Математическое моделирование крупномасштабных движений стратифицированной электропроводной жидкости в сферическом слое Текст научной статьи по специальности «Физика»

Сер. 10. 2009. Вып. 1

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 532.591 C. Е. Холодова

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КРУПНОМАСШТАБНЫХ ДВИЖЕНИЙ

СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ В СФЕРИЧЕСКОМ СЛОЕ

1. Основные уравнения исследуемой модели. В работе С. И. Брагинского [1] была выдвинута гипотеза о существовании в земном ядре устойчиво стратифицированной области, примыкающей к границе с мантией. Высказанное в [1] предположение, что большие изменения магнитного поля ограничены тонким слоем у поверхности ядра, в частности, в результате очень сильных возмущений в слое, обусловливает необходимость дальнейших аналитических исследований для выяснения возможности существования таких возмущений в результате имеющихся неоднородностей вблизи границы ядра с мантией.

Итак, будем изучать волновые движения у границы земного ядра в тонком сферическом слое устойчиво стратифицированной жидкости.

Система уравнений для описания движения идеальной невязкой электропроводной несжимаемой вращающейся с угловой скоростью ш жидкости в магнитной гидродинамике в переменных Эйлера имеет вид [2-7]

dp dv Vp 1

——Ь yodivv = 0, ——|- (v • V) v =-2uxv - gz -\-rotb x b,

at dt p ¡ip (i)

db

—- = rot (v x b), divb = 0, dt v ’

где b - вектор магнитной индукции; v - скорость жидкости в системе координат, вращающейся с угловой скоростью ш; p - давление; p - плотность; g - величина ускорения силы тяжести. Предполагается, что магнитная проницаемость и электропроводность постоянны.

Если считать плотность переменной, тогда кроме уравнения движения, уравнения неразрывности и уравнений Максвелла необходимо привлекать уравнение баланса внутренней энергии [4, 5, 7-9]

Р11 = ~PPit (р) +кАТ + Х + PQ + A(rotb)2. (2)

В силу того, что рассматриваемая жидкость идеально проводящая, последнее слагаемое в правой части уравнения (2) будет отсутствовать (А = 0).

В уравнении (2) E - внутренняя энергия единицы массы, T - температура, к -коэффициент теплопроводности, Q - скорость притока тепла от внешних источников

Холодова Светлана Евгеньевна — докторант кафедры управления медико-биологическими системами факультета прикладной математики-процессов Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 81. Научные направления: гидродинамика, теория волн. E-mail: [email protected].

© C. Е. Холодова, 2009

на единицу массы, х - приток тепла, обусловленный вязкой диссипацией. В дальнейшем будем считать, что х = 0.

Если эффекты сжимаемости незначительны, то применимо уравнение состояния

р = ро (1 - а(Т - То)), (3)

1 ( др'

где ро и То - средняя плотность жидкости и средняя температура; а = — —-

Р \дТ

p

коэффициент термического расширения. Для несжимаемой жидкости вместо уравнения (2) будем использовать уравнение переноса тепла в следующем виде [10]:

•E = J-ДГ+«, (4)

dt pcp cp

здесь cp - удельная теплоемкость при постоянном давлении. Тогда температуру в уравнении (4) можно выразить через плотность

dp . аро ,

— = кАр--------Q, 5

dt cp

здесь и =--------коэффициент температуропроводности.

pcp

2. Основные уравнения в сферических координатах. Воспользуемся сферическими координатами г, в, X

г ^ 0, 0 ^ в ^ п, 0 ^ X ^ 2п.

Тогда проекции скорости точки M в сферической системе координат определяются соотношениями [11]

vr = Г, vg = гв, v\ = г sin вХ, а уравнения (1), (3) и (5) в сферических координатах принимают вид [11]

dp (dvr 2vr Id (vg sin в) 1 dvx\ _ ,,

dt ^ \ dr r rsiiíB 89 rsiiíB dX ) ’

где

d <9 ^ d ^vg d ^ v\ d

dt dt r dr r дв r sin в dX

Уравнения сохранения импульса представляются в форме [11]

dv\ vrv\ vgv\ ctg в „ 1 dp 1 ,, ,

———|---------1----------1- 2lo sin 6vr + 2lo eos 6vg =------;—- -\-----(bgWr — brWg),

dt r r pr sin в dX pp

(7)

dvg , vrvg vx2ctge _ 1 dp 1

—— H-----------------------2lu cos 0v\ —------— H------(brW\ — b\Wr), (8)

dt r r pr дв pp

dvr vg2 + vx2 1 dp 1

- 2uj sin dvx = - - ^----g-------(b\Wg - bgWx), (9)

dt r p dr pp

здесь

Wr = 1

sin в

d dbg

sin в

dbr d

ад-*(rtASm'

r

W\ = -

r

d dbr d~r{rhe) ~ ~дв

Уравнения движения необходимо дополнить термодинамическим уравнением (5)

Лр ар0

— = я Ар-------Ц

аъ ср

с уравнением состояния (3)

р = ро (1 - а(Т - То)), а также уравнениями индукции и соленоидальности магнитного поля (1)

dbr bg dvr Ь\ dv,

dt г дв rsin0 дХ

r dvr vg dbr r дг г дв

dbg _ Ъв_дщ_________________

dt г дв rsin0 dX

b\ dve дщ_ _ Щ_ дЪв_ _ r дг г дв

дЪ\ _ b^dvx_____________________

dt г дв г sin в дХ

Ь\ dv\ dvx _ щдЬх _

г дг г дв rsin# дХ

V\ дЪг

r sin в дХ

V\ дЪв

r sin в дХ

V\ дЪх

dbr

Vr ~Тл ч

дг

dbg

Vr о ч

дг

дЪх

dr

1 д

r dr

1

sin в

0.

(11)

(12)

(13)

(14)

Рассмотрим движение с горизонтальным масштабом L, вертикальным масштабом D, характерными масштабами U - горизонтальной скорости и B - горизонтального магнитного поля. Далее исследуем движение в области, расположенной в окрестности широты во. Для удобства введем новые широтную и долготную координаты x,y следующим образом:

x = Xro sin во, y = (в - eo)ro, (15)

где ro - радиус жидкого ядра Земли. Переменные x и y имеют размерность длины и являются новыми координатами в зональном и меридианальном направлениях. При

малых — и — они будут декартовыми координатами при построении приближения

ro ro

,3-плоскости. Кроме того, уравнения движения в этих координатах записываются без всяких приближений.

Из соотношений (15) получаем, что

дд — = г о sin во т—, дХ дх

дд

= г о

дв

ду'

д д

Введем далее новую координату г по формуле г = г — г о, поэтому —- = ——.

дг дг

С помощью характерных масштабов введем в рассмотрение безразмерные переменные (величины со штрихом):

х = Ьх',

У = Ly', z = Dz'

L

t=ü*’

(16)

где в качестве масштаба времени выбрано время адвекции — [7]. Для компонент горизонтальной скорости и горизонтального поля имеем

v\

Uv'

vg

Uv'v, b\ = Bb'x

bg

Bb'y.

(17)

Из геометрических соображений следует, что характерный наклон траектории жидкой частицы не превышает величины ПЬ-1, поэтому для безразмерной вертикальной компоненты скорости логичным является выражение

(18)

а для вертикальной компоненты поля - выражение

(19)

Выберем масштабы для давления и плотности. Если скорости малы, что соответствует малому числу Россби [7], то давление мало отличается от своего значения ра(г) в состоянии покоя. Тогда справедливо соотношение

к которому сводятся уравнения движения (6)-(9) и (11)—(14) при vg = v\ = vr = 0,

новное состояние, на фоне которого возникают возмущения, обусловленные движением. Основное состояние предполагается известным. Так, например, рв(г) и Рв(г) могут быть определены как давление р и плотность р, осредненные по горизонтальным координатам при фиксированном г. Поэтому давление р и плотность р можно представить соотношениями

в которых р и р - изменяющиеся в пространстве и во времени отклонения от стандартных значений ра(г) и ра(г). Определим масштабы для величин рр и р. Если учесть, что для рассматриваемых движений порядки величин горизонтального градиента давления и силы Кориолиса примерно одинаковы, характерное значение силы Кориолиса на широте в = во, представляемое выражением

в которых запись A = O(B) означает, что величины A и B одного порядка, fo = 2w cos во - параметр Кориолиса на широте во. Следовательно, давление представимо в виде

причем предполагается, что функция р' и ее изменение на расстоянии порядка О(Ь) является величиной порядка О(1).

Для вертикального градиента давления р справедливо соотношение

(20)

Cq ,______

b = (0,0,6ro), ЪГ0 = C0 = const. Будем считать, что ps(z) и ps(z) определяют ос-

p = Ps(z) +p(x,y,z,t), р = Ps(z) +p(x,y,z,t),

2ш pvx cos во = O (2ш cos e0U ps),

Р

и характерную величину градиента давления, равную —, получим следующее представление:

P = O (рsUfoL),

p = Ps (z) + ps(z)UfoLp',

(21)

следовательно, если рд имеет такой же порядок величины, то тогда

р = О р3(г)и

1оЬ\

до)

Таким образом, плотность может быть представлена следующим образом:

Р = Рв(г) (1+еРр'),

и

Л Ь

где е = -—¡г - число Россби; Т = ———. Тогда уравнения движения (7)-(9) в безраз-ЛоЬ дП

мерных переменных, с учетом соотношений (15)—(22), примут вид

Ь

£ { —гг Н------{5ухуг + ухуу ^ в) } + иу

1 & г* 1 008 в0

008 в 81п в

Уу н-----—оу7.

с08 во

Г0 81п в0 1

Г* 81п в 1+ е¥Р

Эр еВ2 дх и2рр8

дЪх ' дх

дЬу

Ъх^ + Ъу-^+5*Ъг^-

дЪ,

дх

+

+

еВ2

и2рр*

Ъ,

дЪх

дг

го, дЪх го 81п вп дЪ

-----Ьу~я--------^

г* ду

Г* 81п в дх г,

5Ь

Н------ЪхЬг + ь

ctg в

ЪхЬ,

(23)

Уу V,- Ух

! ctg в) | -

008 в 008 во

го

1

г* 1 + еТр

еВ2

др

ду ^ и2рр3

дЪх ' ду

дЪу 2 аь*

, ду , ду

+

+

еВ2

и2рр*

дг

3Ь,

г* 81п в дх

ЬхТГ-----1----ЬуЬг — I/

ctg в

г

(24)

^ ^ ч Г г2 йу, еЬ5 ,

(1+£^)р_-_ (

д(ррв) еВ2

+

1

Ря

еВ262

ри2р8

еЬ3 , 2 2) 3 81п в

«ж ) п~^х

г* ' 008 во

дг

дЪ,

дЪх дЪУ о дЪ,

+ ^Р [Ьх^+ЬуЖ + 6Ъ^

- Р +

гоЪу дЪ, го 81п во дЪ, Ь , 2 , , 2)

^ ' I) 0111 ’-'и

2 дг г* ду г* 81п в дх

(25)

где

й д го 81п во д го д д П

л = т+Ух^^[вд^ + Уу~~ + щ~^ 5=~-

у г* ду ' ^ дг’ Ь

В уравнениях (23)—(25) переменные «без штриха» безразмерны. В дальнейшем величины со звездочкой являются размерными переменными:

х* = Ьх, у* = Ьу, г* = Пг, р* = ре(г)+реи/оЬр и т. д.

Отметим также, что

г

— = 1 + 5 — г.

го го

В результате получим уравнение неразрывности

Ь

(26)

^! + а+£зд

д Уг дг

П

гр дуу г* ду

Ьи,,

г*

го 81п во дУх V, 3,ра

~, I г» ^ I ' о ^ ^у . ^иУ > г\ , ' о 0111 ,уо ^ их . и, а7-'в

~Б-------^ ^^ “I----------------Б-------1--------с ё> в Н---------------:—гг ---------1------------—

~ ~ г* 81п в дх рв аг

0,

(27)

г

*

V

х

*

Ъ

2

X

г

*

уравнение соленоидальности магнитного поля

db

D

ro dby

Lbv

-jr~ + 2—bz -\—- —^ H------------------------ ctg в +

dz r* r* dy r*

r0 sin в0 dbx

rn dv —b

г ro sin вп dvz dv

и уравнения индукции магнитного поля

dbz

dt r* " dy r*¡

dby _ ro dvy_ r0 sin 6>q

<9t r* y r* sin 0 Jj dx

dbx r0 dvx , ro sin 0o, dvæ

Ж О

dx

dy

ro 7 dv„

= —b

+

dv„

- ^ і <9t r* y <9y r* sin в

dz

dvy_

dz

dvx

dz

г ro

----------V,

r* ro_r r* ro; r*

db

db,

V

96:

r* sin в dx

'z r0 sin во

y r* sin в

'y ro sin во

y r* sin в

*x ro sin во

о

dbz

' dx

dby

' dx

dbx

Vx—>-------V.

dx

VX ~K---------V;

dx

dbz

dz ’

dby

dz ’

dbx

r* sin 6 x dx z dz

(28)

(29)

(30)

(31)

Таким образом, мы привели уравнения (6)—(9) и (11)—(14) к уравнениям (23)—(25) и (27)-(31) для безразмерных переменных.

С учетом равенств (15) и (16) тригонометрические функции sin в, cos в, ctg в разлагаются в ряд в окрестности широты во:

L ( L \ 2 2

sin в = sin во н-у COS во — [ — ] -sin во + • • • ,

го \го) 2

т \ 2 2

My2

COS в = COS во----------У sin во — ( — ) — COS во + '

ro Vro 2

L

ctg в = ctg во - —у — Отметим, что параметр

го * sin2 во

Ь\ 2 ctgé»o

+ l;w v ä

+

ßo —

2w sin в{

o

ro

ro dß

0 = 00

равен градиенту в северном направлении параметра Кориолиса на широте в0, параметр е измеряет [7] отношение относительной завихренности к вертикальной компоненте планетарной завихренности при в = в0, а отношение градиента относительного вихря скорости к градиенту планетарного вихря скорости измеряется параметром

и

1

ß ßoL2

(32)

Действительно,

U

Ufo

Ш Ш=-сГісчв°

L2ßo ßofoL2

3. Геострофическое приближение. Рассмотрим случай, когда

є = о ( - ) « 1,

ro

Тогда из соотношений (26) и (32) следует, что ro V ro /

ß = O(1).

1

в2

Магнитное давление сравнимо с —, а инерционные силы в уравнении движения эк-

М

вивалентны кинетическому давлению порядка р* V2. Отношение кинетического и магнитного давлений оказывается порядка А2, где А - число Альфвена [12], определяемое

, „ , и^дтр; „ „ Р*1«*2

формулой А = ———. Отношение удельной кинетическои энергии вещества —п— и

B

2

B2

магнитной энергии —— также равно А2. Если магнитное поле «вморожено» в вещество, 2м

то большое значение А означает, что магнитное поле слабо влияет на движение. Малое А означает, что движение в основном определяется индукцией магнитного поля. Если А « 1, то движение и поле оказывают друг на друга более или менее равное воздействие и наблюдается примерно равное распределение энергии между ними. Число Альфвена также называют альфвеновским числом Маха [12], характеризующим отношение

и в

скорости течения жидкости к альфвеновской скорости: Ма = 77—, Vа =---------•

и А л/РР*

Итак, предположим, что кинетическое и магнитное давления имеют один порядок: в2

/э*[/2 ~ —. В силу малости параметра е, все функции можно представить в виде ряда М

по параметру е. Например,

'ох(х,у, г,Ь,е)

Uo(x, у, z, t) + £Ul(x, y, z, t)

(33)

L F S

где Uk = 0(1) и не зависит от е. Величины инеявно зависят от параметров------, —, -,

ег0 е £

являющихся по предположению величинами порядка единицы. Аналогично представляя все зависимые переменные в форме ряда (33) и подставляя их в уравнения (23)—(25) и (27)—(31), используя разложения для тригонометрических функций, заключаем, что члены порядка 0(1) удовлетворяют следующим уравнениям:

VQ =

дро

U0

дх ’ дро ду ’

РО =-------jr(POPS),

Ps dz

1 д ди0 dv о

Jad~z {woPs) + ~d^ + ~d^ °’

(34)

(35)

(36)

(37)

dbZr

dz

+

dbx

+

dby

db

zo

_ dw0 dw0 dt ~ Vo dy + Xo dx + Zo

дх ду dwo db dz

0,

VQ-

ду

U0

дЬ

at

db,

~dt

^ = k Xo = b.

dvp dvo_ dvo_

Vo dy + Xo dx + Zo dz

дио дио дио т;------h bXn —------\- bZn ——

дЬ

yo dy x° dx Zo dz

vo

v0-

yo

ду

dbXo

dy

и0

и0

о z b д 0 z b д

J dx Wo дz

0 b д 0 b д

dx wo я , дz

dbXn dbXo

dx w0 я дz

Из известных в гидродинамике геострофических соотношений (34) и (35), как следствие, имеем, что горизонтальная дивергенция в первом приближении обращается в нуль:

duo dvo

dx dy

и тогда из уравнения (37) получаем

д

— (рэ(г)и) о) = 0.

Таким образом, произведение р8(г)-шо не зависит от г, поэтому, если область движения ограничена горизонтальной твердой поверхностью, на которой вертикальные компоненты скорости равны нулю, тогда при всех г вертикальная компонента скорости равна нулю:

= 0. (38)

Геострофическое приближение (34), (35) приводит к известной в гидродинамике проблеме геострофического вырождения, т. е. к невозможности определения искомых функций из уравнений первого приближения. Поэтому в уравнениях (23) и (24) следует рассматривать члены более высокого порядка малости.

4. Уравнения квазигеострофического движения. Использовав тейлоровские разложения тригонометрических функций и равенство (38), из (23) и (24) имеем

dun dun dun / L \ dpi f L \ dpo

-к- +u0—-------hi)o------Vvi -w0 ---- )ytg00 = —--------H ----- ytg00—--------

dt dx dy \ег0 J dx \ег0 J dx

1

PPs(z)

dx

Jyo

dx

+

1

PPs(z)

dbX0 , dbX0 , dbX0

h _________— + h ______________— 4- b

uzn \ иг/г) r\ \ uq

dz

dy

dx

dvo dvo dvo ( L \ dpi

~777" + M0“7--------------------------------------H «0^-Ml + Mo - ytgOo- 7-

dt dx dy \ero J dy

PPs(z)

i, db*0 , i, dbyo

bXn —-------h 6,

dy

dy

+

1

PPs(z)

t dbyo dbyo dbyo

Uzn ^ \ Ууо “Г V;

dz

dy

dx

(39)

(40)

При выводе уравнения вихря необходимо учитывать второе приближение для уравнения неразрывности (27):

du-i_ dv-i_ ( L .

~5----1“ ~5----1“ (---- ctg eo

dx dy \ero

duo

dx

+

1 d

Ps(z) dz

(Ps(z)wi) = 0.

(41)

Применяя оператор rot к уравнениям (39) и (40) и используя соотношение (32), выведем

для величины

уравнение вихря

d(o д(0 3(о _ ( L \ dPo ( L \ d2p0 fdUl dVl

-777- + U0~K-------H w0“7------Ь pvо — — ---- Ctg в0-7------------------- У Ctg ь -7-Ь “7— +

dt dx dy \ero J dx \ero J dxdy \ dx dy

+

1

PPs(z)

dQo , dQo

Vo^+ Z0~d7

db

Уо

V dx dy

+

dbzQ dbyo

dbZ0 dbX0

dx dz dy dz

где

dbv

dbx

dx

dy

1

С учетом уравнения неразрывности (41) и равенств (34) и (35), уравнение (42) запишем следующим образом:

д(0 дродСо дродСо одр0 1 д 1

дЬ ду дх дх ду дх Ра (г) дг РРа(г)

ь

(43)

\ (дЬхо I дЪуо \ I дЪг° дЪуо дЪг° дЬхо

х° дх Уо ду г° дг 0 у дх ду ) дх дг ду дг

Система остается пока незамкнутой, так как величина и)\ не выражена еще через ро. Для замыкания системы при е = 0 рассмотрим термодинамическое уравнение (10). Поскольку из представления (22) имеем

Р* = Ра(г) (1 +ерТ), уравнение (10) приводится к безразмерной форме

1Р±+ъ?гМ{1+1П = _мл М> = _^ + 2£1Я, (44)

аЬ ра(г) дг и ра (г) ср

Согласно оценкам из статьи [13],

В дра(г) 1 др8(г)

= О(е).

Ра (г) дг* Ра(г) дг

Поэтому уравнение (44) в первом приближении по е приводится к форме

аоРо д дра(г) В2 М*дВ

=

аь Ра(г) дг* ¡о2Ь2 и2 ¡о

или, вводя обозначения

= 0(1), №* = --М = Ц$-,

¡о Ь2 Ра(г) дг* и2¡о

где N2 - квадрат частоты Вяйсяля-Брента [7], к выражению

АоР° , о л_г й0 _ д д д

+ т1Б = М, ^7 = ттт+М07Т-+«077-. (45)

аь ’ аь дЬ дх ду

Так как величина ——— ) мала, гидродинамическое приближение (36) сводится к

Ра (г) дг

уравнению

дР° !ЛК\

К = — (46)

Тогда уравнению (43) можно придать форму

+

РРа(г)

д д (М 1 ¿оро\ 1 дра (М 1 ¿оро\ ,

т Ко +,%) + а! (^ ) = -у, з7 (^ + 57^) +

\ ^ + ь ^ + ь 5^4-0 (дЬхо I дЪуо \ I дЪ*° дЪуо дЬго дЬхо

х° дх Уо ду г° дг 0 у дх ду ) дх дг ду дг

Если учесть малость величины

1 дрв(г) р3(г) дг

и отсутствие притока тепла, то будем иметь

¿о

сМ

С° + /?у + ^(|)

1

Б.

( дЬХ0 По{^ +

ИРз (г)

дП0

дх

дП0

дП0

'Хо а~ +Ьуо ду +К дг

+

дЬу

¿о д

д

у дх ду д

+

дЪ*0 дЪу0

дЪ*0 дЬХ0

дх дг ду дг

(47)

гДе = я7 +и°7Г +УоТГ-аЬ дЬ дх ду

Воспользуемся гидростатическим приближением (46) и обозначением

ф = ро.

В результате вместо уравнения (47) окончательно получим

(48)

д дф д дф д

ді ду дх дх ду

-&^ф ¿Рф д (1дф . _

дх2 ду2 дг \Б дг

1

К1^+Ь'

д&о д&о

уо ~я77 + Ьх°

ду

Оо(^ +

дЪ

Уо

дх ду

+

дЪ*0 дЬу0

РРз(г)

дЪг0 дЪх0

дх дг ду дг

(49)

Левая часть уравнения (49) напоминает соответствующее выражение в уравнении ква-зигеострофического потенциального вихря в обычной гидродинамике [7], в которое учет магнитного поля вносит изменения, представленные правой частью (49).

Из наблюдений известно [13], что в уравнении (49) в = О(1) и Б = О(1).

Итак, при е = 0 получена замкнутая система уравнений

д дф д дф д

ді ду дх дх ду

д2ф д2ф д Ґ1 дф .

дх2 ду2 а ^

К^+Ъ'

д&о д&о

У01кі+ 20 ^7

дг \Б дг дЪ

1

■'уо

дЪгс дг

+

дх дЪХ

ду

+

дЪго дЪуо

РРз(г)

дЪг0 дЪх0

дх дг ду дг

+

дЪу

дЪ*

дЪу

дЬ

дЪХ

дх ду

= Т>(Ьг0,Ф)

Т>(х,у) : ' д д д'

Ході + Уод^+ год~г

дЬ

дЬ

д

д

Ьхо дх + Ъуо ду + К дг

дф У{ЪУа,Ф)

дх Т> (ж, у) '

дф У(ЪХ0,ф) ду Т>(х,у)

(50)

(51)

(52)

(53)

(54)

относительно неизвестных ф, Ьхо, Ьуо, Ьго.

5. Построение решения нелинейной задачи. Будем искать решение системы нелинейных уравнений (50)-(54) в виде

ф = Ф(г )еі(кх+1у-аі), ЪХо = ¡1(г)ві(кх+1у-аі),

Ъу0 = 12(г)еі(кх+1у-^,

Тогда из уравнения (52) находим, что

¡3(Ф) = 0, или Ъ*

¡з(Ф).

С = соші,

(55)

(56)

X

X

1 Ск

Ыг) = -Шг), Ыг) = —Ф'(г).

к а

Таким образом, уравнение (50) с учетом равенств (55)-(57) позволяет описать вертикальную структуру функции ф(х,у, г,Ь), определяемую решением

С2 (к2 + I2) а

а^Рз(г) Б (г)

Ф"{г) + 7Щ~ф,{г) + ^ + + Ф{г) = °'

При

уравнение (58) примет вид

'С2 {к2 + I2) а

аррв (г) Б

Примем следующие граничные условия при г = 0:

Ґра дг

Ф"(г) + [а {к2 + I2) + к@] Ф(г) = 0.

(58)

(59)

V* = 0,

Ъх = 0,

Ъу =°.

(60)

(61)

Учитывая, что ищем решения, сосредоточенные вблизи границы жидкого ядра с мантией, потребуем выполнения условий

Vx ^ 0, Vy

0,

Ъх

(62)

(63)

Тогда граничные условия (60)-(63), согласно соотношениям (34), (35), (45), (46), (48), (55) и (57), примут вид

Ф'(0) = 0; Ф(г) ^ 0, Ф'(г) ^ 0 при г ^ —сю.

Следовательно, для функции Ф(г) имеем такую задачу:

~С2 (к2 + I2) а

Ф"(г)+ [а (к2 + I2) + к/З] Ф(г) = 0,

арРа (г) Б

Ф'(0) = 0; Ф(г) ^ 0, Ф'(г) ^ 0 при г ^ —сю.

Будем искать решение уравнения (64)

Ф(г) = Ф (Ра(г)).

Учитывая соотношения

(64)

(65)

Ф'(г)=Ф'(р,(г)К(г), Ф"(г) = Ф"(р8(г))(р^(г))2 + Ф'(рв(г)К'(г),

6'2(t2+i2) и? -1 <л?

paps S

Ф " +

О2 (к2

ра ps

а*

°ps

S

Ф '+

+ а (к2+12)+к@] ф=о.

Из равенства (59) получим, что

PS = -SFps, PS = S2 F2 P.

поэтому уравнение (66) можно представить так:

Ps

С2 (к2 + Ï2) S

2

ра

После замены

(67) приводится к виду

Ф " +

С2 (к2 + l2) S

ра2

~ а (к2 + l2) + кр~

ф/+ 1 aF2s ф = °- (67)

П =

ps(z)pa2 С2 (k2+l2)S

v(v - 1)^W + (v - 1)Щ^) - ° ^ qfp2g>+fc/3$^ = °-

Уравнение (68) является гипергеометрическим уравнением Гаусса [14]

П(П - 1)Ф;УП) + (а + 3 + 1) П - 7 ф^(п)+«ДФ(п)=°

а (к2 + l2) + kfî

при

а + /? = 0, 7 = 1, а • ¡3 = — Из соотношений (70) находим

а (к2 + 12) + кв

aF 2 S

aF 2S

¡3 — —а.

(68)

(69)

(70)

Одно частное решение уравнения (69) представимо гипергеометрическим рядом [14] F(â,Ï3,r,r]) = 1+^3 ~^~г; (*)т = s (s + 1) • • • (s + m - 1),

(7)rn m-

m=l 4 '

который сходится при |n| < 1, т. е. при

21

сг2 <

WsC2S (к2 + l2) Поэтому общее решение уравнения (68)

Ф(n) = F(а, — а, 1; n) I Ci + C2

—аМ

F2(a, — а, 1; n)

dn

s

s

где

= / т—“п^ = / ~ = 1п?7,

./ п(п - 1) 7 п

и, следовательно,

Ф(г?) = Т(5,-5Д;г?) (С1+С2 ( ^ ). (71)

\ ./ п^2(а,-а,1;п))

Выполним далее более детальный анализ представления (71). Из свойств гипергеомет-рической функции Р(а,/3,7,п) [14, 15] получим, что

Ф'М = —аР{а + 1, -а + 1, 2, ?у) [Сі + С2 / ~ - ) +

\ ./ п^2(а,-а,1;п))

+ С2 - 2а2Р(а + 1, -5 + 1, 2, т,)^ .

Из первого равенства условий (65) находим также, что ' ^ Р(а, -а 1,П) , о~2;

Сі — —С2 І I —~ ^——---------------------------------------------Ь 2а _Р(о! + 1, —а + 1, 2, г/)

V пр22(а> -а1; п) п ,

2 = 0

Третье из условий (65) при больших г выполняется вследствие представления Ф'(г) в виде произведения ограниченной функции и функции р'8(г), которая в условиях рассматриваемой задачи при больших г равна нулю.

Выполнение второго из условий (65) приведет к дисперсионному соотношению между параметрами, определяющими динамику рассматриваемого процесса.

Рассмотрим в качестве примера конкретный случай:

<т (к2 + /2) + к[3 1

аР2Б = 1-

Отсюда можно определить

- кГ> (72)

к2 + 12 - Г2Б'

При ГБ = 0 частота а совпадает с частотой волн Россби в однородной жидкости при наличии твердой горизонтальной границы.

Теперь уравнение (68) допускает интегрирование в классе элементарных функций. Так как оно имеет частное решение

Ф о = п - 1,

общее решение

Цг1) = {г1-1)(С1+С2 ( &П

п( п - 1) 2 может быть представлено в виде

Ф(Г)) = (г]-1) (сг + С2 ^1п 77 - —- - \п(г] - 1)

Из выражения для производной функции Ф(п) по переменной z

П C2

п — 1 п

и условия Ф'(0) = 0 получим, что

/эя(0)7 (с1 + С2\п У7 - -§г)

V Ps(0)Y— 1 Р2(0)7/

откуда

C1 = —C2 ln

Ps(0)Y

В последнем равенстве 7

¡ла2

C2 (к2 + l2) S

Ps(0)Y — 1 Ps (0)7/

. Таким образом, функция

«ю = ci [ft(,)7 -11 ( i„ fei:!!fti°?7~!i +7 k-w - ft(0)l -1

' Ps(0) ]ßs (z)7 — 1] YPs (0) [ps(z)7 - 1]

Можно показать, что условие Ф'(г) ^ 0 при z ^ —ж равносильно равенству

lim <y,(»b(fa*t!hi°>1,~;i + ft("lTfe(0r] = 0.

Ps(0)[Ps (z)Y — 1] YPs(0)Ps(z)

Последнее справедливо, так как

lim ps(z) = 0.

2—— — Ж

Условие Ф(z) ^ 0 при z ^ —ж равносильно равенству

um &-1]fi„+ ,b(!),-ft(0|1:1i = 0.

z—> — 00

Ps(0)[Ps(z)Y — 1] YPs(0) [Ps(z)Y — 1]

из которого

2 C2 (к2 +12) c2s

a2 » - v '

PPs(0)

или, с учетом уравнения (72),

>

C2C2 S

(.к2 + l2) (к2 + l2 - F2S)2 " HPs{0)ß2 '

Из неравенства (73) следует, что к и l удовлетворяют соотношению

к6 + (3l2 — 2F2S) к4 +

314 _ 4i2p2S + F4S2 - ß2^ps^

c2c2s

(73)

к2 + l2 (l2 — F2S)2 < 0, (74)

а из соотношения (74) при к2 = к получаем, что

к3 + aik2 + о,2к + аз 0,

1

2

к

сц = З I2 - 2F2S, a2 = 3 Iа - 4 l2F2S + FAS2 - , a3 = I2 (12 - F2 S)2 .

G2G2s

Уравнение к3 + a\k2 + a2k + a% = 0 дает зависимость к от l.

Основные магнитогидродинамические характеристики представляются следующими соотношениями:

іґу г ^ и Л P*(z) Ы°Ь - 1] , l\Ps{z) -ps(0)] - 1^ .

”” = hCl ЫгЬ - 11 г ,,(0)М*Ь-1] + m(»)l»(*b-i) ) ( + ' “ ’ ’

=-ю2ЫФ-1] (шS1„{кх+1у _,

V Ps(0)ps(z)Y - 1J YPs{0)[Ps{z)Y - 1J У

**=-~сг,ам (in o„s (i,+% - ,

a V Ps(0)ps(z)Y - 1] YPs(0)-s (z) /

V = -«M + + Ц.-А

a V Ps(0)ps(z)Y - 1] YPs(0)Ps(z) J

«=-cv,x w (m c«(tI+- <*>,

V Ps(0)ps (z)Y - 1] YPs(0)Ps(z) J

w = 6Ї M»h - H (in fe!n!|ft!°i7~!i + -(*» + IV - m),

V Ps(0)ps(z)Y - 1] YPs(0)Ps(z) -

wi = —C2~/ap' (z) Tin —jj _|_ Ps(Zj /9s/<!')) cos (kx + 1У- at) ■

V Ps (0)ps(z)Y - 1] YPs(0)Ps(z) J

5. Заключение. Анализ последних равенств позволяет сделать вывод о справедливости гипотезы С. И. Брагинского о существовании сильных изменений в тонком слое земного ядра, примыкающем к границе с мантией. Это вытекает из анализа поведения функции Ф^). В частности, для экспоненциальной стратификации при увеличении глубины слоя происходит резкое уменьшение величины Ф^), затем Ф^) меняет знак и при дальнейшем изменении глубины начинает плавно возрастать, далее еще более плавно стремится к нулю.

Summary

Kholodova S. E. Mathematical modeling large-scale movements of the stratified electrically conducting liquid in a spherical layer.

In clause owing to strong indignations as a result of available non homogeneous researches of occurrence of greater changes of a magnetic field of the Earth are carried out in a liquid terrestrial kernel. Namely, the mathematical model of distribution of waves in a thin spherical layer of steadily stratified liquid at external border of a terrestrial kernel is considered. With use of scales of movements, suitable the analysis of mathematical model is made for calculation of three-dimensional movements with greater time and spatial in scales. The specified method of the analysis allows, not being limited to heuristic reasonings to deduce the general quasi-geostrophic the equations describing movements both homogeneous, and the stratified electrically conducting rotating liquid. The basic idea of the analysis consists in construction of the scheme consecutive approximation in which geostrophic approach is a first step. The analytical decision of system of the nonlinear equations in the private derivatives, modeling quasi-geostrophic movement in a layer of the ideal electrically conducting stratified rotating liquid is received. Fields magnetichydrodynamics sizes are presented. The lead analysis allows to draw a conclusion on existence of strong changes magnetichydrodynamics sizes in the thin layer of a terrestrial kernel adjoining bound with a cloak.

Key words : the stratified rotating liquid, electrically conducting liquid, the équations in particular derivatives, quasi-geostrophic movement, magnetichydrodynamics, terrestrial kernel, analytical solutions.

Литература

1. Брагинский С. И. Волны в устойчиво стратифицированном слое на поверхности земного ядра // Геомагнетизм и аэрономия. 1987. Т. XXVII, № 3. С. 476-482.

2. Альвен Г., Фельтхаммар К.-Г. Космическая электродинамика / Пер. с англ. Ю. К. Земцова, И. Г. Персианцева; Под ред. Л. А. Арцимовича. М.: Мир, 1967. 260 с.

3. Алешков Ю. З. Математическое моделирование физических процессов. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2001. 264 с.

4. Гунько Ю. Ф., Норин А. В., Филиппов Б. В. Электромагнитная газодинамика плазмы. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2003. 176 с.

5. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: В 10 т. Т. 8: Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1992. 664 с.

6. Шерклиф Дж. Курс магнитной гидродинамики / Пер. с англ. Н. Т. Пащенко; Под ред. Г. А. Любимова. М.: Мир, 1967. 320 с.

7. Педлоски Дж. Геофизическая гидродинамика: В 2 т. / Пер. с англ. Г. М. Резника, Т. Б. Цыбаневой; Под ред. В. М. Каменковича, А. С. Монина. М.: Мир, 1984. Т. 1. 400 с.; Т. 2. 811 с.

8. Куликовский А. Г., Любимов Г. А. Магнитная гидродинамика. М.: Логос, 2005. 328 с.

9. Седов Л. И. Механика сплошной среды: В 2 т. М.: Наука, 1983. Т. 1. 528 с.; 1984. Т. 2. 560 с.

10. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: В 10 т. Т. 6: Гидродинамика. М.: Наука, 1988. 736 с.

11. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика: В 2 ч. М.: Физ-матгиз, 1963. Ч. 1. 584 с.

12. Каулинг Т. Магнитная гидродинамика / Пер. с англ. В. Г. Петрова. М.: Атомиздат, 1978. 144 с.

13. Брагинский С. И. Магнитогидродинамика земного ядра // Геомагнетизм и аэрономия. 1964. Т. IV, № 4. С. 898-916.

14. Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Точные решения. М.: Физматлит, 1995. 560 с.

15. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: В 3 т. / Пер. с англ. Н. Я. Виленкина. М.: Мир, 1973. Т. 1. 294 с.; 1974. Т. 2. 297 с.; 1967. Т. 3. 301 с.

Статья рекомендована к печати проф. Ю. М. Далем. Статья принята к печати 7 октября 2008 г.