CC BY
12232 (287) - 2012
Экономико-математическое
моделирование
УДК 330.3:519.86
математическое моделирование оптимального использования
невозобновимых природных ресурсов*
Ю. А. КУЗНЕЦОВ,
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического моделирования экономических систем E-mail: Yu-Kuzn@mm. unn. ru
А. В. СЕМЕНОВ,
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического моделирования экономических систем E-mail: mmes@mm. unn. ru
М. Н. ВЛАСОВА,
магистрант кафедры математического моделирования экономических систем E-mail: mmes@mm. unn. ru Нижегородский государственный университет
имени Н. И. Лобачевского -Национальный исследовательский университет
В статье дается краткий обзор возникновения и развития математических моделей динамики невозобновимых природных ресурсов. Рассматривается роль природных ресурсов как фактора экономического роста. Сформулированы некоторые проблемы построения эндогенных математических моделей экономического роста с учетом невозобновимых природных ресурсов.
* Статья предостввлена Информационным центром Издательского дома «ФИНАНСЫ и КРЕДИТ» при Нижегородском государственном университете имени Н. И. Лобачевского - Национальном исследовательском университете.
Ключевые слова: невозобновимые природные ресурсы, математическое моделирование, оптимальное управление, экономический рост.
Введение
Экономические проблемы, связанные с использованием природных ресурсов, обычно относят к числу важнейших как в экономической теории, так и в реальной экономической политике: предоставляемые природой для экономической деятельности и потребления ресурсы являются ограниченными
(scarce). Существует немало попыток систематизации и классификации природных ресурсов по их физико-химическим, геологическим, производственным и иным особенностям (см., например, [16]). Природные ресурсы можно различать по тому, насколько возможность их потребления в настоящий момент зависит от их использования в прошлом, или в какой мере текущее потребление ресурса влияет на возможность его потребления в будущем.
Наиболее острые проблемы возникают при рассмотрении таких природных ресурсов, для которых имеется конкуренция процессов потребления, относящихся к различным интервалам времени, так что возникает задача межвременного распределения ресурсов. Данный тип ресурсов является основным предметом изучения в современной экономической литературе. В связи с этим вводится следующее, очень широко распространенное подразделение природных ресурсов на возобновимые ресурсы (renewable resources) и невозобновимые ресурсы (nonrenewable resources)1. Как синонимы используются также термины воспроизводимые (reproducible), регенерируемые (regenerable), неистощимые (inexhaustible) ресурсы, а также, соответственно, невоспроизводимые (nonreproducible), истощимые (exhaustible) и нерегенерируемые (nonregenerable) ресурсы.
Традиционно к невозобновимым относят те ресурсы, запас которых для различных поколений людей является постоянной величиной [16]. Это прежде всего полезные ископаемые. Примерами таких ресурсов служат минеральные ресурсы (скажем, уран или медь), запасы нефти и других видов углеводородного сырья. Возобновимые ресурсы обычно характеризуются как такие ресурсы, которые могут восстанавливаться или увеличиваться, причем, во-первых, за промежутки времени, сопоставимые с периодом жизни одного поколения людей, во-вторых, без непосредственного участия или вмешательства человека и, в-третьих, в зависимости от состояния текущего их запаса. К ним обычно относят ресурсы флоры и фауны; очень популярными примерами служат рыбные и лесные ресурсы. Отметим, что наличие у возобновимых ресурсов перечисленных свойств вовсе не означает их неисчерпаемости. Напротив, возобновимые
1 Как отмечается в работе [16], любая подобная класси-
фикация ограничена и имеет смысл только в определенном контексте.
ресурсы, особенно при соответствующем вмешательстве человека, оказываются исчерпаемыми или даже истребляемыми [19].
Для невозобновимых ресурсов процесс межвременного распределения происходит по принципу «что упало, то пропало» [16], поскольку потребление данного ресурса в одном промежутке времени полностью исключает его использование в другом. Это приводит к весьма специфической форме постановок математических задач о межвременном распределении ресурса. В литературе для подобных задач очень часто используется название «проблема деления пирога» (cake eating problem) (см., например, [41, 42, 56]).
В рамках исследования экономических проблем невозобновимых ресурсов очень часто используется геологическая терминология. Величину разведанных месторождений полезных ископаемых, разработка которых в текущий момент времени технологически осуществима и экономически рентабельна, называют резервами или текущими резервами. Те запасы полезных ископаемых (природных ресурсов), разработку которых с технологической и экономической точек зрения целесообразно производить в будущем, называют потенциальными резервами. Вместе с текущими резервами они составляют ресурсы. Понятие запасов в широком смысле этого слова охватывает все содержащиеся в земной коре сырьевые ресурсы (resource endowment или raw material resources).
Экономика природных ресурсов в некоторых своих элементах возникла вместе с самой экономической наукой, если иметь в виду такой экономический фактор, как земля. Повышение эффективности использования ресурсов, т. е. определение рациональных решений в сфере эксплуатации природных систем, экономическая оценка природных ресурсов для сопоставления с другими, от вовлечения которых зависят целесообразность и предпочтительность способов и объемов природопользования во всевозможных хозяйственных аспектах, на различных структурных уровнях и при разных временных горизонтах анализа - главные задачи экономики природных ресурсов.
Эффективное и рациональное использование природных ресурсов является необходимым условием устойчивого экономического роста. Политика добычи и эксплуатации минеральных ресурсов и углеводородного сырья зависит от множества факторов, среди которых и увеличение затрат на добычу
вследствие истощения эффективных месторождений, и появление сырья-заменителя, и прирост запасов вследствие открытия новых месторождений и т. д. Построение математических оптимизационных моделей процесса добычи и использования природного сырья, учитывающих подобные факторы, является одним из основных направлений современных экономических исследований.
В авторском исследовании дается краткий очерк возникновения и развития математических моделей невозобновимых ресурсов. Далее рассматриваются проблемы, связанные с ролью истощимых природных ресурсов как фактора экономического роста, а также некоторые смежные проблемы экономического роста. Попутно обсуждаются особенности трактовки роли природных ресурсов в современных эндогенных математических моделях экономического роста, а также формулируются некоторые проблемы, касающиеся построения и исследования эндогенных математических моделей экономического роста с учетом роли истощимых природных ресурсов.
О возникновении и развитии математических моделей невозобновимых ресурсов
Проблемы, связанные с возможностью исчерпания невозобновимых ресурсов, всегда занимали видное место в экономической литературе. К числу классиков, стоявших у истоков этого направления исследований, относят обычно У. Джевонса (W. S. Jevons), Л. Грея (L. C. Gray) и Х. Хотеллинга (H. Hotelling). Хотя формально начало применению элементов математических методов исследования в данной области было положено в работе [30]2, тем не менее первой работой, в которой была предложена проблемно ориентированная математическая модель динамики использования невозобновимых ресурсов, считается работа Х. Хотеллинга [39], в которой, собственно, и была построена и исследована знаменитая модель Хотеллинга. Фактически в рамках этой модели траектория (в современной терминологии - оптимальная траектория) добычи сырья определяется как решение задачи максимизации некоторой функции общественного благосостояния. По существу, речь идет об агрегированной
на некотором временном промежутке дисконтированной функции полезности. В качестве функции полезности может выступать, например, суммарная дисконтированная прибыль за рассматриваемый
" 3
временной период3.
В работе [39] были сформулированы основные проблемы, связанные с теорией и практикой использования невозобновимых ресурсов. В ней, в частности, исследована модель оптимальной добычи ресурса в условиях совершенной конкуренции, нулевых издержек, четко определенных прав собственности на ресурсы и постоянства реальной ставки процента.
Опишем кратко основные результаты этой работы. Для удобства предположим, что добыча осуществляется репрезентативной фирмой, которая воспринимает цены на добываемый ресурс как заданные. Величина запаса ресурсов Я(¿) > 0 в текущий момент времени t однозначно определяется начальным значением запаса ресурсов Я(¿0) в момент времени t0 и скоростью Я^) > 0 их добычи при t > t0
S (t) -
dS (t)
= -R(t), S(t0) - S(t)|t=t = S0 > 0. (1)
Задача добывающей компании в постановке работы [39] заключается в выборе такой траектории задачи (1), на которой достигается максимум суммарной приведенной прибыли от добычи
J p(t) R(t )e~rt dt
^ max.
(2)
Здесь р = р^) - цена единицы ресурса в момент времени ^ Я - ставка процента, которая предполагается неизменной во времени. Выбор бесконечного горизонта планирования для моделей оптимальной добычи истощимых ресурсов обусловлен обычными для подобных задач соображениями экономического характера. В частности, при выборе конечного горизонта планирования Т > 0 требуется содержательное экономическое обоснование его величины. Кроме того, необходим и учет характера динамики системы после окончания планового периода. Эти вопросы отпадают в случае бесконечного горизонта планирования. В общем случае вместо выражения (2) можно рассматривать более общий функцио-
нал - утилитарный критерий вида
J e-ptU [ R(t )]dt.
В определенном смысле альтернативными этой
2 О вкладе Л. Грея [30] в экономику ресурсов см., например, в работе [20]. Работа [30] в определенном смысле предвосхитила результаты Х. Хотеллинга (см. подробнее работы [20, 25]).
3 Значение работы Х. Хотеллинга [39] для современной экономики ресурсов обсуждается, например, в работе [25].
утилитаристском концепции являются критерии качества вида max^^ mint {U[R(t)]} (эгалитарный max min подход), либо вида maX{R(t й max t {U [ R(t)]} (элитарный max max подход). В усложненных вариантах исходной модели (1), (2) учитываются и иные социальные и рыночные факторы, и соответствующим образом видоизменяются и критерии качества.
Представленная постановка задачи для модели (1), (2) добычи истощимого ресурса по форме является типичной задачей оптимального управления. Исследовать ее можно как используя принцип максимума Понтрягина (см. [10, 14]), так и вариационные методы решения задач оптимизации процессов управления (правило множителей в задаче Больца) [3]. При анализе моделей оптимального управления принцип максимума является наиболее часто используемым инструментом, хотя (в основном в работах зарубежных исследователей) можно встретить и применение метода множителей Лаг-ранжа. В соответствии с общей схемой применения принципа максимума Понтрягина для исследования задачи Хотеллинга (1), (2) следует составить и исследовать функцию Гамильтона - Понтрягина H = pRe~rt - AR, где A = A(t) - сопряженная функция. В общем случае R > 0 необходимые условия экстремума имеют вид
p
— = r.
(6)
дИ_
дR
pe \pe"
_rt _k< 0, R = 0
- k = 0, R > 0
дH _ rt . _
-= pe _k = 0.
дR
(3)
Сопряженная задача с учетом вида функции Гамильтона - Понтрягина принимает вид
k (, ). dkH =__H = 0.
dt дS
(4)
К уравнениям (1) - (4) необходимо также присоединить условия трансверсальности на бесконечности (см. [10]), которые в рассматриваемой задаче принимают следующий вид:
lim A(t )S (t) = 0. (5)
t ^да
Из сопряженного уравнения (4) заключаем, что значение сопряженной функции не меняется во времени: A(t) = A = const. Подставляя это соотношение в (3), получаем, что при положительной добыче R (t) > 0 справедливо равенство p = Aert, так что
Полученное условие (6) в литературе называют правилом Хотеллинга: цены на истощаемые ресурсы в условиях совершенной конкуренции растут с постоянным темпом. Полученное правило вполне согласуется с интуицией: если цена ресурса растет медленнее ставки процента, то выгодно добыть и продать ресурс немедленно. В противном случае следует отсрочить добычу ресурса. Заметим, что при этом сам по себе рост цен на истощимые природные ресурсы не является свидетельством монопольной власти. Сформулированное Хотел-лингом правило - главное правило экономики невоспроизводимых ресурсов [16] называют также базовым или конкурентным. Следует отметить, что из условия трансверсальности (5) следует, что А Ф 0 справедливы соотношения
lim S (t) = 0, f Rdt = S0.
t ^да *
(7)
Однако, поскольку в задаче ищется «внутреннее» решение Я (0 > 0, то в данном случае следует ограничиться условием
В более поздних работах Х. Хотеллинга в оптимизационные модели динамики добычи истощимого ресурса были включены функции затрат на добычу, зависящие и от достигнутого объема добычи. При этом правило Хотеллинга уже не выполняется в чистом виде - цены увеличиваются темпом, несколько меньшим, чем дисконт, поскольку на модель накладываются закономерности изменения текущих издержек.
После нефтяных кризисов 1973-1974 гг. и 1979-1980 гг. интерес к проблемам моделирования добычи и эксплуатации невозобновимых ресурсов значительно возрос [25]. В этот период стали заниматься исследованиями в области оптимизации добычи невозобновимых ресурсов многие ученые-экономисты. Это Р. Солоу (R. Solow) [57-59], Д. Левхари, Н. Ливитан (D. Levhari, N. Liviatan) [46], Д. Хартвик (J. Hartwick) [34, 35], Д. Хил (G. Heal) [36], А. К. Фишер (A. C. Fisher) [28], M. Хоэл (M. Hoel) [37], С.-Д. Ли (S.-D. Lee) [45], У. Г. Фарзин (Y. H. Farzin) [27], H. В. Лонг (N. V. Long) [49], Д. Л. Крулс (D. L. Krulce) [44], У. Чакраворти, Д. Ро-умассет (U. Chakravorty, J. Roumasset) [18], Т. Хорст (T. Horst) [38], Д. Хадар, Р. Батра (J. Hadar, R. Batra) [32], Т. Итагаки (T. Itagaki) [40], Д. Ливернойс, П. Мартин (J. Livernois, P. Martin) [47], Д. А. Хансон (D. A. Hanson) [33], П. Дасгупта (P. Dasgupta) [23, 24] и др. Поскольку модель Хотеллинга основывается на идеальных и, следует признать, весьма далеких
от реальности условиях, ряд ученых полагали, что результаты, полученные ими, не всегда верны. В частности, разногласия возникли по поводу цены ресурса.
Например, в работе [28] утверждается, что темп изменения цены ресурса ниже, чем процентная ставка на величину, равную процентному увеличению затрат на добычу. Также нет единого мнения и по поводу характера траектории цены ресурса. В работе [46] утверждается, что когда издержки добычи зависимы от запаса, цена ресурса монотонно падает с течением времени. Этот же вывод сформулирован в работе [36] для случая, когда существует запасная технология, например, такая как солнечная энергия.
Последующее усложнение оптимизационных моделей динамики добычи истощимого ресурса связано с учетом научно-технологического прогресса. Пусть в определенный момент времени появляется заменитель сырья, издержки производства которого первоначально превышают цену природного сырья. Однако в отличие от издержек по эксплуатации месторождений, которые в модели растут вместе с ростом накопленного объема добычи, эти затраты постоянны во времени и равны фиксированной величине г. Цена ресурса по-прежнему растет во времени, но ее рост небеспределен. В какой-то момент t0, когда цена достигает уровня г, в сферу хозяйственной деятельности вовлекается заменитель, и цены стабилизируются на этом уровне г. Эта стабилизация происходит, несмотря на то, что продолжается процесс физического истощения природного сырья.
В работе [47] для некоторого примирения противоречащих друг другу точек зрения различных ученых на характер траектории цены ресурса построена расширенная модель добычи ресурса, в значительной степени ослабляющая те ограничения, которые накладывал Хотеллинг. Она имеет следующий вид:
J e-rtП[R(t), S(t)]dt + | e-rtЯ[0, S(T)]dt--
или
I" e~rtП[R(t), S(t)]dt +-Я[0, S(T)]:
J r
max
R(t ),T ,S (T)
■ max (8)
R (t),T,S (T)
при условиях
Я^) = -Щ), Я(0) - Я^)|(=0 = > 0, Т > 0. (9) Здесь П^^), S(t)] - текущая чистая прибыль, Т - время добычи, Я (Т) - конечный запас ресурса, г > 0 - ставка дисконтирования. Второе слагаемое в
выражении (8) допускает возможность несырьевой прибыли от запаса ресурса.
К числу важнейших результатов работы [47] относится вывод о том, что в общем случае модели (8), (9) правило Хотеллинга (6) также выполняется, правда, в несколько измененной форме
lim — = r.
t^T p
Кроме того, делается важный вывод о том, что отмеченные ранее противоречия зачастую связаны с тем, что некоторые авторы вводят в своих моделях в рассмотрение невогнутые целевые функции, причем делают это неявным образом.
Подводя некоторый итог, можно отметить, что в литературе достаточно широко представлены исследования в области теории невозобновимых ресурсов, развивающие концепцию подхода и модели Хотеллинга.
Другое направление в исследованиях динамики развития добывающих отраслей связывают с моделью Пиндайка (R. S. Pindyck) [52-54], учитывающей неоднородность ресурса и описывающей использование недр4 как процесс согласованной реализации всех стадий производственного процесса (геологоразведочные работы, извлечение ресурса и пополнение его запасов). Учитывается зависимость издержек на добычу истощаемого ресурса и затрат на исследовательские работы от степени разработанности недр. Модель Пиндайка основана на анализе динамической задачи оптимального управления и описывает характерные стадии развития нефтегазовых месторождений. Например, в работах [4, 5] c помощью этой модели были проанализированы преобразования в нефтегазовом секторе российской экономики и обоснованы некоторые принципы и методы его реформирования.
Следуя работам [4, 52], опишем структуру и основные черты и особенности модели Пиндайка. Обычно рассматривается ограниченный временной промежуток t е [0, T], где горизонт T> 0 представляет собой такой момент времени, когда общество оказывается безразличным по отношению к наличию или отсутствию каких-либо запасов данного ресурса5. В частности, технический прогресс может привести к открытию заменителя данного ресурса, так что он полностью утратит свою актуальность.
4 Иногда используют термин «недропользование» (см., например, [4]).
5 Разумеется, такое определение отличается определенной нестрогостью (размытостью).
Впрочем, можно считать, что T = да. Считается, что развитие добывающей сферы нацелено на достижение двух конкурирующих целей - предотвращения физического истощения запасов ресурса до достижения горизонта времени Т и максимизации прибыльности недропользования.
Введем следующие обозначения: R(t) - текущий объем разведанных запасов невозобновимого ресурса; z(t) - кумулятивный (суммарный) объем запасов, разведанных за период от начального момента t = 0 до текущего момента t; q(t) - объем добычи в единицу времени; y(t) - текущий объем поисковых и геологоразведочных работ; C(q, R -функция валовых издержек на добычу ресурса; D(y) - функция затрат на проведение поисковых и геологоразведочных работ; F(y, z) - темп прироста запасов ресурса в результате поисковых и геологоразведочных работ; p(t) - цена добытой единицы ресурса; V(q) - полезность q единиц ресурса с точки зрения его потребителей; r = const - процентная ставка.
Базовая модель Пиндайка формулируется в рамках следующих основных гипотез. Предполагается, что в первую очередь эксплуатируются наиболее богатые и лучшие (с точки зрения затрат на добычу сырья) месторождения. По мере их истощения сокращаются запасы ресурса R(t), а поэтому приходится сталкиваться с более сложными геологическими условиями, так что затраты по добыче увеличиваются. Зависимость издержек C(q, R) от переменной R позволяет учесть эти закономерности. Например, достаточно предположить, что функция совокупных издержек C(q, R) и функция предельных издержек CR = dC монотонно убывают по
^ dC п dC
переменной R: CR =-< 0 и CqR =—-< 0. Дан-
dR q dR
ные неравенства описывают не только удорожание добычи по мере сокращения запасов ресурса, но и удешевление добычи по мере прироста запасов ресурса. В частности, в работе [52] рассматривался случай линейно однородной по переменной q функции издержек: C (q, R) = qg (R), где g (R) - средние и одновременно предельные издержки, причем g' < 0. Такое описание издержек в определенной степени соответствует как специфике нефтедобычи, так и предположению о том, что в моделируемом процессе единица времени соответствует некому долгосрочному производственному периоду. В структуре издержек реальные инвестиции - вложе-
ния в основной капитал - не выделяются в явном виде (издержки не делятся на постоянные и переменные). С учетом высокой капиталоемкости добывающей промышленности подобное допущение о линейно однородной функции издержек является достаточно жестким.
Исходя из предположения, что наиболее богатые месторождения обнаруживаются в первую очередь, заключаем, что чем больше кумулятивный объем запасов г, тем ниже предельная производись
тельность исследовательских работ Ь = — и тем
у ду
меньше прирост запасов Ь (у, г). Следовательно,
к =£ < 0 и =£ < 0. г дг у дг
Предположим, что весь добытый в единицу времени объем ресурсов q реализуется на рынке по текущей цене р(0. Рассмотрим функцию п, представляющую текущее значение чистого денежного потока и определяемую как разность между текущей выручкой и прямыми производственными затратами
п = pq - C(q,R) - D(y).
(10)
Считается, что прямые производственные затраты - это издержки по добыче и затраты на поисковые и геологоразведочные работы С (^, Я) + у) без учета налоговых платежей и амортизационных отчислений. В качестве оценки прибыльности использования недр может быть выбрана приведенная к начальному моменту времени величина совокуп-
ного чистого денежного потока
П =
1
jn(t )e~rt dt.
(11)
Текущее состояние процесса использования недр описывается фазовыми координатами Я(0 и г^). Значения текущего объема разведанных запасов Я(0 и кумулятивного объема запасов г((), разведанных за период [0, ¿], изменяются в соответствии со следующими уравнениями:
Я = ^ + F (у, г), (12)
г = F (у, г). (13)
Следует отметить, что соотношение (12) позволяет учесть выгоду от увеличения запасов природного ресурса, несмотря на то, что эта выгода не представлена в явном виде в выражении чистых денежных потоков (10) и (11). Действительно, темп прироста запасов - это положительное слагаемое Ь (у, г) в правой части формулы (12). Оно ослабляет влияние отрицательного первого слагаемого в пра-
вой части формулы (12) - скорости физического истощения ресурса. Замедление процесса истощения отражается на производственных издержках: темп их роста сокращается, а это значит, что прирост запасов ресурса неявно приводит к повышению прибыльности использования недр.
В качестве параметров, управляющих значениями фазовых координат R(t) и z(t), используются переменные q(t) иy(t). Таким образом, задача состоит в выборе управляющих параметров и соответствующих им фазовых координат, которые максимизируют функционал (11) при условиях (12) и (13) и при ограничении R(t) > 0 для всех t е [0, T].
Следуя схеме применения принципа максимума, для анализа этой задачи выпишем функцию Гамильтона - Понтрягина:
H = e rt [pq - C(q, R) - D(y)] +
+ v[-q + F (y, z)] + |F (y, z),
где v - переменная, сопряженная с R; | - переменная, сопряженная с z:
dH -rt . dH
v = -^ = е CR, I = -—= -(v + |)Fz.
dR dz
Необходимые условия внутреннего экстремума функции Гамильтона - Понтрягина можно представить в виде
Hq = e-t (p - Cq)-v = 0, (14)
Hy =-e-rt D' + (v + |) Fy = 0. (15) В теории оптимального управления сопряженные переменные, как правило, трактуются как теневые цены. Сопряженная переменная v(t) - это так называемые пользовательские издержки истощения (user cost of depletion). При нулевых затратах на пополнение запасов эта величина представляет собой оценку рентной составляющей в цене ресурса p(t). С другой стороны, v как сопряженная переменная - это теневая цена каждой невозмещенной единицы ресурса: v - это прибыль, недополученная в будущем, в расчете на каждую единицу ресурса, не возмещенную в настоящее время. Поэтому ренту можно рассматривать как цену, которую предстоит заплатить (возможно, другим поколениям) за каждую утраченную в настоящее время единицу запасов невозобновимого сырья. Такая интерпретация раскрывает смысл не только переменной v, но и самого термина «пользовательские издержки истощения». Пользовательские издержки - это рентный доход, извлекаемый в настоящее время путем некомпенсируемого сокращения запасов сырья. Это деньги, которые можно израсходовать сегодня за
счет завтрашнего дня. Под завтрашним днем здесь понимается весь рассматриваемый период - от завтра до конечного момента T.
Вторая сопряженная переменная |(t) представляет собой пользовательские издержки пополнения резервов (user cost of reserve additions). Она характеризует влияние каждой добавленной в настоящее время единицы запасов на оценку будущей прибыльности. Следует отметить, что сегодняшнее пополнение запасов полезных ископаемых, с одной стороны, противодействует сокращению будущей прибыльности, а с другой - косвенно ему способствует. Действительно, с ростом объема разведанных недр затрудняются поисковые и геологоразведочные работы, снижается их производительность и растет их стоимость. Пользовательские издержки пополнения резервов - это затраты, осуществляемые в настоящее время и направленные на сбережение будущих доходов.
Для анализа динамики рассматриваемой задачи можно поступить следующим образом. Продифференцируем необходимые условия внутреннего экстремума (14) и (15) по времени, считая при этом справедливым мультипликативное представление издержек по добыче в виде C = qg (R), а затем используем сопряженные уравнения и учтем соотношение p = V' (q). В результате получим систему уравнений вида
У = ■
. r (p - Cq) + F(y, z) - g '(R)
q =--,
V
rD' + (D' / Fy )(FyzF - FyFz) + CrFy
D " - D Fyy / Fy
(16)
Система уравнений (16) позволяет дать описание динамики эксплуатации месторождений, начиная с ранней стадии их промышленного освоения (подробнее см. [4]).
Возможность усовершенствования базовой модели Пиндайка отмечали многие авторы (см., например, обзор [63]). Например, рассматривались такие постановки задач, когда значение функции издержек по добыче зависит не только от текущего объема запасов, но и от кумулятивного объема исследовательских работ или же от кумулятивного объема запасов [48, 64]. Предпринимались попытки представить издержки по добыче как функцию случайных величин, описывающих геологические и экономические характеристики открываемых месторождений [62]. Указывалось на необходимость отказа от гипотезы о постепенном, плавном
снижении эффективности исследовательских работ, так как их результатом может оказаться если не открытие нового месторождения, то накопление ценной информации, обладание которой позволит сократить издержки будущих исследовательских работ [51, 55], так что снижение эффективности исследовательских работ можно рассматривать лишь как тенденцию в долгосрочной перспективе.
Рассмотренные классические модели Хотел-линга и Пиндайка, несмотря на наличие у них определенных недостатков (часть из которых была упомянута ранее), представляют, тем не менее, значительный интерес и в настоящее время по-прежнему являются основой для построения более точных и реалистических моделей динамики истощимых ресурсов. Безусловно, одним из достоинств этих моделей является их относительная простота и ясная экономическая интерпретация полученных результатов; быть может, именно поэтому они выступают в качестве своеобразных блоков или кирпичиков, входящих в состав более сложных математических моделей экономической динамики. К числу таких моделей относятся и математические моделей теории экономического роста.
Истощимые природные ресурсы
и проблемы экономического роста
Один из важнейших вопросов, возникающих в данном контексте, состоит в следующем: возможен ли долгосрочный устойчивый экономический рост (sustainable economic growth) в ситуации, когда одним из важнейших производственных факторов являются истощимые природные ресурсы? Подразумевается, что этот рост является в определенном смысле равновесным или сбалансированным (подробнее см. работу [10]).
Рассмотрение этой и многих других смежных проблем теории экономического роста восходит к знаменитым работам Т. Купманса (T. C. Koopmans) [43], Р. Солоу (R. M. Solow) [58], Д. Стиглица (J. E. Stiglitz) [60, 61], Д. Хартвика (J. M. Hartwick) [35], а также к работам некоторых других, менее именитых авторов (см., например, работу [17]).
Весьма характерными являются постановки задач в работах Д. Стиглица [60, 61]. В этих работах в рассмотрение вводятся трехфакторные производственные функции (типа Кобба - Дугласа), аргументами которых являются как традиционные экономические факторы (запас капитала K(t) и вели-
чина рабочей силы ДО), так и величина Я(0 потока используемых в производственной деятельности природных ресурсов (считается, что этот поток ресурсов совпадает с потоком добываемых ресурсов, так что £^) = -Я^), где £(0 > 0 - величина запаса ресурсов в текущий момент времени 0:
У = А(')КаЙЯ1, а, р, уе[0,1], а + р + у = 1,
А(') = Ае*', А > 0.
Математическая модель динамики накопления капитала носит традиционный для неоклассического направления характер [57], а модель динамики запаса природных ресурсов - имеет вид, сходный с моделью (1). Рассматривается задача оптимального развития экономики. Под оптимальным развитием понимается такое развитие экономики, при котором на траекториях системы достигает максимума функционал типа (2).
Сходная постановка задачи рассматривается и в работе Р. Солоу [58], правда, сначала в рамках трехфакторной производственной функции формально более общего вида, которая зависит от запаса физического капитала К(0, численности рабочей силы Ь(0 и объема существенного (в смысле работы [24]; см. также [23]) изымаемого в текущий момент времени невозобновимого природного ресурса Я(0 У = F(К,Й)Я1, уе[0,1], где функция Ь(К, Ь) является положительно однородной степени 1 - У функцией.
Особенности указанных моделей были достаточно подробно исследованы в работе Д. Хартвика [35]. Им было предложено некоторое условие устойчивого и эффективного потребления ресурса, которое в современной литературе обычно обозначается термином «правило Хартвика». Заметим, что в работах Р. Солоу [58] и Д. Стиглица [60, 61] в проблеме долгосрочного устойчивого экономического роста с учетом истощимых природных ресурсов была в явном виде подчеркнута особая роль технологического прогресса.
Необходимо отметить, что в ряде моделей теории экономического роста многофакторные производственные функции зависят не от потока, а от запаса используемых в производственной деятельности природных ресурсов.
Подходы, предложенные в перечисленных работах, оказались весьма перспективными и плодотворными. Обобщению результатов, полученных в этих работах, а также решению поставленных в них проблем посвящено громадное число публикаций.
Работы [21, 22, 26, 29, 31, 50] - лишь малая часть из публикаций последних лет.
В качестве примера опишем кратко постановку и некоторые результаты сравнительно недавней работы [22], посвященной, в частности, выяснению условий существования эффективных (efficient), осуществимых (feasible) и траекторий сбалансированного роста (Balanced Growth Path, BGP).
Рассматривается экономическая система, выпуск которой определяется трехфакторной производственной функцией, которая представляется в виде
Y = A(t){[1 - aK (t)]K}a {[1 - aL (t)]L}p{F(t)}Y. (17)
Здесь экономический фактор F (t) характеризует вклад в суммарный выпуск природных ресурсов или результатов их частичной переработки (полуфабрикатов). Этот экономический фактор F(t) также определяется трехфакторной производственной функцией, которая имеет вид
F = B(t)K (t) K ]а [aL (t) L]e [S]Y. (18)
Величины aK (t) e [0,1] и aL (t) e [0,1] характеризуют соответственно доли капитала и трудовых ресурсов, занятые в добывающем се кторе экономики. В дальнейшем предполагается, что B(t) = B = const > 0.
Динамика накопления капитала описывается стандартным уравнением
K(t)= ¿Ш = I(t) -vKK(t), K(t)|
t=t„
= K0 > 0. (19)
запаса ресурсов (1) > 0 в текущий момент времени 1 однозначно определяется начальным значением запаса ресурсов «(10) в момент времени 10 и скоростью Я (1) > 0 их добычи при t >
«(1) = -Я(1), «(1)|^ = «0 > 0. (22) Скорость добычи природных ресурсов задается формулой
Я = vFS. (23)
Совокупность соотношений (17) - (23) полностью характеризует рассматриваемую экономическую систему. Целью исследования является выявление условий, которым должны удовлетворять функции 5(1) е [0, 1], ак(1) е [0, 1] и аь(1) е [0, 1], чтобы в системе существовали эффективные и сбалансированные траектории. Заметим, что в рассматриваемой постановке задача не носит оптимизационного характера - вид управляющего воздействия - функции Я (1) > 0 - полностью определяется соотношением (23).
Из соотношений (17) - (19) и (22), (23) непосредственно следует, что уравнения динамики переменных К(1) и «(1) представляются в виде К = sAB1 (1 - ак )аак(1 - аь )р а/уКа+5у5* -
-^кК,
S = -vB(aKK )а (aLL)ß SY+1.
Предполагается, что инвестиции I(t) в физический капитал K (t) определяются соотношением I = s(t) Y, где s(t) е [0, 1] - средняя склонность к накоплению (average propensity to save). Справедливость соотношений такого вида эмпирически исследовалась Саймоном Кузнецом (Simon Kuznets) по статистическим данным для экономики США и часто называется в литературе пропорциональным сбережением (proportional saving behavior); подробнее см. работу [10].
Динамика численности рабочей силы L(t) и коэффициента A(t), характеризующего экзогенный технический прогресс, описывается соответственно уравнениями
L(t) = nL(t), L(t)| = L0 > 0, (20)
A(t) = gA(t), A(t)| ^ =4 >0, g > 0. (21) Как следует из уравнений (20), (21), темпы роста этих переменных постоянны и равны соот-1 dL(t)
(24)
(25)
В уравнениях (24), (25) для краткости опущен аргумент t у всех фигурирующих в них функций. Заметим, что предполагается выполненным равенство Y = I + C, где C - агрегированное потребление. Ясно, что, с учетом равенства I=s (t) Y справедливо следующее представление: C = [1 - s(t)] Y.
Для заданных начальных данных K0, L0 и S0
набор функций {C, Y, K, R, S}|™ 0 называется реализуемой или осуществимой (feasible) траекторией6 системы (24), (25), если все функции этого набора являются неотрицательными, функции K(t) и S(t) непрерывны, функции C(t), Y(t) и R(t) кусочно-непрерывны по времени, кроме того, всюду, за исключением их точек разрыва, удовлетворяются уравнения (24), (25). Осуществимая траектория называется внутренней, или строго осуществимой, если все функции набора {C, Y, K, R, S}|™ строго положительны на всем промежутке существования. Ясно, что для осуществимых траекторий выполняется вытекающее из уравнения (22) неравенство
J R(t )dt
< Sn
ветственно &L =
L(t) dt
= n и ю. = g. Величина
6 Это определение опирается на соответствующий термин, впервые введенный в работе [61].
Далее, осуществимая траектория системы (24), (25) называется эффективной (efficient) траекторией системы (24), (25), если не существует другой осу-
/v /v /v /v /v да
ществимой траектории {C, Y, K, R, S} этой системы, такой, что для тех же начальных данных K0, L0 и S0 выполнено неравенство C(t) > C(t) при всех t > 0, причем на некотором непустом открытом множестве 1с [0, да) имеет место строгое неравенство C(t) > C(t), Vt е Е. Наконец, траектория системы (24), (25) называется неэффективной (unefficient), если она не является эффективной.
Оказывается, что эффективные траектории обязаны удовлетворять условию истощения (exhaustion condition) при t ^ да [22]
lim S (t) = 0 (26)
t ^да
и правилу Хотеллинга (Hotelling rule) 1 dY'
-LdYL = Y'. (27)
Y'P dt
Полезно сопоставить соотношения (26), (7) и (27), (6) соответственно.
Наконец, траектория сбалансированного роста (Balanced Growth Path, BGP) определяется следующим образом. Это внутренняя эффективная траектория {C, Y, K, R, S}|системы (24), (25), такая, что темпы роста всех перечисленных функций являются постоянными вещественными числами (< = < = const, Z = C, Y, K, R, S).
В работе [22] устанавливаются условия существования траекторий описанной структуры и выявляются некоторые их качественные особенности. В частности, оказывается, что для существования траекторий сбалансированного роста необходимо, чтобы были выполнены условия < = 0,
Z = K, L, т. е. функции aK(t) е [0, 1] и aL(t) е [0, 1] на сбалансированных траекториях были постоянны; траектория сбалансированного роста устойчива, если выполнено условие а + ау < 1 (см. соотношение (24)); темп роста агрегированного выпуска на сбалансированной траектории задается формулой
*
<Y =
g + Pn (1 -а):
(28)
где юЬ = п, юА = а а и р - эластичности выпуска У по капитальным и трудовым ресурсам соответственно.
Особый интерес представляет выражение (28)
*
для темпа роста агрегированного выпуска юУ на сбалансированной траектории. Из формулы (28) следует, что при достаточно высоком темпе экзо-
генного технологического прогресса юА = * вели*
чина юУ может оставаться положительной даже при отрицательном юЬ = п и существенности для производственной сферы истощимого природного ресурса. Впрочем, как уже отмечалось, особая роль технологического прогресса в подобной ситуации подчеркивалась еще Р. Солоу [58], Д. Стиглицем [60, 61] и рядом других авторов.
В то же время нельзя не отметить, что недостатком описанной и многих других сходных по идее моделей является рассмотрение технологического прогресса как экзогенного фактора. В действительности характер взаимосвязи технологического прогресса и постепенного истощения ряда существенных для производства природных ресурсов носит, естественно, не такой незамысловатый характер. Это означает, что констатируемая как факт возможность компенсации негативного влияния на экономический рост истощения природных ресурсов за счет высоких темпов технологического прогресса не может считаться полностью обоснованной. Решение этой проблемы требует создания и исследования более адекватных математических моделей, которые позволят более обоснованно рассмотреть один из важнейших вопросов теории экономического роста - возможен ли долгосрочный устойчивый экономический рост в ситуации, когда одним из решающих производственных факторов являются истощимые природные ресурсы?
Заключение
В середине ХХ в. в научный оборот был введен термин «экономика знаний» для определения такого типа экономики, в которой знания играют решающую роль, а производство знаний является источником экономического роста. Ряд специалистов считают, что экономика знаний существенно отличается от экономики индустриального типа, когда накопление богатства было связано прежде всего с материальными активами. Напротив, в экономике, основанной на знаниях, особое внимание должно уделяться накоплению человеческого капитала и знаний, а также созданию такой инфраструктуры, которая позволила бы эффективнее использовать накопленные опыт и знания в производстве и потреблении (подробнее см. [7, 9, 11-13, 15]). В настоящее время знания и человеческий капитал рассматриваются как важнейшие внутренние (эндогенные) факторы экономического развития, оказывающие
140
120
100
80
60
40
20
Реальные Номинальные
I IIII I II IIIIII II II IIIIII II II I IIIII II II I IIII II II II IIII II II ММ IIII II III IIIII II III IIIII II III IIII I II IIIIII II II IIIIII II II IIIIII II II IIIII II II I IIIII II I
Номинальные и реальные цены на нефть в период 1861-2005 гг., долл. /барр. [31]
серьезное воздействие на производительность труда и на темпы экономического роста.
Тем не менее приходится констатировать, что далеко не все страны подошли вплотную к этому этапу своего развития. Напротив, для многих стран традиционная экономика индустриального типа является пока еще отдаленной целью в будущем, а процесс перехода экономической системы индустриального типа с приоритетным развитием сырьевого сектора к инновационной экономике, основанной на знаниях и связанной с развитием наукоемких секторов, не будет быстрым и простым. И тот факт, что экономические системы индустриального типа, включающие в себя мощный сырьевой сектор, остаются важнейшими реалиями мировой экономики, может быть подтвержден, в частности, данными об объемах производства этого сектора и о динамике цен на сырье (см. рисунок, на котором приведены графики номинальных и реальных цен на нефть в период 1861-2005 гг. [31]). Поэтому важнейший в практическом и теоретическом аспектах вопрос о том, возможен ли долгосрочный устойчивый
экономический рост в ситуации, когда одним из решающих производственных факторов являются истощимые природные ресурсы, вовсе не утратил своей остроты и не утратит своей актуальности в обозримом будущем.
Можно констатировать, что количество теоретических и прикладных исследований в области экономики природных ресурсов, выполняемых в последние годы в мире, вовсе не сократилось. Напротив, растет как количество, так и научно-методический уровень подобных исследований. Все большую роль в подобных исследованиях играют методы экономико-математического моделирования. Отметим, что в последнее время увеличилось и количество исследований, проводимых в этой области отечественными учеными. В сфере экономико-математического моделирования добычи невозобновимых ресурсов эти исследования связаны в основном с анализом эффективности электроэнергетики, газовой и нефтяной промышленности в субъектах Российской Федерации, динамики среднегодовых цен на нефть [1, 2, 4-6, 8 и др.].
0
Список литературы
1. Айда-ЗадеК. Р., БагировА. Г. О задаче размещения нефтяных скважин и управления их дебитами // Автоматика и телемеханика. 2006. № 1.
2. Айтжанова А. К., Скиба А. К. Анализ коэффициента дисконтирования в модели газового месторождения // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1997. № 6.
3. Блисс Г. А. Лекции по вариационному исчислению. М.: Издательство иностранной литературы, 1950.
4. Богачкова Л. Ю. О применении модели Пин-дайка к анализу состояния и перспектив развития недропользования в России (на примере нефтедобычи) // Экономическая наука современной России. 2002. № 1.
5. Богачкова Л. Ю., Савицкий Е. В. Моделирование диверсификации цен на европейском газовом рынке и совершенствование стратегии экспорта российского газа // Проблемы управления. 2007. № 2.
6. Захаров В. В., Лежнина Е. А. Стабильные соглашения на рынке природного газа в Европе // Экономика и математические методы. 2000. № 3.
7. Инновационное развитие: экономика, интеллектуальные ресурсы, управление знаниями / под ред. Б. З. Мильнера. М.: ИНФРА-М., 2010.
8. Колтун А. А., Першин О. Ю. Модели и алгоритмы выбора оптимального множества геолого-технических мероприятий на нефтяных месторождениях // Автоматика и телемеханика. 2005. № 8.
9. Концепция долгосрочного социально-экономического развития Российской Федерации на период до 2020 года: распоряжение Правительства Российской Федерации от 17.11.2008 № 1662-р (ред. от 08.08.2009).
10. КузнецовЮ. А. Оптимальное управление экономическими системами: учеб. пособие. Н. Новгород: ННГУ им. Н. И. Лобачевского, 2008.
11. Макаров В. Л. Становление экономики знаний в России и мире // Экономика знаний: монография / отв. ред. проф. В. П. Колесов. М.: ИНФРА-М, 2008.
12. Макаров В. Л. Экономика знаний: уроки для России // Вестник Российской академии наук. 2003. № 5.
13. Макаров В. Л., Клейнер Г. Б. Микроэкономика знаний. М.: Экономика, 2007.
14. Математическая теория оптимальных процессов / Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко. М: Наука, 1969.
15. Махлуп Ф. Производство и распространение знаний в США. М.: Прогресс, 1966.
16. Эндрес А., КвернерИ. Экономика природных ресурсов. СПб: Питер, 2004.
17. Anderson K. Optimal Growth when the Stock of Resources in Finite and Depletable // Journal of Economic Theory. 1972. Vol. 4.
18. Chakravorty U., Roumasset J. Competitive oil prices and scarcity rents when the extraction cost function is convex // Resources and Energy. 1990. Vol. 12.
19. Clark C. W. Mathematical Bioeconomics: The Optimal Management of Renewable Resources. New-York: John Wiley & Sons, Inc., 1990.
20. CrabbuP. J. The Contribution of L. C. Gray to the Economic Theory of Exhaustible Natural Resources and Its Roots in the History of Economic Thought // Journal of Environmental Economics and Management. 1983. Vol. 10.
21. D'Autume A., Schubert K. Hartwick's rule and maximin paths when the exhaustible resource has anamenity value // Journal of Environmental Economics and Management. 2008. Vol. 56, № 3.
22. Da Silva A. S. Growth with exhaustible resource and endogenous extraction rate // Economic Modelling. 2008. Vol. 25, № 6.
23. Dasgupta P., Eastwood R., Heal G. Resource Management in a Trading Economy // Quarterly Journal of Economics. 1978. Vol. 92.
24. Dasgupta P., Heal G. The optimal depletion of exhaustible resources // Review of Economic Studies. 1974. Vol. 41, Symposium on the Economics of Exhaustible Resources.
25. Devrajan S., Fisher A. C. Hotelling's «Economics of exhaustible resources»: 50 years later // Journal of Economics Literature. 1981. Vol. 19, № 1.
26. Di Vita G. Natural resources dynamics: Exhaustible and renewable resources, and the rate of technical substitution // Resources Policy. 2006. Vol. 31, № 3.
27. Farzin Y. H. The time path of scarcity rent in the theory of exhaustible resources // Economic Journal. 1992. Vol. 102.
28. Fisher A. C., Karp L. S. Nonconvexity, efficiency and equilibrium in exhaustible resource depletion // Environmental and Resource Economics. 1993. Vol. 3.
29. Gaitan B., Roe T. L. International trade, exhaustible-resource abundance and economic growth // Review of Economic Dynamics. 2012. Vol. 15, № 1.
30. Gray L. C. Rent under the Assumption of Exhaustibility // Quarterly Journal of Economics. 1914. Vol. 28.
31. Greiner A., Semmler W., Mette T. An Economic Model of Oil Exploration and Extraction // Computational Economics. 2011.
32. Hadar J., Batra R. Theory of the multinational firm: fixed versus floating exchange rates // Oxford Economic Paper. 1979. Vol. 31.
33. Hanson D. A. Increasing extraction costs and resource prices: some further results // Bell Journal of Economics. 1980. Vol. 11.
34. Hartwick J. M. Exploitation of many deposits of an exhaustible resource // Econometrica. 1978. Vol. 46.
35. Hartwick J.M. Intergenerational Equity and Investing of Rents from Exhaustible Resources // American Economic Review. 1977. Vol. 67, № 5.
36. Heal G. M. The relationship between price and extraction cost for a resource with a backstop technology // Bell Journal of Economics. 1976. Vol. 7.
37. Hoel M. Resource Extraction by a Monopolist with influence over the Rate of Return on Non-Resource Assets // International Economic Review. 1981. Vol. 22, № 1.
38. Horst T. The theory of the multinational firm: optimal behavior under different tariff and tax rates // Journal of Political Economy. 1971. Vol. 79.
39. HotellingH. The economics of exhaustible resources // Journal of Political Economy. 1931. Vol. 39, № 2.
40. Itagaki T. Theory of the multinational firm: an analysis of effects of government policy // International Economic Review. 1979. Vol. 20.
41. Kamien M.I., Schwartz N. L. Dynamic Optimization: The Calculus of Variations and Optimal Control in Economics and Management, North-Holland, Amsterdam, Holland, 1991.
42. Kemp M. C. How to eat Cake of Unknown Size // In: Kemp M. C.(editor), Three Topics in the Theory of International Trade. - Amsterdam: 1976.
43. Koopmans T. C. Some Observations on «Optimal» Economic Growth with Exhaustible Resources // Cowles Foundation Discussion Paper. 1973. № 356.
44. Krulce D. L. Increasing scarcity rent: a sufficient condition // Economics Letters. 1993. Vol. 43.
45. Lee S. -D. On the theory of an exhaustible resource extractive multinational firm // The Canadian Journal of Economics. 1986. Vol. 19, № 4.
46. Levhari D., Liviatan N. Notes on Hotelling's economics of exhaustible resources // Canadian Journal of Economics. 1977. Vol. 10.
47. Livernois J., Martin P. Price, scarcity rent, and a modified r per cent rule for non-renewable resource // The Canadian Journal of Economics. 2001. Vol. 34, № 3.
48. Livernois J. R., Uhler R. S. Extraction costs and the economics of nonrenewable resources // Journal of Political Economy. 1987. Vol. 95, № 1.
49. Long N. V. Two theorems on generalized diminishing returns and their applications to economic analysis // Economic Record. 1979. Vol. 55.
50. Martinet V., Doyen L. Sustainability of an economy with an exhaustible resource: A viable control
approach // Resource and Energy Economics. 2007. Vol. 29, № 1.
51. Peterson F. M. A model of mining and exploring for exhaustible resources // Journal of Environmental Economics and Management. 1978. Vol. 5, № 3.
52. Pindyck R. S. The optimal exploration and production of nonrenewable resources // Journal of Political Economy. 1978. Vol. 86, № 5.
53. Pindyck R. S. The optimal production of an exhaustible resource when price is exogenous and stochastic // Scandinavian Journal of Economics. 1981. Vol. 83, № 2.
54. Pindyck R. S. Uncertainty and exhaustible resource markets // Journal of Political Economy. 1980. Vol. 88, № 6.
55. Polasky S. The private and social value of information: exploration for exhaustible resources // Journal of Environmental Economics and Management. 1992. Vol. 23, № 1.
56. Romer P.M. Cake Eating, Chattering and Jumps: Existence Results for Variational Problems // Econometrica, 1986. Vol. 54, № 4.
57. Solow R.M. A Contribution to the Theory of Economic Growth // Quarterly Journal of Economics. 1956. Vol. 70. № 1.
58. Solow R.M. Intergenerational Equity and Exhaustible Resources // Review of Economic Studies. 1974. Vol. 41, Symposium on the Economics of Exhaustible Resources.
59. Solow R.M., Wan F. Y. Extraction costs in the theory of exhaustible resources // Bell Journal of Economics. 1976. Vol. 7.
60. Stiglitz J. Growth with Exhaustible Natural Resources: Efficient and Optimal Growth Paths // Review of Economic Studies. 1974a. Vol. 41, Symposium on the Economics of Exhaustible Resources.
61. Stiglitz J. Growth with Exhaustible Natural Resources: The Competitive Economy // Review of Economic Studies. 1974b. Vol. 41, Symposium on the Economics of Exhaustible Resources.
62. Swierzbinski J. E., Mendelsohn R. Exploration and exhaustible resources: the microfoundations of aggregate models // International Economic Review. 1989. Vol. 30, № 1.
63. Toman M. A., Walls M. Nonrenewable resource supply: theory and practice // Bromley D. W.(editor), Handbook of Environmental Economics. Blackwell Handbooks in Economics. 1995.
64. Uhler R. S. The rate of petroleum exploration and extraction // Pindyck R. S.(editor), Advances in the Economics of Energy and Resources. Vol. 2. Greenwich. CT: JAI Press, 1979.
