CC BY
12
ХИМИЯ CHEMISTRY
УДК 544.016.5;548.5
йй! 10.25513/1812-3996.2018.23(4).87-92
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КРИСТАЛЛИЗАЦИИ МАЛОРАСТВОРИМЫХ СОЕДИНЕНИЙ В БИОЖИДКОСТИ
О. А. Голованова, В. В. Корольков
Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, г. Омск, Россия
Информация о статье
Дата поступления 12.10.2018
Дата принятия в печать 17.10.2018
Дата онлайн-размещения 14.12.2018
Ключевые слова
Математическое моделирование организм человека, твердая фаза, нефрон
Аннотация. В результате математического моделирования установлено, что при физиологических условиях в норме образование твердой фазы не является доминирующим процессом, однако при увеличении концентрации осадкообразующих ионов, что соответствует определенным состояниям организма человека, а именно возникновение локальных высоких пересыщений в нисходящем отделе петли Генле, может приводить к образованию зародышей твердой фазы и дальнейшему росту в последующих отделах нефрона.
MATHEMATICAL MODELING OF THE CRYSTALLIZATION OF LOW-SOLUBLE COMPOUNDS IN BIO-LIQUID
O. A. Golovanova, V. V. Korolkov
Dostoevsky Omsk State University, Omsk, Russia
Article info
Received 12.10.2018
Accepted 17.10.2018
Available online 14.12.2018
Abstract. As a result of mathematical modeling, it was found that under physiological conditions, the formation of a solid phase is not the dominant process, however, with an increase in the concentration of precipitating ions, which corresponds to certain conditions of the human body, namely, the occurrence of local high supersaturation in the descending loop Henle, can lead to the formation of nuclei of the solid phase and further growth in subsequent sections of the nephron.
Keywords
Mathematical modeling of the human body, solid phase, nephron
1. Введение
Сравнительно давно установлено, что начальным местом образования кристаллических частиц в мочевой системе человека является структурно-функциональная единица почки - нефрон [1-4]. Каждая человеческая почка содержит около 1 млн нефронов, в которых протекают процессы, обеспе-
чивающие регуляторные механизмы по поддержанию водно-электролитного и кислотно-щелочного балансов в организме человека.
Каждый нефрон состоит из почечного тельца, сформированного капсулой и сосудистым клубочком, основная функция которого - ультрафильтрация плазмы крови с образованием первичной мочи,
и системы канальцев и трубочек, где происходит преобразование первичной мочи во вторичную, которая собирается в мочевой пузырь с последующим выведением в окружающую среду.
Строение нефрона [5], а также схематичное отображение процессов массообмена по отдельным компонентам физиологического раствора в процессе образования мочи приведены на рис. 1.
Глюкоза, аминокислоты
Органические кислоты
Т?! х
^--.-HzO Na+
Рис. 1. Строение нефрона почки: 1 - почечное тельце; 2 - проксимальный извитой каналец; 3 - петля Генле (включает в себя нисходящую часть, колено петли и восходящую часть); 4 - дистальный извитой каналец; 5 - собирательная трубочка;
6 - собирательный проток
В соответствии с преобладающей сегодня точкой зрения [7-10] образование конечной мочи является совокупностью протекания трех процессов: фильтрации, реабсорбции и секреции. Начальный этап образования мочи - ультрафильтрация из плазмы крови безбелковой жидкости, представляющей собой первичную мочу, - протекает в почечных клубочках. При последующем течении жидкости по участкам нефрона происходит канальцевая реаб-сорбция - обратное селективное всасывание с дифференцированной скоростью воды и растворенных веществ (белков, глюкозы, витаминов, микроэлементов и электролитов) в кровь. Третий процесс - каналь-цевая секреция - рассматривается в двух вариантах протекания. С одной стороны, клетки эпителия нефрона захватывают некоторые вещества из крови и межклеточной жидкости и переносят их в просвет канальца. С другой - клетки нефрона синтезируют и высвобождают в просвет канальца новые органические вещества, а также ионы NH4+ и Н+. Скорость протекания каждого из рассмотренных процессов определяется состоянием организма и регулируется собственными внутренними механизмами (табл. 1).
Таблица 1 Исходные данные для расчета математической модели
Параметр Ед. изм. Значение
Количество ультрафильтрата л/сут. 165
Количество нефронов в почках 2106
Температура °C 37
рН раствора 6,5
Ионная сила моль/л 0,30
Концентрация Са2+ в ультрафильтрате ммоль/л 2,67
Плотность раствора кг/л 1,005
Вязкость динамическая Пас 1,02 ■ 10-3
Таким образом, в связи с тем, что процесс кристаллизации уролитов в организме человека первично локализован, главным образом, в нефроне почки, то для установления закономерностей фазо-образования оксалата кальция в условиях, приближенных к физиологическим, объектом математического моделирования принимается нефрон в целом и отдельные его структурные элементы.
2. Основные положения математической модели
Ввиду особенностей физиологического строения нефрона почки для построения физико-химической модели использован математический аппарат реактора идеального вытеснения. Реактор идеального вытеснения представляет собой трубчатый аппарат, у которого отношение длины к диаметру достаточно велико. В реактор непрерывно подаются реагенты, которые превращаются в продукты по мере перемещения их по длине реактора [11].
Гидродинамический режим в реакторе идеального вытеснения характеризуется тем, что любая частица потока движется только в одном направлении по длине реактора, при этом отсутствует продольное перемешивание, а также перемешивание по сечению реактора (рис. 2).
Идеальная модель реактора вытеснения предполагает, что значения всех параметров реакционной среды в рамках каждого рассматриваемого сечения одинаковы, что соответствует равномерному распределению вещества по сечению. Каждый элемент объема реакционной массы ЬУ не смешивается ни с предыдущими, ни с последующими объемами, то есть реализуется поршневой режим движения. Состав каждого элемента объема последовательно изменяется вследствие протекания химической реакции. При этом в условиях непрерывности процесса концентрация веществ изменяется не во времени, а по длине реактора (рис. 3).
H2O
2
3
H2O
6
H2O
V = 0
dV
S =
nd
V T
в» вх
C m
^вх, г "*вх г
C„ шг
Рис. 2. Реактор идеального вытеснения
V= V
/d
= 0 V, T dl m+dm, i =
V T
г вых вых
C m
^вых г? "*вых г
О я
§ §
ы rt
а а
& п
н и
и &
га с
я я
О и
^ 5
Степень превращения хА
Длина реактора I Рис. 3. Изменение параметров процесса по длине реактора идеального вытеснения
Использование характеристического уравнения реактора идеального вытеснения с учетом констант скорости кристаллизации выражения позволяет рассчитать изменение концентрации реагирующих веществ, а также количество образующейся твердой фазы оксалата кальция по длине нефрона в зависимости от исходной концентрации первичного раствора - ультрафильтрата.
С учетом специфики физиологических процессов, протекающих в различных отделах нефрона, а также ввиду отличий в геометрических параметрах системы для корректного математического описания процесса реактор секционируется. При этом различные участки длины нефрона характеризуются различными граничными условиями, однако вид уравнений, описывающих процесс, остается неизменным.
3. Материальный граф и материальный баланс процесса
Потоковый (материальный) граф представляет собой топологическую модель, позволяющую установить взаимосвязь между изменениями структуры и количественными характеристиками моделируемой системы. Вершины материального потокового
графа соответствуют элементам системы, которые трансформируют общие массовые расходы физических потоков, источникам и стокам вещества физических потоков. Дуги графа соответствуют обобщенным материальным потокам [13]. Материальный баланс моделируемого участка нефрона или какой-либо его секции составляется для установившегося режима на основе того, что сумма материальных потоков, поступающих в систему, равна сумме потоков, покидающих систему. Материальный баланс может быть составлен в массовых или мольных единицах, причем соответствующие балансовые уравнения имеют один и тот же вид.
Материальный баланс нефрона почки в общем виде и каждой моделируемой секции в отдельности приведен в табл. 2.
Таблица 2 Материальный баланс нефрона
Входя-
щий Выходящие потоки
Компонент поток
GF, Gs, GR, Gc,
моль/ч моль/ч моль/ч моль/ч
Секция 1. Проксимальный извитой каналец
Вода 383,53 118,36 265,17 0,00
Кальций Са2+ 0,01833 0,00745 0,01073 0,00015
Секция 2. Нисходящая часть петли Генле
Вода 118,36 80,48 37,88 0,00
Кальций Са2+ 0,00745 0,00740 0,00000 0,00005
Секция 3. Восходящая часть петли Генле
Вода 80,48 80,48 0,00 0,00
Кальций Са2+ 0,00740 0,00321 0,00413 0,00006
Секция 4. Дистальный каналец
Вода 80,48 4,72 75,76 0,00
Кальций Са2+ 0,00321 0,00028 0,00165 0,00128
Итоговый материальный баланс нефрона
Вода 383,53 4,72 378,81 0,00
Кальций Са2+ 0,01833 0,00028 0,01651 0,00155
4
r
Коэффициенты реабсорбции для каждого компонента раствора в зависимости от участка нефрона приняты на основе литературных данных [14].
4. Расчет гидродинамики потоков в нефроне Расчет гидродинамики при моделировании процесса сводится к расчету линейных скоростей и определению гидродинамического режима движения потоков в нефроне.
Количественной характеристикой гидродинамического режима течения вязкой жидкости является безразмерный критерий Рейнольдса
Величина критерия Рейнольдса определяет характер потока: ламинарный, промежуточный или турбулентный. Чем выше значение Re, тем больше гидродинамический режим стремится к турбулентному. Для ламинарного режима характерны значения критерия Рейнольдса Re<2300, при величине 2300 < Re < 10000 наступает промежуточный режим; турбулентный режим реализуется при значениях Re > 10000 [12]. Результаты расчета гидродинамических характеристик потока в нефроне приведены в табл. 3.
Таблица 3 Результаты расчета гидродинамических характеристик потока в нефроне
е g е g
е § ■2 и ■2 и е
ана § 1 г 1 i е см с 1 е со с 1
Параметр 1 s M § >52 1 ä
о g о е if е SI
£ о s ä <§ о is о OQ 4
Геометрические параметры системы
Длина /-103, м 11 16 16 12
Диаметр сМ06, м 45 15 15 45
Объем V1012, м3 17,5 2,8 2,8 19,1
Гидродинамические параметры потоков
Скорость w-103, м/с 0,39 1,38 1,12 0,06
Время пребывания, с 33 12 14 355
Критерий Рейнольдса Re 0,017 0,020 0,017 0,003
Расчет гидродинамики потоков в различных отделах нефрона показал, что низкие значения линейных скоростей потоков и критерия Рейнольдса на всем интервале длины нефрона соответствуют ламинарному режиму движения потока, следовательно, обратное перемешивание среды отсутствует, что свидетельствует в пользу правильности
выбранного типа модели. Установлено, что время пребывания потока в нефроне превышает время периода индукции кристаллизации оксалата кальция, в связи с этим для описания кинетики процесса использовались экспериментально определенные константы скорости.
5. Результаты математического моделирования
По результатам расчета материального баланса каждой секции нефрона установлены зависимости изменения молярных расходов компонентов физиологической жидкости по длине нефрона (рис. 4), а также определен относительный вклад процессов реабсорбции и кристаллизации твердой фазы в итоговый результат массообмена (рис. 5).
0 10 20 30 40 50 60
Длина нефрона, мм
Рис. 4. Изменение мольного расхода воды по длине нефрона
0,020
0 10 20 30 40 50 60
Длина нефрона, мм Рис. 5. Изменение мольного расхода Ca2+ по длине нефрона: 1 - реабсорбция; 2 - образование твердой фазы
Сравнительный анализ влияния процессов кристаллизации и реабсорбции на изменение количества осадкообразующих ионов в модельном растворе показал, что преобладающим процессом является реабсорбция ионов кальция и выведение его
из системы. Полученные результаты подтверждают гипотезу, что при нормальных состояниях организма в условиях низких концентраций осадкообра-зующих ионов образование минеральных агрегатов в почке не является доминирующим процессом.
На основе данных зависимостей рассчитан концентрационный профиль ионов Са2+ по длине нефрона (рис. 6). Прежде всего следует отметить, что полученная расчетным способом концентрация ионов кальция на выходе из дистального канальца согласуется со значениями, описанными в литературных источниках [15], что свидетельствует об адекватности построенной модели. При этом относительная погрешность моделирования не превышает 5 %.
Вид концентрационного профиля ионов Са2+ обусловлен параллельным процессом реабсорбции воды, что приводит к возникновению максимумов и минимумов на кривой. Следует отметить, что максимальная концентрация ионов кальция получена для нисходящего участка петли Генле. Это может служить подтверждением гипотезы [16-17], что именно в данном отделе нефрона могут формироваться органоминеральные кристаллиты.
о
я я
о Ы
0 10 20 30 40 50 60
Длина нефрона, мм
Рис. 6. Концентрационный профиль ионов Са2+
Таким образом, в результате математического моделирования установлено, что при физиологических условиях в норме образование твердой фазы не является доминирующим процессом, однако при увеличении концентрации осадкообразующих ионов, что соответствует определенным состояниям организма человека, а именно возникновение локальных высоких пересыщений в нисходящем отделе петли Генле, может приводить к образованию зародышей твердой фазы и дальнейшему росту в последующих отделах нефрона.
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
0,0
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Sfoungaristos S., Hakim R., Katz R., Gofrit O. N. Cystine stones: a single tertiary center experience // Journal of Endourology. 2015. Vol. 29, no. 3. P. 362-366.
2. Martins M. C., Meyers A. A., Whalley N. A., Rodgers A. L. Cystine: a promoter of the growth and aggregation of calcium oxalate crystals in normal undiluted human urine // Journal of Urology. 2002. Vol. 167, no. 1. P. 317-321.
3. Cooke S. A. R. The site of calcification in the human renal papilla // British Journal of Surgery. 1970. Vol. 57. P. 890-896.
4. Haggit R. C., Pitcock J. A. Renal medullary calcifications: a light and electron microscopic study // The Journal of Urology. 1971. Vol. 106. P. 342-347.
5. Stoller M. L., Shami G. S., McCormick V. D., Kerschmann R. L. High resolution radiography of cadaveric kidneys: unraveling the mystery of Randall's plaque formation // The Journal of Urology. 1996. Vol. 156. P. 1263-1266.
6. Kok D. J. Intratubular crystallization events // World Journal of Urology. 1997. Vol. 15, no. 4. P. 219-228.
7. Косицкий Г. И. Физиология человека. М. : Медицина, 1985. 544 с.
8. Young B., O'Dowd G., Woodford P. Wheater's Functional Histology: A Text and Colour Atlas. 6th ed. Churchill Livingstone, 2013. 464 p.
9. Вандер А. Физиология почек. СПб. : Питер, 2000. 247 с.
10. Дахин О. Х. Химические реакторы. Волгоград : РПК «Политехник», 2012. 182 с.
11. Davis M. E., Davis R. J. Fundamentals of Chemical Reaction Engineering. McGraw-Hill Higher Education, 2002. 384 p.
12. Дытнерский Ю. И. Основные процессы и аппараты химической технологии: пособие по проектированию. М. : Химия, 1991. 496 с.
13. Felmlee M. A., Dave R. A., Morris M. E. Mechanistic Models Describing Active Renal Reabsorption and Secretion: A Simulation-Based Study // American Association of Pharmaceutical Scientists Journal. 2013. Vol. 15, no. 1. P. 278-287.
Вестник Омского университета 2018. Т. 23, № 4. С. 87-92
-ISSN 1812-3996
14. Дытнерский Ю. И. Процессы и аппараты химической технологии: учебник для вузов. Ч. 1. М. : Химия, 1995. 400 с.
15. Evan A. P., Lingeman J. E., Coe F. L. Randall's plaque of patients with nephrolithiasis begins in basement membranes of thin loops of Henle // Journal of Clinical Investigation. 2003. Vol. 111. P. 607-616.
16. Sepe V., Adamo G., La Fianza A. Henle loop basement membrane as initial site for Randall plaque formation // American Journal of Kidney Diseases. 2006. Vol. 48, no. 5. P. 706-711.
17. Жариков А. Ю., Зверев Я. Ф., Брюханов В. М. Механизм формирования кристаллов при оксалатном нефролитиазе // Нефрология. 2009. Т. 13, № 14. С. 37-50.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Голованова Ольга Александровна - доктор геолого-минералогических наук, профессор, профессор кафедры неорганической химии, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: golovanova2000@mail.ru.
INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
Golovanova Olga Aleksandrovna - Doctor of Geological and Mineralogical Sciences, Professor, Professor of the Chair of Inorganic Chemistry, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: golovanova2000@mail.ru.
Корольков Вячеслав Вадимович - аспирант химического факультета, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: korolkov-92@ mail.ru.
Korolkov Vyacheslav Vadimovich - Postgraduate Student of the Faculty of Chemistry, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: korolkov-92@mail.ru
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ
Голованова О. А., Корольков В. В. Математическое моделирование кристаллизации малорастворимых соединений в биожидкости // Вестн. Ом. ун-та. 2018. Т. 23, № 4. С. 87-92. Р01: 10.25513/1812-3996.2018.23(4).87-92.
FOR QTATIONS
Golovanova O.A, Korolkov V.V. Mathematical modeling of the crystallization of poorly soluble compounds in bi-ofluids. Vestnik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2018, vol. 23, no. 4, pp. 87-92. DOI: 10.25513/1812-3996.2018.23(4).87-92. (in Russ.).
