CC BY
19
Математическое моделирование нелинейных характеристик элементов применительно к задаче реализации двухполюсников с заданными
нелинейными зависимостями
В.В. Пивнев1, С.Н. Басан2
1 Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону 2 Российский государственный гидрометеорологический университет,
филиал в г. Туапсе
Аннотация: В статье предлагается использовать для описания полюсных уравнений нелинейных резистивных двухполюсников соответствующие дифференциальные уравнения. Это упрощает реализацию нелинейных резисторов на базе аналого-цифро-аналогового элемента. Постоянные коэффициенты, входящие в предлагаемую математическую модель рассматриваются как постоянные интегрирования. Поэтому настройка элемента на требуемую вольтамперную характеристику осуществляется путём задания соответствующих начальных условий.
Ключевые слова: нелинейный элемент, математическая модель, полюсное уравнение, дифференциальная форма.
Многие нелинейные электрические цепи, находящие широкое применение в инженерной практике [1-12], в качестве нелинейных элементов содержат нелинейные резисторы. Реализация нелинейных резисторов с заданной вольтамперной характеристикой и требуемой степенью точности испытывает трудности, обусловленные необходимостью подбора выпускаемых промышленностью нелинейных элементов и способа соединения элементов между собой. При таком подходе возникают проблемы в обеспечении идентичности характеристик нелинейных элементов.
Избежать процедуры отладки аппаратной части нелинейного элемента позволяет применение аналого-цифро-аналоговго элемента [4, 5]. Реализация требуемой вольтамперной характеристики этим элементом обеспечивается соответствующим программным обеспечением.
Вид требуемых вольтамперных характеристик определяется техническими требованиями и может быть самым разнообразным.
Следовательно, для каждого вида характеристик требуется своё программное обеспечение.
В то же время вольтамперную характеристику нелинейного элемента можно рассматривать как частное решение соответствующего дифференциального уравнения. Частное решение дифференциального уравнения зависит от начальных условий. Следовательно, задавая начальные условия можно, управлять видом вольтамперной характеристики.
Целью работы является представление полюсного уравнения (1) (математической модели) нелинейного резистивного двухполюсника в виде дифференциального уравнения относительно тока /, где коэффициенты Ак и Вк рассматриваются как постоянные интегрирования [9]:
ик = Ак1 к . (1)
Для восстановления дифференциального уравнения по известному решению (1) продифференцируем дважды уравнение (1):
(вк -1)
и' = А,В,1 к , (2)
к к к
(Вк -2)
ик = Аквк(Вк -1)/ к . (3)
Уравнения (2) и (3) образуют систему, позволяющую выразить в явном виде постоянные интегрирования через напряжение и ток двухполюсника.
Решая систему уравнений (2, 3) относительно постоянных интегрирования Ак и Вк , получим: 2
(и') и'' / + и'
А = i-(1 (4)
Л + ик ик
и'' / + и'
В . (5)
к и' к
В этом выражении символ «Л» означает возведение в степень. После
подстановки (4) и (5) в уравнение (1) и выполнив элементарные упрощения, получим уравнение (6):
и",- ик • г + ик • ик - (ик) • г = 0. (6)
к к к к к
Полученное уравнение относится к классу однородных дифференциальных нелинейных уравнений второго порядка и является полюсным уравнением нелинейного резистивного двухполюсника с вольтамперной характеристикой (1), записанного в дифференциальной форме.
Выражение (1) является общим решением уравнения (6). Для нахождения частного решения необходимо определить начальные условия и0 и и'0. Начальные условия г0, и0, и'0 являются зависимыми начальными
условиями. В момент коммутации они могут скачком изменить свои значения, которые зависят от внешней по отношению к нелинейному элементу электрической цепи. При включении электрической цепи цифровое устройство фиксирует начальное значение тока (напряжения) элемента непосредственно после коммутации. Затем по уравнениям (7) вычисляются начальные условия:
ик 0 = Ак10Вк,
и = А В 1 (Вк-1) = ик0 В (7)
к 0 = АкВк10 к 1Вк.
10
Рассмотрим два частных случая, когда в уравнении (1) в качестве постоянной интегрирования рассматривается один из коэффициентов Ак или Вк. Если рассматривать в качестве постоянной интегрирования Ак, то дифференциальное уравнение примет вид:
ик= 0. (8)
г
В том случае, когда в качестве постоянной интегрирования
рассматривается Вк, математическая модель двухполюсника соответствует уравнение (9):
^ (9)
ик = Ак/-(^).
В обоих частных случаях математическая модель представляет собой однородное дифференциальное уравнения первого порядка. Для нахождения частного решения необходимо определять начальные условия, которые являются зависимыми начальными условиями. Их значение зависит от внешней по отношению к нелинейному элементу электрической цепи после коммутации.
В качестве примера рассмотрим расчёт переходного процесса в схеме замещения в нелинейной электрической цепи первого порядка на рис.1.
Рис. 1. - Схема замещения нелинейной электрической цепи первого
порядка
Пусть, в схеме на рис.1: Е = 5 В, Ь = 0.1Гн, и = 2/0,7 В, тогда
и' • и • / + и' ■ и - (и')2 • / = 0 .
(10)
Будем считать, что коммутация происходит в нулевой момент времени
Ч = 0
Запишем уравнение нелинейного элемента (10) в дифференциальной форме следующим образом (11):
', (и')2 и'
и" +
—= 0.
и I
(11)
Уравнения, описывающие процессы в схеме замещения на рис.1, после
к
я
коммутации, имеют следующим вид:
Ь&- + и(1) = е , (12)
а
и'+МИ-^ = 0. (13)
и г
Решим данную систему уравнений явным методом Эйлера, выполнив следующую последовательность действий:
1. Запишем уравнения (12) и (13) в форме Коши (14, 15, 16): & Е - и(г)
Ж Ь
(14)
и' = = *0, (15)
аг
(16)
Жг и г
2. Определим численные значения независимых начальных условий. В данной схеме (в соответствии с законами коммутации) одно независимое нулевое начальное условие г(0+) = г'(0_) = 0. Все остальные начальные условия являются зависимыми, их значения определяются в процессе решения задачи из уравнений (14, 15, 16). Из полюсного уравнения нелинейного элемента следует, что и(0+) = 0.
3. Выберем шаг интегрирования по времени: к = 0.0001 с. Результаты решения будем отображать в таблице 1.
Таблица № 1
Результаты решения задачи
«к» Номер шага гк аг . , а = 4 ик <Рк и' Аик
- (А) (А/с) (В) (Ом) (Ом/А) (А) (Ом) (В)
0 0 50 0 - - 0.005 - -
1 0.005 49.509 0.049012 6.8617838 -411.712 0.00495 -2.038 0.033972
87 741 65 08 0987 381156 6034
2 0.0099 49.170 0.082985 4.8234028 -204.362 0.00491 -1.004 0.02371
50987 146966 30338 5 586282 7014697 85383 674266
2 88
3 0.0148 48.93 0.106702 3.8185490 -120.17 0.00489 -0.588 0.018685
680017 297953 04604 11 5492352 3297954 05449 29804
96 04
4 0.0197 48.7461 0.125387 3.2304945 -80.244 0.00487 -0.391 0.015747
612996 265592 34408 2081 965742 461265 16312 60328
51
- - - - - - - - -
4. Из формулы (14) для г = 0+ получаем:
Е 5
г"(0+) = — = — = 50 А/с . (17)
+ Ь 0.1
5.Приращение тока на нулевом шаге будет равно:
Аг0 = г'(0+) • И = 50 • 0.0001 = 0.005 А. (18)
6. Далее вычисляется значение тока на первом шаге интегрирования: 11 = 1(0+ ) + А10 = 0 + 0.005 = 0.005 А. (19)
7. Зная ток первого шага интегрирования, вычисляем значения их и ( по формулам (8, 9):
и, = 2 • 0.00507 = 0.04901 В, (20)
(Ц = и[ = 2 • 0.7 • 0.005-0'3 = 6.861784 Ом. (21)
8. Вычисляем теперь значение первой производной силы тока в первой точке по соотношению (14):
= 5-004^3 = 49.50987 А/с. (22)
1 0.1 4 7
9. Знание производной тока позволяет определить приращение тока на первом шаге:
Аг1 = г[ • И = 0.004951 А. (23)
10. Соотношение (15) позволяет вычислить значение производной (:
рр (6.861783865)2 - 6.861783865
и I _ 0.049012741 0.005
411.71208 Ом/А. (24)
11. Вычисляем значения Ар и Аи1:
Ар _ р • Аг1 _ -411.71208• 0.004950987 _ -2.038381156 Ом,
Аи1 _р •Аг1 _ 6.861783865 • 0.004950987 _ 0.0339726034В.
(25)
(26)
12. Таким образом, все ячейки первой строки таблицы 1 заполнены. Теперь вычисляем значения переменных величин г2, и2,р2:
Далее, за исключением п. 7 процесс повторяется до тех пор, пока не будет найдено решение за весь период времени, с заданной степенью точности, удовлетворяющий требованиям задачи.
Из изложенного материала видно, что если использовать степенные функции для моделирования вольтамперных характеристик нелинейных резисторов [12], записанных в дифференциальной форме, то при реализации соответствующих нелинейных резисторов нет необходимости изменять ни схему, ни программу функционирования цифровой части на рис. 1. Для получения требуемых численных значений Ак, Вк достаточно задать начальные условия в соответствии с соотношениями (7).
Благодарности.
Работа выполнена при поддержке гранта Южного федерального университета России: «Теория и методы энергосберегающего управления распределенными системами генерации, транспортировки и потребления электроэнергии».
1. Пивнев В.В., Басан С.Н. Некоторые аспекты обратимости процессов в
г2 _ г1 + Аг; _ 0.005 + 0.004950987 _ 0.009950987 А,
и2 _ и1 + Аи1 _ 0.049012741 + 0.0339726034 _ 0.08298530338 В,
р2 _р + Ар _ 6.861783865 - 2.038381156 _ 4.823402709 Ом.
(27)
(28) (29)
Литература
линейных электрических цепях второго порядка // Инженерный вестник Дона, 2013, №4 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n4y2013/1969/.
2. Филиппов Е. Нелинейная электротехника. М.: Энергия, 1968. 503 с.
3. Данилов Л.В. Электрические цепи с нелинейными R элементами. М.: Связь, 1974. 135 с.
4. Басан С.Н., Изотов М.В. Применение микропроцессорных устройств в задачах синтеза нелинейных электрических цепей с заданными свойствами. // Materialy VII Mi^dzynarodowej naukowi-praktycznej konferencji «Perspektywiczne opracowania s^ nauk^ i technikami - 2011». Volume 56. Techniczne nauki. Przemysl. Nauka i studia, 2011. рр.17-24.
5. Басан С.Н., Изотов М.В. Универсальный аналого - цифровой элемент электронной техники // Труды международной научной конференции. Таганрог- Дивноморск: 2009. С. 486-489.
6. Данилов Л.В., Матханов П.Н., Филиппов Е.С. Теория нелинейных электрических цепей. Ленинград: Энергоатомиздат, 1990. 252 с.
7. Басан С.Н. Электрические цепи с нелинейными резисторами. Ростов-на-Дону: Издательство Ростовского университета, 1984. 200 с.
8. Басан С.Н., Данилов Л.В. Классы эквивалентных пассивных нелинейных цепей. В кн.: Методы математического моделирования и теория электрических цепей, вып. 2. Киев: 1973. 263 с.
9. Пивнев В.В., Басан С.Н. К вопросу о разработке модели нелинейного двухполюсника с управляемой вольт-амперной характеристикой // Инженерный вестник Дона, 2015, №3 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2015/3203/.
10. Pivnev V.V., Basan S.N. Some questions about equivalent circuit synthesis and nonlinear electrical circuit implementation with the specified properties in the electronic simulation tasks // Applied Mechanics and Materials Vols. 670-671. 2014. pp. 1454-1457.
11. Pivnev V.V., Basan S.N., Voloshchenko Y.P. The application of
approximation characteristics non-linear resistor implement the required current-voltage characteristics // Proceedings of the International Conference on Advances in the field of energy, environmental and chemical engineering. Part of series: Advances in Engineering Research (September 2015). - Access: doi:10.2991/aeece-15.2015.2.
12. Pivnev V.V., Basan S.N. Some the application of the Taylor series for the analysis of processes in non-linear resistive circuits // Applied Mechanics and Materials Vols. 701-702. 2015. pp. 1173-1176.
References
1. Pivnev V.V., Basan S.N. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2013, №4 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n4y2013/1969/.
2. Filippov E. Nelineynaya elektrotekhnika [Nonlinear Electrical Engineering]. M.: Energiya, 1968. 503 p.
3. Danilov L.V. Elektricheskie tsepi s nelineynymi R elementami [Electrical circuit with non-linear R-element]. M.: Svyaz', 1974. 135 p.
4. Basan S.N. Izotov MV. Materialy VII Mezhdunarodnoj nauki i tehniki nauchno-prakticheskaja konferencija «Perspektivnye issledovanija - 2011». Tom 56. Tehnicheskie nauki:. Promyshlennaja nauka i issledovanija [Materials of the VII International Science and Technology Scientific and Practical Conference "Prospective Study - 2011". Tom 56. Engineering: Industry, Science and Research]. 2011, pp.17-24.
5. Basan S.N., Izotov M.V. Universal'nyy analogo - tsifrovoy element elektronnoy tekhniki. Trudy mezhdunarodnoy nauchnoy konferentsii. Taganrog-Divnomorsk: 2009. pp. 486-489.
6. Danilov L.V., Matkhanov P.N., Filippov E.S. Teoriya nelineynykh elektricheskikh tsepey [The theory of non-linear electric circuits]. Leningrad: Energoatomizdat, 1990. 252 p.
7. Basan S.N. Elektricheskie tsepi s nelineynymi rezistorami [Electrical circuits
with nonlinear resistors], Rostov-na-Donu: Izdatel'stvo Rostovskogo universiteta, 1984. 200 p,
8. Basan S.N., Danilov L.V. Klassy jekvivalentnyh passivnyh nelinejnyh cepej. V kn.: Metody matematicheskogo modelirovanija i teorija jelektricheskih cepej [Classes equivalent passive nonlinear circuits. Proc.: Methods of mathematical modeling and the theory of electrical circuits], vyp. 2. Kiev: 1973. 263 p.
9. Pivnev V.V., Basan S.N. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2015, №3 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2015/3203/.
10. Pivnev V.V., Basan S.N. Some questions about equivalent circuit synthesis and nonlinear electrical circuit implementation with the specified properties in the electronic simulation tasks. Applied Mechanics and Materials Vols. 670-671. 2014. pp. 1454-1457.
11. Pivnev V.V., Basan S.N., Voloshchenko Y.P. The application of approximation characteristics non-linear resistor implement the required current-voltage characteristics. Proceedings of the International Conference on Advances in the field of energy, environmental and chemical engineering. Part of series: Advances in Engineering Research (September 2015). Access: doi:10.2991/aeece-15.2015.2.
12. Pivnev V.V., Basan S.N. Some the application of the Taylor series for the analysis of processes in non-linear resistive circuits. Applied Mechanics and Materials Vols. 701-702. 2015. pp. 1173-1176.
