Математическое моделирование некоторых задач восстанавления деталей судовых механизмов Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 519. 711.3

А. В. Усов, Л. А. Воробьева

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ВОССТАНАВЛЕНИЯ ДЕТАЛЕЙ СУДОВЫХ МЕХАНИЗМОВ

Постановка проблемы и анализ публикаций. В современном судоремонте на Украине наблюдается интенсивное повышение потребности в технологиях восстановления функциональных способностей деталей машин и механизмов посредством нанесения износостойких покрытий. В связи с этим приобретают особую актуальность современные ремонтно-восстановительные технологии, которые позволяют восстанавливать работоспособность деталей машин непосредственно в производственных условиях их эксплуатации [1]. Одним из направлений современных ремонтных технологий для восстановления размеров и функциональных свойств изношенных деталей, есть использование различных технологических методов, основы которых базируются на формировании покрытий из износостойких материалов. Для выбора типа покрытия указанного назначения и способа нанесения необходимо обосновать требования к их износостойкости и физико-механическим свойствам с учетом особенностей условий эксплуатации, а также свойств материала самой восстанавливаемой детали. На основании изложенного можно сделать вывод, что рассматриваемая проблема, состоящая в обосновании эффективности восстановления изношенных деталей судовых конструкций является актуальной научной проблемой.

Размерная механическая обработка деталей после нанесения на их рабочие поверхности износостойких покрытий связана с появлением на них дефектов типа трещин [2]. При исследовании механических свойств покрытий, обычно предполагают, что их разрушение происходит непосредственно в зоне воздействия нагрузки, в особенности, если последняя локализована в малой зоне. Прочность покрытия определяют по возникающим в них напряжениям скалывания, сдвига и отрыва, а основания — по максимальным контактным напряжениям.

Основная часть. Рассмотрим задачу для упругого полупространства полностью сцепленного с бесконечным покрытием толщиной 2И и загруженного нормальной Чз(х, у) и касательными чт (х, у) (т = 1,2) нагрузками (ось Ох направим внутрь упругого слоя, оси Ох и Оу расположены в серединной плоскости покрытия). Здесь и в дальнейшем нижним индексом т = 1, 2, 3 обозначены величины изменяющиеся в направлениях осей Ох, Оу, Ох соответственно. Между покрытием, моделируем как бесконечная пластинка, и упругим слоем расположены полосовые отслоения (трещины). Обозначая рт (х, у) контактные напряжения между покрытием и упругим

слоем, ит (х, у) перемещения серединной плоскости покрытия ( т = 1, 2, 3 ), запишем следующие дифференциальные уравнения [3]:

2у = 1 + у; 2у = 1 - у;

и 1 ] » + у2 [и 2] *+у1 [и 1 ] » = г 11_ р1- Ч1

и 2] > у2 [и1] > V [и 2] [р 2- ч 2 ] ;*=2ЕИ/(1 - V2); (1)

БДи = Ч -р3 + И[ч + р]^ + И[ч + р2]Д = д2/дх2 +52/су2; Б = вИ2/3;

[ит, Чт , Рт ] = [^ (X, У), Чт (^ У), Рт (X, у)] , (I х 1,1 у 1< •

Перемещения Ут (х, у) поверхностных точек упругого слоя определяются формулами [3, 4]:

3 ю

¥т(ху) = % X Д Kmj(x-^у-л)Ру

у0 х JJ Кту у=1 -ю ^ ю

Кту(х,У) = ^ Л Нту(а, Д)е~1ха-^ёаёД;

2 11 ' 4ж -ю

__9 _О __9 _о ___о

Нп = а+^0 Д 2а3; Н22 = а+С0а а ; Н33 = а; Н12 = Н21 = -С0аДа ; (2)

_9 _9 _ / / 9 9

Н31 = -Н13 = а0гаа ; Н32 = -Н23 = а0гДа ; а= 1 д/а + Д ; #0 = 2(1 - V2)/£0; <Г0 = ^/(1 - а0 = (1 - 2У0)/(2 - 2^).

(Е, £0 - модули упругости; V, Vo - коэффициенты Пуассона материалов покрытия и полупространства).

Перемещения покрытия и поверхностных точек упругого полупространства в зоне контакта должны удовлетворять условиям:

и -^[^3]х = У\; и2-и[и3]у = у3, и = ¥3, (хе(а,Д.), г=1^), |у|<ю. (3) При обработке тел с покрытием возникает вопрос о возможном расширении существующего отслоения (трещины), т.е. когда в точках х = а. - 0, х = Ь. + 0, (г = 1,2,..., N ) наступает состояние подвижного равновесия, определяемого условием [5]

N1.(у) = Кт/ж, т = 13; г = | у |<ю , (4)

где Кт - коэффициенты сцепления на скалывание (т = 1), сдвиг (т = 2) и на отрыв

( т = 3 ) покрытия, которые определяются экспериментально; N^1 (у) - коэффициенты

интенсивности контактных напряжений для . -го отслоения в точках конца и начала участка сцепления, полученные на основе линейной теории упругости, определяются по формулам [5]

(5)

Nm,г(у) = Ит - хРт(х ,у) , ^,г(у) = Ит Vх - ЬгРт(х ,у) •

х^а -0

х^К +0

Следуя работе [6] введем функции, определяющие величины раскрытия

полосовых отслоений

X =и1 -Н[и3]х; хг = иг-Ь[и3]'у-У2, Х3 = Щ-¥3, |х,у|

х, у |< ю.

(6)

Применяя преобразование Фурье по переменными х, у с параметрами а, Д к

формулам (1)-(6), разрешив эти уравнения относительно ра и применив обратное преобразование Фурье по переменной а , получим такие интегро-дифференциальные равенства [7]:

Г рД (х) ^

РД (х)

РД (х)

хе(аг ,Ьг )

ёх 2

- Д2

^NЬJ

XI

У У=1а,-

и Д д,

У

КД,1(х - 5) кД1(х - s) КД3,1(х - 5) КД{\х - 5) КД2Д(х - 5) КДзД(х - 5) КД{\х - я) КД21(х - я) КД1 (х - 5)

Д Д,

N ю

+ Х I

У=1-ю

ГК1Д,0(х - 5) К1Д,0(х - 5) КД,0(х - 5)

КД,0(х - 5) КД,0(х - 5) КДз° (х - 5)

■ Д ,0(

КД,0 (х - 5) КД20(х - 5) КДз° (х - 5)

■ Д ,0

,0

^ чДУ (х)^

ЧДУ (х)

V Ч3Ду(х)

(х) Х27!у (х)

д

V 3, У

Х3Д у (х)

+

(7)

=

хе(а-,Ь.)

Г 0 ^ 0

V 0 У

У

1 ю

Кртт (Г) |а-е

~12аьрт (а)ёа; р, т = 1,3; г = 1, N; г = 0,1..

Здесь ьР т (а) - элементы обратной матрицы для матрицы Ьр (а) :

Ьр (а) =

( р1 + И?? ар + На гак + Нр

ар + На? а1 + 1ухР1 + Н2аР грк + На? - гак + Н/2? грк + И?? 1 + Ир

(8)

Второе равенство в (7) является матричной системой интегродифференциальных уравнений для определения трансформант Фурье раскрытия у -х отслоений, а первое равенство в (7) определяет трансформанты Фурье контактных напряжений между отслоениями.

Из представления для Крр1 (х) следует, что эти функции имеют

логарифмическую особенность при х = 0. Поэтому решения системы интегродифференциальных уравнений из (7) при х е (аг ,рг) разыскивается в виде ряда по

многочленам Чебышева второго рода ит (х) [7] (у = 1,3; г = 1,N.):

Хи (8) = £ - ^(Р - ^-2 ) ((*-С- К >; ^ = Р-2; С = Р +2 . (9)

т=0

Для определения коэффициентов р^у получена система линейных алгебраических уравнений:

N да

X X = /%, С/ = 1,3, г = 1, N, к = 0, да) . (10)

г=1 т=0

Коэффициенты системы (10) зависят от нагрузок на покрытие и от материала упругого полупространства.

Трансформанты Фурье коэффициентов N0, у,г будут вычисляться по формулам:

да да / ___\

= Х (т +1)(-1) тХр%, у,=Х (т + , (г = 1, N; у = 1,3) (11)

т=0 т=0

Для одного полосового отслоения решение существенно упрощается и с увеличением ширины отслоения сходимость предложенного приближенного решения ухудшается. Поэтому укажем другое решение для одного отслоения, сходимость которого с увеличением ширины отслоения будет улучшаться. Будем считать, что отслоение занимает область:

- а < х < а, | у |<да .

Представив трансформанты Фурье заданных нагрузок по переменной у с

параметром р в виде четной qm р (х) и нечетной цт р (х) составляющих, получим систему интегральных уравнений с разностями и суммационными ядрами (3 = ра ):

X дак у -Т\) + Крг у (' + т +120 )]р7,р(г + 20 № = /т,р(/) , т = 1,3 . (12)

у =1 0

Решения этой системы разыскиваем в виде [3]:

рЫг+а0)=1(1г)-1/1 е-' X МпР^у(Р)ь-1/2(/'), р>0; г>0, (13)

п=0

/лп = 1у[2п !/Г(п + 0,5); Ь'П(г) - многочлены Чебышева-Лагерра; Г(г) - гамма-функция Эйлера [7]. Коэффициенты р^у (р) определяются из системы уравнений:

3 <х / \ ___

X Т^п + кгт1п Р) = /ш,]; г = 1,3; т = 0, ® . (14)

]=1 п =0

Коэффициенты интенсивности при х = а равны:

ыр,] =42 X я, (<] (р)+ей,] (А)), ] = 13. (15)

п=0

Если нагрузки на покрытие д] (х, у) = (х), то контактные напряжения р] (х) , ( х > 0 ) можно определить из интегро-дифференциальных уравнений [3]:

р] (х) + Б] | К] (х - з)р] № = д] (х); К] (х) = — Ц г I"1 е х > 0,

0 (16)

Б1 = Б2 =-ё2/ёх2; Б3 = ё4/ ёх4.

Построены точные решения этих уравнений методом факторизации [3].

Для установления расчетных зависимостей между технологическими параметрами обработки и явлением отрыва покрытий при условии их недостаточно прочного сцепления предлагается следующая математическая модель.

Система уравнений, определяющих тепловое и напряженно-деформированное состояние изделия с покрытием при механической обработке, содержит уравнение нестационарной тепловодности [2] (к = 1,-к < г < к и к = 2,к < г <<х ):

а|ДТк =8Гк/дт; А = д2/дх2 +52/&2, (17)

и уравнение упругости Ламе в перемещениях:

вк бвк/б2 + Щ = Ьтк дТк/<к- ёк 8вк/8х + Щ = Ьтк дТк/дх;

4=1/(1-2^); Ьтк =2ёкСк(1 + Ук)а?\ вк =дик/дг + дГк/дх, где Тк (х, г, т) - температура в точке с координатами (х, г) и в любой момент времени т (при к = 1 - в покрытии, при к = 2 - в упругом полупространстве); ак -

температуропроводности материалов; а(к) - температурный коэффициенты линейного расширения; , - постоянные Ламе; и к У - компоненты вектора перемещений точки (х, г). Начальные условия для данной задачи можно взять нулевые. Граничные условия для температурных полей и полей напряжений, учитывающие теплообмен с поверхности вне зоны контакта круга с деталью и интенсивного тепловыделения в зоне обработки, имеют вид [2, 3] (| у |< £ ):

Я18Т1/ дг = -д1(г,т); <т\ (х,0,т) = ст2(х,0,т), (19)

где д(г, т) - интенсивность теплового потока, выделяемого в зоне контакта инструмента с обрабатываемой поверхностью; ^ - коэффициент теплопроводности

шлифуемого материала; £ - длина зоны контакта инструмента с обрабатываемой

1 2

поверхностью; ^ - коэффициент теплообмена с окружающей средой; стх, стх -нормальные напряжения, соответственно в покрытии и матрице.

Условия сопряжения покрытия с упругим полупростанством:

- для температурных полей

8Т 8Т

Т1(х,к -0,т) = Т2(х,к + 0,т), Л1 —1(х,к -0,т) = Л2 —Чх,к + 0,т); (20)

дх дх

- для деформационных полей и полей напряжения

и1 (х,к - 0) = и2(х,к + 0); У1 (х,к - 0) = У2 (х,к + 0); ст1 (х,к - 0) - ст2(х,к + 0) = <стх), | х|<а. (21)

Решение уравнений (9)-(11) с условиями (12)-(14) позволило получить в явном виде выражения для расчета температуры как в покрытии так и в основном материале в виде [2]:

(г-т)2 +(г-т)2

еП т 1р 4а12(Г-')2 х, г,г) =Ц 6

о -е 2^1 т(г- 7)

1 + ]ег2(тЧ) [1 + ф(гГ7 )|т, 0

[л/т(г- 7) ]

> < г < к .

у?( у-т)2

Т2( х, г, г) =

еУкр г 2 + (х-т)2е 2°2

о -е

-К,

У?

V 2«2

а/( х -т)

22 +г

ёцЖ, г > к. (22)

( Ф( х), К ]/( х) - функции Лапласа и Бесселя).

/2

Температурные напряжения определяются формулами

= (тУ/} = -а(1)Т1 (х, г, г) + Ь* х / к + ¿0;

Т7(к) _

а

= а

*£к/(1 - ук),

= а(2) = -а(2)Т2 (х, г, г) + да-1 (ткЬ* х/к + ¿0 )

(23)

* *

= 2т

т* =

у

2(т1 + т\ N - 3(тк - т1

N * ],

к

= 6т1 [2(т + тк N - (т2

тк- т

,1К _

а(1) О Т1 (х, г, г)ёх + а/2-* О (х, г, г)^х

к3 N 2 =

а/1 О Т1 (х, г, г)^х + а/2) О Т2 (х, г, г)^х

= 4(т1 + тк)(т1 + тк)-з(тк-т1 т1(1 -у1)^2 =(1 -^2Е1); т =5/к,

где У^,Уэ - технологические параметры, й,й2,а1,а2,а(\а<(2 - теплофизические

характеристики материалов покрытия и основного материала.

Полученные зависимости (22)-(23) позволяют моделировать процесс шлифования деталей с покрытием с учетом требований к качеству обработанных поверхностей.

Выводы: В работе построена математическая модель по определению условий отрыва отслоившегося покрытия в зависимости от свойств материалов. Получены критериальные соотношения, связывающие температуру шлифования, интенсивность теплового потока, напряженно-деформированное состояние обрабатываемой поверхности изделий с технологическими параметрами, позволяющие управлять качеством обработки с целью предотвращения дефектов отслоения покрытия от основной матрицы.

Результаты работы могут быть применены не только в судовом машиностроении или судоремонте, но и в общем машиностроении.

ЛИТЕРАТУРА:

1. Маталин А. А. Технологические методы повышения долговечности деталей машин/ А. А. Маталин. - К.: Техника, 1971.

2. Усов А. В. Моделирование систем с распределенными параметрами / А. В. Усов, Д. Н. Дубров, Д. В. Дмитришин.- Одесса: Астропринт, 2003.

3. Попов Г. Я. Контактные задачи для линейно-деформируемого основания / Г. Я. Попов. - К.: Вища школа, 1982. - 167 с.

4. Лурье А. И. Пространственные задачи теории упругости / А. И. Лурье. -М.: Гостехиздат, 1970. - 357 с.

5. Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения / Г. П. Черепанов. - М. : Наука, 1971. - 420 с.

0

0

0

0

6. Попов Г. Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, жестких включений и подкреплений / Г. Я. Попов. - М.: Наука, 1982. - 324 с.

7. Градштейн Н. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / Н. С. Градштейн, И. М. Рыжик. - М.: Физматгиз, 1971. - 1108 с.

УСОВ Анатолий Васильевич - д.т.н., заведующий кафедрой высшей математики и моделирования систем Одесского национального политехнического университета. Научные интересы:

- математические модели в механике деформируемого твердого тела.

ВОРОБЬЕВА Лариса Александровна - преподаватель математики Морского колледжа технического флота Одесской национальной морской академии. Научные интересы:

- математические модели в механике деформируемого твердого тела.