CC BY
28
УДК 539.17
Математическое моделирование квантовой механики с неотрицательной КФР
Исследованию квантовой механики Курышкина с неотрицательной КФР посвящено большое число работ. Большая часть этих работ занимается изучением новых физических эффектов или нетрадиционным объяснением уже известных эффектов. Много работ посвящено проблемам интерпретации квантовой механики Курышкина (КМК) с особым акцентом на интерпретацию её отличий от общепринятой квантовой механики (ОКМ). Меньшее число работ посвящено математическим аспектам КМК и обоснованию полученных выражений для физических величин. Данная работа в основном посвящена анализу обоснованности полученных в КМК результатов. В ней предпринимаются усилия по анализу и обоснованию математических методов КМК. Иначе говоря, мы занимаемся вопросами математического моделирования квантовой механики с неотрицательной квантовой функцией распределения.
В ортодоксальной квантовой механике [1,2] в декартовых г — (х,у,г) и сфе-
А. В. Зорин, Л. А. Севастьянов
Лаборатория вычислительной физики и математического моделирования Российский университет дружбы народов Россия, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая 6
1. Водородоподобный атом в ОКМ
Р = -п2
ду ^ дг дг дх
д д " д д
(2)
2ц и*2 + ду2 + дг2
(
у/х2 4- у2 + г2
ге2
Поэтому они измеримы одновременно, и соответствующие состояния описываются волновыми функциями Фп(т, являющимися собственными функциями всех трех операторов с собственными значениями для связанных состояний:
НФп(т{г) = Еп*пет{г),
Е - (5)
п = 1,2,...:
/ = 0,1,2,...,п-1; £гФп1т(г) = ПтФпЫ{г)\
т = -£,-£+!,...,£- и.
(6)
(7)
Замечание. Удобно пользоваться безразмерными атомными единицами энергии: е = Е/Е\, где Е\ = /хе4/2/12 = 13.55эВ — энергия основного состояния связанного электрона атома водорода, и расстояния: р = г/аь где ах = Ь^/це1 = 0.529 • 10-8см — первый Боровский радиус электрона в атоме водорода (при этом справедливо также соотношение: Е\ = е2/2а\).
2. Оператор Гамильтона в КМК
В квантовой механике Курышкина (с неотрицательной квантовой функцией распределения) операторы соответствующих классических наблюдаемых: энергии
"И' (8)
квадрата момента импульса
£а(ад = |[?хр]|а О)
и проекции момента импульса на ось Ог
Ьх{г,р)~урх-хру (Ю)
задаются правилом квантования [3]
[о[Л(г,р)]#](»0 = ртП)-3 {Л Ф а(?+£,р + г)) х
хехр|~((г-г'),р)|^(г')ёг'адаг7. (11)
Здесь
Ф(г,р) = (12)
Фк(р) = (2тгН)~3/21Ы?) «ер ^ (13)
для некоторого вспомогательного набора функций {у>*(г)}, удовлетворяющих условию нормировки
£ I Ыг)|2с1г = 1. (14)
где
Легко видеть, что квантовая механика с неотрицательной КФР не является полностью определенной теорией. Фактически под квантовой механикой с неотрицательной КФР подразумевается целая совокупность теорий, отличающихся друг от друга набором функций <рк, определяющих операторы. Существенно заметить, что к этой совокупности теорий общепринятая квантовая механика не принадлежит.
При рассмотрении конкретных физических систем в рамках квантовой механики с неотрицательной КФР прежде всего следует определить совокупность операторов, соответствующих физическим величинам, характеризующим рассматриваемую систему. Для этого, согласно (11), (12), необходимо задать набор функций <Рк- Изменение набора <рк влечет за собой изменение всей совокупности операторов и соответственно результатов задачи. Другими словами, меняя наборы <рк, мы как бы рассматриваем одну и ту же (с точки зрения классической теории) физическую систему в различных (с точки зрения процессов квантования) ситуациях. Поэтому в дальнейшем, следуя работам [4,5], будем говорить, что набор функций задает некую «субквантовую ситуацию», а величины, значение которых определяются только набором <рк, называть «субквантовыми».
В работах В.В. Курышкина и его учеников показано, что интегральное представление (И) для квантовых операторов наблюдаемых величин в ряде случаев можно преобразовать к более привычному для физиков представлению в виде дифференциальных операторов. В работах [3,6] предложено это преобразование для некоторых специальных случаев и рассмотрены некоторые следствия. Например, что в состояниях, соответствующих собственным векторам операторов 0(г) и 0(р), величины г и рне являются строго заданными, а распределены с некоторыми плотностями вероятности:
= (15)
к
и
ра^рНЦЬьСр-й)! • (16)
ь
В работах [7, 8] дифференциальное представление операторов 0{А) обсуждается без обоснований. В работе [9] переход к дифференциальному представлению квантовых операторов рассмотрен для класса наблюдаемых А(д,р): представленных в виде А((},р) = Л^д) 4- -^(р), с целыми рациональными функциями А2. Там же получены верные (41) и неверные (39) оценки дисперсии (неопределенности) произвольных наблюдаемых (39) и координат и импульсов (41). В работе [5] предложено (без анализа и обоснования) дифференциальное представление оператора 0{А) в случае, когда функция А((],р) является целой рациональной по переменным «р». Там же (недостаточно обоснованно, а следовательно, и не вполне верно) обсуждаются и приводятся состояния с минимальной дисперсией координат (3.17) и импульсов (3.12)1 (дисперсии верны, состояния неверны).
В случае стационарных во времени, однородных и изотропных в трехмерном пространстве вспомогательных функций в работе [5] в случае следующих дополнительных предположений:
1.
/в? ЕМ*) 1%-=(^)2«Ь2]ед; (17)
-1 к
2.
/(¿р,)2 « [р2]ад; (18)
к
выражения для подынтегральных функций в (11) заменяются разложениями Тейлора, после чего в первых двух порядках теории возмущений получаются приближенные выражения (7.1), (7.2), (7.3)2 для операторов физических величин в случае
1 Нумерация из [5].
2Нумерация из ¡5].
Вестник РУДН, Серия Физика. № 12. 2004. с. 64-80 водородоподобного атома:
(7.1)
(7.2)
0(n = V(r) + i(ir)2V2V(r).
(7.3)
В этом приближении оператор Гамильтона принимает вид
(7.5)
В работе [10] из малости делается вывод о разумности предположения о соразмерной малости носителя функции а0(г) = £ |</>*(г)|2 (здесь, как и в работе
к
[5], вспомогательные функции щ предполагаются изотропными). Это позволяет оценить сдвиг энергетических уровней по сравнению с общепринятой квантовой механикой, соответствующих последнему слагаемому в (7.5) работы [5], в терминах отношения (5г)/й1, а именно:
Именно такой характер имеет лэмбовское смещение [11], и согласование точных значений смещения Лэмба [11-13] и смещения Курышкина [5,10] привело к оценке
Замечание. Заметим, что предположение о малости (<5р) в начале рассуждений в работе [5] приводит в конце рассуждений к противоречию, что свидетельствует об ограниченной применимости метода возмущений к приближенному вычислению спектра оператора Гамильтона водородоподобного атома с использованием разложения Тейлора.
В работе [15] повторены результаты работ [5,10] по численному исследованию сдвигов энергетического спектра для четырех модельных функций <р(г) (для четырех наборов, каждый из которых состоит из единственной вспомогательной функции).
В работе [7] впервые в квантовой механике Курышкина приводится (без обоснования) явный вид оператора момента импульса системы частиц
В работе [5] без обоснования приведен вид оператора 0(£) в случае однородных изотропных вспомогательных функций щ при выполнении условий I и 2, а именно:
[И]:
(¿г) & 4.247 • 10~12см.
3. Операторы момента в КМК
L = £ Щ х pj] - O(L) = [я х V,]
з
В работе [16] со ссылкой на работу [6], в которой приведены (не вполне обоснованно) выводы о свойствах операторов в зависимости от свойств вспомогательных функций (впоследствии высказанные в виде предположений в работе [5]), приведен, без обоснования, явный вид оператора 0(1), а именно: 0{Ь) = -Ш[г х V]. Этот результат был повторен в работе [17]. Хорошее, но не полное изложение теории момента приведено в работе [18].
В работе [19] на основании результатов работ [20,21] приведено следующее выражение для оператора момента импульса:
0(Ь) = -Ш\гх V] + 5, (19)
где
£ = /*(£>?) [£х ч] (20)
В работе [22] на основании результатов, обобщающих результаты работ [20,21], авторы анализируют собственные механический и магнитный моменты в квантовой механике с неотрицательной КФР в предположении о существовании этих моментов и их неотрицательности. При дополнительных предположениях о природе перестановочных соотношений между операторами орбитальных и собственных моментов авторы пришли к явным выражениям для вспомогательных матричнознач-ных функций <рк{г), порождающих операторы собственных моментов по формулам (11)-(13). Далее, в этой же работе, авторы приходят в случае однокомпонентных волновых функций к результату 5=0.
В работах [19,23,24] выражение (20) изучалось в изначальном предположении о допустимости использования матричнозначных вспомогательных функций. Проблема многозначности волновых функций в ортодоксальной квантовой теории проистекала из необходимости использования принципа запрета Паули. Подробный анализ связи этой проблемы с многозначными представлениями группы вращения трехмерного пространства 50(3) приведен в работах [25-27]. Современное изложение данной проблематики приведено, например, в работе [2]. В работах [23,24] утверждается, что спиновое описание квантовых объектов можно получить, не привлекая постулат, эквивалентный принципу Паули. По нашему мнению, это место занимает постулат о промежуточных статистиках.
Оператор 0(Ь2) упоминается в ряде работ в связи с не-Неймаиовскими правилами квантования в квантовой механике Курышкина (см., например, [16-18]).
Результаты, приведенные в [17,18], получены в предположении об однородности и изотропности вспомогательных функций по пространственным переменным и независимости этих переменных от времени. К сожалению, в работе не приведен ход рассуждений, приводящий к опубликованным в [17,18] результатам.
В ряде других работ [4,28] оператор 0{Ь2) упоминается в связи с рассмотрением динамического правила соответствия.
4. Операторы наблюдаемых в КМК в зависимости
от количества вспомогательных функций
В работе [29] для радиального оператора Гамильтона
+ ~ л(р)
ю
(р)=2еМю(р)
задача на собственные значения и собственные векторы была формально сведена к соответствующей матричной задаче для оператора Их в обкладках из собственных функций 1>Т1г(р) невозмущенного радиального оператора Гамильтона
Д>" =
с!2 | 1(1+1) 2 ф?2 р2 р
ь(р) = 2Л(/9)
из ОКМ. В заключении работы [29] была поставлена задача о получении устойчивого решения рекуррентной задачи на собственные значения и собственные векторы для бесконечномерной матрицы
Лп1 - Ф^пМ'п'*')-
Была предложена также задача подбора возмущающего распределения а0(г) для обеспечения экспериментально наблюдаемого расщепления энергетического спектра водородоподобного атома.
В работе [30] исследование было продолжено. В частности, было показано, что оператор так же как и оператор £>0, является самосопряженным. Было показано, что оператор является Б0 — ограниченным и!)о- малым на бесконечности. Из этих свойств вытекала почти ортонормированность системы Ьга(р) для оператора £>1 и устойчивая сходимость процесса Рэлея-Ритца отыскания собственных значений оператора с помощью базисных функций ьп(. Как следствие, было установлено, что любая вспомогательная функция ¡р1 (|г |) Курышки-на В.В. обеспечивает малое отклонение энергетического спектра 0\ от спектра
Д) : ¿пе ~ ¿пе ^ еп( вне зависимости от малости (6г)2 или (<5р)2.
В работе [31] было получено обобщение результатов [29,30] на случай одной вспомогательной функции Курышкина В.В. <р1(г) без предположения о её сферической симметричности.
И всё же использование одной вспомогательной функции Курышкина, даже сферически несимметричной, представляется недостаточным для адекватного описания водородоподобного атома в квантовой механике Курышкина. В случае выбора конечного набора таких функций <р\(г),у?2(г)> - • • ><Рп(0 возникают следующие вопросы:
1. Какие функции следует выбирать в качестве вспомогательных функций Курышкина для адекватного описания квантовомеханической системы?
2. Сколько вспомогательных функций следует выбирать для адекватного описания квантовомеханической системы?
3. Как зависит число вспомогательных функций Курышкина, необходимых для адекватного описания квантовомеханической системы, от их явного вида?
Все три вопроса не допускают очевидного априорного ответа, а требуют некоторого дополнительного исследования.
Для начала попытаемся ответить на второй вопрос.
Соотношение (12) можно переписать в более удобной для дальнейшего рассмотрения форме:
= (21)
где
') = (22) С учетом (21), (22) соотношение (11) принимает следующий вид:
0{А)иМ = '£0к{А)ЩдЛ (23)
/с—1
где
Ок(А)Щд, ¿) = (2тгП)~м |Фк (<1 Л, 0 ехр ((? - </')-?)} х
х А (€, т/, 4) и (с/, ¿)с1£с1г/с1рс1г/. (24)
-(0)
Если применить неравенство Коши-Буняковского к соотношениям (23), (24), получим следующую оценку:
тлмям^ <
^ ||(2тгI|^^А^ф-^-^'^х
<||C/(g)í)||La||A(g>p,i)||Lslbfe(9,í)llLa|№fe(p,i)||
¿2
для всех волновых функций U(q,t) ф 0. Следовательно,
||Ofc(A)HH||L2|¡'A||L2||^||£a. (25)
Представим каждую вспомогательную функцию в виде ч>ь{я) = Cfe^fc^), так
что
М2 = J\Ыя, í)|2d<7= 1. (26)
Тогда нормировка (14) принимает вид
¿ |С*|2 /|Vfc(<?,í)|2dg = £|Cfc|2 = 1. (27)
,k=1 J к
С учетом (27) оценка (25) принимает вид
||Ofc(A)H|Cfc|2||A||¿j. (28)
С помощью неравенства треугольника и оценки (28) получаем аналогичную оценку для (23), (24):
||OH)|K(£|C,|2)||A||¿2 = H|¿2. (29)
В работе [7] приведены соотношения между классической наблюдаемой A{q,p, t), производящей функцией Ло(д,р, t) и оператором наблюдаемой О(А). Серия оценок для них, аналогичная приведенным выше, позволяет получить следующую оценку:
И,2^||0(А)||. (30)
Оценки (29), (30), в совокупности дают нам соотношение
l|0(>í)|| = £Cfc2||Ofc(yl)|| = M|Í2. (31)
При этом
\\Ok(A)\\ = . (32)
Левая часть соотношения (31) позволяет рассмотреть возмущение операторов О(А) наблюдаемой А в случае перехода от набора субквантовых функций <pi,... ,<¿>n-i к набору субквантовых функций <¿>i,..., ¥»п-ь W
0<">(Л) = £ ClOk{A) = Ob-V{A) + ClOn(A). к=1
Отсюда получаем оценку
0(п)(Л)_0(п-1)(Л) <С2||Оп(А)||,
в которой следует учесть соотношение (32):
11°(п)^1 = ||0(п_1)(л)|| = 1|0„(л)|| =
í.2 •
Так что относительное возмущение оператора удовлетворяет оценке
||0(п)(Л) -O^-^ÍA)!!
ША)\\
< с„. (33)
Если вспомнить, что = 1, то легко видеть, что |Cfc|2-> 0. Таким образом,
к к—ос
при увеличении набора субквантовых функций относительное возмущение 0(п)(Л) стремится к нулю по норме при увеличении количества субквантовых функций
M5U-
Замечание. Соотношения (25)-(33) имеют смысл в случае А б Z-2. когда операторы 0(А) являются ограниченными. Если же наблюдаемая A(q,p) является умеренно растущим распределением, то вместо нормы можно использовать счетную систему полунорм оснащенного счетно-гильбертова пространства. Для каждой из этих полунорм, для неограниченных операторов О(А) будут выполняться аналоги соотношений (25)-(33), обеспечивающие стремление к нулю относительного возмущения 0(пЦА) в метрике оснащенного счетно-гильбертова пространства (32].
5. Операторы наблюдаемых в зависимости от вида вспомогательных функций
Ответ на первый вопрос зависит от метода приближенного решения задачи на собственные значения и собственные векторы оператора О(А), от характеристик исследуемой наблюдаемой величины А исследуемой физической системы и от характеристик самой исследуемой системы.
Ограничим наше исследование конкретной физической системой — электроном водородоподобного атома. В качестве наблюдаемой величины рассмотрим вначале полную энергию электрона, описываемую функцией Гамильтона Я(г,р). Методом приближенного решения задачи на собственные значения и собственные векторы оператора Гамильтона 0(Н) изберем метод Рэлея-Ритца с некоторой полной системой координатных функций.
Воспользуемся ответом на второй вопрос и результатами работ [30,31]. А именно, чем больше число вспомогательных функций, тем меньшее возмущение Оп(Н) в оператор 0^п\Н) вносит добавление очередной вспомогательной функции (рп к уже использованным {<¿>1,..., Уп-1} в предыдущем построении оператора 0(«-1)(Я). Далее, использование всего лишь одной вспомогательной функции Ку-рышкина (сферически симметричной в работе [30] и сферически несимметричной в работе [31]) вносит возмущение в оператор О^Я) по сравнению с оператором Я из общепринятой квантовой механики АН - 0\(Н) - Я, которое является Я — ограниченным и Я - малым на бесконечности. Тем более 0(п~1\Н) — ограниченным и — малым на бесконечности является возмущение Оп(Н). Следовательно, система собственных функций (классических и обобщенных) оператора 0(П_1)(Я) образует полную почти ортонормированную систему функций Метод Рэлея-Ритца, использующий эту систему функций в качестве координатных функций, обеспечивает хорошую обусловленность конечномерных матриц Ритца = (^п~1)\0^{Н)\ф1п-1))(1, 3 = 1.....Щ и устойчивую сходимость собственных значений А^ к собственным значениям АJ оператора 0^(Н) (индекс (71) у собственных значений А; опущен для упрощения
обозначений: см. [30,31]). Устойчивой является и сходимость собственных векторов (соответствующих собственных значений А']) конечномерных матриц Я%
к координатному представлению в базисе собственных векторов 'Д/ (соот-
ветствующих собственным значениям А^) оператора 0^п\Н) (см. также [33-37]).
Таким образом, промежуточным объектом нашего исследования является матрица Ритца
Ни =
матричные элементы которой получаются интегрированием
[0(Н)Ь] (г)*;(г)<1г,
/I
по конфигурационному пространству с функцией ФЦг) выражения 0(Н)^(г), которое, в свою очередь, является интегралом (см. соотношение (11)) по с1г' и по с1р по фазовому пространству от результата интегрирования со вспомогательными функциями <рк(0 по с!£ и функциями фЦ(т}) по с!?? по вспомогательному пространству, изоморфному фазовому пространству.
В качестве системы вспомогательных функций {<^(1*)} можно использовать
скалярные кратные <Рк(0~ Ск&к(€) любой полной ортонормированной системы функций такие что
к -1 к
Интегралы
I с!£ с!г (£ )е (?)
достаточно хорошо изучены для случая, когда &з(?) — собственные функции
оператора О(0)(Я) =1 Н, а функции Фк(€)= &к{Тг). Здесь Т — линейное, не обязательно ортогональное, преобразование трехмерного векторного пространства К3 = {?} = {Тг = £}.
Этот факт подталкивает к выводу о предпочтительности использования функций Ск$к в качестве вспомогательных функций Курышкина. В этом случае оказывается возможным аналитическое вычисление матричных элементов,
то(А)№) = \Ок(А)№),
с любым конечным набором {<рк = Ск&к{Тг)} и для любого конечного набора {<№)}. Получающееся при этом матричное представление квантовой механики Курышкина с неотрицательной квантовой функцией распределения автоматически реализует процесс Рэлея-Ритца устойчивого и приближенного численного определения собственных значений и собственных векторов оператора О(А). Эти значения и векторы зависят от параметров {С*} и Т.
6. Оператор Гамильтона для водородоподобного
атома в КМК
Полная энергия связанного электрона в водородоподобном атоме задается функцией Гамильтона Я (г, р) на шестимерном фазовом пространстве
„,- -л Р2
В качестве пробных функций выбираем скалярные кратные первых пяти
волновых функций водородоподобного атома в ортодоксальной квантовой механике:
<р(1)(г) = О1^1оо(г,б,¥>) = а1ЗУ?е~5, (34а)
^2)(г) - аг-фш№<р) = (2 - ^ е-3%,
8гп V г0/
а2\/2 азУ^
(34Ь)
уз(3)(г) = аз-0210 {г,9,<р) = —з-^гсоБОе-^, (34с)
(^<4)(г) =а4^2п(г,е,^) =--—гйпЯе (34(1)
8г0' ф
<р<в)(г) = ^5^21-1 (г, 9,1р) =--—Г8т0е-*%е-'*. (34е)
Выбранные таким образом пробные функции определяют правило соответствия Курышкина, если выполняется нормировка:
^ к=1 Ь=1
т.к. /\-фпы(?)I = 1 при любых п = 1,2,...; £ = 0,1,..., п - 1; т = -£ + 1,Здесь неопределенными остались пять параметров а = (аь <12,(13,(14,(25)' и один параметр Ь : г0 ■ Ь = а0 — радиус первой боровской орбиты. Из первых пяти независимы лишь четыре параметра, следовательно, мы работаем с моделью, обладающей пятью независимыми параметрами.
Для вычисления оператора О (~(£е2/|г |)) воспользуемся формулой
Г £е2
УА (г, ¿) = у а0(г,0|гг^|с19.
Функция ао(г, в нашем случае имеет вид 5 2
а0(г,<) = £ = а?1^оо|2 + а2|^оо|2 + а^2ю|2 + а2^2п|2 +12-
к=1
Заметим, что |Фап|2 = |^21-1|2- Функция
3=1 ]
причем У4 = ¥5.
В результате интегрирования получаем следующие выражения для частичных вкладов в потенциальную энергию:
унг-) = /а- ~+** (;+ <35а)
(35Ь)
= -Ze2 (е. Ч г5 cos2 в + бе го г4 cos2 в r0 + 24е 'о cos2 в ГоГ3+ 8 \
+ Т2е~ч cos2 в ГцГ2 + I44e~^r¿ cos2 в г + 144e"^rg cos2 в - 16r2e~"^rjj-- 487-е-^г^ - 48e~^rÜ - 144r(j cos2 в + 48г£ - 8г^г2 - 2г3е~^г§) /(г^г3), (35с)
V4(f) = ViirAv) = J =
= -^-Ze2 (ccos2 в + 144e~"^r¿' cos2 в - 144r^ cos2 0+ 16 v
+ 72е~^ cos2 в r%r2 + Ше-^ cos2 в r + cos2 в r0+
+ 24e~ ч cos2 в r%r3 + Хбгрг2 - 40r2e~'& t-q - 48е~^Го-- 20r3e~^r§ - 48re~^r¿ -6r4e~^r0 + 48ro - j(rjjr3), (35d)
V^r) = Vs(f) = V5(r,cos0). (35e)
Для вычисления оператора О (р2/2д) воспользуемся формулой (6) из [31]
° (С) = ^ tj í (Pj2)° + 2(^)o(~iWj) + ' (36)
Здесь (A(p))o = f /3o(p)A(p)dp, и в нашем случае
/30(р) = £аЦФк(р)12.
к-1
При этом
^оо(р-) = Фг(р, вр, Vp) = (37а)
7Г
ЫР)=[>} р 2 , (37Ь)
ф31р) =_8v^(¥)5/2P cosgp
* (64 (Т)6 + 48 даЧ 12 (^)4l)'
тг(4да2 + 1) = (37е)
(4да +i)
Используя формулы (36) и (37а)-(37е) в выражениях для оператора кинетической энергии
\ 5 , —о п \ - _ / р*
. 0
2ц
получаем
Л {Р2\ & Л ^
= + ^ (38.)
„ (Р2\ /I2 Л ь?
= да
Замечание. Если оставить традиционные индексы для нумерации пробных функций = Оп/т#пгт(г),
то выражения (38) можно переписать в общем
виде
„ /р2\ Л2 . 1 Л2
= + {39>
В итоге выражение для О^(Н) принимает вид
0(5) = | £ (- - ~ + ±а^т(г,оо&в,г0)е-^. (40)
7. Операторы момента импульса и квадрата момента импульса в КМК
У трехмерной системы Кеплера, каковой является электрон в водородоподобном атоме, имеется три степени свободы. Трехмерная система Кеплера интегрируема в квадратурах и имеет три первых интеграла, находящихся в инволюции [38]. Начиная с рассмотрения правила квантования Дирака [39], в качестве таких интегралов классической трехмерной системы Кеплера рассматривают:
— полную энергию Н(г,р) = (р2/2ц) - (<£е2/г);
— квадрат момента импульса £2 = ([г хр],[г х р]);
— проекцию момента импульса на ось Ог :Ьг = хру — урх.
Соответствующие операторы ортодоксальной квантовой механики:
Й- »А-?*.
2ц г
Ъ = Гг2{-х\У1 + V2) - + V2) - *2(У2 + У2)+
+ 2ху\?хУу + гхгУ^У, + 2угУуУ* + 2хУ* + 2уУ„ + 2гУ,},
Ь, = Чй(хУу - уУх)
«находятся в инволюции», т.е. коммутируют между собой и, следовательно, эти три оператора измеримы одновременно. Таким образом, они составляют так называемую полную систему наблюдаемых изучаемой физической системы. Следовательно, они обладают совместным простым спектром [40]. Так обстоит дело в ОКМ.
В квантовой механике Курышкина также следует рассмотреть операторы О(Н), 0(Ь2) и 0(£-), а затем проанализировать какие свойства ОКМ остаются в силе для этой тройки операторов, а какие свойства изменяют свой характер.
Воспользуемся формулами (23) и (24) для вычисления при значениях
мультииндекса з = (100), (200), (210), (211), (21 - 1), в результате чего получаем выражения
О^Ь3) = (2тг/>Г3/2 I
- £хУу) + Щу^х - хЧу) + Щу - УЛх + Лу€х - (4П
и аналогичные выражении для проекций ЬХ,ЬУ получаются путем циклических перестановок (41).
Используя для каждого мультииндекса соответствующие выражения (34а)-(34е) для ^ и (37а)-(37е) для щ, а также выполняя интегрирования (35а)-(35е) из работы [37], получаем для всех значений з один и тот же результат:
0;{Ь2) = -\hixVy - уУ*),
(42)
(43)
(44)
С учетом £ а2 = 1 из равенств (42)-(44) получаем
а также
О(Ь) = -Ш[гх V]. Оператор, соответствующий квадрату момента импульса, имеет вид
+ +
(45)
(46)
0& (£2) = (2тгП)-'^21
х {{(£у + у)2 + + ¿)2] [(-¡¿у*)2 - тг)ху* + т?2
+ [(& + + & + г)2] - 2\Щу\?у + V2
+ [(& + х)2 + (^ + у)2] [(-¡ЛУг)2 - М^У, + т?2]} -- 2 {х + [у + е„) + ъ) (~ту + щ) -
-2(х + (г + £,) (-ШУ* + щ) (-ШУг + ъ) -
~ 2 (у + еу) (г + (~ту + щ) {~тг + 772). (47)
Для вычисления 102 слагаемых в интеграле (47) требуется использование всех соотношений (29)-(36) из работы [37]. Для упрощения записи получающихся выражений воспользуемся инвариантной составляющей всех операторов Oj . Неудивительно, что в качестве такой составляющей можно выбрать выражение Ь'2 из ОКМ: £ = [г х ]У\ & Ьк = -ШецкЩ. Тогда, следуя [20], получаем
Ь « Ь^иЬ} = -/г2 (у2 + г2) У2 - П2 (х2 + г2) V» - П2 (х2 + у2) У2+
+ 2/1 {хуЧхЧу + хгУхУ 2 + у г УуУг).
Тогда 0юо(£2) = Щт2 + 2г^2 - 8Ш(г#) + 3Л2. Далее,
02оо(£2) = ¿г2 + 28# - 81А(г?) + ЗЛ2,
8. Заключение
Предлагаемая в данной работе математическая модель позволяет вычислить операторы 0(Н)(а,Ь), 0{Ьг)(а,Ь) и 0(Ь2)(а,Ь) при любых допустимых вспомогательных параметрах (а, Ь). Энергетический метод Рэлея-Ритца позволяет при любых допустимых значениях (а, Ь) приближенно вычислить собственное значение Н\(и,Ь) и собственный вектор коэффициентов С$(а,Ь), с помощью которых получаем приближенный собственный вектор Ф\(а,Ь) = в координатном
J
представлении — пространстве Ь2(К3).
Теперь, также приближенно, вычисляется неотрицательная квантовая функция распределения Г\(а,Ь), соответствующая вектору №\(а,Ь) :
= (2тгП)-3£ (г-е) (5,ЬЖ(0М)ехр (¿р)}^.
Полученная КФР Р\(а,Ь) позволят вычислить первые нулевые и вторые центральные моменты для наблюдаемых Н(г,р), Ь2(г,р), 1?(г,р), а именно:
Нх(а,Ь) = I Н(?,р)Рх(г,р)(8,Ь)дт бЦН)(а, Ъ) = !(Я(г,р) - Ял(2, Ь))а*л(г, р)(а, Ь)с1гс1р,
а также
1^(2, Ь) = I Ьг(г)р)Л(Лр)(а,Ь)агс1р, ¿1(Ь2)(а,Ь) = I(Ь,(г,р) - ^(а)b))2Fл(f•,p)(2,Ь)cFdp
и, наконец,
££(2,6) = I&(г,р)Рх(г,р)(а,Ъ)Агс\р, б1(Ь'2)(а,Ь) = I(¿?(г,Г7) - ¿)с1п1;1
Шесть величин ЯЛ(о,Ь),^(Я)(31Ь); Ьхг(а,Ь), L2(a..b),ö2(L2)(a,b),
зависящих от вспомогательных параметров (а, 6), позволяют сформулировать следующую задачу минимизации:
( 62(Н)(а,Ь) —♦ min, Кь)
J 62{Lz){a,b) min, (48)
62(L2)(a,b) —-> min.
V Кб)
Каждое вычисление (приближенное) вектора Cj(a,b) производится при параметрах (а,Ь). Поэтому вычисление F\{q,p), а следовательно и вычисления (приближенные) шести величин Яд(а,Ь), 62х(Н)(а, b)\ L$(a,b), 62{Lz)(ä, b)\ L\(a,b), 52(L2)(a,b), также производятся при заданных параметрах (а, Ь). Таким образом, для произвольных параметров (а,Ь) приближенно вычислены ¿2(Я)(а,b), S2(Lz)(a,b), ö2(L2)(a,b). Значит, решение задачи (48) возможно только методом нулевого порядка.
Вычисленные (приближенно) значения параметров (а, Ь), которые обеспечивают совместную минимальность дисперсий трех величин LZ,L2,H в состоянии можно принять за искомые значения. При указанных значениях (а*,Ь*) операторы 0(H)(a*,b*), 0(Lz)(a*,b*) и 0(L2){a\b*) заданы однозначно. Также однозначно определены Cj(a*,b*) и !^Л(а*,Ь*) и, следовательно, F\(q,p)(a*,b").
Литература
1. Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — М.: Высшая школа, 1961.
2. Фаддее Л. Д., Якубовский О. А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1980.
3. КурышкинВ. В. Квантовые функции распределения: Дис. канд. физ.-мат. наук: 01.04.02. - М„ 1969.
4. Kuryshkin V. V. Une generalisation possible de la mécanique quantique non rela-tiviste // Compt. Rend. Acad. Se. Paris. Serie B. - Vol. 274. - 1972. - Pp. 1107-1110.
5. Kuryshkin V. V. Some problems of quantum mechanics possessing a non-negative phase-space distribution function // Int. J. Theor. Phys. — Vol. 7, No 6. — 1973. — Pp. 451-466.
6. Курышкин В. В. Возможный вариант квантовой механики // Математика, механика, физ. - М.: УДН, 1970. - С. 206-210.
7. Курышкин В. В. К построению квантовых функций распределения // Математика, механика, физ. - М.: УДН, 1969. - С. 189-196.
8. Курышкин В. В. Правило соответствия и неопределенность значений физических величин в квантовой механике // Математика, механика, физ. — М.: УДН, 1969. - С. 197-203.
9. Kuryshkin V. V. La mecanique quantique avec une fonction nonnegative de distribution dans l'espace des phases // Annales Inst. Henri Poincare. — T. 17, n° 1. — 1972. - Pp. 81-95.
10. Kuryshkin V. V,, Zaparovanny Y. J. L'atome d'hydrogène dans mécanique quantique à fonction de distribution non-negative dans l'éspace des phases // Compt. Rend. Acad. Se. Paris. Serie B. - T. 277. - 1974. - Pp. 17-21.
11. Lamb В. £., Retherford. R. C. // Phys. Rev. - Vol. 72. - 1947. - P. 241.
12. Lautrup В. E., Peterman F., de Rafael E. Recent developments in the comparison between theory and experiments in quantum electrodynamics // Phys. Reports. — Vol. 30, No 4. - 1972. - Pp. 193-260.
13. Taylor B. N.. Parker W. H., Langenbery D. N. The fundamental constants and quantum electrodynamics. — N.—Y., 1969.
14. Курышкин В. В., Терлецкий Я. П. О перспективах развития квантовой механики с неотрицательной КФР // Проблемы статистической физики и теории поля. - М.: УДН, 1976. - С. 70-96.
15. Сорокин В. А., Запарованный Ю. И. К задаче об атоме водорода в квантовой механике с неотрицательной КФР // Современные задачи в точных науках. -М.: УДН, 1975. - С. 84-88.
16. Запарованный Ю. И. Операторы основных величин в квантовой механике с неотрицательной КФР // Анализ современных задач в точных науках - M • УДН, 1973. - С. 75-80.
17. Запарованный Ю. И., Курышкин В. В., Лябис И. А. К теории момента в квантовой механике с неотрицательной КФР // Современные задачи в точных науках. - М.: УДН, 1975. - С. 94-98.
18. Запарованный Ю. И. Квантово-механический формализм с неотрицательной функцией распределения: Дис... канд. физ.-мат. наук: 01.04.02. - М., 1975.
19. Запарованный Ю. И. Оператор вероятности и возможное обобщение квантовой механики // Теоретическая физика. — М.: УДН, 1992. — С. 208-214.
20. Kuryshkin V. V., Zaparovanny Y. f., Lyabis /. A. Sur les problèmes de la règle de correspondance en théorie quantique // Annales Fond. L. de Broglie. -T. 3, n° 1. - 1978. - Pp. 45-61.
21. Курышкин В. В., Запарованный Ю. И., Лябис И. А. Оператор квазивероятности координат и импульсов в квантовой механике // Известия ВУЗов. Сер. Физика. - № 3. - 1978. - С. 80-84.
22. Entralgo Е. Е., Kuryshkin V. V., Zaparovanny Y. I. Quantization of Hamiltonian theories based on a, probability operator // Microphysical reality and Quantum formalism. — Kluwer Acad. Pupblishers, 1988. — Pp. 115-143.
23. Запарованный Ю. И., Курышкин В. В., Лябис И. А. К проблеме правила соответствия в квантовой механике // Дискуссионные вопросы квантовой физики. - М.: Изд-во РУДН, 1993. - С. 33-48.
24. Запарованный Ю. И., Федосеев А. В. Квантовая механика с неотрицательной КФР // Вестник РУДН. Сер. Физика. — Т. 1, № 3. — 1995. - С. 53-73.
25. Wigner Е. P. Group Theory and its Application to the Quantum Mechanics of Atomic Spectra, 1959 (1931) // Вигнер E. Теория групп и её приложение к квантовомеханической теории атомных спектров. — Новокузнецк: Изд-во НФМН, 2000.
26. Ван-дер-Варден Б. Л. Метод теории групп в квантовой механике. — Ижевск: Изд-во РХД, 1999.
27. Вейль Г. Теория групп квантовая механика. — М.: Наука, 1986.
28. Kuryshkin V. V. L'ossillateur harmonique à une dimension dans la mécanique quantique à fonction de distribution non-negative dans l'éspace des phases // Compt. Rend. Acad. Se. Paris. Serie В. - T. 274. - 1972. - Pp. 1163-1165.
29. Запарованный Ю. И., Севастьянов Л. А. Численные исследования спектров водородоподобных атомов // Вестник РУДН. Сер. Физика. — Т. 1, № 1. — 1993. - С. 35-39.
30. Зорин А. В., Курышкин В. В., Севастьянов Л. А. Описание спектра водоро-доподобного атома // Вестник РУДН. Сер. Физика. — T. I, № 6. - 1998. — С. 62-66.
31. Жидков Е. П., Зорин А. В. Описание спектра водородоподобного атома в квантовой механике с последовательно вероятностной интерпретацией. — Дубна: ОИЯИ, 2000. - 18.с. - (Сооб. ОИЯИ. - Дубна. - PI 1-2000-316).
32. Гельфанд И. М., Виленкин Н. Я. Обобщенные функции. Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства. - М.: Физматгиз, 1961.
33. Севастьянов Л. А., Сорокин В. А., Фомин М. Б. Исследование спектра возмущений оператора Гамильтона для водородоподобного атома // Тезисы докл. XXXVI конф. ФМ&ЕН. - М.: Изд-во РУДН, 1999. - С. 47.
34. Зорин А. В., Севастьянов Л. А. Исследование связи возмущения спектральных данных дифференциального оператора Гамильтона с возмущением потенциала прямым вариационным методом // Тез. докл. VIII Белорусск. Мат. Конф. -
Т. 3. - Минск: Изд-во ИМ НАНБ, 2000. - С. 64-65.
35. Ловецкий К. П., Севастьянов Л. А., Крюков К. К. Численное исследование собственных значений и собственных функций оператора Гамильтона в квантовой механике с неотрицательной КФР // Тез. докл. XXXVIII конф. ФМ&ЕН. — М.: Изд-во РУДЫ, 2001. - С. 12-13.
36. Sevastianov L. A., Zorin L. A. The matrix representation of the quantum mechanics with a non-negative quantum distribution function // Abstracts of V Internat. Congr. on Math. Modelling. - Vol. 1. - Dubna: JINR Publ., 2002. - P. 17.
37. Матричное представление в квантовой механике с неотрицательной КФР на примере водородоподобного атома / Е. П. Жидков, А. В. Зорин, К. П. Ловецкий, Н. П. Третьяков. - Дубна: ОИЯИ, 2002. - С. 23. - (Сооб. ОИЯИ. -Дубна. - Р11-2002 -253).
38. Уиттекер Э. Аналитическая динамика. — Ижевск: УРСС, 1998.
39. Дирак П. А. Принципы квантовой механики. — М.: Наука, 1979.
40. Березин Ф. А., Шубин М. А. Уравнение Шредингера. — М.: Изд-во МГУ, 1983.
UDC 539.17
Mathematical Modelling of the Quantum Mechanics with
Nonnegative QDF
A. V. Zorin, L. A. Sevastianov
Department of Computational Physics and Mathematical Modelling Peoples' Friendship University of Russia 6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, 117198, Russia
There is a lot of papers devoted to investigation of the quantum mechanics of Kuryshkin with nonnegative QDF. The large part of these papers are researching new physical effects or nontraditional explanation to already known physical effects. Many of papers are devoted to interpretation problems in quantum mechanics of Kuryshkin (QMK) with special accent on interpretation of their differences from orthodoxai quantum mechanics (OKM). A smaller number of papers investigate mathematical aspects of QMK and try to justify mathematical expressions for physical values. Our paper on the whole do analyzes justification of results obtained in QMK. In this paper we undertake some attempts to analyze and justify mathematical methods in QMK. In other words we deal with problems of Mathematical modelling the quantum mechanics with non negative distribution function.
