Математическое моделирование определения степени загрязнения атмосферы при выбросах химических веществ Текст научной статьи по специальности «Математика»

DOI: 10.24143/2072-9502-2018-2-17-25 УДК 519.6

Е. В. Кушелева, А. Ф. Резчиков, В. А. Кушников, В. А. Иващенко, А. С. Богомолов, Е. В. Кушникова, Л. Ю. Филимонюк, М. А. Барулина

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СТЕПЕНИ ЗАГРЯЗНЕНИЯ АТМОСФЕРЫ ПРИ ВЫБРОСАХ ХИМИЧЕСКИХ ВЕЩЕСТВ

Рассматриваются вопросы экологического мониторинга распространения атмосферных поллютантов и определения степени загрязнения атмосферного воздуха контролируемых территорий. В ходе решения поставленных задач разработана математическая модель, позволяющая прогнозировать динамику распространения химически опасного вещества, выброшенного в атмосферу в результате аварии, а также количественно определить изменение его концентрации с течением времени. Построена разностная схема для численного решения дифференциального уравнения турбулентной диффузии, приведено доказательство ее условной устойчивости в общем и частных случаях. Разработанный программный продукт позволяет провести необходимые расчеты и наглядным образом представить динамику распространения шлейфа атмосферного поллютанта. Представлены результаты экспериментальных вычислений, подтверждающие адекватность предлагаемой модели.

Ключевые слова: математическая модель, уравнение турбулентной диффузии, разностная схема, численный метод.

Введение

Величина прямого ущерба от загрязнения атмосферы выбросами промышленных предприятий, тепловых электростанций, выхлопными газами автомобилей и других атмосферных загрязнителей, по оценкам ряда авторов, ежегодно составляет сотни миллиардов долларов. От последствий загрязнения атмосферы ежегодно умирает примерно 2,1 миллиона человек, еще около 470 тысяч погибает из-за разрушения озонового слоя. Один из перспективных путей частичного решения указанных проблем непосредственно связан с применением аппарата системного анализа, теории управления и современных средств обработки информации, используемых для мониторинга процессов формирования и распространения атмосферных поллютантов, прогнозирования степени загрязненности контролируемых объектов и территорий, а также для управления технологическим оборудованием промышленных предприятий с целью снижения ущерба, причиняемого их атмосферными выбросами. В результате практического применения результатов этих исследований созданы и хорошо зарекомендовали себя на практике многие современные математические, аппаратные и программные средства экологического мониторинга и управления, например, единая государственная система мониторинга окружающей среды Российской Федерации, системы экологического мониторинга США, Европейского Союза и пр.

Прогноз динамики распространения химически опасного вещества, выброшенного в атмосферу в результате аварии, является важной задачей в области экологической безопасности. Целью такого прогноза является получение информации для оценки последствий аварийных ситуаций, а именно: определение размеров зон токсичного поражения, близости этих зон к жилой застройке, скорости распространения, а также возможности взрыва или возгорания. Данная информация необходима для оперативного устранения последствий аварий с химически опасными веществами, а именно: выбора способа их нейтрализации, маршрутов эвакуации, расчета критичных сроков эвакуации. Кроме того, возможность моделирования аварии при различных природных условиях служит основой для разработки адекватных мер защиты населения и окружающей среды [1-6].

Задачей нашего исследования является разработка математической модели для анализа динамики распространения химически опасного вещества, выброшенного в атмосферу в результате аварии, и прогнозирования его концентрации в заданных точках контролируемой территории.

Математическая модель

Для решения поставленной задачи рассмотрим прогностическое уравнение турбулентной диффузии, представленное в [2]:

дс дс дс дс 3,3с 3,3с 3,3с „ , ч _ , ч _, ч _, ч

— + и~ + V— + =—К — +—ку — +—^ — - ас + Q(X)5(х - х, )5(у —у, )5(г - г,), (1) 3? 3х 3у 3г 3х 3х 3у 3у 3г 3г

где с - искомая концентрация токсичного вещества; х, у, г - координаты точки расчета по осям абсцисс, ординат и аппликат соответственно; X - время; и, w, V - проекции вектора средней скорости перемещения вещества на оси абсцисс, ординат и аппликат соответственно; а - коэффициент изменения концентрации вещества из-за химических превращений; кх, ку, кг - составляющие коэффициента обмена по осям х, у, г соответственно; Q - интенсивность выброса токсичного вещества; 5(х - х,), 5(у - у,), 5(г - г,) - дельта-функция Дирака; х,, у,, г, - координаты источника эмиссии токсичного вещества.

Уравнение (1) должно быть дополнено начальным и тремя граничными условиями по каждой из пространственных координат:

с(X = 0, х, у, г) = £(х, у, г); с ^ 0 при\х| ^да; с ^ 0 при|у| ^да; с ^ 0 при | г| ^ да.

Данная математическая модель позволяет вычислить концентрацию химически опасного вещества в любой точке исследуемого пространства с течением времени, учитывая начальные данные, направление ветра и интенсивность выброса вещества в атмосферу.

Построение разностной схемы

Решение уравнения (1) предлагается искать численным методом. Построим разностную схему для данного уравнения.

Пусть для независимых переменных заданы следующие интервалы их изменения:

X е[0, ?! ]; х е[хь х2 ]; у е[уь у2 ] ; г е[гь г2 ].

Получим разностную сетку, разбивая каждый из этих интервалов на некоторое количество равных частей. Введем следующие обозначения:

- п, I,у, к - порядковые номера точек деления по X, х, у, г соответственно;

- 1п+х — 1п = Дt; хг+1 — х{ = Ах; уу+1 — у у = Ду; гк+1 — гк = Дг - интервалы между точками по X, х, у, г соответственно;

- с ((п, х1,у у, гк ) = с'х у г - значение функции с, соответствующее точкам Хп, хг-, уу, гк;

- с ^, хг±1, у у, гк ) = с1+1 у г - значение функции с, соответствующее точкам 1п, хг±1, уу, гк ;

- с (tn+l, х1, у у, гк ) = с£+у г - значение функции с, соответствующее точкам Хп+1, хи уу, гк.

Используя введенные обозначения, а также аппроксимацию дифференциальных операторов [7], составляющих уравнение (1) в точке с(Хп, хь уу, гк), запишем явную разностную схему, аппроксимирующую уравнение (1):

i+1 - c* - c* . f dk I f - С , ( dk I

UKX I x,y,z x,y-1,z ;

С - С С - С л ! dk \ С - С л

X, y,z X, y,z + X, y,z x-1, y,z u x + x, y,z x, y-1,z

v--y-

+

V J J

+ <y, - < w _ dK )= kx^^Z^^lfl^ +

At Ax ^ dx J Ay

J J / „x f - 2J , J

k x+1, y,z x,y.

Az ^ dz J x Ax2

с' + - 2С* + С* , С* + - 2С* + С' ,

x,y+1,z x,y,z x,y-1,z x,y,z+1 x,y,z x,y,z-1 t

+ky ~2 + kz ~2 acx, y,z +

Ay2 Ax

+Q (t )5( x - x, )5( y - y, )5( z - z,).

Очевидно, что из полученного выражения можно явно выразить искомую величину концентрации в каждый следующий момент времени с^ . .

Однако для возможности использования данной разностной схемы необходимо исследовать ее устойчивость.

Исследование устойчивости разностной схемы

Исследовать устойчивость явной разностной схемы (2), аппроксимирующей дифференциальное уравнение (1), предлагается с помощью спектрального метода. Возможность применения этого метода в данном случае обоснована в [7]. Представим решение в виде гармоники

схй, = 1"е'ае'вке'ут; а, в, уе [0, 2п],

где V - собственные числа оператора перехода; i - мнимая единица. Тогда разностная схема (2) примет вид

Х"+1е^'е®ке^т — Хпе^'е§ке^т Хпе^'е§ке^т — X "еа(' ( дкх

+-

А(

Хпе^'е®ке^/т — Хпе^евк—)е'1т ( дку Л ХпеШ]е^ке^т — Хпе^е®ке^(т—) ( дк

Ах

и--^ | +

дх

Ау

=кх + к.

V —

у

ду

+ -

\ ;

Аг

м —

дг

хпеа 1+1)е$ке1т — 2хп еШ] е®к е1т + хпеа 1 —1)е^ке^т

2

Ах

X п^аев( к+1)е^т — 2Х пеа'е®ке^т + X пеиа'ев к—)е*1т

- +

(3)

Ау2

- +

+к.

Х пеа'е®ке'1{ т+1) — 2Х пеа е®ке^т + Хп е®к е1{ т+1)

А?

—аХпе^е®ке^т.

Произведя необходимые преобразования, выразим значение V из (3):

Х =

1 — е"

Ах

+кх

1 — ( дку V--- 1 ду

дх ) Ау

2+е^а +к..- 2+е—в

А,

дкг ,

м--- | +

дг

\

Ах1

Ау1

+к,

— 2+е~'<

А,2

—а

А! +1.

(4)

В [8] показано, что для того, чтобы разностная схема (2) была устойчива, достаточно, чтобы все собственные числа оператора перехода удовлетворяли условию

IV < 1+сД!,

где с > 0 - независимая константа. Так как по условию теоремы константа с > 0, а шаг по времени Д > 0, то очевидно, что сД! > 0. Тогда неравенство V < 1 будет более строгим, чем IV < 1+сД!. Для упрощения практических расчетов в дальнейшем воспользуемся неравенством

IV < 1. (5)

Воспользовавшись равенством (4), неравенством (5) и проведя необходимые преобразования, можем записать:

—1 < 1 —

1 — е— Ах

и —-

д_К

дх

А! —

1—е-^( дк

ду

Ау

\

V —

А! —

1 — е"

Аг

м —

дк, д.г

— 4

кх А! . 2 а Лку Д . 2 в Л к. А! . 2 у

(6)

Ах2

^т2--4

2 Ау2

sin- — 4

2 А ,2

$ш2 — — аД < 1. 2

е

у

Рассмотрим некоторые частные случаи.

Случай 1. Предположим самый упрощенный вариант, что ветра нет. Это означает, что проекции вектора средней скорости перемещения примеси на оси абсцисс, ординат и аппликат равны 0 (и = 0; v = 0; w = 0). Тогда неравенство (6) примет вид

+ 2^ + 2^ + ^ < L (7)

Ax2 Ay2 Az2 2

Неравенство (7) является условием устойчивости конечно-разностной схемы (2) при условии отсутствия ветра.

Случай 2. Предположим, что проекция вектора средней скорости перемещения примеси на оси абсцисс не равна 0, а проекции на оси ординат и аппликат равны 0 (и Ф 0; v = 0; w = 0). Тогда можем полагать, что равенство (4) примет вид

. , А Д . 2 a k A . 2 R k7 At . 2 y 4 At ( dkx") At ( dkx _¡a A,= 1 _ 4-^- sin2--4^- sin- _ 4-7Цг sin- _ aAt--1 и--x 1 +—I и--x I e 'a.

Дг2 2 Ay2 2 Az2 2 Ax {ex ) Ax {ex )

Таким образом, для устойчивости разностной схемы (2) требуется, чтобы собственные числа оператора перехода были расположены внутри или на границе круга радиусом 1, центр которого находится в начале координат комплексной плоскости. Проведя необходимые преобразования, получаем:

At ( dkx \ kx At kyAt k7 At aAt

—I и--x I + 2+ 2^-r- + 2+-< 1. (8)

Ax {ex ) Ax2 Ay2 Az2 2

Неравенство (8) и является условием устойчивости конечно-разностной схемы (2) для случая, когда одна из проекций вектора скорости отлична от 0, а остальные равны 0.

Случай 3. Предположим, что проекции вектора средней скорости перемещения примеси на оси абсцисс, ординат и аппликат не равны 0 (и Ф 0; v Ф 0; w Ф 0). Тогда равенство (4) преобразуется к виду

1 - e~iaí dkx V 1 - e~lp

Г Öky ^

v---

Ar { dx ) Ay 1 dy

X = 1--1 u--x |At -

. 1 - e~rí( dkz |A

At--1 w--- |At -

Az I dz

„ kx At . 2 a „ kyAt . 2 В л k7 At . 2 y _ 4-^- sin— _ 4-^- sin- _ 4-Чт sin- _ aAt. Ax 2 Ay2 2 Az2 2

Для устойчивости разностной схемы (2), аналогично случаю 2, требуется, чтобы собственные числа оператора перехода были расположены внутри или на границе круга радиусом 1, центр которого находится в начале координат комплексной плоскости. Проведя необходимые преобразования, приходим к неравенству

At Г _dkx 1+ ALГv _ dky 1 At Г dkz 1 _ kxAt _kvAt _kzAt aAt

дУ

Ax 1 dx ) Ay 1 dv

+—| w | + + 2^ + 2-4^ + — < 1. (9)

Az 1 dz ) Ax2 Ay2 Az2 2

Неравенство (9) и является условием устойчивости конечно-разностной схемы (2) для случая, когда проекции вектора средней скорости перемещения примеси на оси абсцисс, ординат и аппликат не равны 0.

Таким образом, разностная схема (2) является условно устойчивой, в общем виде условие ее устойчивости получено в результате рассмотрения случая 3.

Программная реализация

Разработанный программный продукт был применен при проведении серии вычислительных экспериментов по прогнозированию и оценке негативных последствий, наступивших в результате аварии на железной дороге при транспортировке химически опасного груза.

В качестве примера рассматривается возможная авария на железнодорожной станции с выбросом винилхлорида в атмосферу. Был произведен расчет изменения концентрации пол-лютанта во времени в заданных точках контролируемой территории, времени подхода шлейфа атмосферного загрязнителя к зонам жилой застройки и интенсивности их поражения для различных метеоусловий и размеров эмиссии.

В качестве иллюстрации представлены результаты эксперимента в сечении г = 3 м при средних скоростях ветра и = 5 м/с, V = 2 м/с и интенсивности выброса Q = 1 кг/с через временные интервалы в 10, 60 и 90 с от начала аварии соответственно (рис.).

а

б

Зона загрязнения атмосферы в случае гипотетической аварии: ! = 10 с (а); ! = 60 с (б)

Зона загрязнения атмосферы в случае гипотетической аварии (окончание): t = 90 с (в)

Следует отметить, что при подобной аварии скорость покрытия поллютантом зон жилой застройки настолько велика, что за такой короткий промежуток времени не удастся не только эвакуировать население, но даже предупредить о возникновении опасной ситуации.

Предлагаемый метод позволяет не только оперативно прогнозировать динамику распространения опасного вещества в случае возникновения реальной аварии, но и моделировать последствия различных опасных ситуаций для разработки необходимых мер безопасности населения и окружающей среды.

в

Выводы

Разработана математическая модель, позволяющая прогнозировать интенсивность и направление распространения химически опасного вещества, выброшенного в атмосферу в результате аварийной ситуации. Построенная разностная схема позволяет быстро моделировать динамику распространения поллютанта в условиях определенной ограниченности начальных данных, характерных для данного класса задач. Разработанный программный продукт позволяет не только производить необходимые расчеты, но и предоставляет возможность визуально оценить распространение шлейфа атмосферного поллютанта по контролируемой территории. Согласно представленным результатам вычислений, при аварии с выбросом опасного химического вещества на некоторых участках железной дороги может произойти загрязнение зон жилой застройки, расположенных в непосредственной близости от железнодорожных путей.

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Клюев В. В., Резчиков А. Ф., Кушников В. А., Иващенко В. А., Богомолов А. С., Филимонюк Л. Ю., Яндыбаева Н. В. Математические модели для контроля, диагностики и прогнозирования состояния национальной безопасности России // Контроль. Диагностика. 2016. № 3. С. 43-51.

2. Бруяцкий Е. В. Теория атмосферной диффузии радиоактивных выбросов. Киев: Ин-т гидромеханики НАН Украины, 2000. 443 с.

3. Кушникова Е. В., Резчиков А. Ф., Иващенко В. А., Филимонюк Л. Ю. Модели и алгоритмы минимизации ущерба от атмосферных выбросов промышленных предприятий // Управление большими системами. М.: ИПУ РАН, 2015. Вып. 57. С. 158-190.

4. Резчиков А. Ф., Богомолов А. С. Критические сочетания событий как причина аварий в человеко-машинных системах // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-28: сб. тр. XXVIII Междунар. науч. конф.: в 12 т. / под общ. ред. А. А. Большакова. Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 2015; Ярославль: Яросл. гос. техн. ун-т; Рязань: Рязан. гос. радиотехн. ун-т, 2015. Т. 6. C. 151-153.

5. Кушникова Е. В., Резчиков А. Ф., Иващенко В. А., Филимонюк Л. Ю. Модели минимизации ущерба от атмосферных выбросов промышленных предприятий при неопределенности характеристик состояния окружающей среды // Экология промышленного производства. 2015. № 4 (92). С. 60-65.

6. Кушникова Е. В., Резчиков А. Ф. Математическая модель для определения массового и валового выброса атмосферных поллютантов промышленного предприятия // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. Сер.: Управление, вычислительная техника и информатика. 2015. № 4. С. 134-140.

7. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М.: Глав. ред. физ.-математ. лит. изд-ва «Наука», 1971. 552 с.

8. Колешко С. Б., Попов Ф. Д. Механика жидкости и газа. Разностные схемы: учеб. пособ. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 2001. 72 с.

Статья поступила в редакцию 15.09.2017

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ

Кушелева Екатерина Вадимовна — Россия, 410012, Саратов; Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского; аспирант факультета компьютерных наук и информационных технологий; [email protected].

Резчиков Александр Федорович - Россия, 410028, Саратов; Институт проблем точной механики и управления Российской академии наук; д-р техн. наук, профессор; член-корреспондент Российской академии наук; [email protected].

Кушников Вадим Алексеевич - Россия, 410028, Саратов; Институт проблем точной механики и управления Российской академии наук; д-р техн. наук, профессор; директор; [email protected].

Иващенко Владимир Андреевич - Россия, 410028, Саратов; Институт проблем точной механики и управления Российской академии наук; д-р техн. наук; ведущий научный сотрудник лаборатории системных проблем управления и автоматизации в машиностроении; [email protected].

Богомолов Алексей Сергеевич - Россия, 410028, Саратов; Институт проблем точной механики и управления Российской академии наук; канд. физ.-мат. наук, доцент; старший научный сотрудник лаборатории системных проблем управления и автоматизации в машиностроении; [email protected].

Кушникова Елена Вадимовна - Россия, 410028, Саратов; Институт проблем точной механики и управления Российской академии наук; канд. техн. наук; старший научный сотрудник лаборатории системных проблем управления и автоматизации в машиностроении; [email protected].

Филимонюк Леонид Юрьевич - Россия, 410028, Саратов; Институт проблем точной механики и управления Российской академии наук; канд. техн. наук; младший научный сотрудник лаборатории системных проблем управления и автоматизации в машиностроении; [email protected].

Барулина Марина Александровна - Россия, 410028, Саратов; Институт проблем точной механики и управления Российской академии наук; доктор физ.-мат. наук; ведущий научный сотрудник лаборатории анализа и синтеза динамических систем в прецизионной механике; [email protected].

E. V. Kusheleva, A. F. Rezchikov, V. A. Kushnikov, V. A. Ivashchenko, A. S. Bogomolov, E. V. Kushnikova, L. Yu. Filimonyuk, M. A. Barulina

MATHEMATICAL MODEL OF DETERMINING THE DEGREE OF ATMOSPHERIC POLLUTION BY EMISSIONS OF CHEMICAL SUBSTANCES

Abstract. The article focuses on the problems of environmental monitoring of atmospheric pollutant distribution and determining air contamination on the controlled areas. In the course of solving the designated problems there has been developed a mathematical model that allows to predict the dynamics of distribution of dangerous chemicals emitted into the atmosphere in the result of emergency, and to determine the change of their concentration in the course of the time. There was built a difference scheme for a numerical solution of the differential equation of turbulent diffusion, and given a proof of its conditional stability both for general and special cases. The developed program product helps to carry out necessary calculations and to demonstrate the dynamics of distributing the tail of atmospheric pollutant. The results of experimental computations confirming the adequacy of the proposed model have been presented.

Key words: mathematical model, turbulent diffusion equation, difference scheme, numerical method.

REFERENCES

1. Kliuev V. V., Rezchikov A. F., Kushnikov V. A., Ivashchenko V. A., Bogomolov A. S., Filimoniuk L. Iu., Iandybaeva N. V. Matematicheskie modeli dlia kontrolia, diagnostiki i prognozirovaniia sostoianiia natsional'noi bezopasnosti Rossii [Mathematical models for control, diagnostics and forecasting the state of Russia's national security]. Kontrol'. Diagnostika, 2016, no. 3, pp. 43-51.

2. Bruiatskii E. V. Teoriia atmosfernoi diffuzii radioaktivnykh vybrosov [Theory of atmospheric diffusion of radioactive emissions]. Kiev, In-t gidromekhaniki NAN Ukrainy, 2000. 443 p.

3. Kushnikova E. V., Rezchikov A. F., Ivashchenko V. A., Filimoniuk L. Iu. Modeli i algoritmy minimi-zatsii ushcherba ot atmosfernykh vybrosov promyshlennykh predpriiatii [Models and algorithms for minimizing damage from atmospheric emissions of industrial enterprises]. Upravlenie bol'shimi sistemami. Moscow, IPU RAN, 2015, iss. 57. Pp. 158-190.

4. Rezchikov A. F., Bogomolov A. S. Kriticheskie sochetaniia sobytii kak prichina avarii v cheloveko-mashinnykh sistemakh [Critical combinations of events as a cause of accidents in man-machine systems]. Matematicheskie metody v tekhnike i tekhnologiiakh - MMTT-28: sbornik trudov XXVIII Mezhdunarodnoi nauchnoi konferentsii: v 12 tomakh. Pod obshchei redaktsiei A. A. Bol'shakova. Saratov, Saratovskii gosudarstvennyi tekhnicheskii universitet, 2015; Yaroslavl, Iaroslavskii gosudarstvennyi tekhnicheskii universitet; Ryazan, Riazanskii gosudarstvennyi radiotekhnicheskii universitet, 2015. Vol. 6. Pp. 151-153.

5. Kushnikova E. V., Rezchikov A. F., Ivashchenko V. A., Filimoniuk L. Iu. Modeli minimizatsii ushcherba ot atmosfernykh vybrosov promyshlennykh predpriiatii pri neopredelennosti kharakteristik sostoianiia okruzhaiushchei sredy [Models of minimization of damage from atmospheric emissions of industrial enterprises with uncertainty of characteristics of the environment]. Ekologiiapromyshlennogoproizvodstva, 2015, no. 4 (92), pp. 60-65.

6. Kushnikova E. V., Rezchikov A. F. Matematicheskaia model' dlia opredeleniia massovogo i valovogo vybrosa atmosfernykh polliutantov promyshlennogo predpriiatiia [A mathematical model for determining the mass and gross release of atmospheric pollutants of an industrial enterprise]. Vestnik Astrakhanskogo gosudarstvennogo tekhnich-eskogo universiteta. Seriia: Upravlenie, vychislitel'naia tekhnika i informatika, 2015, no. 4, pp. 134-140.

7. Samarskii A. A. Vvedenie v teoriiu raznostnykh skhem [Introduction to the theory of difference schemes]. Moscow, Glav. red. fiz.-matemat. lit. izd-va «Nauka», 1971. 552 p.

8. Koleshko S. B., Popov F. D. Mekhanika zhidkosti i gaza. Raznostnye skhemy: uchebnoe posobie [Mechanics of liquids and gases. Difference schemes: Teaching aids]. Saint-Petersburg, 2001. 72 p.

The article submitted to the editors 15.09.2017

INFORMATION ABOUT THE AUTHORS

Kusheleva Ekaterina Vadimovna — Russia, 410012, Saratov; Saratov State University; Postgraduate Student of the Department of Computer Science and Information Technology; [email protected].

Rezchikov Alexander Fedorovich - Russia, 410028, Saratov; Institute of Precision Mechanics and Control of the Russian Academy of Sciences; Doctor of Technical Sciences, Professor; Corresponding Member of the Russian Academy of Sciences; [email protected].

Kushnikov Vadim Alekseevich - Russia, 410028, Saratov; Institute of Precision Mechanics and Control of the Russian Academy of Sciences; Doctor of Technical Sciences, Professor; Director; [email protected].

Ivashchenko Vladimir Andreevich - Russia, 410028, Saratov; Institute of Precision Mechanics and Control of the Russian Academy of Sciences; Doctor of Technical Science; Leading Researcher of the Laboratory of System Control's Problems and Automatization in Machinery; [email protected].

Bogomolov Alexey Sergeevich - Russia, 410028, Saratov; Institute of Precision Mechanics and Control of the Russian Academy of Sciences; Candidate of Physics and Mathematics, Assistant Professor; Senior Researcher the Laboratory of System Control's Problems and Automatization in Machinery; [email protected].

Kushnikova Elena Vadimovna - Russia, 410028, Saratov; Institute of Precision Mechanics and Control of the Russian Academy of Sciences; Candidate of Technical Sciences; Senior Researcher of the Laboratory of System Control's Problems and Automatization in Machinery; [email protected].

Filimonyuk Leonid Yurevich - Russia, 410028, Saratov; Institute of Precision Mechanics and Control of the Russian Academy of Sciences; Candidate of Technical Sciences; Junior Researcher of the Laboratory of System Control's Problems and Automatization in Machinery; [email protected].

Barulina Marina Aleksandrovna - Russia, 410028, Saratov; Institute of Precision Mechanics and Control of the Russian Academy of Sciences; Doctor of Physics and Mathematics; Leading Researcher of the Laboratory of Analysis and Synthesis of Systems in Precision Mechanics; [email protected].