Математическое моделирование многочастотного модема с повышенной помехоустойчивостью Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОГОЧАСТОТНОГО МОДЕМА C ПОВЫШЕННОЙ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬЮ

Санников Владимир Григорьевич,

профессор, доцент, к.т.н., кафедра общей теории связи,

МТУСИ, Москва, Россия,

[email protected]

Алёшинцев Андрей Владимирович,

соискатель, кафедра общей теории связи, МТУСИ,

Москва, Россия,

[email protected]

Ключевые слова: частотное уплотнение, синтез сигналов, оптимальные финитные сигналы, многочастотный модем, помехоустойчивость, спектральная и энергетическая эффективность.

В современных инфокоммуникационных системах и сетях для передачи цифровых данных широко используются многочастотные модемы с различной конфигурацией их практической реализации. Различают многочастотные модемы с широкополосными и узкополосными поднесущими колебаниями. В первом случае ортогональные гармонические сигналы различных каналов занимают всю выделенную полосу частот системы. В различных разработках этот способ передачи называют ортогональным уплотнением с частотным мультиплексированием (orthogonal frequency division multiplexing - OFDM). Во втором случае вся полоса частот разбивается на несколько индивидуальных частотных полос, в которых размещаются узкополосные ортого-нальные сигналы разных каналов. Примером тому служат многоканальные системы радиотелефонной связи с частотным разделением каналов (РТС ЧРК) или с многочастотной модуляцией (МЧМ - multi-carrier modulation). Предлагаемая работа относится ко второму направлению, так как в этом случае имеется возможность модерни-зации многочастотного модема путем синтеза оптимальных, финитных во времени сигналов, согласованных с узкополосными фильтрами на передаче и не вызывающих на их выходах межсимвольной интерференции. Из-вестны работы, в которых эта задача решена для случая, когда оптимизация формы финитного сигнала осуще-ствляется путем максимизации отношения сигнал/шум (ОСШ) в одной точке (в середине посылки длительно-стью T). В настоящем исследовании предлагается новый метод оптимизации формы финитного сигнала по мак-симуму его среднего значения на T, что приводит к повышению ОСШ или помехоустойчивости модема за счет уменьшения уровня шума на приеме. В работе дается метод синтеза новых оптимальных финитных сигналов с повышенной помехоустойчивостью для модема с МЧМ и квадратурной амплитудной модуляцией (КАМ). Предлагается новый вариант многочастотного модема в системе РТС ЧРК с эффективностью, превышающей эффективность известных стандартных модемов. Рассматривается метод математического моделирования на ЭВМ в среде MATLAB одного из каналов многочастотного модема.

Для цитирования:

Санников В.Г., Алёшинцев А.В. Математическое моделирование многочастотного модема c повышенной помехоустойчивостью // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. - 2016. - Том 10. - №7. - С. 52-58.

For citation:

Sannikov V.G., Alyoshintsev A.V. Mathematical modelling of the multifrequency modem ^е boosted noise stability. T-Comm. 2016. Vol. 10. No.7, pp. 52-58. (in Russian)

Введение

В РТС ЧРК при передаче дискретных сообщений по час-тотно-ограничеиным каналам связи (КС), с целью нивелирования меже им вольной интерференции (МСТИ) применяется метод параллельной многочастотной модуляции (МЧМ). в англоязычной литературе это метод DMT (Discrete Multi None) [ I +3, 6, 8]. Здесь для передачи дискретных сообщений используется ряд параллельных подканалов с центральными частотами f ,h=\,N, спектры сигналов индивидуальных

каналов в которых (см. рис. I) занимают полосу частот, много меньшую полосы частот КС: AFb = Fmix - Fnlin ■ По сравнению с методом последовательной од но частот ной передачи этот метод имеет то преимущество, что практически не чувствителен к искажениям амплитудно-частотных и фазо-частотных характеристик (АЧХ и ФЧХ) КС, возникающим из-за многолучевосга или из-за селективных замираний, и, как следствие, приводит к значительному упрощению задачи выравнивания передаточной функции КС.

АЧХ КС

Рис. 1. Размещение индивидуальных подканалов а частотно-ограниченном КС при МЧМ

Отличительной особенностью предлагаемой работы является использование в индивидуальных подканалах МЧМ модема формирующих фильтров (ФФ) Баперворта, для низкочастотных эквивалентов (НЧЭ) которых синтезируются, согласованные с их характеристиками, оптимальные финитные сигналы (ОФС), принципиально не вызывающие МСИ на выходах ФФ, ! 1ри определении полосы частот подканалов, обеспечивающих заданный уровень ослабления АЧХ, ОФС имеют заданный уровень межканальных искажений. В работе принят уровень ослабления, равный -20 дБ.

В работе [7] отмечается, что в современных цифровых РТС с KAM и когерентным модемом в структуре МЧМ взамен высокочастотного ФФ индивидуального канала используют два идентичных ему низкочастотных эквивалентов (НЧЭ ФФ), техническая реализация которых значительно проще, чем реализация полосового ФФ. Кроме того, для реализации этих НЧЭ в синфазном и квадратурном каналах широко используются специализированные микросхемы, что существенно упрощает процесс проектирования и производства высокоскоростных РТС. Однако следует отметить, что при подаче на НЧЭ ФФ последовательности классических прямоугольных KAM импульсов, отклик фильтра представляет собой последовательность перекрывающихся во времени нефинитных сигналов, что вызывает явление МСИ, приводящей к резкому понижению помехоустойчивости РТС с увеличением скорости передачи ДС, Для устранения отмеченного недостатка в работах [4, 6] доказывается, что при известной импульсной реакции q(t) НЧЭ ФФ или его ком-

плексного коэффициента передачи к{]со), можно синтезировать такой импульс на входе НЧЭ ФФ, отличный по форме от прямоугольного, который, проходя через фильтр, остается финитным во времени на его выходе и обеспечивает максимальное ОСIII в одной точке, а именно, в середине импульсной посылки длительностью Т.

В задачах оптимального обнаружения импульсных сигналов в шумах качество их интегрального приема определяется отношением энергий сигнала и шума на входе решающего устройства демодулятора [2, 7], При этом энергия однополяр-ного импульсного сигнала однозначно определяется его средним значением. Поэтому актуальна постановка задачи синтеза таких финитных сигналов на входе НЧЭ ФФ, которые, оставаясь финитными на его выходе, максимизировали бы среднее значение его отклика. 11ерейдем к решению этой задачи.

Синтез оптимальных финитных сигналов

по критерию максимума их среднего значения

Полагая, что для 11ЧЭ ФФ известны импульсная реакция или комплексный коэффициент передачи к( /ы), поставим задачу определения формы финитного сигнала, максимизирующего среднее значение его отклика на интервале посылки длительностью Г при следующих ограничениях:

Ех = — [Sj (<o)i/(0 = const • 2л J

-СО

J- j(jco)'sx(_/cu)/c(jco)c/co = 0.

(1)

(2)

— i(Jet)'Sx(j<o)k(ja>)e'aTdoo = 0, A = 0,(«-1). lit "

Ограничение (1) фиксирует энергию входного сигнала х(7) со спектром ■ Ограничения (2) задают нулевые

значения /-ых производных отклика ФПЧ у(/) со спектром

= 5ха(о)к(](о), при 1 = 0 и г = Т, а следовательно, и

финитность импульса у{(), 0 < г < Т, при финитном сигнале л-(0, 0 < / < Т.

Применение этих сигналов позволяет предложить новый метод приёма дискретных сигналов, а именно, прием но среднему значению сигналов па входе демодулятора. Этот метод по реализации значительно проще интегрального метода приёма и незначительно уступает по сложности методу однократного отсчета, являясь, очевидно, более помехоустойчивым последнего, так как основан на методе накопления полезного сигнала и шума. Перейдем к определению формы финитных сигналов.

После ряда преобразований, среднее значение сигнала у(/) на интервале Г приводится к виду:

(3)

jKO = 7 \yU)dt ~ К(joj)k(jco)

sin шТ/2 соТ/2

. т ; 2 d(o '

Для решения вариационной задачи с ограничениями (1) и (2) составим функционал:

I 1 Гс I ■ \х/ V \ sin tu 7V2

(UT/2

-e ~d(o-

-¿{gft J|IMГS, (»¡c(jco)dm+^, ](»' S,(j<.o)k(M^уU j.

После приведения подобных членов данный функционал приводится к виду:

¡ЗЛМНМ^^е^Ме-)}^ <4>

где Л, - неопределенные пока множители Лагранжа, а его максимум тах J, согласно неравенству Гёльдера, достигается на множестве всех спектров, удовлетворяющих условию:

Щ - ~ ^ А***)

(5)

где постоянная £ определяется из 01раничения (1); неизвестные /и,, Я,- вычисляют из дополнительных условий (2).

Потребуем, чтобы импульс у(/) был четной функцией относительно точки / - Т/2. Это условие выполняется, если для множителей Лагранжа в функционале (5) справедливо равенство Д. = (—1)' [4]. Тогда спектры входа и выхода НЧЭ ФФ приводятся к виду:

5,(»-£к{-](о)С{~МТ), ДГ,(» = ек2{е>Щ-}Ф,Т), (6) где, согласно (5), введена сигнальная функция вида:

шТ/2

1=0

Спектрам в (6) соответствуют функции, определяющие формы искомых сигналов на входе и выходе НЧЭ ФФ:

(9)

Qit) = — ]fe2 = ]$( r) q{t + |r|) dt* ÍI0>

где qil](t) и Qll,(t)- i-ые производные от q(t) и Q(t),

i = 0,n -I,n- порядок НЧЭ ФФ.

Однако окончательно поставленная ранее задача на данном этапе не решена, так как найденные функции х(/) и y(t) в (8) и (9) определены на интервалах -со <1< Т и - < f <

В работе доказывается, что, если в качестве ПЧЭ ФФ использовать фильтр Баттерворта и-oro порядка с АЧХ и импульсной реакцией вида:

,--п/2

k(a>)=\/Jl+(a>/ü>rf, q{í) = Y/"''(«, cospti + b, sinД/), (11 >

то коэффициенты f.t¡, i = 0,1,...,(«-1) в (8) и (9) удовлетворяют следующим условиям: 1

m¡T

т т

е 2 cos i//¡ -е 2 cos у/Г

-ZM

т

Чт

Т

е 2 cos<//¿ +(-1) é : cosi/// (-

= 0,

(12)

w¡T

т т

•V-r . _ -47 , +

е 2 sin^f +е - sin у,

-УрМ

г

щ-

т

= 0, 1=\,п/1.

а сигналы х(>) и y(t) будут финитными и определены на интервале времени 0 < t < Т.

В (12) введены обозначения: ц/f. = fyT !2 + i6t,

y/f=0,T t2*et, 0,= arctg{p, I a,), coj = a) + 0f. a, = ú)y sin <p,, P¡=(oy cosщ, <p¡ = (21 — \)ж / 2n.

На рисунке 2 приведен [рафик (утолщенная линия) ОФС y(t), 0 </ < 1.8(мс), полученный для НЧЭ ФФ Баттерворта

восьмого порядка. Здесь же приведен график спектра (утолщенная линия) этого ОФС. Пунктиром показан график АЧХ НЧЭ фильтра Баттерворта 8-го порядка.

Повышение эффективности цифрового модема

Замечая, что ОФС y(t) (см. рис. 2) представляет собой четную функцию относительно момента ta~T/2,, то спектральную эффективность модема можно улучшить в 2 раза, если организовать в каждом из каналов модема второй дополнительный канал, сигнал в котором ортогонален ОФС Таким сигналом может служить производная от y(t), т.е. yl(t) = dy(t)í dt ■ На рисунке 2 приведен второй ОФС (тонкая линия) у (t), 0 <t < 1.8(мс). На рисунке 3 приведен 1рафик (тонкая линия) спектра этого ОФС.

Усовершенствованная схема многочастотного модема

В отличие от схемы интеллектуального модема с МЧМ, рассмотренного в работе [6, стр. 23, рис. 2], в настоящем исследовании предлагается его усовершенствованная версия, обладающая повышенной эффективностью и помехоустойчивостью. Функциональная схема предлагаемого модема приведена на рис. 3.

Данный модем относится к классу интеллектуальных модемов, так как оптимизация его характеристик осуществляется как на приемном (в демодуляторе), так и на передающем (в модуляторе) концах системы передачи ДС. Здесь введены обозначения: ФС — формирователь ОФС, ФВ -фазовращатель на тг/2, ВВС - блок вхождения в связь, БОН КПС - блок оценки параметров канала прямой связи, СВН -система восстановления несущей, СФ - согласованный фильтр с ОФС, СВТЧ - схема восстановления тональной частоты, МПРУ - многопороговое решающее устройство.

В модуляторе последовательность независимых и равновероятных двоичных сообщений «(/) в блоке К У Х±Х модулятора путем соответствующего объединения двоичных символов, преобразуется в четыре независимые последовательности символов МАМ с М — 2™ следующего вида: a*(f), а'^ (f), а'3 (/)> (t) 5 kJ,í,j = Q,M~l> длительностью Tt ~4T\dM ■ В блоках ФС| и ФС2 синфазного канала прямоугольные сигналы í7*(0>«'.j_(f) преобразуются во взаимно-ортогональные ОФС yc(f),ycí(t) (ем. рис, 2), форма которых определяется в соответствие с (9)-(12).

В блоках ФС] и ФС; квадратурного канала прямоугольные сигналы aUt),a'!±(t) преобразуются во взаимно-ортогональные ОФС _vt(r),^I±(/) с формой в (9)-(12). Следует отметить, что сигналы ус(/),Дц (/) и у, (0.>'si(') формируются с равными энергиями путем введения в схему модема усилителей.

W

У

блока оценки параметров КС и входы квадратурных подканалов, содержащих 2я перемножителей сигнала г'(/) с

опорными синфазными cos(27zfj~(рп), п~ l,N, колебаниями, формируемых на выходах генератора сетки частот демодулятора, и квадратурными sin{2^r/ — <з„) колебаниями на

выходах ФВ.

Сигналы с выходов перемножителей поступают на согласованные фильтры (СФ) индивидуальных подканалов, согласованные с ОФС у'Д/),^х(/), .vt.(/),>'г1(/). Отклики СФ в моменты, кратные Tt, поступают на блоки МПРУ, на выходах

которых образуются оценки сигналов KAM. На выходах блоков X X1YY восстанавливаются «медленные» импульсные

потоки индивидуальных подканалов о* (г), и = l,N, которые на выходе мультиплексора объединяются в «быстрый» импульсный поток a'(t), представляющий собой оценку переданного ДС «(/). В виду того, что «*(/)=£«(/) возникает актуальная задача оптимизации работы модема, в результате решения которой обеспечивается минимизация вероятности ошибочных решений в МПРУ.

Результаты математического моделирования сигналов в одном из каналов модема

Для примера в работе проведено в системе MATLAB моделирование одного канала трех канального когерентного модема с 4-х позиционной KAM и иллюстрируется на рис. 4 и 5.

Быстрый импульсный поток на входе 3-х канального мультиплексора air 1То iiaoiiiiiooonoiifl(MoioiQootiiflaiiiiiiiioiotcoiii

У

В[|чГП|ПППм ГЩт-ГГП I ГП П R-r-^^3--»

1 2 alt г ah 2 iii 2ПТТП1 з'эГГ г з| 1 2 j[ 1 г э! i 2 зП г э| 1 2 а IT а эГГ 2 а| 1 2 j]i 2 з1

Ii з з ^ 1 ч г i 4 1 1 г з з а ■] . Квщрат>р|[ый IliJLlOllllUfl ПОТОК НЧП^ЛЬСОВ l-roCVäKaiEILIQ

< г------

От двоичного к М-нчному сигнал)' (М=4 KAM)

i- г-=-Я-- --Г*

1

Квалрагурньш медленный поток импульсов 2-го субканала

Ii »---

ю ч

» W

X.

От двоичного к М-нчному енпналу |М 4 KAM)

им-! .1:141.1 Ii моленный поток hmiiy-II.Clmi 3-ю esик;нша

10 а Ol 4 « -М

— |" Ог двоичного К" М-пяпому стптталу (М-4 КЛ М)

>

Синфазный медленный штто* импульсов 4-госубканадд i > ' | _ -

| Отлвюнчного к М-пчному енгналу (М=4 KAM)

10 о 01 -tf 00 -м

аШ

Импу.чкиый ПОТОК 2-го кпншад

Импульсный гитд* > ншала

Рис. 4. Последовательности импульсов в различных сечениях Модулятора

На рисунке 5 приведены сигналы в различных сечениях модулятора и демодулятора когерентного модема с использованием оптимальных финитных сигналов (ОФС) и КАМ4 без учета шума в канате связи. Из рисунка следует, что фор-

мируемые в схеме ОФС не вызывают МСИ, а потому их прием на согласованные фильтры приводит к точному восстановлению символов КАМ4 на выходе демодуляторов в конце посылок длительностью Т.

сигнйпь. н рзэшмньи сече**К1 wo канала глч модема

—К."'

-1 ■ - - --1-

.....L..... —•........i........ -----'........*---

0 .. ... ..П.* 1 . ?

.........' - ! i

. . , ...

-- 1 ч ? v W2J5

-

km—gtf_____JM____ад

-—wyvv-vy^v--—~

Сигналы на ад оде и еьй оде ФС, 1

Сигналы на в,« оде и еьлоде ФС) 2

Сигналы на ел оде и аьлоде ФС* 1

Сигналы на в к оде и вы-оде фС*2

84 сигнал на в ьс оде квадрату рного канала

Вч сигнал на в моде синфазного кэнапа

ВЧ сигнал на вькоде 1-ГО МОДуПЙТСрЗ

ВЧ сигнал на входе ОФ)г1-2 Ко детектора

ВЧ сигнап на еюде СФ< 1-2 1-го детектора

Сигнал на вых оде СФ> t и отсчеты у 10«Т>

Сигнал на вьи оде СФу2 и отсчеты у2(кТ)

Сигнал на еых оде СФ* 1 и отсчеты * 10сТ)

Сигнал нэ!№ оде СФх2 и отсчеты *20г-Т)

15 2

Время <мс]

Рис, 5, Сигналы в различных сечениях когерентного модема без МСИ

Эффективность когерентного модема с МЧМ и KAM

К двум показателям эффективности системы РТС относятся показатели спектральной rjF = V/AFky и энергетической rjE = Eh/G0 эффективности, где V = \ /Тх - символьная скорость, AFb - полоса частот НЧЭ ФФ, Еь - энергия на бит данных, Gö — односторонняя спектральная плотность мощности АБГШ. Для оценки спектральной эффективности модема важной его характеристикой является коэффициент передачи по энергии, который равен [4] к =25Г[1 V>Vmy Fw=argmi4(n, (15)

Щ I У^Кг

Лп(У) - множитель Лагранжа, зависящий от скорости передачи V.

Аначиз выражения (15) показывает, что величина максимальной скорости Vm линейно зависит от полосы частот НЧЭ ФФ. По результатам линейной аппроксимации численных данных получена зависимость вида [8]:

К <16>

где величина а равна а = 0,3567 ■

С учетом (J6), полагая Vs - Vm, находим величину r/F для модернизированного модема

T}F = Vs/&Fh=-4a]dii (17)

при этом спектральная эффективность модема, рассмотренного в [5], равна rjF = 2а ld М, т.е в 2 раза меньше.

В работе [5] проведен анализ помехоустойчивости когерентного модема. С учетом этих результатов и учетом новых ОФС с максимизацией среднего значения, получено скор-

W

Заключение

ректированное выражение для показателя энергетической эффективности в виде:

ПЕ=Еь/Оа= \erfciw({\-fi-2pb\dM)i{\-1/Ai))]4 (]8)

х 16(Ai2 — I)/с- 45 \АМ где erfcinv(-) - функция, обратная от интеграла вероятности, ph - допустимая вероятность ошибки на бит, М - число позиций сигнала амплитудной манипуляции, для сигнала KAM это МхМ, с - пос тоянная, для метода синтеза в точке, равна 1, а для метода синтеза по среднему значению равна 1,5.

Рис. 6. Зависимость спектральной эффективности модемов с МЧМотОСШ при Рь =

Графики зависимости т}р от т}Е приведены на рис. 6. Верхний график (сплошная линия) характеризует предел Шеннона. Нижний график (черные точки) справедлив для интеллектуального модема из [6]. График (синие точки) соответствует модему с повышенной спектральной эффективностью. Модернизированный модем (на графике красные точки) обладает повышенной, как спектральной, так и энергетической эффекта в] юстью. Средние (зеленые) точки справедливы для стандартизированного модема /■■'34 [3].

Предложен новый вариант многочастотного модема в системе радиотелефонной связи с повышенными спектральной и энергетической эффективностью. Новизна метода определяется использованием ортогональных оптимальных финитных сигналов, максимизирующих среднее значение отклика формирующего фильтра модулятора, не вызывающих межсимвольных искажений и индивидуальных каналах модема и обеспечивающих повышенную его помехоустойчивость. По сравнению с известным многочастотным модемом предложенный модем обеспечивает увеличение спектральной эффективности в два раза и увеличение энергетической эффективности на 2 дБ. Рассмотренный вариант модема превосходит по эффективности стандартизированный модем У34.

1. Балашов В.А., Воробиенко П.П.. Ляхоеецкий Л.М. Системы передачи ортогональными гармоническими сигналами. - М.: Эко -трендз, 2012.-228 с.

2. Ипатое В. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов. Принципы и положения. - М,; Техносфера, 2007. - 488 с.

3. Лагутенко О.И. Современные модемы. - М.: Эко - Трендз, 2002. - 344 с,

4. Санников В.Г. Синтез финитных сигналов Ыайквнста, согласованных с телефонным каналом связи // Электросвязь, 2012. -№ 5. - С. 9-12.

5. Санников В.Г. Помехоустойчивость системы передачи оптимальных финитных сигналов по телефонному каналу связи // Электросвязь, 2013. - № 5. - С. 39-44.

6. Санников В.Г., Алёшинцев A.B. Многочастотный модем как один из основных элементов системы «Интеллектуальное здание» при удаленном управлении объектами // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт, 2015. - Том 9, - № 6. - С. 21 -27.

7. Мартиросов В.Е. Теория и техника приема дискретных сигналов ЦСПИ: Учебн. пособ. - М.: Радиотехника, 2005. - 144 с.

8. Санников В.Г. Метод оптимизации радиотелефонной связи // Журнал Радиоэлектроники: электронный журнал. 2014. URL: http: //ire.cplire.ru/jre/nov 14/17/text.pdf.

Литература

MATHEMATICAL MODELLING OF THE MULTIFREQUENCY MODEM T^ BOOSTED NOISE STABILITY

Vladimir G. Sannikov, associate professor of MTUCI, [email protected] Andrey V. Alyoshintsev, post-graducite student of MTUCI, [email protected]

Abstract

In modern infocommunications systems and networks for transmission of a digital data multifrequency modems with a various configuration of their practical realisation are widely used. Distinguish multifrequency modems with broadband and narrow-band subkarriers oscillations. In the first case orthogo-nal harmonious signals of various channels occupy all allocated frequency band of system. In various devel-opments this transmission mode name orthogonal frequency division multiplexing - OFDM. In the second case all frequency band breaks on some individual frequency strips in which narrow-band orthogonal signals of different channels take places. As an example that is served by multichannel systems of a radio telephony with a frequency division of channels (RTS FSC) or with multicarrier modulation (MCM). Offered work concerns the second direction as in this case there is a possibility of updating of the multifrequency modem by synthesis optimum, finite in time of the signals which are matched with narrow-band filters on transmis-sion and not calling on their outputs an intersymbol interference. Works in which this problem is solved for a case when form optimisation finite a signal it is carried out by signal/noise ratio (SNR) maximisation in one point (in the middle of a parcel by duration T) are known. In the present probing the new method of optimi-sation of the form finite a signal on a maximum of its mean on T is offered that leads to boosting SNR or a noise stability of the modem at the expense of noise level reduction by reception. In work the method of syn-thesis new optimum finite signals with the boosted noise stability for the modem with MCM and the quadra-ture amplitude modulation (QAM) is given. The new variant of the multifrequency modem in system of RTS FSC with the efficiency exceeding efficiency of known standard modems is offered. The method of mathematical modelling on a computer in the environment of MATLAB one of channels of the multifrequency modem is considered.

Keywords: frequency multiplexing, synthesis of signals, optimum finite signals, the multifrequency modem, a noise stability, spectral and power efficiency.

References

1. Balashov V.A, Vorobienko P.P, Ljahovetsky L.M. Transmission system orthogonal harmonious signals. - M: Eco - Trendz, 2012, 228 p. (in Russian)

2. Ipatov V. Wideband systems and code separation of signals. Principles and rules. Moscow: Technosphere, 2007, 488 p. (in Russian)

3. Lagutenko O.I. Modern modems. Moscow: Eco-Trendz, 2002, 344 p. (in Russian)

4. Sannikov V.G. Sintez finite signals of Najkvista matched with a telephone channel of communication / Telecommunication, No. 5, 2012, pp. 9-12. (in Russian)

5. Sannikov V.G. Noise immunity of a transmission system optimum finite signals on a communication telephone channel / Telecommunication, No. 5, 2013, pp. 39-44. (in Russian)

6. Sannikov V.G., Alyoshintsev A.V. Multifrequency the modem as one of system key elements "the Intel-lectual building" at remote management of installations / T-Comm, No. 6, Vol. 9, 2015, pp. 21-27. (in Russian)

7. Martirosov V.E. The theory and engineering of reception of discrete signals DSTI. Moscow: "Radio-engineering", 2005, 144 p. (in Russian)

8. Sannikov V.G. Metod of optimisation of a radio telephony, the Radio electronics Log: the electronic log. 2014, URL: http://ire.cplire.ru / jre / nov 14/17/text.pdf. (in Russian)