитывают характерную особенность поведения балки при нагреве, которая заключается в наличии участка с постоянной температурой около 100 °С, связанной с испарением и движением влаги в порах бетона.

При проведении моделирования поведения балки на первой стадии рассчитывалось НДС железобетонной балки при действии механических нагрузок до уровня, ограниченного прямой 5, как показано на рис. 7. Затем в качестве нагрузки прилагались

Г, К г

1200

1000

800

600

400

200

■

1

1

. 1

.

п т

■ II1

/

тт,

г. 1

1— /

1

200 I, мин

Рис. 8. Зависимости температуры от времени, рассчитанные для внутренних узлов сечения, по данным БЫ 1992-1-2:2005 Еигосоёе 2 (1-5) и СТО 36554501-006-2006 (1*-5*)

мин

Рис. 9. Зависимость максимального прогиба балки от времени воздействия пожара: 1 — кривая, соответствующая моделям материалов [4]; 2 — кривая, соответствующая моделям материалов [5]; 3 — предел огнестойкости, определенный по упрощенным методикам [5]

узловые температуры, соответствующие определенному времени нагрева. Пошагово прикладывая температуры в узлах, получали НДС в разные моменты времени воздействия пожара. Расчет прекращался по достижении критических пластических деформаций в арматуре или в приповерхностных сжатых слоях бетона. Кроме того, вычислительный блок МКЭ-системы АЫБУБ прекращает расчет, если система КЭ приобретает свойства геометрически изменяемой системы при постоянных нагрузках с появлением соответствующего сообщения. Результаты расчетов представлены на рис. 9.

Анализ результатов расчета показывает, что предел огнестойкости наступает раньше, если в расчетных моделях используются данные норм [5].

Выводы

Данные исследований свидетельствуют об эффективности применения уточненных методов на основе использования МКЭ. Проведенный анализ результатов расчета также показал, что при использовании математических моделей нормативных документов [4, 5] при уточненном расчете фактических пределов огнестойкости с помощью МКЭ результаты отличаются на величину, близкую 20 мин, а при использовании упрощенных методик — на величину, близкую 30 мин.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что данные, полученные по нормам [5], могут давать завышенные результаты.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Милованов, А. Ф. Стойкость железобетонных конструкций при пожаре / А. Ф. Милованов. — М. : Стройиздат, 1998. — 304 с.

2. Страхов, В. Л. Огнезащита строительных конструкций / В. Л. Страхов, А. М. Кругов, Н. Ф. Давыдкин ; под ред. Ю. А. Кошмарова. — М. : Информационно-издательский центр "ТИМР", 2000. — 433 с.

3. Lie, Т. Т. A Procedure to Calculate Fire Resistance of Structural Members / Т. T. Lie // International Seminar on Three Decades of Structural Fire Safety, 22-23 February, 1983. — P. 139-153.

4. EN 1992-1-2:2005. Eurocode 2: Design of concrete structures. Part 1-2: General rules — Structural fire design.

5. СТО 36554501-006-2006. Правила по обеспечению огнестойкости и огнесохранности железобетонных конструкций : утв. ФГУП "НИЦ "Строительство" 20 декабря 2006 г.; ввод. в действие 1 ноября 2006 г. — М.: ФГУП "НИЦ "Строительство", 2006.

6. Сахаров, В. С. Метод конечных элементов в механике твердого тела / В. С. Сахаров, В. Н. Кислоокий, В. Р. Киричевский [и др.]. — К. : Вища школа, 1982. — 480 с.

7. ANSYS Theory Reference (Release 10.0). — ANSYS, Inc., SAS IP, Inc., USA, 2005. — 1286 p.

8. Wolanski, Anthony J. Flexural behavior of reinforced and prestressed concrete beams using finite element analysis. — Milwaukee, Wisconsin, 2004. — 87 p.

Материал поступил в редакцию 10 декабря 2009 г.

©Поздеев С. В., Тищенко И. Ю., 2010 г. (e-mail: svp_countrymen@mail.ru).

А.Н. ЧЛЕНОВ, ГЛ. БУЦЫНСНАЯ, И,Г, ДРОВНИНОВА. — V. I. - С. В, Л. БАБУРОВ, В. В, БАБУРИН, В.й. ФОМИН. — 4.2. - 300 С,

ИЗДНТЩЦНСЩ, "ЩЖНИТНЛ:.

щл

СИСТЕМ ДАННОЙ И

В учебно-справочном пособии рассмотрены общие вопросы построения систем охраной сигнализации, при-ведены сведения об основных видах технических средств, составляющих систему: увещателях, приемно-контрольных приборах, системах передачи извещений, оповещэтелях и блоках питания. Рассмотрены современное состояние рынка средств охранной сигнализации и тенденции его развития,

Большое внимание уделено (запросам проектирования систем охренной сигнализации, требованиям го их монтажу и технической эксплуатации. Рассмотрены особенности применения средств сигнализации в пожаро- и взрывоопасных зонах.

Книга предназначена для практических работ ни но б в области сИСг$м безопасности и может быть использована как учебное пособие для подготовки и повышения квалификации специалистов соответствующего профиля.

WEB-САЙТ: www.flrepress.ru

ЭЛ. ПОЧТА:

mai l@fi repress, ru ■ izdat_pozhnauka@mail.ru

Телефон: (495)22649-03,

тел./факс: (495)445-42-34