CC BY
82
О.В. Исламова
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ ПОДВЕШЕННОЙ ТЯЖЁЛОЙ НИТИ
Введение. В последние годы наблюдается повышение интереса к механике тяжёлых гибких нитей и струн1. Математическая постановка для некоторых таких задач рассмотрена в известной монографии [1], собственно вопросы механики - в [2].
В качестве источников колебаний гибких тяжёлых нитей рассматриваются кинематические возмущения концов; распределённые нагрузки, возникающие от взаимодействия с окружающей средой. При этом как кинематические, так и динамические возмущения в проведённых исследованиях приняты, как правило, детерминистическими и скалярными. Кроме того, решение задач зачастую связано с
,
различных родов и порядков. Можно показать, что эти сложности могут быть преодолены универсальными численными методами, более того для сложных задач , - , .
Стохастические краевые задачи и колебания, вызванные векторными возму-, . нити подробно изучена в работе [3].
В данной работе рассматриваются установившиеся режимы колебаний нити при гармонических и случайных возмущениях верхнего конца.
На рис.1 изображена тяжёлая однородная струна длиной I, закреплённая , -ется функцией ДО и нагруженная вдоль оси равномерно распределённым собственным весом р. Рассмотрим элементарный участок длиной йх (рис.2). Функцию перемещений струны в поперечном направлении обозначим и(х, 1) и примем её значения достаточно малыми, что позволит считать углы наклона касательных к изогнутой оси равными производной и, вообще, приведёт к линейной задаче.
.т
I \
+ \
I '
I
I
і
!
{
О
Рис.1. Расчётная схема
Используя принцип Даламбера, выпишем уравнение движения элемента струны в проекциях на ось и:
^ и = 0, - Ыи + (Ы + йЫ)(и + и" йх) - шийх -гишйх = 0, (1)
где Ы(х) - продольная сила в сечении струны:
N (х) = рх, ш = рА; (2)
1 , собственный вес.
Рис. 2. Элемент струны
т - погонная масса; р - плотность материала; А - площадь поперечного сечения струны; р = mg ; g - ускорение свободного падения; £ - коэффициент удельного линейного вязкого трения.
Точки над символами и штрихи в верхних индексах означают дифференцирование по времени и пространственной координате соответственно.
Подставив (2) в (1) и проведя несложные преобразования, получим основное уравнение динамики струны:
и + ги - gu' - gxu' = 0, t >-х , (3)
(х,^е Q = [(х,0: хе Ь = (0,/), tе Л1]
2
и граничные условия
и(0, Г) + еи(0, Г) - gu '(0, ^ = 0, и(1, t) = / (t), t >-<х . (4)
Задача о свободных колебаниях тяжёлой струны, при /(0 = 0 , подробно рассмотрена в работе [3]. Получены спектры собственных частот и форм методами конечных разностей и покоординатного спуска.
Вынужденные гармонические колебания. Рассмотрим вынужденные установившиеся колебания при гармонических возмущениях. С этой целью возмущение верхнего конца примем в виде:
/^) = е]Ш , О - частота.
Решение задачи (3), (4) отыскивается с помощью метода разделения переменных как произведение:
и(х, 0 = Н(х)е]Ш, (5)
где Н(х) - передаточная функция. Подстановка (5) в (3), (4) даёт краевую задачу:
хН + Н-УН = 0, У=[О'О)2 + 2е(;о)]/g, (6)
Н '(0) -уН (0) = 0, Н (I) = 1. (7)
Далее воспользуемся методом конечных разностей. С этой целью вместо подобласти Ь+Г, (Г = {0, 1} - граничные точки) введём дискретную область Ьк в виде узлов равномерной сетки с шагом к:
Ьк = [х1 : х1 = (/ - 1)к, / = 1, 2, ..., п], к = I /(п -1).
Здесь п - количество узлов сетки. Производные в (6), (7) заменим конечноразностными производными и придём к неоднородной системе линейных алгебраических уравнений
С(]0).У = й , (8)
где йТ = {0, 0,...,0, 1}, ут = (уь у2,..., уп} - вектор, компонентами которого являются значения передаточной сеточной функции, С(]0,) - квадратная матрица порядка п:
( о - 4 1 \
0-2 — ^2 Ь2
аъ — С3 Ь3
с ОО) = К ап—2 — Сп—2 Ьп—2 ап—1 — Сп—1 Ьп—1 1
2 Для установившихся колебаний, которые ниже изучаются, начальные условия не требуются.
2хі
Сі — —т + 1, ‘ И2
, х1 1
Ъ — —— +---------------,
і И2 2И
о — 2Иу + 3 .
В развёрнутой форме система уравнений (8) имеет вид:
У\ =а 2У2 +Р 2, а,У,-1 - с1У1 + ь,У,+1 = ^ > = 2, 3-- п - 1 Уп = ^ (9)
где
а.
— (4й2 — с2 )/(ой2 — а2), в 2 — 0.
Систему уравнений (9) лучше всего решать методом прогонки [4]. Прогоноч-ные коэффициенты находятся по формулам:
а+ —-
Ъ,
ві+і —
аіРі + di
і — 2, 3,...,п — 1.
Затем вычисляются компоненты вектора у по рекуррентной формуле:
Уі —а і+1Уі+1 +Рі-
і — п — 1, п — 2,... ,1.
Передаточная функция получена для гармонического возмущения с единич-. . струны определяется формулой:
Д.(х,) = а|у,|, , = 1,2^.., п.
Пример 1. Рассмотрим стальную струну диаметром d с параметрами
I = 1 м, е = 0,1 с"1, а = 10 мм, d = 3 мм, р = 7800 кг/м2, п = 101.
[3] :
ю = {ю1, ю2,ю3} = {3,781; 8,719; 13,723}с-1.
Изучим зависимость амплитуды колебаний А(х) от частоты возмущений. С
, .3. -
ветствуют следующим частотам:
П = 0(прямая 1) с-1; 3,1^вая 2) с-1; 3,4(3) с-1; 7,5(4) с-1; 12,7 (5) с-1.
. 1 ( .3) -
щение струны как твёрдого тела, что по существу соответствует статической задаче. При увеличении частоты возмущений амплитуды колебаний возрастают, так как колебания постепенно приближаются к резонансным (кривые 2, 3). Форма колебаний при этом совпадает с первой собственной. Совпадение частоты О. с первой и последующими собственными частотами приводит к резонансным колебаниям с
( ).
Превышение частотой возмущений первой собственной частоты юь приводит к постепенному переходу формы колебаний с первой на ( 4).
частоты в форме колебаний появляется много-волновость (кривая 5), что свидетельствует о колебаниях по высшим формам.
Вынужденные случайные колебания. В задаче о случайных колебаниях возмущения верхнего конца /ф являются центрированным стационарным случайным процессом. По заданной спектральной плотности Б/ю) требуется найти спектральную плотность и дисперсию выходного стационарного случайного поля и(х, ().
Для определения спектральной плотности воспользуемся передаточной функцией, ранее
Сі — аіаі
Сі — аіаі
найденной для гармонических колебаний в виде сеточной функции y/x) Тогда искомая спектральная плотность случайного процесса определяется следующим образом:
Su (xi , ю) = yt (xi) У* (xi)S f (ю) • (10)
Здесь звёздочка в верхнем индексе означает переход к комплексно-
Для определения дисперсии применяется известная формула:
Du (x) = 2]S„ (x, a)da . (11)
0
Подынтегральная функция Su (xi, ю) чаще всего является такой, что интеграл в (11) оказывается нетабличным и вычислить его аналитическими методами затруднительно. Удобнее всего применить численные методы. Но при этом есть сложность выбора предела и шага интегрирования. Они определяются с помощью численных экспериментов. При этом следует иметь в виду, что функция Su (xt, ю) имеет острые всплески на собственных частотах колебаний и характерных часто.
Рассмотрим эти вопросы подробнее. Сначала обратимся к определению верхнего предела интегрирования. Известно, что
lim Su (xt, ю) = 0, x е Lh. (12)
Введём для точек струны вдоль оси x-ов вектор
X = (xj, x2,..., xn}, xt = (i — 1)Ax, i = 1,2,3,..., n, Ax = l /(n -1),
где Ax - шаг разбивки длины струны на малые отрезки. Каждой компоненте век-
X (10).
Для функции Su (xi, ю) введём l - норму. С учётом того, что спектральная плотность положительная величина, её можно записать в виде:
n
||Su (X, ю)|| = XSu (xi, ю), юе [0, <*>). (13)
i=1
При постепенном увеличении ю в силу (12) норма (13) будет уменьшаться. Тогда можно с грубым шагом, увеличивая го, отыскать такое её наименьшее зна-
,
||Su (X, Q)|| <ц , (14)
где ц - априорно задаваемое малое положительное число. Таким образом, устанавливается область численного интегрирования как сегмент [0, П].
При определении верхнего предела интегрирования можно воспользоваться следующим приёмом, может быть, не таким математически безупречным, но простым и дающим достаточную точность для практических расчётов. Он основан на возможности быстрой визуализации результатов счёта на экране компьютера кривой зависимости нормы ||Su (X, Q)|| от частоты возмущений го. По такому графику
нетрудно увидеть область для практически значимых вычислений по интегрированию, т. е. определить верхний предел, удовлетворяющий условию (14).
Для выбора шага интегрирования назначим некоторое целое число Mi и шаг интегрирования вычислим как
Аю=П / M1. (15)
На оси го узловые точки будут иметь координаты
юк = (к — 1/2)Аю, к = 1,2,..., n.
Приближенное значение дисперсии вычисляется методом прямоугольников по формуле, вытекающей из (11):
м1
Би(х,,м,) = 2Дю£.V7(х,.).V*(х,.)^(ю,), г = 1,2,..., п . (16)
к=1
В силу (12) слагаемые суммы (16) на бесконечности обращаются в нуль.
Введём норму, аналогичную (13):
п
ри (Xм¿1 = XА, (х,,м.). (17)
,=1
Далее увеличиваем значение Мг, что соответствует уменьшению шага интегрирования, и повторяем счёт по формулам (15)-(17). Такой итерационный процесс вычислений продолжается до тех пор, пока не выполнится условие сходимости по :
¡Ви (X, мг )|| -1\Ви (X, мг_х )|| | /|Ви (X, мг )|| <5, (18)
где 5 - априорно задаваемое малое положительное число (точность вычислений); г - номер итерации. Результаты последней итерации, удовлетворяющие (18), считаются окончательными значениями дисперсии.
Пример 2. Для выполнения вычи слений возьмём струну, которая рассмотрена в примере 1.
Пусть возмущение верхнего конца будет процессом со скрытой периодичностью. Тогда его спектральная плотность имеет вид:
о ^ ^ 2а02 о2
^(Ю) = п[(ю2 - 02)2 +4а2ю2],
02 = а2 +р2,
где а и в - параметры широкополосное™ и характерной частоты оf - среднеквадратические отклонения процесса ВД. Такая модель позволяет при предельных переходах сделать случайные возмущения сколь угодно близкими к гармоническим. В этом случае детерминистическую задачу можно рассматривать как частный случай стохастической задачи. Стохастическая задача в этом случае становится тестовой, т.е. решения стохастической и де-( ).
Выберем характеристики входного случайного процесса по указанным соображениям. Среднеквадратические отклонения возмущений возьмём равными действительным амплитудам гармонических возмущений: = 10 мм.
Параметр широкополосное™ возьмём небольшим: а = 0,05 с-1. Характерные частоты примем совпадающими с частотами гармонических возмущений р= 0(прямая 1) с-1; 3,1(кривая 2) с-1; 3,4(3) с-1; 7,5(4) с-1; 12,7 (5) с-1.
.4, -
лений. Из-за малого значения параметра широкополосное™ случайные колебания близки к гармоническим колебаниям. Видно, что кривые близки к соответствую-( . .3).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Кошляков Н.С.,Гпинер Э.Б.,Смирнов ММУравнения в частных производных математической физики. - М.: Высшая школа, 1970. - 712 с.
2. Меркин Д.Р. Введение в механику гибкой нити. - М.: Наука, главная редакция физикоматематической литературы, 1980. - 240 с.
3. Культербаев Х.П.,Исламова О.В. Численное моделирование колебаний тяжёлой струны. Математическое моделирование и краевые задачи. - Нальчик: Каб.-Балк. университет, 2006. - С. 8-17.
4. Самарский А.А. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1983. - 616 с.
..
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НЕЙРОСЕТЕВЫХ ТЕХНОЛОГИЙ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ МЕТАПОИСКОВЫХ СИСТЕМ
.
(по некоторым оценкам по экспоненциальному закону) порождает проблему поиска релевантной информации по запросу пользователя. Классические методы поиска информации в сети используют поисковые машины (ПМ). Поисковая машина представляет собой сложную систему, состоящую из следующих компонентов:
♦ системы автоматического анализа (индексации) Интернет - страниц;
♦ базы данных для хранения и нформации об этих страницах;
♦ Web интерфейса, с помощью которого пользователь вводит поисковый
;
♦ системы анализа запроса и поиска соответствующего запросу (релевант-
) ;
♦ системы ранжирования найденных документов с учетом пользовательских оценок.
Как правило, большинство пользователей просматривает не более 15-20 первых найденных поисковой системой документов. Поэтому крайне важно, чтобы в это число попали документы, релевантные его запросу. Системы ранжирования различных поисковых систем могут значительно различаться и строятся таким , -, -, -ских методов добиться неоправданно высокой оценки своих Интернет ресурсов. Объединить достоинства нескольких поисковых систем позволяют метапоис-. , , поэтому перенаправляют запросы пользователей другим поисковым системам, в том , . :
♦ Обработка запроса пользователя с целью приведения его к соответствующей для поисковых систем форме. При этом возможно как приведение запроса к нормальной морфологической форме, так расширение за, -
ческих форм термов запроса.
♦ Отправка запросов в различные поисковые системы. В этом случае пользователю предлагается задать поисковую стратегию, т.е. указать, в каких
, , -.
