Математическое моделирование пластической деформации скольжением в Г. Ц. К. Сплавах с некогерентной упрочняющей фазой Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.37

С.Н. Колупаева, Е.В. Комарь, Т.А. Ковалевская

Томский государственный архитектурно-строительный университет

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ СКОЛЬЖЕНИЕМ В Г.Ц.К. СПЛАВАХ С НЕКОГЕРЕНТНОЙ УПРОЧНЯЮЩЕЙ ФАЗОЙ

Abstract

The mathematical model of plastic deformation by slip for heterophase materials with non coherent hardening phase, including the equations of balance shear-producing dislocations, dislocations in dipole configurations of vacancy and interstitial type, dislocations in prismatic loops of vacancy and interstitial type, interstitials, be- and monovacancies and the equation for strain rate is described. Results of calculation for plastic deformation with the constant value of strain rate in dispersion hardened material on copper base are showed.

Математические модели, основу которых составляет система дифференциальных уравнений баланса элементов деформационной дефектной среды, успешно применяются для описания пластического поведения металлов и сплавов при различных приложенных воздействиях [1-7]. Введение в материал дисперсной недеформируемой упрочняющей фазы ведет к существенному усложнению объекта моделирования. Взаимодействие дислокаций с частицами помимо упрочняющего эффекта приводит к появлению ряда новых элементов деформационной дефектной структуры [7-10]. При этом характер и результат взаимодействий элементов дефектной структуры с частицами может меняться с изменением соотношения масштабных характеристик упрочняющей фазы и дислокационной структуры [7]. Для дисперсно-упрочненных материалов существует критическая величина плотности дислокаций [7]

рc « 60 /(Лр -тс52 / 4), при достижении которой изменяется характер дислокационной

структуры зоны сдвига и начинается образование нового типа деформационных дефектов - дислокаций в дипольных конфигурациях. В условиях докритической плотности дислокаций основными элементами дислокационной структуры являются сдвигообразующие дислокации и призматические дислокационные петли, при плотности дислокаций выше критической к ним добавляются дипольные и мультипольные дислокационные конфигурации, которые располагаются между частицами [7].

Для дисперсно-упрочненных материалов с недеформируемыми частицами рассмотрим модель, в которой среда деформационных дефектов характеризуется сдвигообразующими дислокациями (плотность которых обозначим pm), дислокациями в дипольных конфигурациях вакансионного р (dv) и межузельного p(j) типа,

дислокациями в призматических петлях вакансионного р(,v) и межузельного pp) типа, межузельными атомами (концентрации c), моновакансиями cjv и бивакансиями c2v.

Накопление деформационных точечных дефектов

Движение дислокации после преодоления критической конфигурации дислокационным сегментом-источником происходит со скоростями, достаточными для

того, чтобы происходило накопление порогов на дислокациях, и генерация точечных дефектов осуществлялась с нарастающей интенсивностью [5-6, 11, 12]. Межузельные атомы и вакансии при движении дислокаций с высокими скоростями генерируются в среднем в равном количестве. Если считать, что «рассыпание» цепочки вакансий, оставленной скользящим порогом, происходит случайным образом [4], моновакансии и бивакансии образуются в соотношении 1/6 и 5/6. Тогда для скорости генерации межузельных атомов, моновакансий и бивакансий имеем [7, 13]:

Здесь - избыточное напряжение, G - модуль сдвига, величина параметра q определяется геометрией формирующихся дислокационных петель и характером формирования дислокационного скопления [5-7, 11, 13]; примем q=8.

Кроме деформационных точечных дефектов в кристалле образуются

Суммарную концентрацию точечных дефектов (деформационных и термически

случайном блуждании образуется бивакансия, а при встрече бивакансии с межузельным атомом или межузельномого атома с бивакасией образуется моновакансия. Учитывая взаимную аннигиляцию точечных дефектов, а также их аннигиляцию на дислокациях, уравнения баланса деформационных точечных дефектов можно записать как [13]:

здесь ¿г - скорость деформации сдвига, ш8 - доля винтовых дислокаций, Ь - модуль вектора Бюргерса, - число мест, возможных для прыжка дефекта (для г.ц.к.

Уравнение баланса сдвигообразующих дислокаций. Деформация сдвига непосредственно связана с изменением плотности дислокаций, поскольку расширение дислокационных петель приводит как к сдвигу, так и к увеличению плотности дислокаций. Скорость генерации сдвигообразующих дислокаций при статических условиях деформирования может быть описана следующим образом [4, 7]:

где Е - параметр, определяемый геометрией дислокационных петель и их

(1)

термодинамически равновесные точечные дефекты концентрации е/0) = А ехр(-Ц/ / кТ), где А « 1, и[ - энергия образования дефекта /-того типа.

равновесных) обозначим как ~ =с/ +с(0). Заметим, что при встрече двух вакансий при их

= Я--Ю*^т +Рр +Р*)ь22 ехр-(т)/(Т)+

+ 2* ехр(- ( /кт) + 72у ехр(- / кТ) + ехр(- (п) /кт) + с2у)],

(2)

(3)

+ 2, ехр(- (п) /кт) - (72У ехр(- и2т) /кТ)+ 2, ехр(-(п) /кт)].

(4)

материала 2=12), и/т - энергия миграции дефекта /-го типа, - частота Дебая,

р й =р й + рй, р р =р Р + рР.

Накопление дислокаций в процессе пластической деформации

(5)

распределением в зоне сдвига, D - средний диаметр зоны сдвига, В - параметр, определяемый вероятностью образования протяженных дислокационных барьеров, т -приложенное напряжение.

Определяющими механизмами аннигиляции сдвигообразующих дислокаций являются поперечное скольжение винтовых дислокаций и переползание невинтовых дислокаций [4-7].

Будем считать, что поперечное скольжение дислокаций происходит только при температурах выше некоторой Tcs [4] и осуществляется атермически, то есть время ожидания термически активированного скольжения винтовой дислокации пренебрежимо мало по сравнению со временем испытания. В этом случае аннигилируют практически все винтовые дислокации, находящиеся в устойчивых дипольных конфигурациях. При таком рассмотрении аннигиляция винтовых дислокаций поперечным скольжением может быть представлена соотношением [6, 11, 13]

лт (р)=FGBrm » л,. (6)

Вт

P \Va,, если Vas < 1 ( Gb ^2 р m »,

где Pa, Ч. т/ . Va, =1 ----- 1“-----1-j, Tf - напряжение тPения,

Ц если Vas >= 1 12т f (т-т f )

обусловленное стопорами недислокационной природы.

При рассмотрении аннигиляции дислокаций переползанием предположим, что

плотность дислокаций противоположного знака приблизительно одинакова. Принимая

распределение расстояний между дислокациями в плоскости переползания и по

г п -1/2-1

расстоянию между ними в плоскости скольжения равномерным на интервале [0, рт ] уравнение баланса сдвигообразующих дислокаций с учетом осаждения на них точечных дефектов (в том числе термодинамически равновесных) получим в виде [13]:

dP F 2 U(m)

—m = (1 - » sPas )—-&(1 - » , )p 1b min(ra , pm1/2)VD (Z2vC2v exP( f=~) +

da Db ci kl

U(m) u(m) 2a i \

+ Z1„c1„ exP(--j-t) + Zici exp(--k—)) + -c-bvDP1/2 (pP (Z1„~1„ exp(- U1(vm) /kT ) + (7)

kT kl a (/)

+ Z2„c2„ exp(-U<m> /kT)) + pPZiC exp(-( /kT)) + ^-V)Tf vD x

a(2 - v)G

x (ZiPd~i exp(- (m) / kl)+ рd (Zlvc„ exp(- U1\m) /kT)+ Z2„c2„ exp(- U2m1 /kT— ),

Gb (2-v)

где ra =--,-^ - критический радиус захвата, p=pm+pd+pp v - коэффициент

4пт f (1 - v)

Пуассона.

Уравнения баланса призматических дислокационных петель. Будем

предполагать, что средние размеры колец Орована и призматических петель примерно одинаковы и образование межузельных и вакансионных призматических петель равновероятно [7]. Предположим также, что призматические петли являются

квадратными с распределением призматических петель по длине стороны равномерным на некотором интервале [lmin, /max], и будем считать lmin=0 [13].

В работах [7] была оценена скорость увеличения с деформацией размера петли, показано, что даже после небольшой деформации а=0,1 конечный диаметр призматической петли может превышать диаметр частицы в пять раз. Экспериментально подтверждено существенное увеличение размеров призматических петель в результате поглощения ими точечных дефектов [14]. Однако петли, сторона которых превышает величину к^(ар12)-1 (а - параметр, характеризующий

интенсивность междислокационных воздействий) неустойчивы по отношению к внешнему напряжению [7]. Примем /тах=к^(ар1/2)-1.

В уравнениях баланса вакансионных призматических петель учтем прирост их плотности за счет релаксационного роста петель при осаждения на них вакансий и бивакансий до размеров, не превышающих критической величины [7] к»(ар1/2)~1, а также уменьшение их плотности, связанное с переходом призматических петель в разряд сдвигообразующих при достижении величины к. Полагая также, что осаждение межузельных атомов на вакансионных петлях ведет к уменьшению вакансионных петель вплоть до их аннигиляции и соответственно осаждение вакансий и бивакансий на межузельных петлях ведет к уменьшению межузельных петель, при осаждении межузельных атомов на дислокациях, образующих межузельные петли, длина последних возрастает, уравнения баланса призматических петель получим в виде [13]

>Р°

da

<Х>5

2Л>

2а 1/2 Ми

-----Р Рр Ьчі

а

ґ ґ 22~і ехр

dp

Зйг-^^р‘/2рР' і

da 2А„ Ь а

ґ ґ ^і~і ехР

V

и.

и(т) Л ґ

■—■— + 2уеу ехр кТ

(т) Л

кТ

+ 2гуеу ехр

и(т) Л ґ

~ІЬ~ + %2vC2v ехР кТ

У

(т) Л

и

(т) Л Л

2у

кТ

УУ

и

кТ

+ 2% 2^ ехр

и

(т) Л Л

кТ

,(8)

.(9)

//

Уравнения баланса дислокаций в дипольных конфигурациях. Считая, что образование дислокаций в дипольных конфигурациях межузельного и вакансионного типа равновероятно, можем оценить их генерацию соответственно как [7]

Ол(р) = оА (р) = (Л рЬ)

-1

(10)

'с1у\г;

Процессы аннигиляции диполей рассмотрим аналогично процессам аннигиляции и диффузионного роста призматических петель [7, 13]. Используем предположение, что распределение диполей по длине плеча является равномерным на интервале [ушш Угоах], и будем считать, что максимальное плечо диполя, после достижения которого он теряет свою устойчивость, равно критическому радиусу

захвата уп имеем в виде [13]

dp

и утщ=0. Уравнения баланса дислокаций в дипольных конфигурациях

(V)

d

1

2

da Л рЬ а»уп

Ф(і) = _1____________2_

da Л рЬ а»уп

-р? )Ь 2v і

%і~і ехР

ґ и(т) Л

кТ

+ ZvCv ехр

ґ и(т) Л

кТ

+ %2vC2v Єхр

-р2 )ь2v і

(

(

%і~ ехр

и.

(т) Л

кТ

(

+ ZvCv ехр

и

(т) Л

кТ

V

ґ

(т и 2v

кТ

(т) Л Л

+ %2vC2v ехр

и(т и 2v

кТ

(т) Л Л

,(11)

.(12)

Скорость деформации скольжением в гетерофазных материалах

Уравнение для скорости деформации связывает переменные, характеризующие деформирующее воздействие и деформационную дефектную подсистему кристаллического тела, с количественной характеристикой отклика материала на деформирующее воздействие скоростью деформации [4- 6, 11, 13, 15]. В работах [5-7, 12] показано, что даже в условиях статической деформации зона сдвига формируется преимущественно в динамическом режиме в условиях потери устойчивости дислокационными конфигурациями. В широком интервале условий квазистатической деформации время достижения дислокационным сегментом-источником критической конфигурации существенно превышает время дальнейшего движения дислокации до границы зоны сдвига [16]. Уравнение для скорости деформации скольжением в условиях статической деформации, записанное в предположении термоактивируемого движения дислокационного сегмента-источника до достижения критической конфигурации, которое сменяется динамическим движением дислокаций после её преодоления, имеет вид [11, 13, 15]:

а =

8в г1/2 Р ,,'/2 V Db2,3 д(((1 -в г )Р

+рP+рd

)(Т-Та ))/3

nF£1/6(1 -вг) О1/3

-exp

U - (Т-Т а )ЛЪ 2

кТ

. (13)

Здесь Е, - доля дислокаций леса, рг - доля реагирующих дислокаций леса, аг - параметр

междислокационных взаимодействий с реагирующими дислокациями леса, т а -

атермическая составляющая сопротивления движению скользящей дислокации, Л определяется выражением [1, 2]:

Л =

(г а г pm" У3

(

£((1 -в г )Р m +Р р +Р d )(Т-Т а )

ОЪ

у/3 (

+

1

л

1 / 3

чЛ2р (Л p -5)

-1

Принимая [7] для дисперсно-упрочненных материалов т = т^ +т0г + аОЬр12,

т0г = ОЬ(Лр -8)_1 — сопротивление движению дислокаций, связанное с накоплением геометрически необходимых дислокаций на частицах, можно записать

та =т/ + ОЬ(Лр-8)-1 +ааОЬру2.; и = 0.20Ь3, V = Ув Ь /Л [4, 7].

Таким образом, математическая модель пластической деформации гетерофазных материалов с некогерентной упрочняющей фазой включает уравнения (2)-(4), (7)-(9), (11)—(12), (13). Для проведения вычислительных экспериментов с использованием сформулированной математической модели пластической деформации скольжением в гетерофазных материалах необходимо к рассмотренным уравнениям баланса деформационных дефектов и уравнению для скорости деформации добавить уравнение (либо уравнения), описывающее деформирующее воздействие.

Пластическая деформация скольжением в условиях деформации с постоянной

скоростью деформирования

Для пластической деформации в условиях постоянной скорости деформирования используем уравнение, определяющее воздействие на материал, в

виде а = const и Tdyn =а йупОЪР12 [5, 6]. Расчёты проведены для значений параметров, характерных для монокристаллов диспесно-упрочненных сплавов на основе меди [4-7]: Ъ = 2,5-10-10 м-2, F = 4, Vd = 1013 с-1, а = 0,5, аа = 0,45, аг = 0,3, рг = 0,14, £ = 0,5, Tf =10 МПа, V = 1/3, а^п « 0,33, ш* = 0,3, а = 0,01 c_1, Uf = 3,28 эВ, U £ = 1,27 эВ,

ит =0,117 эВ, ит = 0,88 эВ.

Для деформационного упрочнения гетерофазных сплавов характерно существование двух стадий, разделенных критической плотностью дислокаций и различающихся как характером дислокационной структуры, так и закономерностями пластического поведения (рис. 1, 2). На рис. 2 приведены кривые, отражающие кинетику накопления деформационных дефектов при различных температурах.

При малых размерах частиц сплавы, содержащие частицы второй фазы, характеризуются высоким пределом текучести и высокими скоростями деформационного упрочнения. При диаметре частиц больше 100 нм действующее напряжение мало изменяется с увеличением размеров упрочняющих частиц. С повышением температуры интенсивность деформационного упрочнения уменьшается, и, следовательно, исчезает эффект дисперсного упрочнения. При увеличении объемной доли, а также при уменьшении размеров частиц интенсивность деформационного упрочнения увеличивается. При этом переход из докритической области в закритическую происходит при больших степенях деформации.

0,0 0,2 0.

Рис. 1. Зависимость напряжения и коэффициента деформационного упрочнения от степени деформации для дисперсно-упрочненного материала на основе меди при различных скоростях деформирования: 1 - 10-1 с-1, 2 - 10-2 с-1, 3 - 10-4 с-1

10-£

10-1

■ С2у

10-1

С^

0,0

0,5

а

1,0

Рис. 2. Зависимость плотности деформационных дефектов различного типа от

О о

деформации, 8=500 А , Лр=7000 А при температурах: а,г - 77 К, б, д - 473 К,

в, е - 873 К

При малой объемной доле частиц процесс деформации происходит полностью в области закритической плотности дислокаций. С увеличением / можно наблюдать две области: докритической плотности дислокаций и закритической. При большой

С

объемной доле частиц (/=20%) процесс деформации происходит в условиях докритической плотности дислокаций. Однако для всех кривых характерна тенденция к насыщению, при этом с увеличением объемной доли частиц предельное значение плотности дислокаций и действующего напряжения увеличивается. В докритической области плотности дислокаций преобладают призматические петли, в закритической -дислокационные диполи (см. рис. 2).

T, К

T, К

Рис. 3. Температурная зависимость напряжения течения для дисперсно-упрочненного материала на основе меди при 3=50 нм, f=1%. Номер на кривой (b) -скорость деформации (с-1): 1 - 10-1, 2 - 10-2, 3 - 10-3, 4 - 10-4, а=0,15

Для температурной зависимости деформирующего напряжения характерно наличие двух интервалов сильной температурной зависимости (рис. 3). Один соответствует интервалу температур, в котором начинается интенсивная аннигиляция дислокаций за счет моно- и бивакансий, второй связан с развитием деформационных процессов, связанных с термодинамическими равновесными точечными дефектами. При этом для низких температур деформирования до 250 К и в интервале температур 400-650 К кривые деформационного упрочнения практически не чувствительны к изменению скорости деформирования (см. рис. 3). Аналогичный характер

экспериментальной температурной зависимости при различных скоростях деформации наблюдался для меди, содержащей некогерентные частицы.

Основные полученные закономерности согласуются с экспериментальными данными.

Библиографический список

1. Johnston W.J., Gilman G.G. Dislocation velocities, dislocation densities, and plastic flow in lithium fluoride crystals//J. Appl. Phys. - 1959. - Vol. 30. - № 20. - P. 129144.

2. Lagneborg R. Dislocation mechanisms in creep // Intern. Metals Rev. - 1972. -Vol.17.- P. 130-146.

3. Essman U., Mugrabi H. Annihilation of Dislocations During Tensile and Cyclic Deformation and Limits of Dislocation Densities // Phil. Mag. - 1979. - Vol. 40. -P.731-756.

4. Попов Л.Е., Кобытев В.С., Ковалевская Т.А. Пластическая деформация сплавов. -М.: Металлургия, 1984. - 182 с.

5. Попов Л.Е., Пудан Л.Я., Колупаева С.Н. и др. Математическое моделирование пластической деформации. - Томск: Изд-во Том. гос. ун-та, 1990. - 185 с.

6. Колупаева С.Н., Старенченко В.А., Попов Л.Е. Неустойчивости пластической

деформации кристаллов. - Томск: Изд-во Том. гос. ун-та, 1994. - 301 с.

7. Ковалевская Т.А., Виноградова И.В., Попов Л.Е. Математическое моделирование пластической деформации гетерофазных сплавов. - Томск: Изд-во Том. гос. ун-та, 1992. - 168 с.

8. Hirsch P. B. The interaction of the slip pattern in terms of dislocation movements/ In. Thomas G., Natting J. The plastic deformation of aged aluminium alloys// J. Inst. Met. -1957-58. - Vol. 86. - P. 7-14.

9. Ashby M. F. Work Hardening of Dispersion-hardened Crystals //Phil. Mag. - 1966. -Vol. 14. - № 132. - P. 1157-1178.

10. Хирш П. Б., Хэмпфри Ф. Дж. Пластическая деформация двухфазных сплавов, содержащих малые недеформируемые частицы //Физика прочностти и пластичности. - М.: Металлургия, 1972. - С. 158-186.

11. Колупаева С.Н., Пуспешева С.И., Попов Л.Е. Математическая модель пластичности скольжения в г.ц.к. монокристаллах/ Том. гос. архит.-строит. ун-т., Томск, 2001. 36 с. - Деп. в ВИНИТИ. 26.11.01, № 2454-В2001.

12. Попов Л.Е., Колупаева С.Н., Вихорь Н.А., Пуспешева С.И. Дислокационная динамика кристаллографического скольжения //Известия вузов. Физика. - 2000. -№ 1. - С. 37-42.

13. Колупаева С.Н., Ерыгина Е.В., Лазарева Л.И., Попов Л.Е. Математическая модель пластической деформации скольжением в г.ц.к. сплавах с некогерентной упрочняющей фазой/ Том. гос. архит.-строит. ун-т. - Томск, 2002. 39 с. - Деп. в ВИНИТИ 07.08.02, № 1459-В2902.

14. Westmacott K. H., Barnes R. S., Smallman R. E. The observation of a dislocation climb source // Phil. Mag. - 1962. - Vol. 7. - № 81. - P. 1585-1596.

15. Попов Л.Е., Колупаева С.Н., Сергеева О.А. Скорость кристаллографической пластической деформации //Математическое моделирование систем и процессов.

- 1997. - № 5. - С. 93-104.

16. Слободской М.И., Попов Л.Е. Особенности работы источника Франка-Рида в поле случайно расположенных препятствий // Изв. АН. Серия физическая. - 1998. -Т.62.- №7. - С. 1338-1343.

Получено 15.04.2003