CC BY
12
-►
Математическая физика
УДК 621.746.62
А. И. Цаплин, И.Л. Никулин
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ РЕЖИМОВ ЗАТВЕРДЕВАНИЯ МОНОКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ ЛОПАТОК ГАЗОТУРБИННЫХ
ДВИГАТЕЛЕЙ
Развитие авиационного двигателестроения требует постоянного улучшения эксплуатационных свойств жаропрочных сплавов для создания лопаток газотурбинных двигателей, совершенствования и создания новых технологий для их производства [1].
Наиболее перспективными считаются лопатки с монокристаллической структурой, обладающие высокой длительной прочностью; их получают из жаропрочных никелевых сплавов прецизионным литьем в оболочковые формы; последние делают по выплавляемым моделям. Керамические формы, изготовленные по выплавляемым моделям и собранные в блоки (рис. 1), помещают в установку для высокоскоростной направленной кристаллизации с охлаждением форм в жидкометалличес-ком теплоносителе - расплавленном алюминии. После заливки металла в формы и выдержки, необходимой для прекращения движения расплава, формы опускают с регулируемой скоростью 2-20 мм/мин из печи подогрева формы (ППФ) (поз. 5 на рис. 1) через графитовый экран 6 в расплавленный алюминий 8. Формирование лопатки начинается на затравке 4, где определяется пространственная ориентация ее кристаллографической структуры и создаются условия теплоотвода. При дальнейшем охлаждении формы кристалл растет через стартовый конус 3 к перу лопатки и замковой части 1.
Практика изготовления лопаток показала, что в отливках, получаемых данным способом, обнаруживается более десятка различных дефектов. Так например, при неудачно выбранных параметрах процесса охлаждения отливки возникают дефекты кристаллической структуры, приводящие к снижению выхода годной продукции; на настоящий момент он составляет всего 50-60 %.
Решение проблемы повышения качества лопаток, сокращение сроков и стоимости подготовки технологического процесса в значительной мере зависит от достоверности и эффективности автоматизированных методов проектирования тепло-физических условий литья.
Целью настоящей работы является разработка методики математического моделирования теплофизики процесса, позволяющей на основе вычислительного эксперимента прогнозировать нестационарные режимы направленной кристал-
Ш 7
И 8
Рис. 1. Схема теплового узла и литейного блока для получения монокристаллических лопаток: 1 - лопатка; 2 - литьевая форма; 3 - стартовый конус; 4 — затравка; 5 - верхний и нижний нагреватели ППФ; 6 - графитовый экран; 7 - стенка ванны; 8 - расплавленный теплоноситель
5
3
4
лизации, обеспечивающие повышение выхода годной продукции.
Монокристаллической отливкой называют изделие, «выросшее» из одного зародыша и не имеющее границ зерен. При этом в монокристаллическом изделии имеются включения различных фаз, когерентно связанных с матрицей.
За критерии качества, характеризующие процесс направленной кристаллизации, приняты осевой температурный градиент на фронте кристаллизации О (К/см) (рис. 2) и скорость перемещения фронта кристаллизации и (мм/мин). Произведение этих величин Ои определяет тип формирующейся структуры монокристалла. Кроме того, оптимальные условия для получения монокристаллической отливки создаются в том случае, когда в установке обеспечивается плоский в макроскопическом масштабе фронт роста монокристалла и когда его положение относительно нагревателя остается неизменным при кристаллизации.
Изгиб фронта кристаллизации приводит к отклонению кристаллографических осей монокристалла от вертикальной оси отливки и характеризуется углом разориентации 8 (см. рис. 2). Допустимый интервал значений угла 8 составляет от 0 до 3 град.
Для оценки влияния технологии процесса на критерии качества нами разработана математи-
О =
Рис. 2. Определение угла разориентации 8 и градиента температуры О на фронте кристаллизации; ТЬ - температуры солидуса и ликвидуса; 1, 2, 3 - зоны с различными видами теплообмена
ческая модель теплофизики формирования монокристаллической отливки, учитывающая следующие факторы:
неоднородность теплофизических характеристик материалов жаропрочного сплава, керамической формы и жидкометаллического охладителя;
анизотропию теплопроводности в затвердевшем монокристалле;
конвекцию в жидкой фазе отливки, захватывающей часть двухфазной зоны, а также в расплавленном охладителе;
радиационный механизм теплопередачи между оболочковой формой и ППФ, а также в усадочном зазоре.
В расчетную область модели включены отливка, литейная форма и часть питателя отливки. Математическая формулировка задачи в цилиндрической системе координат включает уравнение переноса энергии
Рсэфф
эт Эт
'1 э_ + э дт4 \
г Эг V 1 Эг К Ъ) У
(1)
где р - плотность материала; ^(г), - соответственно коэффициенты теплопроводности затвердевшего монокристалла в радиальном (г) и аксиальном направлениях; сэфф - эффективная теплоемкость, которая учитывает квазиравновесное выделение теплоты кристаллизации Ь в интервале температур солидуса Т и ликвидуса ТЬ и рассчитывается по соотношению
ьэфф
(Т) =
с(Т), Т <Т5,Т >ТЬ\
ь
с(Т) +
Ть~Т5
Т8<Т<ТЬ.
(2)
Здесь с(Т) - удельная теплоемкость. Краевые условия для получения единственного решения уравнения (1) включают начальное условие
(3)
где 0(г, х) - распределение температуры в начальный момент времени, а также граничные условия, сформулированные для расчетной области, разбитой на зоны с различными видами теплообмена.
Верхняя граница питателя отливки и прилегающая к ней форма считаются изотермическими, так как постоянно находятся в печи подогрева формы:
Г(г,Яф+Я0+ЯЩ)) = Г1
(4)
Т
Ь
Т
S
3
где Нф, Но, Н^ - величины высот дна формы, отливки и прибыльной части, входящей в расчетную область; Тпеч - температура печи.
Внутри печей боковые поверхности формы находятся в условиях радиационного теплообмена с нагревателями 5:
X дт
=е;о0(гф4(лф,г)-7;4еч(г)),
(5)
где Яф, Хф - внешний радиус и коэффициент теплопроводности керамической формы, Тф - температура на поверхности формы, £2 - приведенная степень черноты в зазоре между формой и печами, О0 - постоянная Стефана-Больцмана.
Экран 6, изготовленный из графитового войлока с низким коэффициентом теплопроводности, обеспечивает адиабатическую границу:
-X ЭТ
= 0.
(6)
ядт
= ао£г>/гф40гф,*)-^4), (7)
Я дТ
(8)
жидкометаллического охладителя, Ргохл, РГф - числа Прандтля при температурах охладителя и поверхности формы соответственно; Огохл - число Грасгофа при температуре охладителя;
при турбулентном режиме указанное число следует выражению
№ = 0,15(& • Рг )033(Рг /Рг )025. (10)
' 4 охл охл7 4 охл ф 7 4 7
Нижняя грань формы погружена в жидкоме-таллический охладитель, и здесь теплоотдача происходит только за счет теплопроводности:
'Э 7Л „ ГдТл
Ч
дг
л
дг
(11)
/охл
Ось симметрии представляет собой адиабатическую границу:
^ = 0. Эг
(12)
В области между графитовым экраном и жид-кометаллическим охладителем форма находится в состоянии радиационного теплообмена с графитовым экраном 6, стенкой ванны и тонким слоем шлака, покрывающим поверхность жидкометал-лического охладителя 8:
На внутренней поверхности оболочковой формы плотности теплового потока в расплаве и форме, а также температуры соприкасающихся поверхностей сплава (Т) и формы (Т,) равны:
-X,
Ч*
р
ф дг
л
(13)
где £*, ф., Т\ - приведенная степень черноты, локальный угловой коэффициент излучения и абсолютная температура -й поверхности.
Теплоотвод с поверхности формы, погруженной в жидкометаллический охладитель, осуществляется как за счет теплопроводности, так и за счет конвективных потоков расплава охладителя вблизи оболочковой формы:
где Хо - коэффициент теплопроводности сплава, Яо - радиус отливки.
В усадочном зазоре в условиях вакуума имеет место только радиационный теплообмен:
Г=Я
- X дт
=е;а0(го4(/г^)-гф4(/г,2)).
(14)
Нижняя торцевая поверхность отливки прижата к форме в общем случае неплотно:
где Тохл - температура жидкометаллического охладителя, акон - коэффициент теплоотдачи путем конвекции, определяемый через число Нуссельта № = а Ь /X для ламинарного режима [21; чис-
кон охл охл
ло Нуссельта для этого режима выражается как
-к
'дт ) , 'ЭтЛ
[дг ,дг к
к-т.)
(15)
Ш = 0,78(вг • Рг )025(Рг /Рг. )025, (9)
охл охл охл ф
где Ьохл - высота охладителя над нижним краем формы, Х - коэффициент теплопроводности
где рконт — контактное термическое сопротивление между отливкой и формой.
К уравнениям (1)-(8) следует добавить кинематическое соотношение для граничных условий: т
К
(16)
где w(T*) - скорость погружения формы в жидко-металлический охладитель, т - реальное время, т - переменная интегрирования.
Математическая модель реализована в пакете прикладных программ, написанных авторами на языке FORTRAN 95. Конечно-разностный аналог уравнения переноса тепловой энергии (1) решался на регулярных сгущающихся сетках [3]. В работе [4] показано, что модель адекватно описывает процесс роста монокристалла из никелевого жаропрочного сплава ЖС36 в условиях высокоскоростной направленной кристаллизации; для установившегося теплообмена погрешность расчетов не превышает 3 %.
На рис. 3 представлены расчетные температурные поля и распределение плотности тепловых потоков.
Для изучения отклика критериев качества на динамическое изменение параметров технологического процесса проведены вычислительные эксперименты, в которых ступенчато менялись скорость выдвижения, температура печи и толщина боковой стенки формы. Ступенчатое изменение одного из технологических параметров происходило в момент времени, когда решение краевой задачи относительно критериев качества становилось квазистационарным.
На рис. 4 приведены зависимости угла отклонения 8 и градиента температуры G, рассчитанные для трех режимов. Режим охлаждения (кривая 3) состоял из двух этапов: на первом скорость выдвижения была равна w1 = 5 мм/мин, на втором она ступенчато уменьшалась до w2 = 2 мм/мин. Для сравнения на графиках приведены зависимости, соответствующие режимам охлаждения с постоянными скоростями выдвижения w1 = 5 и w2 = 2 мм/мин (кривые 1 и 2).
Видно, что в режиме 3 выбранные критерии качества постепенно переходят от квазистационарных значений, реализующихся при постоянной скорости 5 мм/мин, к значениям, характерным для скорости 2 мм/мин. Следует отметить, что времена установления для внутренних параметров одинаковы.
При ступенчатом изменении температуры ППФ и толщины стенки формы критерии качества ведут себя аналогичным образом.
На основании результатов вычислительных экспериментов можно заключить, что перестроения температурного поля при нестационарном процессе охлаждения ограничены квазистационарными
а).
1 2 3
П—I—I
О 5 10 г,мм
0 6 12 Qc, 104 BT-ivt
Рис. 3. Температурные поля в отливке и форме (а) и распределение плотности теплового потока
по высоте формы (б) 1 - отливка; 2 - форма; 3 - печь; 4 - графитовый экран;
5 - жидкометаллический охладитель Изотермы построены с интервалом 100 К, тонированием выделена двухфазная зона
а)
9, град 4 и
3 -2 -1
++++
-М-
б)
0 -1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1
1000 1500 2000 т,с
G, К-см"1 120 -|
1000
1500
2000
Рис. 4. Изменение угла разориентации 8 (а) и аксиального градиента температуры О на фронте кристаллизации (б) в процессе затвердевания при различных скоростях выдвижения формы из печи: 1, 2 - постоянные скорости = 5 и 2 мм/мин; 3 - ступенчатое снижение скорости от 5 до 2 мм/мин
решениями, которые реализуются в режимах охлаждения с постоянными скоростями выдвижения формы.
Предварительно рассчитываются значения угла отклонения 8, градиента температуры О при квазистационарных режимах охлаждения для различных частей системы отливка-форма. Таким образом, получается набор предельных значений искомых параметров.
При известных временах перестроения параметров между предельными значениями в результате расчета выбираются моменты времени для изменения скорости выдвижения и температуры
печи, которые должны обеспечить удовлетворительный режим затвердевания монокристаллической отливки.
Результаты расчетного анализа применялись для назначения технологических режимов формирования монокристаллических лопаток газотурбинных двигателей и приводили к повышенному выходу годной продукции.
Таким образом, применение разработанной математической модели оказывается полезным для ускоренного проектирования динамических режимов направленной кристаллизации монокристаллических лопаток.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Каблов, Е.Н. Литые лопатки газотурбинных двигателей (сплавы, технология, покрытия) [Текст] / Е.Н. Каблов. - М.: «МИСИС», 2001. -632 с.
2. Кутателадзе, С.С. Теплопередача и гидродинамическое сопротивление [ Текст]: справ. пос. / С.С. Кутателадзе. - М.: Энергоатомиздат, 1990. -367 с.
3. Цаплин, А.И. Теплофизика в металлургии [Текст]: учеб. пос. / А.И. Цаплин. - Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2008. - 230 с.
4. Никулин, И.Л. Математическое моделирование роста монокристалла в промышленных условиях [Текст] / И.Л. Никулин, А.И. Цаплин, А. С. Коряковцев // Вестн. Перм. гос. техн. ун-та. -2005. - № 1. - С. 3-8.
УДК 517.988
А. Р. Абдуллаев, Э.В. Плехова, А.А. Савочкина
РАЗРЕШИМОСТЬ КВАЗИЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ С МОНОТОННЫМ ОПЕРАТОРОМ
Рассмотрим уравнение
Ьх = Ех (1)
с линейным ограниченным оператором Ь: X ^ У и вполне непрерывным оператором Е: X ^ У, где X, У - банаховы пространства.
В случае обратимости оператора Ь вопрос о разрешимости уравнения (1) эффективно решается исследованием эквивалентного уравнения
х - их¥х
с применением теорем о неподвижных точках. В ситуации, когда оператор Ь необратим, квазилинейное уравнение (1) принято называть резонансным [1, 2].
Интерес к операторному уравнению в резонансном случае обусловлен тем, что в представленном виде (1) можно рассматривать многие классы периодических краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и краевые задачи для уравнений с частными производными в критических случаях. Уравнение (1) в случае резонанса активно изучалось многими авторами (см. библиографию к работам [3-8]). При этом основные методы исследования на разрешимость уравнения (1) используют предварительное применение преобразования Ляпунова - Шмидта [9, с. 18], и проблема разрешимости уравнения (1) сводится к вопросу о существовании неподвижной точки вспомогательного оператора. Применение теорем
