CC BY
23
on the assignment of a fixed value of the Boltzmann constant, as well as a method for accurately measuring low temperatures by the speed of sound in a gas, is presented.
Key words: temperature, Kelvin temperature unit, Boltzmann constant, International temperature Scale.
Sotova Bella Iosifovna, candidate of technical sciences, docent, sotbi48@,mail.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Korneva Maria Igorevna, candidate of technical sciences, deputy. head of the design and technology, kormarig@mail.ru, Russia, Tula, Bureau of JSCITO Tulamash
УДК 531.711
DOI: 10.24412/2071-6168-2021-10-479-484
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ (НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ) КАК СРЕДСТВО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ДОСТОВЕРНОСТИ ПОВЕРКИ И КАЛИБРОВКИ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ
С.И. Соловьев, Д.Б. Белов, Н.Н. Батова
В статье рассмотрена методика применения математического моделирования погрешностей (неопределенностей) при проведении поверки (калибровки) средств измерений (СИ), основанная на статистическом подходе к обработке результатов поверки и принятии решения о ее итоге. Построение математической модели погрешностей (неопределенностей) поверяемого (калибруемого) СИ позволяет оценить точность и достоверность результатов поверки (калибровки), а сравнение построенной модели с соответствующей теоретической моделью позволит выявить причины отрицательных результатов поверки (калибровки) СИ и определить пути исправления ситуации
Ключевые слова: средства измерений, поверка, показания, результаты, статистический подход, метод наименьших квадратов, математическая модель.
Статистический подход к обработке результатов поверки и калибровки СИ, изложенный в работе [1], дополнил результаты поверки и калибровки, проведенные традиционными методами, рядом преимуществ, а именно, дал возможность:
1. Достоверного обнаружения возможных выбросов (промахов) в показаниях поверяемого (калибруемого) СИ;
2. Обоснования и количественной оценки достоверности результатов поверки (калибровки) СИ;
3. Целенаправленной поднастройки СИ, которая позволит уменьшить значение погрешности (неопределенности) показаний поверяемого (калибруемого) СИ.
Однако изложенный в этой работе подход имел один методический недостаток — он оперировал показаниями поверяемого (калибруемого) и эталонного СИ, что приводило к непрямому, т.е. опосредованному оцениванию погрешности (неопределенности) показаний поверяемого (калибруемого) СИ. Такое положение дел не давало возможности оценивать степень важности выявленных погрешностей (неопределенностей) на различных участках шкал поверяемых (калибруемых) приборов с помощью весовых коэффициентов.
Дело в том, что часто СИ в области верхнего и нижнего пределов измерения имеют несколько большую погрешность, чем в средней части шкалы. Но поскольку именно в этой области СИ эксплуатируются чаще всего, то иногда есть смысл настроить их так, чтобы погрешность в средней части шкалы была бы несколько меньше усреднённого значения за счет некоторого увеличения погрешностей (но в пределах класса точности) в области верхнего и нижнего пределов измерения. Сделать это можно с помощью весовых коэффициентов, которые позволят снизить значимость погрешностей в крайних областях шкалы и повысить их значимость в средней области.
Для этого необходимо построить график зависимости погрешности (неопределенности) аг поверяемого (калибруемого) СИ от действительного значения измеряемой величины Qiэm, т.е. от показаний эталонного СИ. Если вместо рабочих эталонов применяются меры, то их размеры будут играть роль показаний этих рабочих эталонов. С помощью эталона задаются или измеряются значения сигнала Qiэm в контролируемых точках и снимаются показания Qi, подвергаемого поверке СИ. Погрешность определяется по формуле
^=агэт - (1)
После определения погрешностей (неопределенностей) в каждой >той проверяемой точке строится упомянутый выше график, который в дальнейшем подвергается обработке, как было изложено в работе [)]. Такая обработка подразумевает описание графика погрешностей линейной моделью
Щ = Ьо + ь X а^т (2)
где Ьо и Ь — коэффициенты линейной модели (2), которые рассчитываются методом наименьших квадратов (МНК) по полученным данным. Погрешность Ааг- рассчитывется по формуле
В идеале коэффициенты Ьо и Ь модели, рассчитанные МНК, должны иметь значения
0, а реально — не выходить за пределы границ погрешностей, с которыми они были определены. Эти доверительные интервалы также определяются методом наименьших квадратов исходя из погрешностей Ааг- полученных результатов измерений. По существу, эти коэффициенты являются аддитивной и мультипликативной составляющими систематической погрешности. Подналадка СИ потребуется в случае выхода значений коэффициентов Ьо и/или Ь за пределы
своих доверительных интервалов, т.е. за границы погрешностей, которыми они были определены. Поскольку доверительные интервалы всех коэффициентов модели строятся с некоторой доверительной вероятностью, то и достоверность результатов поверки (калибровки) будет определяться именно этой вероятностью.
Рассмотрим процесс проведения и последующей обработки результатов калибровки по предлагаемой методике для аппарата ультразвуковой терапии «^опори^е». Проверяемым показателем являлась мощность ультразвукового сигнала (Вт). При ее проведении были получены следующие результаты (см. табл. ))
Таблица 1
Данные, полученные при калибровке аппарата ультразвуковой терапии <^опориЬе»
г агэт аг А&
1 13,2 21 7,8
2 10,5 18,9 8,4
3 8,8 15,4 6,6
4 6,5 11,2 4,7
5 5,7 9 3,3
6 4 7 3
7 3,1 4,9 1,8
8 1,6 3,5 1,9
9 0,9 2,1 1,2
По данным табл. ) (столбцы агэт и Ааг-) с помощью МНК были получены следующие
значения коэффициентов Ьо и Ь модели:
Ьо = 0,506 «0,51 Вт; Ь = 1,6289 г 1,629 Соответствующие стандартные отклонения коэффициентов Ь0 и Ь модели получились следующими;
¿Ь0 = 0.476 г 0,50 Вт, 8Ь = 0,0661 г 0,065 Данные табл. 1 и уравнение (2) можно представить графически следующим образом
(рис. 1).
Используя полученные значения стандартных отклонений и априори считая распределение вероятности погрешностей соответствующим нормальному закону, можно рассчитать доверительные интервалы значений найденных коэффициентов по формулам:
Ь0ш1п = Ь0 " * х \ = -* х Ь0шах = Ь0 + * х \ =* х \ (3)
Ьш1п = Ь - * х =-г х 8Ь; Ьшах = Ь + * х £Ь = * х £Ь (4
где Ь0ш1п и Ь0шах — нижняя и верхняя границы доверительного интервала значений коэффициента Ь0 соответственно; Ьш1п и Ьшах — нижняя и верхняя границы доверительного интервала значений коэффициента Ь соответственно; * — относительная ширина доверительного интервала значений коэффициентов Ьо и Ь.
Графическая иллюстрация результатов калибровки * аппарата «Sonopulse»
, о.
(В О
5 =
ГО о
Е <0
" ш
р о
8 °
О |
=с 5
и
0
1
Э
0) _
а а о
■— ■О -О =
С 5 Ж ^ га ш л Ч л ю
10 8 6 4 2 0
* ^ ■■г
0 5 10 15
Эталонная мощность ультразвукового сигнала
Погрешность показаний Дqi аппарата «^опори^е»
Линейная модель
систематической
погрешности
Идеальный график
систематической
погрешности"
Рис. 1. График погрешностей и модель мощности ультразвукового сигнала, задаваемого прибором <^опориЬе» при калибровке
Параметр * в формулах (3) и (4) выбирается по таблицам Стьюдента, исходя из доверительной вероятности Р = 0,95 и числа степеней свободы , /
/ = п - т, (5)
где п — число опытов; т — число рассчитываемых коэффициентов.
В рассматриваемом случае параметры «т» и «п» имеют следующие значения:
п = 9 (см. табл. 1); т = 2 (см. формулу (2)). Тогда по формуле (5) получим /= 7. Для таких исходных данных параметр * примет
значение
* = 2,365.
Подставив найденные значения параметров в формулы (3) и (4), получим:
Ь0ш1п = - 1,18 Вт; Ь0шах = 1,18 Вт или
- 1,18 Вт < Ь0 < 1,18 Вт (6)
Ьш1п = 0,154; Ьшах = 0,154, или
- 0,154 < Ь0 < 0,154 (7)
Как видно из двойного неравенства (6), доверительный интервал значений коэффициента Ь0 «накрывает» расчетное значение этого коэффициента (Ь0 = 0,51 Вт), следовательно,
его отличие от идеального нулевого значения является случайным. Отсюда можно сделать вывод, что подналадка прибора по аддитивной погрешности (настройка на 0) на данный момент не требуется.
Рассуждая аналогично, можно увидеть, что двойное неравенство (7) не «накрывает» расчетное значение коэффициента Ь, равное 1,629. Следовательно, его значение неслучайно отличается от 0 и подналадка прибора по мультипликативной погрешности (настройка чувствительности прибора) на данный момент необходима.
Следует заметить, что сделанные выводы не говорят о том, что калибровка (поверка) показала непригодность СИ к эксплуатации. Вывод об этом делается, как правило, по максимальному значению погрешности, зафиксированному при проведении данной процедуры. Од-
нако информация, которую удалось получить при обработке результатов калибровки, позволит заметно уменьшить общую погрешность прибора, если произвести его под наладку или, иными словами, исключить систематическую погрешность.
Проиллюстрировать это можно следующим образом. Пусть с помощью калибровки удалось исключить систематическую погрешность. Это означает, что линейный график (модель) систематической погрешности (наклонная прямая) вместе графиком погрешности показаний (ломаная пунктирная линия) «лягут» на ось абсцисс, заняв положение, показанное
на рис. 2. Поскольку систематическая погрешность «обнулилась (на практике — заметно уменьшилась), суммарная погрешность также заметно изменилась в меньшую сторону.
График погрешности показаний прибора «Sonopulse» после его поднастройки
1,50 1,00 0,50 0,00 -0,50 -1,00 -1,50
Л Я \ \ \
/ / о — О-
А ■ ■ »' \ 1 ✓ 1 \ \ 10 1 2 14
* ¥ \ \ 0
Случайная погрешность мощности ультразвука аппарата «^опори^е»
Исключенная
систематическая погрешность после поднастройки аппарата «^опори^е»
Эталонная мощность ультразвукового сигнала
Рис. 2. График погрешности и модель показаний прибора «Sonopulse»
после его поднастройки
Рассчитаем по формуле (2) значения смоделированной систематической погрешности ^О-шод в каждой точке калибровки прибора, подставив в неё расчетные значения найденных
коэффициентов Ьд =0,506 Вт и Ь =1,629. Результаты сведем в табл. 2.
Таблица 2
Остаточная погрешность показаний ультразвукового сигнала прибора «Топорике» _после его поднастройки_
- а-эт да- Щмод да - Щмод
1 13,2 7,8 8,81 - 1,01
2 10,5 8,4 7,11 + 1,29
3 8,8 6,6 6,04 + 0,56
4 6,5 4,7 4,59 + 0,11
5 5,7 3,3 4,09 - 0,79
6 4 3 3,02 - 0,02
7 3,1 1,8 2,46 - 0,66
8 1,6 1,9 1,51 + 0,39
9 0,9 1,2 1,07 + 0,13
Из табл. 2 и рис. 2 видно, что максимальная погрешность в проверяемой точке 3 уменьшилась с 8,4 Вт до 1,29 Вт. В остальных точках проверки ультразвукового сигнала, генерируемого прибором <^опори^е», также произошло значительное уменьшение его погрешности. Следует заметить, что систематическую погрешность невозможно исключить полностью,
поэтому полученные результаты нельзя рассматривать в отрыве от погрешности, с которой модель систематической погрешности предсказывает ее значение. Эту погрешность также нетрудно рассчитать с помощью МНК. Она составит величину ±1,84 Вт с вероятностью Р = 0,95. Нетрудно заметить, что данное обстоятельство не изменяет сути сделанных выводов.
Список литературы
1. Соловьев С.И., Белов Д.Б., Батова Н.Н. Альтернативный подход к методике проведения поверки средств измерений (СИ). Всероссийская научно-техническая конференция «Отечественный и зарубежный опыт обеспечения качества в машиностроении». 23-25 октября 2019 г.: сборник докладов. Тула: Изд-во ТулГУ, 2019. С 65-68.
Соловьев Сергей Игоревич, канд. техн. наук, доцент, sergei59@bk.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Белов Дмитрий Борисович, канд. техн. наук, доцент, imsbelov@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Батова Наталия Николаевна. канд. техн. наук, доцент, imstulgu@pohta.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
MATHEMATICAL MODELING OF ERRORS (UNCERTAINTIES) AS A MEANS TO ENSURE THE RELIABILITY OF VERIFICATION AND CALIBRATION OF MEASURING INSTRUMENTS
S.I. Solovyev, D.B. Belov, N.NBatova
The paper considers the methodology of applying mathematical modeling of errors (uncertainties) during verification (calibration) of measuring instruments (MI) based on a statistical approach to processing the results of verification and making decisions about its results. Building a mathematical model of errors (uncertainties) of the verified (calibrated) MI allows to estimate the accuracy and reliability of verification (calibration) results and comparing the built model to the corresponding theoretical model will reveal the causes of negative results of MI verification (calibration) and determine the ways to correct the situation.
Key words: measuring instruments, verification, readings, results, statistical approach, least squares method, reliability, mathematical model.
Solovyev Sergei Igorevich, candidate of tehnical science, docent, sergei59@bk.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Belov Dmitry Borisovich, candidate of tehnical science, docent, imsbelov@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Batova Nataliia Nicolaevna, candidate of technical sciences, docent, imstulgu@pohta.ru, Russia, Tula, Tula state University
