Математическое моделирование остаточных напряжений при импульсном термосиловом поверхностном упрочнении Текст научной статьи по специальности «Физика»

Багмутов В.П., Денисевич Д.С., Захаров И.Н., Романенко М.Д., Фастов С.А. Математическое моделирование остаточных напряжений при импульсном термосиловом поверхностном упрочнении // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2019. № 3. С. 112-124. DOI: 10.15593/perm.mech/2019.3.12

Bagmutov V.P., Denisevich D.S., Zakharov I.N., Romanenko M.D., Fastov S.A. Simulation of residual stresses during pulsed thermo-force surface hardening. PNRPUMechanics Bulletin, 2019, no. 3, pp. 112-124. DOI: 10.15593/perm.mech/2019.3.12

ВЕСТНИК ПНИПУ. МЕХАНИКА

№ 3, 2019 PNRPU MECHANICS BULLETIN

http://vestnik.pstu.ru/mechanics/about/inf/

Б01: 10.15593/регш.шееЬ/2019.3.12 УДК 539.319 - 539.377

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ ИМПУЛЬСНОМ ТЕРМОСИЛОВОМ ПОВЕРХНОСТНОМ УПРОЧНЕНИИ

В.П. Багмутов, Д.С. Денисевич, И.Н. Захаров, М.Д. Романенко, С.А. Фастов

Волгоградский государственный технический университет, Волгоград, Россия

О СТАТЬЕ

АННОТАЦИЯ

Получена: 3 декабря 2018 г. Принята: 28 августа 2019 г. Опубликована: 17 октября 2019 г.

Ключевые слова:

численное исследование, метод конечных элементов, фазовые превращения, остаточные напряжения, пластичность, микронапряжения, контактная задача, кинематическое упрочнение.

Рассматривается проблема решения связанных задач механики применительно к моделированию остаточных напряжений при нестационарных тепловых воздействиях. Объектом исследования является технология электромеханической обработки в приложении к титановым псевдо-а-сплавам, которые при локальном тепловом воздействии на поверхностный слой изменяют свой фазовый состав в связи с мартенситным фазовым переходом.

Приведена математическая постановка, рассмотрены особенности и методы решения связанной термосиловой контактной задачи с учетом фазовых превращений, протекающих при высокоскоростном охлаждении. Показаны основные этапы построения необходимых определяющих соотношений. Приведены соответствующие соотношения теории пластического течения в скоростной форме в рамках изотропно-трансляционной модели упрочнения, рассмотрены вопросы интегрирования данных соотношений. Показана методика определения нестационарной зоны контакта абсолютно жесткого штампа и деформируемого полупространства. Отдельно рассмотрены основные этапы линеаризации используемого вариационного уравнения.

В рамках разработанного алгоритма проведена серия вычислительных экспериментов, моделирующих температурно-силовое воздействие на титановый псевдо-а-сплав Т1бД12У применительно к технологии импульсного термосилового поверхностного упрочнения. Установлено, что электромеханическая обработка поверхности титановых сплавов приводит к формированию в поверхностном слое дискретно структурированных областей остаточных напряжений, что связано, с одной стороны, с импульсным воздействием источника тепла (синусоида), а с другой стороны, с дискретностью формирующейся мартен-ситной структуры. Показана значительная роль деформационной составляющей воздействия на материал при формировании остаточных напряжений, в частности, установлено, что при увеличении усилия на инструменте с 10 до 250 Н величина растягивающих остаточных напряжений уменьшается в 3 раза.

©ПНИПУ

© Багмутов Вячеслав Петрович - д.т..н, проф., e-mail: [email protected], : 0000-0003-3648-8450 Денисевич Денис Сергеевич - асс., e-mail: [email protected], ¡D: 0000-0003-2278-251X Захаров Игорь Николаевич - д.т.н, зав. каф., e-mail: [email protected], ¡D: 0000-0001 -7177-7245 Романенко Михаил Дмитриевич - асп., e-mail: [email protected], ¡D: 0000-0003-0212-1925 Фастов Сергей Александрович - лаб., e-mail: [email protected], : 0000-0002-3371 -0434

Vyacheslav P. Bagmutov - Doctor of Technical Sciences, Professor, e-mail: [email protected], ¡D: 0000-0003-3648-8450

Denis S. Denisevich - Assistant, e-mail: [email protected], ¡D: 0000-0003-2278-251X Igor N. Zakharov - Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of Department, e-mail: [email protected], ¡D: 0000-0001-7177-7245

Mikhail D. Romanenko - PhD Student, e-mail: [email protected], ¡D: 0000-0003-0212-1925 Sergey A. Fastov - Assistant, e-mail: [email protected], ¡D: 0000-0002-3371 -0434

Эта статья доступна в соответствии с условиями лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License (CC BY-NC 4.0)

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License (CC BY-NC 4.0)

SIMULATION OF RESIDUAL STRESSES DURING PULSED THERMO-FORCE SURFACE HARDENING

V.P. Bagmutov, D.S. Denisevich, I.N. Zakharov, M.D. Romanenko, S.A. Fastov

Volgograd State Technical University, Volgograd, Russian Federation

ABSTRACT

The paper deals with solving the mechanic connected problems applying to residual stresses under non-stationary thermal effects. The research is aimed at the electromechanical processing technology in the application to titanium pseudo-a-alloys which change their phase composition due to the martensitic phase transition under local thermal effects on the surface layer.

The paper provides a mathematical formulation, considered features and methods for solving a thermostable contact problem inclusive of the phase transformations occurring during high-speed cooling. The main stages of building the necessary defining relations are shown. Relevant correlations of the plastic flow theory in the velocity form in the limits of the isotropic-translational hardening model are given, issues of integrating these correlations are considered. The technique determining the non-stationary contact zone of an absolutely rigid stamp and a deformable half-space is shown. The main linearization stages of the variational equation used are considered separately.

Within the developed algorithm, a series of computational experiments were made simulating the temperature-force effect in Ti6Al2V titanium pseudo-a-alloy as applied to the technology of the pulsed thermal-force surface hardening. It is established that the electromechanical surface treatment of titanium alloys leads to the formation of discretely structured regions of residual stresses in the surface layer, which is connected to one of the following factors: the heat source (sinusoid), and on the other hand, the martensitic structure which is discrete. The significant role of the deformational effect on the material when residual stresses formation is shown. In particular, it has been established that in the case of an increasing loading on the tool from 10 N to 250 N, the value of the tensile residual stresses decreases by 3 times.

©PNRPU

ARTICLE INFO

Received: 3 December 2018 Accepted: 28 August 2019 Published: 17 October 2019

Keywords:

numerical simulation, finite element method, phase transition, residual stresses, plasticity, back stress, contact mechanics, kinematic hardening.

Введение

Оптимизация механических свойств конструкционных материалов с помощью современных высокоэнергетических технологий, таких как лазерная обработка, ионная имплантация, аддитивное наращивание и др., особенно применительно к перспективным материалам, представляет собой значимую проблему для современного машиностроения. Одним из важнейших параметров, подвергаемых оптимизации, является распределение остаточных напряжений, наведенных в процессе обработки. В частности, интенсивное тепловое воздействие приводит к формированию растягивающих остаточных напряжений в направлении обработки, которые провоцируют хрупкое разрушение, коррозионное растрескивание и в целом оказывают негативное влияние на усталостную долговечность готового изделия [1]. Особенно остро данная проблема проявляется применительно к поверхностной обработке титановых сплавов [2, 3].

Спрогнозировать остаточные напряжения можно с помощью методов вычислительной механики сплошных сред в рамках уже сложившегося класса технологических задач, успешно решаемых применительно к сварочным [4, 5], литейным процессам [6, 7], поверхностному упрочнению [8, 26, 30] и др. [31-33]. Недостоверность результатов применения аналитических

подходов объясняется нелинейным нестационарным характером, а также высокой скоростью тепловых процессов, которые часто сопровождаются фазовыми превращениями. Дополнительные трудности связаны с неоднородностью свойств деформируемого тела, геометрией, фактически формирующейся под действием внешних полей, и сложным механических поведением материала при пластическом деформировании, особенно при конечных деформациях [34, 35]. Кроме того, особенностью таких задач является их связанность, которая приводит к необходимости учета значительного количества дополнительных эффектов и явлений [9, 18].

Несмотря на то, что теоретическую базу для решения связанных задач механики можно считать хорошо освещенной в зарубежных [10-12] и отечественных публикациях [13-15], особенно в рамках макрофеноменологиче-ского подхода к построению определяющих соотношений и описанию фазовых превращений [16, 17], работ, в которых показано использование данного задела в виде алгоритмов и доведенных до практического результата применительно к конкретному технологическому процессу, в отечественной литературе все еще немного.

Цель исследования заключается в решении связанных задач МДТТ по прогнозированию НДС титановых псевдо-а-сплавов, подвергнутых импульсному термосиловому воздействию.

Объектом исследования является технология электромеханической обработки в приложении к титановым псевдо-а-сплавам, которые при локальном тепловом воздействии на поверхностный слой изменяют свой фазовый состав в связи с мартенситным фазовым переходом.

1. Основные уравнения и граничные условия

Электромеханическая обработка представляет собой поверхностную закалку за счет тепла, выделяющегося при прохождении переменного тока высокой плотности через зону контакта детали и движущегося со скоростью и и усилием P деформирующего электрода-инструмента (ролика или пластины).

Далее показана математическая (континуальная) постановка связанной термосиловой контактной задачи с учетом фазовых превращений, а также используемое при численном решении вариационное уравнение.

1.1. Континуальная постановка

Решение задачи основано на системе дифференциальных уравнений теплопроводности и равновесия (квазистатическая постановка), содержащей в явном виде связанные члены:

V-о + f = 0,

-V- q + бфаз + бмех = CpT& |

(1)

где V - оператор набла в актуальной конфигурации деформируемого тела; о - тензор напряжений Коши; /- вектор объемных сил; ц - вектор потока тепла; T -температура; 0фаз - скрытая теплота фазовых превращений; Qмех - теплота, соответствующая диссипации механической энергии при пластическом деформировании1.

Основные уравнения дополнены начальными и граничными условиями применительно к импульсной (переменным током) ЭМО детали твердосплавным инструментом в форме ролика (рис. 1, 1-3).

о-n = 0, ГгГс,

°- n = tc, { tc dr= fBH, Г e Г

Гс

gn ^ 0 ^ 0,g„°„ = a

(2)

где п - единичный вектор нормали к поверхности деформируемого тела в текущей конфигурации; /вн - век-

1 В работе в соответствии с принятыми обозначениями скалярные величины записываются строчными и прописными латинскими и греческими символами; векторные - строчными жирными латинскими символами; тензоры второго ранга - заглавными жирными латинскими и строчными жирными греческими символами; тензоры высших рангов - заглавными и строчными жирными латинскими символами с выделением ранга левым верхним индексом

тор внешней нагрузки, действующей на штамп; ^ - интенсивность нагрузки в контактной зоне; gn - функция расстояния (между деформируемой поверхностью и инструментом); ст„ - контактное давление; ui - компоненты вектора перемещений; е^ - компоненты тензора деформации; ст^ - компоненты тензора напряжений.

Контактный инструмент смоделирован эллипсоидным штампом, который принимался абсолютно жестким (материал ролика значительно тверже материала обрабатываемой детали). На свободной поверхности задано равенство нулю нормальных и касательных напряжений. Силовые граничные условия дополнены краевыми условиями Герца-Синьорини. На бесконечности и в начальный момент времени напряжения, деформации и перемещения отсутствуют.

Расчетная область вследствие малой кривизны поверхности и локальности воздействия задавалась в виде полупространства с подобластями (зонами), различающимися по физико-механическим свойствам. Границы данных зон соответствуют областям металла с разной структурой, формирующейся в ходе термосилового на-гружения (например, фрагменты со структурой закалки, отпуска и исходного состояния; зоны 1, 2 на рис. 1). Их текущее положение необходимо устанавливать на каждом расчетном шаге из решения рассматриваемой связанной задачи.

В подвижной зоне контакта эллипсоидного штампа и детали задавался эквивалентный равномерно распределенный поверхностный источник тепла q переменный во времени t. Температура в начальный момент времени Т0 и на бесконечности Тт равна температуре окружающей среды Тср, краевые условия на поверхности

для второго уравнения системы (1) заданы системой

q-n = h(f-Tcp) + oe(f4 -Tc4p), ГгГ

q- n = -4д

rri\J ГГ1 лу-rW лут

T = T cp T = T cp,

ГеГ

(3)

где h - коэффициент конвективного теплообмена; с -постоянная Стефана-Больцмана; е - коэффициент теплового излучения. В случае ЭМО переменным током удельная мощность источника ддж определяется согласно закону Джоуля-Ленца:

ддж = 2kUI sin2 (2nvt), (4)

где I - действующее значение силы тока; U - падение напряжения в контактной области; k - коэффициент, учитывающий перераспределения тепла между инструментом и деталью; v - частота тока.

Специфика задачи также требует анализа структуры металлического сплава, подвергнутого ЭМО, для определения физико-механических свойств в данной точке в текущий момент времени. Особенности решения тепловой части задачи, а также моделирование фазовых превращений были опубликованы ранее [18].

c

Рис. 1. Расчетная схема неоднородного тела и граничные условия при контактном температурно-силовом воздействии (в ходе ЭМО)

Fig. 1. Computational scheme of a non-uniform body and boundary conditions under the contact temperature-force effect (during the EMT)

1.2. Вариационное уравнение и геометрия контактного взаимодействия

В работе использовался вариант вариационного уравнения в актуальной конфигурации деформируемого тела с дополнительным контактным членом, введенным согласно методу штрафов [25]:

| V®5ы :оя+1 <Ю= | f • 5и<Ю +

"+1 о "+1 о

+ | г • 5ы аг- шп | gn%• 5ы аг, (5)

П+П

где г — вектор напряжений; юи - параметр штрафа; %1 - вектор нормали на поверхности штампа.

Поверхность эллипсоидного штампа в каждый момент времени описывалась непрерывными взаимнооднозначными функциями X = X £,2 ^ :

штампа % и в зависимости от расстояния между ними определить статус контакта. Математически данную задачу в общем виде можно сформулировать в виде системы нелинейных уравнений вида

ах

К- (4\42).(x, - % 4-.i2 ))|- . 0.

(7)

дх дх

где —- = —- е^ = %% — касательные векторы в точке

д^г д^г е '

контакта на поверхности жесткого штампа.

x1 = a sin (^) sin () + x x2 = b sin (^) cos () + >

x3 = c cos (^) + z0 +u-1.

0 < ^ < 2n.

-П < < (6) 2 2

где a, Ь, c — полуоси эллипсоида; х0, г0 — начальное положение центра эллипсоида; и — линейная скорость движения штампа; — текущая глубина внедрения штампа.

Важным этапом решения задачи является определение зоны контакта. Для этого на первом этапе необходимо для точек , находящихся на сопряженной поверхности деформируемого тела (рис. 2), найти соответствующую ближайшую точку на поверхности

Рис. 2. Геометрия контактного взаимодействия Fig. 2. Contact interaction geometry

Уравнение (7) не имеет аналитического решения, поэтому для определения точки контакта использовался метод Ньютона:

Эк1 Эк1

Э^1 Э^2

Эк2 Эк2

Э^1 Э£2

д^1" "-к1"

д^2 _ -к2 _

(8)

о

Ба^иШ У.Р., Бетявукк ОХ, Zakharov 1.М., КошапепкоМО., ¥ж1оу 8.Л. /РМЕРиМвскапс Би1Ыт 3 (2019) 112-124

где - коррекция точки контакта на текущем шаге решения локальной системы нелинейных уравнений. После определения ближайшей точки на главной поверхности необходимо вычислить функцию расстояния, которая определяется согласно следующему выражению:

1

■п =( X - % ^ ))• ). (9)

ёп =

Для точек, находящихся в контакте, функция (9) принимает значения меньше нуля.

2. Построение определяющих соотношений

2.1. Скоростная форма

Построение определяющих соотношений в упруго-пластической области деформирования осуществлялось на основе аддитивного разложения тензора скоростей деформации на упругую, пластическую и дилатацион-ную составляющие. Дилатационной части тензора скоростей деформации соответствует тепловая деформация и объемная деформация при фазовых превращениях, вычисляемая пропорционально доле образующейся мартенситной фазы:

Б = Бе + Бр + Vе1, (10)

где Бd - дилатационная часть тензора скоростей деформации; Бd ат2&+15ф & 1; ат - коэффициент

линейного теплового расширения; 5ф - относительное изменение объема при фазовом переходе; & - скорость образования новой фазы (С = С(Т)). В данной работе

для описания мартенситного фазового перехода использовалось уравнение Койстинена-Марбургера, более подробно особенности описания фазового превращения рассмотрены в работе [18].

В работе использовался термодинамический подход к построению определяющих соотношений [19, 27]. В результате связь между напряжениями и деформацией выражалась в следующей форме:

о1 = 4 С: (б - Dp - Dd ), (11)

где о1 - производная Яуманна тензора напряжений

Коши, о1 = &+ W • о - о • W; & - материальная производная тензора напряжений Коши; W - тензор вихря,

W = 1/2(V® Vх -V® V); 4С - тензор упругости для изотропной среды, 4 С = (^ + ( 2/3) ц)1 ® 1 + 2ц 41йет;

- единичный тензор-девиатор четвертого ранга, 1<!еу = 41 -11 ® 1; х, д - константы Ламе; 41 - симмет-

ричный единичный тензор четвертого ранга, 41 = 1/2 [>*81 + 8а 8ук ] е ® е; ® ек ® е ; 1 - единичный

тензор второго ранга, 1 = 8уе ® е .; 8у - символ Кроне-кера, 8И = 81 = | ' ' 1'

р, 1 |о,/* у.

Принималась обобщенная функция текучести Ми-зеса, зависящая от скорости пластической деформации, температуры и фазового состава:

/(п, ер, & ,Т, С) = 1|п|| -^г (ер , & ,Т, с) < 0, (12)

где & - скорость эффективной пластической деформации; п - тензор относительных напряжений, п = s - а; а - тензор микронапряжений, определяющий центр смещенной поверхности нагружения; в - девиаторная часть тензора напряжений Коши, в = 41: о.

Согласно закону ассоциированного пластического течения использовались следующие эволюционные соотношения для принятых внутренних переменных:

Б

а/ = 4 Н : Бр = И„ Бр,

%=& 4На_

4

(13)

где N - единичный тензор-девиатор ортогональный поверхности текучести; - пластический множитель (множитель Лагранжа), связанный со скоростью пластической деформации; а1 - производная Яуманна тензора микронапряжений; 4На = Иа 41 - тензор кинематического упрочнения; И - модуль кинематического упрочнения. Использованное правило кинематического упрочнения при этом соответствует обобщенной модели Ишлинского-Прагера [28].

Зависимости модуля кинематического упрочнения и радиуса поверхности текучести Иа и г могут быть представлены в виде произвольных гладких функций, аппроксимирующих экспериментальные данные механического поведения материала при высокоскоростном высокотемпературном деформировании [29]. В данной работе использовался модифицированный авторами для комбинированного упрочнения вариант модели Джонсона-Кука [20]:

1 + к

г (ер, &, Т, С)= ст + кх (ер )

, Л"2

1п—

И «( ер

1 -

т - Т

\п3

Т -Т

\ пл ср у

(ер, &, Т) = к, (ер )"1

1 + к

,\"2

1п—

1 -I

Т - Т

ср

Тт - Т„

\"3

х

х

где Тпл — температура плавления; & — скорость пластической деформации при стандартном испытании на растяжение; от, кг, щ — константы материала. При этом

предел текучести материала от = г (от) определялся согласно правилу смеси, также предполагалось, что остальные константы не зависят от фазового состава.

2.2. Интегрирование определяющих соотношений

Интегрирование соотношения (13) осуществлялось с использованием локальной промежуточной конфигурации, свободной от жестких поворотов:

= Qa

• Qa+At 4с :|D„

Dp

Dn+ К

D

ln+1

= Qa^ an • Qa+AtHaDp

Ортогональный тензор QA = Qn+1 • - n+1'

(15)

n q

1п+1 • V« = Чг

(Чг = Чг — собственный базис тензора скоростей деформации) вычислялся согласно решению однородного дифференциального уравнения вида

<&= w •

VI ,=0 = 1. I

(16)

Система уравнений (16) решалась численно, согласно следующему выражению [21]:

Qa = 1 +|1 ~~at wn +i

I 2'

At W

(17)

Вычисление напряжений на текущем шаге, а также интегрирование соотношений (13), (15) было выполнено с помощью обобщенного авторами алгоритма проецирования напряжений на поверхность нагружения [22], которое в рамках критерия Мизеса происходит в радиальном направлении (рис. 3).

Основной алгоритм при этом состоит из двух этапов. На первом этапе, называемом «упругое приближение», приращения полной деформации, вычисленные согласно (17), считаются полностью упругими. Следовательно, накопленная эффективная пластическая деформация, а также тензор микронапряжений остаются неизменными с предыдущего шага (без учета поворота):

г о = Qa • On- Ql + 4 C : (Ae-Aed ), tr a = Qa • a n- QA

Vp = eP,

(18)

где ^ — индекс упругого приближения; Дгй =аДТ«+11 + Дгф — суммарное приращение температурной деформации и деформации, соответствующей фазовому переходу.

Далее необходимо вычислить тензор относительных напряжений 4г п = 4г с - 4г а - -^г (4г с )1 и проверить

Рис. 3. Проецирование на поверхность нагружения (след поверхности нагружения на девиаторной плоскости)

Fig. 3. Return mapping algorithm (trace of the loading surface on the deviator plane)

Если / (1г п, 'гер, Тп+1, Сп+1) < 0, значит, материал находится в упругом состоянии и первый шаг становится окончательным:

tr_

tr.

On+1 = O, an+1 = a, en+1 = ei

(19)

В противном случае для /(1гп,11 ер,Тп+1,Сп+1 )> 0

точка, соответствующая текущему НС в пространстве напряжений (см. рис. 2), выходит за пределы поверхности нагружения, т.е. имеют место пластические деформации. Следовательно, необходим второй этап — коррекция НС, называемый проецированием напряжений на поверхность нагружения, который выполняется с учетом накопленной пластической деформации и ее скорости:

= tr о - 2^yN,

n+1

= tr a - HayN,

"n+1

*l+i =el +л/-y,

(20)

где у — пластический множитель, определяющий интенсивность пластической деформации, у = .

Значение пластического множителя при этом находится итерационно из решения в общем случае нелинейного уравнения следующего вида:

f (П

ep & T

n+1 ' с n+1 ' "«+П L n+1

,C n+1) :

условие текучести.

r П -(2Ц + Ha(ep+1, e&+1 ,Tn+1)) у -(e"+1, &+1, T"+1, ^+1 ) = 0'

(21)

о

3. Инкрементальное уравнение

4. Результаты моделирования

Нелинейное уравнение (5) решалось методом Ньютона, в рамках которого необходимо линеаризовать входящие в (5) нелинейные члены для получения так называемой касательной «жесткости», точное выражение которой обеспечивает квадратичную скорость сходимости итерационного процесса. Процедура линеаризации достаточно громоздка и показана отдельно в приложении. Отметим, что матрица, соответствующая касательной «жесткости», несимметрична и не полностью согласована с процедурой интегрирования, так как не учитывает промежуточную локальную конфигурацию, использованную при интегрировании определяющих соотношений. Тем не менее скорость сходимости итерационного процесса при использовании уравнения близка к квадратичной [23]:

| (V®5и:(4Сгага + 4С*): V®Дu + о^ ^утх

"+1о

х^®Зи1 • V®Ди))Ш + ю„ | 5и• п®п•ДиаГ-

-

-

j g„S-jj (n®g).Диdr-

r c

j g„8u• g'j (gj ®n)^dr-

Jr ^

Г c

j gnSu • b (gi ® gj )Ди dr =

= j 5u • t dr + j 5u • f dQ +

"+1r n+1Q

+ j V® 5u :4 Ccons ^dQ-

n+1Q

- j V® 5u :o„+1 dQ-ro„ j g„n• 5udr,

„+1П „+1rc

U

e* (u, Д^ 5u) + cП (u, Д^ 5u) = = l (5u) - e (u, 5u) - cn (u, 5u),

(22)

где - определитель метрической матрицы поверхности, ,%= det () ; - обратная метрическая матрица

поверхности; % - коэффициенты второй квадратичной формы поверхности.

Инкрементальное уравнение (22) решается на каждом шаге нагружения относительно приращения перемещений до тех пор, пока норма невязки (правая часть уравнения) не станет меньше заданного значения. При этом на каждой итерации происходит уточнение текущего вектора приращения перемещений и актуальной конфигурации:

На основе приведенных соотношений был разработан алгоритм решения поставленной задачи, и проведена серия вычислительных экспериментов, моделирующих температурно-силовое воздействие на титановый псевдо-а-сплав Ti6Al2V применительно к технологии импульсного термосилового поверхностного упрочнения.

Установлено, что электромеханическая обработка поверхности титановых сплавов приводит к формированию в поверхностном слое дискретно структурированных областей остаточных напряжений, что связано, с одной стороны, с импульсным воздействием источника тепла (синусоида), а с другой - с дискретностью формирующейся мартенситной структуры (рис. 4). В зоне упрочнения по всей глубине можно выделить два основных участка регулярной картины остаточных напряжений: участок упрочненной структуры и зона в окрестности разупрочненных фрагментов микроструктуры. Напряженное состояние при этом делится на чередующиеся в пространстве зоны с наибольшими по модулю сжимающими и растягивающими окружными напряжениями. На большей глубине напряженное состояние становится более однородным без регулярных зон, интенсивность остаточных напряжений при этом значительно снижается. Значительную роль в распределении остаточных напряжений играет деформационная составляющая воздействия, установлено, что при увеличении усилия на инструменте с минимального до 250 Н величина растягивающих остаточных напряжений уменьшается в три раза. Удобная для анализа эпюра максимальных остаточных напряжений показана на рис. 5.

Aui+1 = Au^ + cor uk

Дun+1 = Д^+1 + u , xk+1 = xk +Auk+1

Рис. 4. Картина структуры и остаточных напряжений в объеме поверхностного слоя титанового сплава Ti6Al2V после электромеханической обработки (I = 400А , P = 250Н

(усилие на ролике) со скоростью и = 1,64м/мин)

Fig. 4. Picture of the structure and residual stresses in the surface layer of Ti6Al2V titanium alloy after electromechanical treatment (I = 400А , P = 250 Н (force on the roller) with speed

и = 1,64mmin)

r

- w

n

r

Отметим, что весь диапазон вариантов распределения остаточных напряжений при термосиловом упрочнении титанового сплава Ti6Al2V, сопровождающемся образованием износостойких слоев, укладывается в интервале между второй и третьей эпюрой (Р = ОН и Р = 250Н соответственно) (см. рис. 5).

Рис. 5. Максимальные остаточные напряжения в поверхностном слое титанового сплава Ti6Al2V при различных вариантах высокоэнергетического воздействия: h - текущее расстояние до поверхностного слоя; h0 - толщина поверхностного слоя, в котором произошел фазовый переход (1 - с усилием P = 250Н , I = 0 А; 2 - с минимальным усилием P = 10Н ,

I = 400А ; 3 - с усилием P = 250Н , I = 400А )

Fig. 5. The maximum residual stresses in the surface layer of Ti6Al2V titanium alloy with different variants of high-energy impact: h - is a distance to the surface; h0 - is a hardened layer thickness (1 - P = 250Н , I = 0 А; 2 - with minimal force

P = 10Н , I = 400А ; 3 - P = 250Н , I = 400А )

На основании результатов расчета можно сделать следующий вывод: неблагоприятное влияние высоких температур на поверхностный слой материала, характерное для многих технологий поверхностного упрочнения, можно несколько нивелировать с помощью интенсивного силового воздействия. При этом наиболее благоприятное распределение получается при исключительно силовом воздействии на поверхностный слой материала (см. рис. 5), однако в таком случае структура материала остается неизменной.

Несколько улучшить данную картину можно, если применить комбинацию термосиловых воздействий на материал, после термосилового упрочнения использовать поверхностно-пластическое деформирование (ППД). На рис. 6 приведены эпюры остаточных напряжений после комбинированного варианта упрочнения ЭМО + ППД. Такая комбинация позволяет создать под поверхностью упрочненной структуры область сжимающих напряжений (напряженное состояние, близкое к трехосному сжатию) с интенсивностью даже несколько больше, чем при обычном силовом воздействии

(ППД) (см. рис. 5). Общий характер напряженного состояния в упрочненной зоне не меняется, а лишь смещается в область растягивающих напряжений меньшей интенсивности. Аналогичная ситуация наблюдается и при использовании обработки поверхностным пластическим деформированием после термосилового воздействия с минимальным усилием, экстремум сжимающих напряжений при этом находится на большей глубине.

а., МПа -600 -200 200 600

4 у Л з / / /'// J 1.0 /

• ф* г /

Л 1 им 2.0

\\

1000

Рис. 6. Максимальные остаточные напряжения в поверхностном слое титанового сплава Ti6Al2V при различных вариантах комбинированного термосилового воздействия (1 - с минимальным усилием P = 10Н , I = 400А ; 2 - с минимальным усилием P = 10Н , I = 400А + P = 250Н ; 3 - с усилием P = 250Н , I = 400А ; 4 - с усилием P = 250Н , I = 400А + + P = 250Н )

Fig. 6. The maximum residual stresses in the surface layer of Ti6Al2V titanium alloy with different variants of high-energy impact (1 - with a minimal force P = 10Н , I = 400А ; 2 - with

a minimal force P = 10Н , I = 400А + P = 250Н ; 3 - P = 250Н ,

I = 400А ; 4 - P = 250Н , I = 400А + P = 250Н )

Выводы

1. Приведен алгоритм решения связанной контактной задачи термовязкопластического деформирования полупространства с учетом протекающих при этом процессов фазовых превращений.

2. На основе разработанного алгоритма получено пространственное распределение остаточных напряжений для различных вариантов комбинированного термосилового воздействия.

3. Показано, что электромеханическая обработка поверхности титанового сплава Ti6Al2V приводит к формированию в поверхностном слое дискретно структурированных областей остаточных напряжений с периодичностью, аналогичной распределению зон упрочнения.

4. Установлено, что темосиловое воздействие способствует формированию в поверхностном слое титанового сплава Ti6Al2V растягивающих остаточных на-

пряжений. При этом увеличение усилия на инструменте с 10 до 250 Н при ЭМО приводит к снижению растягивающих остаточных напряжений в три раза

5. Показано, что наиболее оптимальное распределение остаточных напряжений получается в результате комбинации термосиловых воздействий ЭМО+ППД.

4(^cons _ __

4д 2N ® N

2Д + H а +

±12

At\ 3

дНа ^2 _дг_ Y + Д/ 3

4Ц 2 Y

lltr nil

( 41dev - N ® N) .

Приложение

Касательная жесткость применительно к уравнению (5) имеет достаточно сложный вид, поэтому проведем линеаризацию в несколько шагов.

1) Продифференцируем приращение напряжений, определяемое согласно вышеприведенному алгоритму

проецирования До = 4 С: (Де - Д^ ) - 2по отношению к приращению деформации:

4-сош ЗДо ^ „..Г ду

Ccons = —= 4C-2||у —+ N(24) дЛ£ I дЛ£ дЛ£,

Для определения производной найдем произ-

ЗДе

д/

водную ——, которая согласно условию стационарно-

ЗДе

сти поверхности текучести (12) при пластическом деформировании равна нулю на всем временном интервале от 4 до 4+1:

df

д||trn|| д((2| + Hjy + ^r) ду

дЛ£ дЛ£

(

= 2|N -

2| + На +

±¡2

aW з

дна _дг_

д& Y Л 3 д&

дЛ£

_ду_

дЛ£

= 0, (25)

данное выражение получено с учетом равенства

д| I* 4 д| I* п||

дЛе

-П = N :2ц 41deV = 2цК СДе

Таким образом, получим производную ,

СДе

(26)

&L дД£

2|N

„ „ 12 дНа 12 дг 2| + Н а + —.--+---

а дп з as Д/ з д&

(27)

Далее вычислим производную

с^ _з^д.

СДе дtг п : ЗДе Л

5N

дД£

n

tr n ® tr n

n

: 2I !dev =

2| N

( 4ldev - N ® N). (28)

Подставив (26) и (27) в (24), получим согласованную касательную жесткость для выбранного класса моделей поверхности пластичности:

2) На следующем этапе линеаризуем непосредственно вариационную формулировку, далее запишем только интеграл, соответствующий работе внутренних сил, для удобства опустив обозначение п+1 шага на-гружения:

?(u, 5u ) = jv® 5u dQ.

(30)

Данную процедуру осуществим в начальной конфигурации, а затем трансформируем полученную касательную жесткость обратно в актуальную конфигурацию:

o

?(u, 5u ) = jv® 5uT • F-1:o JdQ .

(31)

o

Q

Запишем линеаризованную форму уравнения (31): е (и, Ди, 5и) = = |(\7® 5ит F-1 ):о— + \7® 5ит х

х F_1:Aw J + V® 5uT • F 1:w AJ IdQ. (32)

Пользуясь определением производной по направлению, найдем приращение градиента деформации:

AF = DF (x )[Au] =

д( x + aAu)

дХ

дЛu t

-= V®AuT.

дХ

(33)

Вычислим приращение a(f 1) :

Д

(F • F-1 ) = AF • F-1 + F ^A(f-1 )

| = 0 ^

^Д

(F-1 )•

= -F-1 •AF• F-1 = -F-1 • V® AuT • F-1.

(34)

Найдем приращение определителя градиента деформации, пользуясь правилом цепного дифференцирования применительно к производной по направлению:

д/

Д/ = Ш (х )[Ди]= —:DF (х)[Ди] =

О

= -т : V® Дит = = —г| V® Ди• F-1 = —г(V® Дит ) = — V • (Ди). (35)

q

Подставим полученные выражения для соответствующих приращений в предварительно линеаризованное уравнение (31):

е (и, Ди, 5и) =

( о О А

-V® 5ит • ^ • V® Дит • F-1:о3 +

= 1

+ V® 5ит • F-1:До 3 + + V® 5ит • F-1:о • V • (Ди)3

ал. (36)

Далее последовательно преобразуем каждое слагаемое соотношения (34):

-V® 5ит • F-1 •V® Дит • F-1: о 3 =

= ^® 5и• V® Дит • F-1:о3 =

= -V® 5и •V®Дu :о 3. (37)

Подставим во второе слагаемое выражение для производной Яуманна:

О

V® 5ит • F-1:До 3 = 5и:(До; + Д^ • о - о •Д^) 3. (38)

Трансформируем последний член в текущую конфигурацию:

О

V® 5ит • F-1: о • V • (Ди) 3 = V® 5и: о'У-(Ди) 3. (39)

Запишем уравнение (39) с учетом сделанных преобразований и, воспользовавшись свойством определителя градиента деформации, трансформируем линеаризованную форму обратно в метрику текущей конфигурации:

е* (и, Ди, 5и ) = IV® 5и:(До;+Д^ • о - о •Д^ -

- о • V ® Дит + ©V • (Ди)) ал.

(40)

С целью упрощения выражения (40) последовательно преобразуем входящие в него слагаемые. Приращение тензора напряжений Коши связано с приращением деформаций соотношением

До1 = 4 С°°ш : (Дг -Дга ).

(41)

Выразим второе слагаемое в производной Яуманна через приращение градиента деформации, воспользовавшись известными свойствами единичных тензоров:

Д^• о = 1 (V® Дит - V® Ди)• о = 1 (41П - 41Ш): V® Ди • о =

2'

= о • 1 (41П - 41Ш): V® Ди :

= - (ст18'к -ст18'1 ) е ® е] ® ек ® е1 : V®Au, (42)

4л

где 1П - второй единичный тензор четвертого ранга,

41п = е ® е- ® е ® е1 = 8'к81 е ® еу ® ек ® е ; 41ш -

третий единичный тензор четвертого ранга,

4^ = е ® ej ® е1 ® е' = 8'181кei ® ® ек ® е1. Аналогичным образом получаем и третье слагаемое:

-о •Д^ = о1 (V® Ди - V® Дит) = = о 1 (41Ш - 41П): V® Ди =

= 1 (ст'181 -ст'к811)е ®е] ®ек ®е1 : V®Au. (43)

Также преобразуем последнее слагаемое в (40), воспользовавшись свойством первого единичного тензора четвертого ранга:

оУ • (Ди) = о• ^(V® Ди) 1 = о• 41 : У®Ди =

= (сту'8к1)е ®е; ®ек ®е : V®Au = о® 1: V®Au, (44)

где 1 - первый единичный тензор четвертого ранга,

41 = 1 ®1 = е ®е' ®еу ®е1 =8"'8к1е ®^ ®% ®е; .

Далее подставим выражения (41)-(44) в (40) и получим окончательное выражение касательной жесткости для вариационной формулировки в актуальной конфигурации с использованием производной Яуманна:

е (и, Ди,5и) = J(V® 5и:(4Сс°ш + 4С*) : V®Au +

л

+ о ^уш (V® 5ит • V ® Ди)) ал, (45)

где 4 С* - тензор 4-го ранга, воспроизводящий эффект «поворота» тензора напряжений Коши, 4 С =

= о ® 1 + 4 Сг° =

- ст

8к1 + У 2 (ст'181к +ст118'к -ст'к811 ■ 18'1)] е ® е] ® ек ® е1.

3) Необходимо также линеаризовать нелинейный контактный член в уравнении (5):

I (Дв.

„~е„ + вп A8g„) ¿Г.

(46)

Для линеаризации соотношения (46) необходимо найти также приращение и вторую вариации функции расстояния Двп, Д8вп. Линеаризация функции расстояния (9) осуществлялась на основе подхода, предложенного в работе [24], согласно которому выражения для вариации и приращения функции расстояния могут быть представлены в виде

8в п =8и • %

п (47)

Дв п =Ди • % ( )

Вторая вариация функции расстояния с учетом одностороннего характера контакта принимает следующий вид:

л

г

ASgn =-S

Su

дЕ,'

i>)-Au -

- Su •

)%sau-Su 1 дЕ'

Au.

(48)

Далее поставим найденные выражения для первой и второй вариаций функции расстояния в (46) и получим линеаризованную форму интегрального слагаемого сп (и, Зи) :

Ь [сп (и 5и)] Ди = с( (иДиЗи) =

| Зи•(п®п)диаг-

= ю.

j gnS^-g' (n®g')•Audr-

дЕj

- w

n j n

n+1

- Wn j gnSu • gj( gj ® n dr-

Jr y 7 дЕ'

Г c

- ®n j gnSu • b' (g' ® gj )-Au dr. (49)

Благодарность

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ в рамках проектов № 18-41-343007 р_мол_а, № 18-48-340010 р_а, № 17-08-01648 а, № 17-08-01742 а.

Acknowledgment

This work was financially supported by the Russian Federal Property Fund in the framework of projects No. 18-41-343007 r_mol_a, No. 18-48-340010 p_a, No. 17-08-01648 a, No. 17-08-01742 a, as well as a presidential grant No. MK-943.2017.8

Библиографический список

1. Поздеев А.А., Няшин Ю.И., Трусов П.В. Остаточные напряжения: теория и приложения. - М.: Наука, 1982.

2. Горынин И.В., Чечулин Б.Б. Титан в машиностроении. - М.: Машиностроение, 1990. - 400 с.

3. Федирко В.Н., Лукьяненко А.Г., Труш В.С. Твердорас-творное упрочнение поверхностного слоя титановых сплавов. Ч. 1. Влияние на механические свойства // Металловедение и термическая обработка металлов. - 2014. - № 7. - C. 27-33.

4. Куркин А.С., Макаров Э.Л. Программный комплекс «Сварка» - инструмент для решения практических задач сварочного производства // Сварка и диагностика. - 2010. -№ 1. - С. 16-24.

5. De A., DebRoy T. A perspective on residual stresses in welding // Science and Technology of Welding and Joining. -2011. - Vol. 6. - No 3. - Р. 204-208.

6. Numerical simulation of multilayered multiple metal cast rolls in compound casting process / S. Lu, F. Xiao, Z. Guo, L. Wang, H. Li, B. Liao // Applied Thermal Engineering. - 2016. -Vol. 93. - Р. 518-528.

7. Modelling residual stresses in sand-cast superduplex stainless steel / G. Palumbo, A.Piccininni, V. Piglionico, P. Guglielmi, D. Sorgente, L. Tricarico // Journal of Materials Processing Technology. - 2015. - Vol. 217. - Р. 253-261.

8. Simulation of multi-frequency-induction-hardening including phase transitions and mechanical effects / D. Homberg, Q. Liu, J. Montalvo-Urquizo, D. Nadolski, T. Petzold, A. Schmidt, A. Schulz // Finite Elements in Analysis and Design. - 2016. -Vol. 121. - Р. 86-100.

9. Багмутов В.П., Захаров И.Н., Денисевич Д.С. Особенности решения технологических задач механики неоднородных металлических тел со структурой, трансформирующейся в ходе термосилового нагружения // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2016. - № 1. - С. 5-25.

10. Phase-field simulation of stress-induced martensitic phase transformations at large strains / V.A. Levin, V.I. Levitas, K.M. Zingerman, E.I. Freiman // International Journal of Solids and Structures. - 2013. - Vol. 50 - P. 2914-2928.

11. Three-dimensional phase-field modeling of martensitic microstructure evolution in steels / H.K. Yeddu, A. Malik, J. Agren, G. Amberg, A. Borgenstam // Acta Materialia. - 2012. -Vol. 43. - P. 1538-1547.

12. Yeddu H.K., Lookman T., Saxena A. Strain-induced mar-tensitic transformation in stainless steels: A three-dimensional phase-field study // Acta Materialia. - 2013. - Vol. 61. - P. 69726982.

13. Краевые задачи механики для сплавов с памятью формы / А.А. Мовчан, С.А. Казарина, А.Е. Машихин, И.В. Мишустин, Е.Б. Саганов, П.А. Сафронов // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. - 2015. - Т. 157, кн. 3. - С. 97-110.

14. Гринфельд М.А. Фазовые переходы первого рода в нелинейно-упругих материалах // МТТ. - 1982. - № 1. - С. 99-109.

15. Гринфельд М.А. Методы механики сплошных сред в теории фазовых превращений. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. - 312 с.

16. Исупова И.Л., Трусов П.В. Обзор математических моделей для описания фазовых превращений в сталях // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2013. - № 3. - С. 157-191.

17. Покровский А.М. Расчет НДС в цельнокованых и биметаллических прокатных валках при термической обработке // Изв. вузов. Машиностроение. - 2012. - № 4. - C. 35-41.

18. Об учете нелинейных и связанных эффектов тепловой задачи и фазовых переходов при моделировании технологии контактного термосилового поверхностного упрочнения металлических сплавов / В.П. Багмутов, Д.С. Денисевич, И.Н. Захаров, А.Ю. Иванников // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2017. - № 1. - С. 233-250.

19. Трусов П.В., Келлер И.Э. Теория определяющих соотношений: курс лекций. Ч. I. Общая теория / Перм. гос. техн. ун-т. - Пермь, 1997. - 98 c.

20. Johnson G.R., Cook W.H. A constitutive model. and data for metals subjected to large strains, high strain. rates and high temperatures // Proceedings of the 7th. International Symposium on Ballistic. - Hague, Nether-lands, 1983. - P. 541-547.

г

г

c

21. De Souza Neto E.A., Peric D., Owen D.R.J. Computational Methods for Plasticity: Theory and Applications. - John Wiley & Sons Ltd, 2008. - 816 p.

22. Султанов Л.У. Исследование конечных упругопласти-ческих деформаций: алгоритм решения, численные примеры // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. - 2017. - T. 154, № 4. - С. 509-517.

23. Kim N-H. Introduction to Nonlinear Finite Element Analysis. - New York: Springer, 2015. - 430 p.

24. Konyukhov A., Schweizerhof K. Contact formulation via a velocity description allowing efficiency improvements in fric-tionless contact analysis // Computational Mechanics. - 2004. -No. 33. - Р. 165-173.

25. Wriggers P. Computational Contact Mechanics. - Berlin: Springer, 2006. - 519 p.

26. Numerical and experimental analysis of 3D spot induction hardening of AISI 1045 steel / K. Gao, X. Qin, Z. Wang, H. Chen, Sh. Zhu, Y. Liu, Y. Song // Journal of Materials Processing Technology. - 2014. - Vol. 214. - P. 2425-2433.

27. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Термодинамический подход к построению математических моделей термомеханики // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. - 2008. - № 3. - С. 70-74.

28. Han W., Reddy B.D. Plasticity. Mathematical theory and numerical analysis. - New York: Springer-Verlag, 2013. - 2nd Ed. -424 p.

References

1. Pozdeev A.A., Nyashin Yu.I., Trusov P.V. Ostatochnye napryazheniya: teoriya i prilozheniya [Residual stresses: theory and applications]. Moscow, Nauka, 1982.

2. Gorynin I.V., CHechulin B.B. Titan v mashinostroenii [Titanium in mechanical engineering]. Moscow, Mashinostroenie, 1990, 400 p.

3. Fedirko V.N., Luk'yanenko A.G., Trush V.S. Tverdoras-tvornoe uprochnenie poverhnostnogo sloya titanovyh splavov. Chast' 1. Vliyanie na mekhanicheskie svojstva [Solid solution hardening of the surface layer of titanium alloys. Part 1. Effect on mechanical properties]. Metallovedenie i termicheskaya obrabotka metallov, 2014, no. 7, pp. 27-33.

4. Kurkin A.S., Makarov EH.L. Programmnyj kompleks «Svarka» - instrument dlya resheniya prakticheskih zadach svarochnogo proizvodstva [The software package "Welding" is a tool for solving practical problems of welding production]. Svarka iDiagnostika, 2010, no. 1, pp. 16-24

5. A. De, T. DebRoy. A perspective on residual stresses in welding. Science and Technology of Welding and Joining, 2011, vol. 6, no 3, pp. 204-208

6. S. Lu, F. Xiao, Z. Guo, L. Wang, H. Li, B. Liao. Numerical simulation of multilayered multiple metal cast rolls in compound casting process. Applied Thermal Engineering, 2016, vol. 93, pp. 518-528.

7. G. Palumbo, A.Piccininni, V. Piglionico, P. Guglielmi, D. Sorgente, L. Tricarico. Modelling residual stresses in sand-cast superduplex stainless steel. Journal of Materials Processing Technology, 2015, vol. 217, pp. 253-261.

8. D. Homberg, Q. Liu, J. Montalvo-Urquizo, D. Nadolski, T. Petzold, A. Schmidt, A. Schulz. Simulation of multi-frequency-induction-hardening including phase transitions and mechanical effects. Finite Elements in Analysis and Design, 2016, vol. 121, pp. 86-100.

9. Bagmutov V.P., Zakharov I.N., Denisevich D.S. Features of solving technological problems in mechanics of bodies with non-uniform metal structure transformed in thermo-force loading.

29. ZeriUi F.J., Armstrong R.W. Dislocationmechanics-based constitutive relation for material dynamics calculations // Journal of Applied Physics. - 1987. - P. 1816-1825.

30. Çimçir C., Gur C.H. Mathematical framework for simulation of thermal processing of materials: application to steel quenching // Turkish J. Eng. Env. Sci. - 2008. - No. 32. - P. 85-100.

31. Mahnken R., Wolff M., Cheng C. A multi-mechanism model for cutting simulations combining visco-plastic asymmetry and phase transformation // International Journal of Solids and Structures. - 2017. - Vol. 166. - P. 193-201.

32. Кукуджанов В.Н., Левитин А.Л. Численное моделирование процессов резания упрговязкопластических материалов в трехмерной постановке // Изв. РАН. МТТ. - 2008. - № 3. -С. 208-216.

33. Simulation of coupled temperature, microstructure and internal stresses evolutions during quenching of a P-metastable titanium alloy / J. Teixeira, B. Denand, E. Aeby-Gautier, S. Denis // Materials Science & Engineering A. - 2016. - Vol. 651. -P. 615-625.

34. Трусов П.В., Волегов П.С., Кондратьев Н.С. Физические теории пластичности: учеб. пособие. - Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2013. - 244 с.

35. Y. Zhu, L.H. Poh. A finite deformation elasto-plastic cyclic constitutive model for ratcheting of metallic materials // International Journal of Mechanical Sciences. - 2016. - Vol. 117. - P. 265-274.

PNRPU Mechanics Bulletin. 2016, no. 1, pp. 5-25. DOI: 10.15593/perm.mech/2016.1.01

10. Levin V.A., Levitas V.I., Zingerman K.M., Freiman E.I.. Phase-field simulation of stress-induced martensitic phase transformations at large strains. International Journal of Solids and Structures, 2013, vol. 50, pp. 2914-2928.

11. Yeddu H.K., Malik A., Agren J., Amberg G., Borgen-stam A. Three-dimensional phase-field modeling of martensitic microstructure evolution in steels. Acta Materialia, 2012, vol. 43, pp. 1538-1547.

12. Yeddu H.K., Lookman T., Saxena A. Strain-induced mar-tensitic transformation in stainless steels: A three-dimensional phase-field study. Acta Materialia. 2013, vol. 61, pp. 6972-6982.

13. Movchan A.A., Kazarina S.A., Mashihin A.E., Mishus-tin I.V., Saganov E.B., Safronov P.A. Kraevye zadachi mekhaniki dlya splavov s pamyat'yu formy [Boundary-value problems of mechanics for alloys with shape memory]. Uchen. zap. Kazan. unta. Ser. Fiz.-matem. Nauki, 2015, vol. 157, part 3, pp. 97-110.

14. Grinfel'd M.A. Fazovye perekhody pervogo roda v nelinejno-uprugih materialah [First-order phase transitions in nonlinear elastic materials]. Mehanika tverdogo tela, 1982, no. 1, pp. 99-109

15. Grinfel'd M.A. Metody mekhaniki sploshnyh sred v teorii fazovyh prevrashchenij [Continuum mechanics methods in the theory of phase transformations]. Moscow, Nauka. Gl. red. fiz.-mat. lit., 1990, 312 p.

16. Isupova I.L., Trusov P.V. A review of mathematical models for describing phase transitions in steels. PNRPU Mechanics Bulletin, 2013, no. 3, pp. 157-191.

17. Pokrovskij A.M. Raschet NDS v cel'nokovanyh i bime-tallicheskih prokatnyh valkah pri termicheskoj obrabotke [Calculation of VAT in all-forged and bimetallic rolling rolls during heat treatment]. Izv. vuzov. Mashinostroenie, 2012, no. 4, pp. 35-41.

18. Bagmutov V.P., Denisevich D.S., Zakharov I.N., Ivannikov A.Yu. Nonlinear and coupled thermal effects during finite element simulation of contact thermo-force surface harden-

ing. PNRPU Mechanics Bulletin. 2017, no.1, pp. 233-250. DOI: 10.15593/perm.mech/2017.1.13

19. Trusov P.V., Keller I.EH. Teoriya opredelyayushchih sootnoshenij. Kurs lekcij. CH.I. Obshchaya teoriya [The theory of defining relations. Lecture course. Part I. General theory]. Perm. gos. tekhn. un-t. Perm', 1997. 98 p.

20. Johnson G.R., Cook W.H. A constitutive model. and data for metals subjected to large strains, high strain. rates and high temperatures. Proceedings of the 7th. International Symposium on Ballistic. Hague, Nether-lands, 1983, pp. 541-547.

21. De Souza Neto E.A., Peric D., Owen D.R.J. Computational Methods for Plasticity: Theory and Applications. John Wiley & Sons Ltd, 2008, 816 p.

22. Sultanov L.U. Issledovanie konechnyh uprugoplastiches-kih deformacij: algoritm resheniya, chislennye primery [The study of finite elastoplastic deformations: a solution algorithm, numerical examples]. Uchen. zap. Kazan. un-ta. Ser. Fiz.-matem. Nauki, 2017, vol. 154, no. 4, pp. 509-517.

23. Kim N-H. Introduction to Nonlinear Finite Element Analysis. New York: Springer, 2015, 430 p.

24. A. Konyukhov, K. Schweizerhof. Contact formulation via a velocity description allowing efficiency improvements in frictionless contact analysis. Computational Mechanics, 2004, no 336 pp. 165-173.

25. Wriggers P. Computational Contact Mechanics. Springer. Berlin, 2006, 519 pp.

26. K. Gao, X. Qin, Z. Wang, H. Chen, Sh. Zhu, Y. Liu, Y. Song. Numerical and experimental analysis of 3D spot induction hardening of AISI 1045 steel. Journal of Materials Processing Technology, 2014, vol. 214. pp. 2425-2433.

27. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N. Termodinamicheskij podhod k postroeniyu matematicheskih modelej termomekhaniki [Thermodynamic approach to the construction of mathematical models

of thermomechanics]. Vestnik MGTU im. N.EH. Baumana. Seriya «Estestvennye nauki», 2008, no. 3, pp. 70-74

28. Han W., Reddy B.D. Plasticity. Mathematical Theory and Numerical Analysis. Springer-Verlag New York, 2013, ed. 2, 424 p.

29. Zerilli F.J., Armstrong R.W. Dislocationmechanics-based constitutive relation for material dynamics calculations. Journal of Applied Physics, 1987, pp. 1816-1825

30. C. §im§ir, C.H. Gur. Mathematical Framework for Simulation of Thermal Processing of Materials: Application to Steel Quenching. Turkish J. Eng. Env. Sci, 2008, no. 32, pp. 85-100.

31. R. Mahnken, M. Wolff, C. Cheng. A multi-mechanism model for cutting simulations combining visco-plastic asymmetry and phase transformation. International Journal of Solids and Structures, 2017, vol. 166. pp. 193-201.

32. Kukudzhanov V.N., Levitin A.L. CHislennoe modeliro-vanie processov rezaniya uprgovyazkoplasticheskih materialov v trekhmernoj postanovke [Numerical modeling of cutting processes of visco-viscoplastic materials in three-dimensional setting]. Izvestiia Rossiiskoi akademii nauk. Mekhanika tverdogo tela, 2008, no. 3, pp. 208-216.

33. J. Teixeira, B. Denand, E. Aeby-Gautier, S. Denis. Simulation of coupled temperature, microstructure and internal stresses evolutions during quenching of a P-metastable titanium alloy. Materials Science & Engineering A, 2016, vol. 651, pp. 615-625.

34. Trusov P.V., Volegov P.S., Kondrat'ev N.S. Fizicheskie teorii plastichnosti: ucheb. posobie [Physical theories of plasticity: textbook. allowance], Perm', Izd-vo Perm. nac. issled. politekhn. un-ta, 2013, 244 p.

35. Y. Zhu, L.H. Poh. A finite deformation elasto-plastic cyclic constitutive model for ratcheting of metallic materials. International Journal of Mechanical Sciences, 2016, vol. 117, pp. 265-274.