Математическое моделирование комбинированного теплообмена при естественной конвекции воздуха в незамкнутых областях Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОМБИНИРОВАННОГО ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ЕСТЕСТВЕННОЙ КОНВЕКЦИИ ВОЗДУХА В НЕЗАМКНУТЫХ ОБЛАСТЯХ

В.Н. Варапаев

МГСУ

В материале рассматриваются результаты математического моделирования естественной конвекции воздуха в замкнутой воздушной прослойке.

The presented information considers the results of modeling of natural air convection in a closed interlayer.

Физическая постановка задачи и основные предположения

Во многих технических приложениях приходится иметь дело с конвективными течениями воздуха в незамкнутых областях, движение в которых возникает за счет разности температур стенок и воздуха. Примерами таких задач являются: движение и теплообмен в незамкнутых воздушных прослойках, расположенных в ограждениях зданий, теплообменных устройствах; процессы теплообмена при охлаждении электронного оборудования, в нагревательных элементах ядерной энергетики и солнечных коллекторов. Библиография и обзор работ в этом направлении приведены, например, в [1 - 6].

Часто в таких задачах приходится иметь дело с комбинированным теплообменом, когда наряду с теплопроводностью и конвекцией необходимо учитывать тепловое излучение границ. В случае, когда температуры всех границ заданы, теплопередача за счет теплового излучения границ может быть достаточно просто определена, и она никак не влияет на конвективное течение в области, если воздух считается прозрачным для теплового излучения. Иная ситуация имеет место в случае сопряженной задачи, когда распределение температур вдоль некоторых границ области неизвестно и должно быть определено при решении задачи из условия теплового и аэродинамического взаимодействия со всеми другими границами области. Для замкнутой области такая сопряженная задача была, например, решена в случае оконных ограждений в [8] с учетом теплопроводности, конвекции и теплового излучения границ. Рассмотрим здесь особенности решения таких задач в незамкнутой области. Для определенности рассмотрим конкретную физическую задачу, однако методы и результаты исследований могут быть использованы для многих аналогичных задач.

Изучается влияние конвективного канала на работу системы панельного отопления. Существо технической задачи заключается в следующем. В некоторых проектах зданий используется система панельного отопления, в которой нагревательным элементом является часть наружной стеновой панели. Нагреватель представляет собой бетонную плиту, встроенную в наружное ограждение под окном. В ряде проектов предусматривается использование конвективного канала между нагревательной панелью и несущей частью наружного ограждения. Такая панель была разработана в институте строительства и архитектуры Госстроя Белоруссии. Идея использования конвективного канала заключается в том, что при этом увеличивается площадь теплоотдачи (двусторонняя теплоотдача вместо односторонней) и снижаются тепловые потери через наружное ограждение за

1/2010

ВЕСТНИК _МГСУ

и

1

+2

У

-К-

.и

и

Рис. 1. Общая схема системы панельного отопления с конвективным каналом для плоской задачи

счет дополнительного сопротивления теплопередаче воздушной прослойки. Для определения эффективности работы канала необходима достаточно точная оценка теплоты, возвращаемой в помещение через конвективный канал.

Па рис. 1 приведена общая схема системы панельного отопления с конвективным каналом в случае плоской задачи.

Нагревательная панель "1" отделяет воздушный конвективный канал "2" от помещения, температура воздуха в котором равна 1В . Под действием тепла, поступающего от нагревательной панели к воздуху в канале, в нем возникает движение за счет естественной конвекции, при котором воздух из помещения входит в канал через нижнюю щель и уходит через верхнюю щель, имея более высокую температуру . Наружное ограждение "3" отделяет помещение и конвективный канал от внешней среды, температура воздуха в которой считается равной 1Н . Тепло от нагревательной панели поступает в помещение как непосредственно, от поверхности, обращенной в помещение, так и через конвективный канал. Определение этого дополнительного потока тепла и является главной целью исследования.

Физический механизм теплопередачи в рассматриваемой задаче заключается в следующем: нагретая панель отдает часть тепла воздуху в канале (за счет теплопроводности и конвекции), а часть тепла передается тепловым излучением на внутреннюю поверхность наружного ограждения. В свою очередь это тепло частично возвращается воздуху в канале (за счет теплопроводности и конвекции), а частично теплопроводностью через наружное ограждение отдается окружающей среде. Таким образом, здесь необходимо учитывать все три механизма передачи тепла: теплопроводность, конвекцию и тепловое излучение стенок.

Основные предположения, используемые при построении математической модели, заключаются в следующем: движение и теплообмен в воздушной прослойке описываются системой уравнений естественной конвекции (модель Буссинеска); воздух в прослойке прозрачен для теплового излучения стенок; поверхности стенок считаются серыми неизотермическими со степенью черноты е; испускаемое и падающее излучение для каждого элемента поверхности является диффузным; вместо интегрального уравнения для плотности результирующего излучения всех поверхностей используется алгебраическое приближение [7]; задача является стационарной и плоской, а режим движения воздуха является ламинарным. Анализ безразмерных критериев Грасгофа и Прандтля, характеризующих движение воздуха в прослойке, показывает, что для используемой на практике геометрии и размеров конвективного канала (высота канала = 0.5 0.6 м; ширина канала к ~ 0.05 м) и температуры нагреваемой панели (1Р = 50°С 70°С) режим естественной конвекции будет ламинарным.

Особенность рассматриваемого течения заключается в том, что общий расход воздуха через область за счет естественной конвекции заранее не известен и должен быть определен при решении задачи.

Необходимость определить расход воздуха для внутренних задач естественной конвекции в незамкнутых областях приводит к трудностям в постановке граничных

условий для уравнений Буссинеска (или системы уравнений Навье-Стокса). Эти трудности имеют принципиальный характер и вызваны тем, что, решая такую задачу, мы должны иметь информацию о физических условиях в области, внешней по отношению к внутренней незамкнутой области, в которой решается задача естественной конвекции. Взаимодействие течения во внутренней области с внешней областью через открытые границы, в принципе, может быть достаточно сложным. Одна из простых схем такого взаимодействия для случая двух открытых проемов в рассматриваемой внутренней области заключается в том, что через расположенный в нижней части области проем поступает из внешней области холодный воздух, который нагревается от горячих стенок во внутренней области и уходит во внешнюю область через верхний проем. При этом само движение воздуха происходит только за счет естественной конвекции. Именно так обстоит дело в конвективном канале рассматриваемой задачи.

Трудности в постановке граничных условий проявляются как при использовании переменных функция тока и вихрь скорости, так и в естественных переменных, использующих компоненты скорости и давление. В первом случае необходимо в процессе численного решения определять значение функции тока на одной из твердых стенок, которое и определяет расход воздуха через область. Во втором случае трудность связана с определением значений давления во входном и выходном сечении области. Связанные с этим вопросы рассматриваются, например, в монографии [4] и работе [9]. При решении рассматриваемых задач обычно предполагают, что воздух во внешней области покоится, а распределение давления в ней определяется гидростатикой. Тогда значения давлений во входном и выходном сечении можно считать равным соответствующим величинам гидростатического давления во внешней области. Так как в уравнения Буссинеска входит величина действующего давления, определяемого разностью действительного давления и гидростатического давления, то во входном и выходном сечении в качестве граничных условий можно задавать условие Г=0.

Фактически такое же предположение о физических условиях во внешней области использовалось в [10, 11] при решении задачи о конвекции в области, имеющей подводящие и отводящие каналы. Однако, поскольку задача решалась в переменных (¥, О), то использовались специальные итерационные процедуры для определения расхода воздуха через область. В данной работе расход воздуха через область за счет естественной конвекции определяется из условия равенства располагаемого температурного напора сумме потерь, затрачиваемых на движение воздуха через область. Температура воздуха во входном сечении считается заданной, а в выходном подлежит определению при решении задачи.

Используемая математическая модель

Расчетная схема применяемой математической модели приведена на рис. 2.

Модель является моделью с распределенными параметрами и сводится к решению систем уравнений в частных производных. В области решается система уравнений Буссинеска, описывающая распределение скоростей и температур воздуха в конвективном канале, а в области решается уравнение теплопроводности. На поверхностях раздела задаются условия сопряжения температурных полей, состоящие в равенстве температур и плотностей теплового потока, вычисленных со стороны тела и воздушного потока.

1/2010

ВЕСТНИК _МГСУ

Г.*

л

-С з.

I п|х"|

1=1:1 у|

Г

У

■и а. I

¿1! I':

Рис. 2. Расчетная схема математической модели с непрерывно распределенными параметрами.

Наружное ограждение (область ) заменяется термически тонкой перегородкой Г2, а фактическое сопротивление теплопередаче наружного ограждения включается в коэффициент теплообмена с окружающей средой:

Простые априорные оценки и результаты проведенных расчетов показывают, что доля тепла, отдаваемая внешней среде через наружное ограждение по высоте конвективного канала, составляет небольшую часть от общего количества тепла, выделяемого нагреваемой панелью. Поэтому модель 2 является достаточно хорошим приближением к реальной ситуации. В результате расчетов

определяются гидродинамические и температурные поля; локальные и интегральные характеристики теплообмена как отдельно за счет конвекции и теплового излучения границ, так и суммарные; количество тепла, возвращаемое в помещение через конвективный канал. Во всех случаях температура поверхности панели 1Р считается заданной и является одним из определяющих параметров задачи, влияние которой на решение задачи необходимо исследовать.

При сделанных предположениях математическую модель 2 можно записать в виде системы уравнений [12]:

д(и П) д(У О)

дх ду

5(ие) д(Ув)

= АП

г 59 иг—

дх

1

дх

су

АЧ + П = 0

= — де

Pr

С2 8 ( йй^

2 - Мн 92 - М2 J - Мдг2 = 0

су

2

N

-Е!1 Фм7- =

}=1

(] = 1,2,N )

рГ Ь N -у,

¿-I '

т ;тм ]

]

/ ( 9т )

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Здесь все величины в уравнениях безразмерные. В качестве масштабов длины,

V

скорости, температуры и теплового потока приняты величины Ь,

Ь

и -1

Н !

Х(1В -1н)

Ь

и введены следующие обозначения: и, V, О., 0- составляющие вектора

скорости на оси х и у, завихренность вектора скорости, функция тока и температура, определяемые соотношениями (6):

и = , V = , П = ^_£и, е = (6)

ду дх дх ду гв - гн

(гв - гн) V

где Ог =-^-- - число Грасгофа, Рг = — - число Прандтля, а Р, V, к, Х - ко-

V2 к

эффициенты теплового объемного расширения, кинематической вязкости, температуропроводности и теплопроводности воздуха, § - ускорение свободного падения.

Система уравнений (1)-(3) описывает естественную конвекцию воздуха в воздушной прослойке. Уравнение (4) определяет распределение безразмерной температуры 92 (у) вдоль граничной перегородки "2".

Система уравнений (5) определяет локальные плотности теплового излучения всех поверхностей, где дгт — плотность результирующего теплового излучения т-ого

участка поверхности (т=1,2,...М), где N - общее количество изотермических участков, на которые разбиваются неизотермические поверхности "1"-"4" в алгебраическом приближении учета излучения между ними.

Вывод системы уравнений (1) - (5) для случая замкнутой воздушной прослойки приведен в [14]. Там же подробно описываются: физический смысл всех членов, все параметры и обозначения, используемые в системе уравнений; взаимосвязь системы уравнений (1) - (5). Получаемая сопряженная задача решается численно. Граничные условия и метод решения более подробно приведен в [14]. Здесь будут разобраны только те особенности численного решения, которые связаны с наличием расхода воздуха через область за счет естественной конвекции.

Определение расхода воздуха через конвективный канал

Воздух входит в канал через нижнюю открытую границу Г5 и уходит из канала через верхнюю границу Г6 . При этом температура воздуха на входе равна температуре помещения г = гв , а температура уходящего воздуха 1УХ должна быть определена при решении задачи вместе с расходом воздуха, определяемым естественной конвекцией.

Вдоль твердых границ функция тока является постоянной: ¥ = 0 вдоль поверхностей "2", "3", и "4" и ¥ = ОР вдоль поверхности панели "1". Способ определения ОР будет указан ниже.

Величина ОР определяет расход через конвективный канал. Для естественной конвекции величина ОР должна быть определена в процессе решения задачи. В данной задаче для определения ОР были использованы два различных метода, которые

используют ее специфические особенности.

Первый метод, с помощью которого проводились все основные расчеты, основан на соотношении (7),

1р (Рл-Рс )ш (I Ст +с8г) (7)

физический смысл которого заключается в том, что при стационарной естественной конвекции располагаемый напор (гравитационное давление), возникающий из-за разности плотности воздуха в конвективном канале и во внешней среде (помещении) ра-

1/2010 ВЕСТНИК _У20™_МГСУ

вен гидравлическим потерям на трение и в местных гидравлических сопротивлениях. К последним относятся: потери на поворот потока в канале (после входа воздуха в канал и перед выходом из него) и потери потока перед входом в канал (сужение) и после выхода из канала (расширение). Потери на трение и на повороты потока учитываются в решении уравнений Буссинеска (1), (3). При этом коэффициенты потерь на входе и выходе канала являются внешним параметром задачи, который должен быть задан и который зависит от того, как организован поток до входа в канал и после выхода из него. В (7) введены следующие обозначения: 1р - высота нагреваемой панели, рВ и рг - плотность воздуха в помещении и осредненная плотность воздуха в канале, УГ -средняя скорость естественной конвекции в канале, Г* - суммарный коэффициент вязкого трения воздуха на стенках, ^ Гт — сумма коэффициентов местных гидравлических сопротивлений. С помощью несложных преобразований можно показать, что

Г = = (8)

7 0.5ргКг2 Ор

где - локальное безразмерное значение вихря на стенке. Используя это выражение для локального значения коэффициента трения Г7, можно получить суммарный

коэффициент трения на стенках, входящий в формулу (7):

2

Г/ =72 (9)

ОР г

Г - это совокупность границ области решения задачи, являющихся твердыми стенками. Величины Г* и рг определяются решениями системы (1)-(3).

После несложных преобразований выражение (7) может быть записано в следующем безразмерном виде (10):

р (Ор ) = ОрОг-соу Нр (ее -1) = 0 (10)

где НР = —, 9е - среднемассовая температура в конвективном канале, определяемая Ь

осреднением по высоте канала среднемассовых температур в каждом сечении канала, а Г (Ор ) = Х Гт + Г* .

Величина Ор определяется из уравнения (10) каким-либо итерационным методом и ее определение включается в общий итерационный процесс нахождения решения общей системы уравнений (1)-(3). После сходимости этого процесса находится как величина расхода при естественной конвекции Ор, так и соответствующее ему решение задачи для системы уравнений (1)-(3). Второй метод определения Ор заключается в использовании итерационной процедуры, предложенной в [11].

При решении задачи в основном использовался первый подход. Отдельные расчеты проводились с использованием второго подхода. Сравнение результатов, полученных обоими методами, показало, что отличие величины Ор составляло не более 5 - 10%.

Подробное изложение полученных физических результатов приведено в [13], [14]. Основной вывод заключается в следующем: в зависимости от гидравлических потерь

на входе в конвективный канал и выходе из него дополнительное количество тепла, поступающее в помещение из конвективного канала составляет от 37% до 39% от случая односторонней теплоотдачи панели. Экспериментальные данные определения этой величины дают величину порядка 40%.

Литература

1. Теория тепломассообмена (под ред. А.И.Леонтьева) //М.- 1979

2. Кутателадзе С.С. /Основы теории теплообмена //М.: Наука.- 1979

3. Мартыненко О.Г., Соковишин Ю.А. / Свободноконвективный тепло и массообмен // Минск: ИТМО им.А.В.Лыкова. Часть 1, 1982. Часть 2, 1983. Части 3 и 4,1987.

4. Гебхарт Б., Джалурия И., Махаджан Р., Саммакия Б. / Свободноконвективные течения, тепло- и массообмен. В 2-х книгах:Перевод с англ. //М.: Мир.-1990. -678с.

5. Богословский В.Н. / Строительная теплофизика. // М.: Высшая школа.-1970

6. Андерсон Д., Таннехил Дж., Плетчер Р. / Вычислительная гидромеханика и теплообмен. т.1 ит.2. //М.: Мир.- 1990

7. Спэрроу Э.М., Сесс Р.Д. / Теплообмен излучением. Пер. с англ.-Л.: // Энергия.-1971.-

294с.

8. Варапаев В.Н. / Конвекция и теплообмен в вертикальном слое с учетом излучения неизотермических стенок // Известия АН СССР, МЖГ.- 1978.- № 1.

9. Квинтер, Мюллер. / Ламинарная свободная и вынужденная конвекция между конечными вертикальными параллельными пластинами // Теплопередача-1973.-Ш.-с.56.

10. Варапаев В.Н., Перекальский В.М. / Некоторые задачи конвекции в прямоугольных областях. В сб."Современные проблемы тепловой конвекции" //Тезисы докладов II Всесоюзной конференции. -Пермь.-1975.

11. Абрамов H.H., Варапаев В.Н., Перекальский В.М. / Конвекция вязкого несжимаемого газа в прямоугольных областях, имеющих подводящие и отводящие каналы //Известия АН СССР,МЖГ.-1979.-Ы5.

12. Варапаев В.Н. / Комбинированный теплообмен при естественной конвекции в незамкнутых воздушных прослойках. Труды 1-ой Российской национальной конференции по теплообмену // М., Издательство МЭИ.- 1994, том 2, стр. 6

13. Варапаев В.Н., Королев И.В., Ивянский А.З., Ерпилов Г.П. / Математическое моделирование комбинированного теплообмена в конвективных каналах систем панельного отопления. В сб. "Новые исследования и разработки в области инженерного оборудования зданий и микрорайонов" // Научные труды ЦНИИЭП инженерного оборудования. - 1991.-С.20-33

14. Варапаев В.Н., Китайцева Е.Х. / Математическое моделирование задач внутренней аэродинамики и теплообмена зданий //М. Издательство СГА.- 2008.- 337 стр.

Ключевые слова: моделирование, теплообмен, излучение, воздух, температура, конвекция, теплопроводность, охлаждение.

Key words: modeling, heat exchange, radiation, air, temperature, convection, thermal conductivity, cooling.

Статья представлена Редакционным советом «Вестника МГСУ»

E-mail автора: siemens @yauza.ru;