CC BY
90
УДК 531/534: [57+61]
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КАРИОЗНЫХ ПРОЦЕССОВ, ПРОТЕКАЮЩИХ В ЗУБНОЙ ЭМАЛИ, И ПРОЦЕССА ЛЕЧЕНИЯ НАЧАЛЬНОГО КАРИЕСА ПО ТЕХНОЛОГИИ ICON
С.В. Русаков1, Р.И. Изюмов2, А.Л. Свистков2, О.С. Гилева3, М.А. Муравьева3
1 Пермский государственный национальный исследовательский университет, Россия, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15, e-mail: rusakov@psu.ru Институт механики сплошных сред Уральского отделения Российской академии наук, Россия, 614013, Пермь, ул. Академика Королева, 1, e-mail: izumov@icmm.ru
3 Пермская государственная медицинская академия имени акад. Е.А. Вагнера, Россия, 614000, Пермь, ул. Куйбышева, 39, e-mail: rav.m@mail.ru
Аннотация. Работа посвящена исследованию современного метода лечения кариеса зубов ICON (Infiltration Concept), особенностью которого является отсутствие травмирующих операций, а препятствие разрушению тканей зуба осуществляется нанесением специального состава на поврежденную поверхность зуба, способного диффундировать внутрь эмали и отвердевать под действием света. Изучение и развитие неинвазивных методов лечения кариеса на ранних стадиях заболевания связано с неэффективностью существующих распространенных способов лечения, что подтверждается статистическими данными об огромной распространенности этого заболевания по всему миру. Существует множество работ, посвященных исследованию лечения методом инфильтрации композитного полимера в поврежденную эмаль, но, ввиду очевидных сложностей, многие работы проводятся in vitro. Однако зуб по своей структуре устроен весьма сложно, и, что очень важно, при его изучении нельзя ограничиться его обособленным состоянием. С точки зрения авторов, очевидна необходимость разработки математической модели, описывающей состояние зубной эмали как составляющей системы ротовая полость - зуб - организм в процессе возникновения и развития кариеса. Авторами была использована разработанная концептуальная схема основных протекающих в эмали процессов, которая стала основой для математического описания кариозного заболевания. Целью работы было проведение исследования процессов, происходящих в микроканалах зубной эмали, на базе полученной математической модели диффузии химически реагирующей смеси в квазистационарном приближении. Были проведены численные эксперименты, результаты которых были применены для дальнейшего исследования процесса проникновения в эмаль композита, применяемого в технологии лечения кариеса, основным механизмом которого являются капиллярные силы. Анализ результатов показал, что созданные модели правдоподобно отображают особенности исследуемых явлений.
Ключевые слова: кариес зубов, эмаль, де- и реминерализация эмали, диффузия, массообменные процессы, теория взаимопроникающих континуумов.
© Русаков С.В., Изюмов Р.И., Свистков А.Л., Гилева О.С., Муравьева М.А., 2013
Русаков Сергей Владимирович, д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой прикладной математики и информатики, Пермь
Изюмов Роман Игоревич, аспирант лаборатории микромеханики структурно-неоднородных сред, Пермь Свистков Александр Львович, д.ф.-м.н., заведующий лабораторией микромеханики структурнонеоднородных сред, Пермь
Гилева Ольга Сергеевна, д.м.н., профессор, заведующая кафедрой пропедевтики и физиотерапии стоматологических заболеваний, Пермь
Муравьева Мария Анатольевна, аспирант кафедры пропедевтики и физиотерапии стоматологических заболеваний, Пермь
Введение
Кариес - это заболевание твердых тканей зуба, которое сопровождается тяжелыми клиническими проявлениями (боль, повышенная чувствительность, эстетический дефект) и может привести к утрате структурно-функциональной целостности всей зубочелюстной системы человека [18]. Известно, что в настоящее время кариозные поражения зубов представляют серьезную проблему для трудоспособной части населения Российской Федерации: почти 90% оказались подвержены данному заболеванию [4, 6, 8, 13, 15, 18, 24, 30]. Решение проблемы снижения распространенности заболевания сводится к наиболее раннему выявлению признаков заболевания, разработке и проведению превентивных мероприятий и поиску максимально эффективного, атравматичного способа лечения, что, несомненно, является актуальной задачей современной стоматологии.
Развитие медицины, в том числе стоматологии, в настоящее время характеризуется ее тесным взаимодействием со смежными дисциплинами -биомеханикой, физикой, химией, математикой, физической химией и др. Это обусловлено необходимостью более адекватных и детальных знаний о строении и функциях органов человека как в норме, так и при заболеваниях, с тем, чтобы иметь возможность проводить наиболее целесообразными путями различного рода медицинские вмешательства [25]. Современный уровень развития основных естественных наук, который позволил проводить систематические фундаментальные исследования, имеющие целью выявить и понять основные закономерности (физикохимические, механические, кибернетические) устройства, функционирования и развития живых организмов, способствовал возникновению такого
междисциплинарного сотрудничества, как биомеханика.
Теоретические методы биомеханики основаны на достижениях современной механики, изучающей собственно механическое движение во взаимосвязи с физикохимическими и электромагнитными явлениями и с использованием соответствующего математического аппарата и вычислительной техники. Сейчас развитие получает разработка различных моделей биологических структур и процессов - электрических, электронных, математических и т.п. Примером теоретических работ, связанных с созданием математических моделей, могут послужить статьи [7, 19, 29], рассматривающие кариес зубов как медико-социальное явление, исследования [2, 5, 12, 14 ,22, 33], посвященные изучению зуба (а также зубочелюстной системы) как физического объекта. Кроме того, в настоящее время, в связи с появлением доступной высокопроизводительной вычислительной техники, активно используются программные комплексы, основанные на применении конечно-элементных моделей. Работа [9] является примером часто встречающихся исследований, посвященных определению напряженно-деформированного состояния интересующего объекта с целью дальнейшего изучения его поведения в условиях каких-либо воздействий либо с целью оптимизации некоторой предварительной обработки.
Экспериментальная биомеханика сочетает методы механики с методами, развитыми в биологии и медицине. Часто такие специфические методы в стоматологии, как метод исследования зубного ликвора, тест резистентности эмали, оценка проницаемости эмали, метод химической биопсии, СЯТ-тест, дополняются исследованиями устойчивости эмали к истиранию путем определения микрошероховатости после воздействия абразивными агентами, исследованиями эмали на микротвердость с применением методов индентирования, электронной и атомносиловой микроскопии [3, 10, 16, 20, 21, 26, 35, 44].
Применение системного подхода к решению проблемы лечения кариеса дало толчок развитию нового способа лечения, позволяющего обойтись без оперативного вмешательства, подразумевающего механические повреждения зуба. Причина
зарождения кариеса заключается в нарушении баланса между окислительными и восстановительными процессами, протекающими в системе ротовая полость - зуб -организм [23]. Основной фактор возникновения очага кариозного поражения и возможность его дальнейшего развития устраняется нанесением на поврежденный участок поверхности зуба специального фотополимера, способного проникать вглубь эмали и отвердевать под действием света. Результатом этой процедуры является возникновение между эмалью зуба и агрессивной средой полости рта надежной преграды, дающей организму возможность восстановить кислотно-щелочной баланс твердых тканей зуба.
Существует достаточно много работ, посвященных изучению инфильтрации композитных составов в эмаль, подверженную кариозному повреждению [17, 34, 37-40]. Ввиду очевидных сложностей многие исследования проводятся in vitro, т.е. зуб рассматривается в извлеченном из организма состоянии. Однако зуб по своей структуре весьма сложен, и, что очень важно, при его изучении, как и любой биологической подсистемы, нельзя ограничиться его обособленным состоянием. Лишь только в течение первых нескольких минут исследование умирающего после удаления зуба может дать незначительный объем информации о затухающих, протекающих в нем раньше, живых процессах. Воссоздание условий, имитирующих естественное окружение зуба в его нормальном состоянии, - трудновыполнимая, а потому неэффективная работа.
С точки зрения авторов, очевидна необходимость разработки математической модели, описывающей состояние зубной эмали как составляющей системы ротовая полость - зуб - организм в процессе возникновения и развития кариеса. В дальнейшем, будучи дополненной и усложненной, модель станет основой для исследования эффективности современной технологии лечения, поиска способов ее оптимизации, а также определения возможных ограничений на применение данного метода лечения.
Основные положения
Коронка зуба состоит из трех частей: внутренняя - пульпа, средняя - дентин и наружная твердая оболочка - эмаль. Ее толщина - от 0,1 мм у основания коронки до 2 мм в области жевательной зоны.
Эмаль образована эмалевыми призмами (рис. 1), которые радиально поднимаются от более глубокого слоя - дентина. Благодаря своей структуре эмаль зуба функционирует как «молекулярное сито», а эмалевая жидкость служит переносчиком молекул и ионов.
* ' г " ' '• •
• • • •
Проникновение кислоты
Рис. 2. Проникновение кислоты зубной бляшки по каналам в эмаль и разрушение данной структуры зуба
Рис. 1. Выход эмалевых призм на поверхность зуба
Кислоты, появляющиеся во рту во время приема пищи, проникают в каналы между призмами, вызывают деминерализацию и в конечном итоге могут привести к разрушению зубной ткани (рис. 2). В качестве ответной реакции организма активизируется защитная система реминерализации пульпы, которая снижает кислотность жидкости, находящейся в эмали и, таким образом, уменьшает вредное воздействие кислот, идущих с поверхности зуба внутрь [23].
Концептуальная модель зубной эмали
Эмаль зуба представлена как сплошная пластина толщиной Ь, имеющая двухслойную структуру, которая равномерно по площади пронизана каналами. С одной стороны эмаль взаимодействует с внешней средой полости рта, а внутренняя часть зуба (дентин и пульпа) представлена абстрактной областью, в которой может активизироваться защитная система реминерализации (рис. 3).
Каналам заданы среднестатистические размеры [4, 6, 8, 13, 15, 18, 24, 30] и перпендикулярное к поверхности эмали направление. Принимается допущение об отсутствии сообщения каналов друг с другом, что позволяет рассматривать процессы в одном обособленном от остальных канале.
Модель состоит из трех компонентов: канал, заполненный нейтральной
жидкостью, и диффундирующие внутрь него кислота и жидкость защитной системы реминерализации (см. ниже). Канал является осесимметричным и описывается своим радиусом в каждой точке х по всей своей длине [0; Ь] для любого момента времени ^ > 0 функцией Я = Я (^ х). Наличие проникших в канал жидкостей определяется значением функции их объёмных долей ф = ф (^ х) также в каждой точке канала х и в любой момент времени Функция объемной доли кислоты обозначена как ф1, а объемной доли жидкости защитной системы реминерализации как ф2.
Взаимодействие компонентов модели происходит без производства продуктов взаимодействия. Кислота и жидкость защитной системы реминерализации вступают в реакцию, понижая значение своих объемных долей. Стенки канала (только его боковая поверхность) растворяются под действием кислоты, увеличивая его радиус и, опять же, понижая значение объемной доли кислоты. Изначально канал имеет форму цилиндра. Проникновение жидкостей в канал происходит с его открытых торцов и описывается граничными условиями.
Внешняя среда
Г .
\ /
Внутренняя среда
Рис. 3. Схематичное представление структуры эмали: а - слой эмали с повышенной резистентностью к кислоте; б - с пониженной; в - каналы, в которых находится межпризменное вещество и эмалевая жидкость
в
а
Схематичное представление этапов развития кариеса
Эмаль (поперечный разрез)
Стадии процесса
Здоровое состояние
(1) - слой эмали с повышенной резистентностью к кислоте (за счет контакта со слюной и повышенного содержания фторапатитов);
(2) - слой эмали с пониженной резистентностью к кислоте;
(3) - каналы, в которых находится межпризменное вещество и эмалевая жидкость
Состояние начального кариеса
зубная бляшка (4) закрывает поверхность от слюны и выделяет кислоту, которая попадает в каналы (3);
кислота начинает разъедать стенки каналов (3);
активизируется защитная система (5);
(3) - противостояние (4) и (5)
Возможное развитие
зубная бляшка (4) разрастается;
(3) - поток кислоты увеличивается;
защитная система реминерализации справляется со своей функцией;
(5)
не
происходит увеличение радиуса каналов: в слое (1) медленное, в (2) - быстрое
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ДЕМИНЕРАЛИЗАЦИИ ЭМАЛИ ЗУБОВ
Для математической постановки модели выделим объем канала с малой длиной Ах и площадью поперечного сечения S = пЯ2.
Учитывая, что длина канала как минимум на два порядка больше его радиуса, можно ограничиться одномерной постановкой. Принимается гипотеза о том, что процессы, связанные с воздействием кислоты на стенку канала, проходят в пренебрежимо тонком слое АН (рис. 4).
Из работ [11, 28] следует, что изменение концентрации кислоты (Р1) в выделенном элементарном объеме канала (см. рис. 4), в котором присутствует ее объемный сток (Лг^рфг), вызванный воздействием жидкости защитной системы реминерализации (р2), описывается балансовым соотношением
а
ах
дх
(1)
где р! и р2 - концентрации кислоты и жидкости защитной системы реминерализации соответственно; р,1 - химический потенциал кислоты; Вг - коэффициент диффузии кислоты; /12 - параметр взаимодействия кислоты и жидкости защитной системы реминерализации; V = £Ах = пг2 Ах.
Рис. 4. Контрольный объем в канале
Предполагая, что в малом объеме изменение концентрации Зр/З? пространственно однородно, запишем
'дрі. ау 5Ах.
дї
дї
(2)
Далее рассмотрим правую часть уравнения (1) как разницу потоков в точках х и х+Ах и сток массы на боковой поверхности канала £бок в слое АН:
ТУ :
Тх I дх )
[ 5 Г А ^ ] 5 Г д дц1 ]
_ 1 1 дх ) х + Ах ^ ох) х
к5 5бокр1
= Ах -дХ ( щдЬ. )—к^р,
(3)
где к5 - параметр расхода кислоты при растворении стенок канала; £бок = 2пгАх. Таким образом, подставляя выражения (2) и (3) в (1), получим
др1 г2 _дГ г 2 | 2кгр 2р
дґ дх\
1 дх
- 2к8гр1 - J,2r р^.
(4)
Действуя аналогично, получим уравнение для изменения концентрации жидкости защитной системы реминерализации
др
— г =
дх
дї
дц 2 I т 2
2 дх ) — ^21Г р1р2 •
(5)
Радиус канала изменяется только под действием поступающей кислоты. Будем предполагать, что скорость изменения радиуса канала пропорциональна концентрации кислоты и площади его внутренней поверхности, тогда получим уравнение
дг
— _ 2пгкя (х)р1: дї
(6)
где кЯ(х) - параметр, отражающий скорость «разъедания» стенок канала в зависимости от их химических свойств. Для замыкания системы уравнений (4)-(6) запишем химический потенциал в виде (подробнее см. [11, 28])
|Д = Сде(1п (ф) +1 -Ф + х(1 -ф)2), (7)
где СЯ - газовая постоянная; 9 - температура; х - параметр взаимодействия Флори -Хигги]
Тогда
Хиггинса (х < 0,5); ф - объемная доля, ф = р /р0; р0 - плотность чистой компоненты.
ф = фаф = вр(ф)5ф , р(ф) = (1 -ф)(1-2ХФ). (8)
дх дф дх дх ф
Проводя обезразмеривание, выбираем в качестве характерного радиуса
величину г0 (начальный радиус канала); характерного значения плотности
р7 - плотность чистой 7-й компоненты р0; характерного значения переменной
х - величину Ь (длина канала); характерного времени - величину Аї = (тс^р0) , где
К - характерное значение функции кЯ(х). Тогда система уравнений (4)-(6) примет вид
Є'Л2 дф1 = їх^К’Р(Фі ) дк!) - УЙФі - “12Л2Ф1Ф! ' <9)
Є’-К1 ЇзТ = їх (К1 ^(Ф’) ї* У а 21й 2 Ф1Ф2 • (10)
дЯ = Кй (х)йф,, х є (0,1), ї є (0, Т), (11)
дї
где Я = Я(ї, х), ф1 = ф1(ї, х), ф2 = ф2(ї, х) - функции зависимости радиуса канала, объемной доли кислоты и жидкости защитной системы реминерализации от времени ї и глубины канала х.
Р = Ь2р0 а = 312 Ь2р1°р°2 р = Ь2р2 а = 321 Ь2р0р0 у= 2пК° ь2 (12)
1 В1СЯ0Аї ’ 12 В1СЯАї ’ 2 В2СЯ№ ’ 21 Б2СКАї ’ ДСЯ0 ' ( )
х є [0, хД х є (x°,l],
5<1, (13)
где Д - коэффициент диффузии; СЯ - газовая постоянная; 9 - температура; J12 (/21) - параметры расхода кислоты (жидкости защитной системы реминерализации) при взаимодействии друг с другом; КЯ(х) - параметр скорости разъедания стенок канала; Я, ф1, ф2 , I, х - безразмерные величины.
Здесь и в дальнейшем обозначения для безразмерных переменных I и х остаются прежними. Функция (13) учитывает двухслойную структуру эмали, внешняя часть которой представляет собой тонкий слой с повышенной резистентностью к кислоте.
Граничные условия, отражающие процесс поступления кислоты (на левой границе, см. рис. 4) и жидкости защитной системы реминерализации (на правой границе) в канал имеют вид
Ф10,0) = Ф*(t), дфдУ,1) = 0 дфдХ,0) = 0 Ф20,1) = ф2(0. (14)
дх дх
Начальные условия соответствуют каналу, не подвергнутому воздействию
кислоты, с минимальным присутствием кислоты и жидкости защитной системы
реминерализации, обеспечивающим невырожденность функции ,Р(ф) (8):
ф1(0, х) = 8, ф2(0, х) = 8, (е ~ 0), Я(0, х) = 1. (15)
Будем исследовать процесс при поступлении в канал жидкостей с постоянной концентрацией: ф**^) = ф(0) = const, ф2(t) = ф20) = const, что может соответствовать
наличию кариозной бляшки на поверхности зуба.
Очевидно, что характерное время диффузии и установления химического равновесия системы кислота - жидкость защитной системы реминерализации на несколько порядков меньше характерного времени деминерализации и, следовательно, Є1, є2 << 1. В этом случае задачу можно решать в квазистационарной постановке:
d (R 2 (t, x) F (ф1) d ф1^x)']- YR(t, x)Фl ( x) - al2 R 2 (t, x)Фl ( xM( x) = 0, (l б)
dx ^ dx J
■d- {R2 (t, x)F(ф2 ) d^x) '] - a21R2 (t, x)Фl (x)Ф2(x) = 0 , (l 7)
dx ^ dx J
R(t, x) = exp ( f (x)фl( x)t),
Ф1(0) = Ф*, Ф '2 (0) = 0, Ф 'l(l) = 0, Ф2(l) = Ф2 *
(18)
(19)
Краевая задача (16)-(19) решалась численно методом установления с помощью консервативной неявной разностной схемы [27].
Поскольку реальные значения констант-параметров, входящих в построенную модель, неизвестны, обсуждаемые ниже результаты расчетов носят скорее качественный характер и выявляют особенности моделируемого процесса. На рис. 5 представлено распределение радиуса каналов в моменты времени ^ = 1, 2, 3 для следующего набора параметров:
а12 =а21 = 1000, у = 1, х = 0,3, х0 = 0,1, 5 = 0,2, ф* =ф2 = 0,25. (20)
В этом случае поверхностный слой в 5 раз более устойчив к воздействию кислоты, чем остальная часть эмали. Из рис. 6 видно, как канал приобретает бутылкообразную форму и возникает возможность появления крупных пор за счет слияния каналов в самых широких местах. Причем если считать начальную просветную площадь пористой эмали за 25%, то при I = 1, 2, 3 ее максимум в точке х = 0,1 увеличивается до 34; 45 и 59% соответственно.
0,6
0,5
0,4
R-1 0,3
0,2
—._/=! t=2 t= 3
\
N. ч ^
J
0
0,2
0,4
0,6
0,8
Рис. 5. Распределение радиуса канала вдоль его длины в моменты времени ^ = 1, 2, 3
Таким образом, деминерализация зуба происходит неравномерно вдоль канала эмали, что связано с неравномерностью концентрации кислоты и свойств зубной ткани.
Полученные результаты хорошо согласуются с клинической картиной кариеса, когда подповерхностный, менее резистентный к кислоте слой эмали разрушается быстрее поверхностного слоя (рис. 6) с образованием малозаметного белого пятна. Более выраженная патология в виде коричневого пятна проявляется только в развитой фазе заболевания, что препятствует его ранней диагностике и лечению.
Представляет интерес анализ кислотно-щелочной среды по мере изменения формы канала. На рис. 7 представлены распределения объемных долей кислоты и жидкости защитной системы реминерализации в моменты времени I = 1 и I = 3. Откуда видно, что анализируемые распределения слабо зависят от формы канала (момента времени).
Объединение каналов с образованием крупных пор
а
б
Рис. 6. Процесс деминерализации эмалевых каналов: а - здоровое состояние эмали,
б - начальный кариес
Ф
Объемные доли:
______ кислоты ^ = 1
------ кислоты ^ = 3
------ ЗСР г = 1
------ ЗСР г = 3
Рис. 7. Распределение объемных долей кислоты и жидкости защитной системы реминерализации (ЗСР) в разные моменты времени
Таблица 1
Соотношение значений Л-1 в точках х = 1 и х = 0,1
Вариант t = i t = 2 t = 3
i 0,030/0, i63 0,065/0,345 0,105/0,544
2 0,089/0,2i0 0,i 90/0,446 0,302/0,705
3 0,i 69/0,247 0,372/0,541 0,608/0,880
Таблица 2
Значение просветной площади (%)
Вариант t = 0 t = 1 t = 2 t = 3
1 25,0 33,8 45,2 59,3
2 25,0 36,6 52,3 72,3
3 25,0 38,9 59,3 90,3
Рис. 8. Перемещение жидкости на длину I в капилляре радиуса г: 0 - краевой угол
Для выяснения влияния интенсивности реакции нейтрализации на формирование канала были просчитаны три варианта, в которых использовались параметры (20) за исключением значений ai2 и a2i:
1) ai2 = a2i = 1000;
2) ai2 = a2i = 100;
3) ai2 = a2i = i0.
Во всех трех случаях решение имело вид аналогичный рис. 5, менялось только значение радиуса в точке х = х0 = 0,i (максимум) их = i (минимум). Результаты расчетов представлены в табл. i, откуда видно, что исследуемые величины зависят от времени почти линейно.
Более наглядное представление о характере процесса дает табл. 2, в которой приводятся значения просветной площади (в процентах) при х = х0 = 0,i для анализируемых вариантов параметров в три момента времени. Откуда видно, что при t = i различие результатов для разных вариантов относительно невелико и их можно относить к ранней стадии кариеса, доступной для лечения с помощью технологии ICON. С увеличением времени это различие становится все более существенным и кариес переходит в более развитые стадии.
Моделирование технологии ICON
Технологию ICON можно условно разделить на четыре этапа:
1) удаление поверхностного слоя с помощью химического воздействия;
2) нанесение на поверхность эмали композитного материала;
3) проникновение композитного материала в каналы эмали;
4) затвердевание композитного материала под воздействием света.
I02 ISSN i8i2-5i23. Российский журнал биомеханики. 20i3. Т. i7, № 2 (60): 93-i06
Рассмотрим модель процесса проникновения композитного материала в каналы эмали. Поскольку размеры каналов от 2 до 5 мкм, основным механизмом такого проникновения являются капиллярные силы. Схематично этот процесс представлен на рис. 8.
Скорость v перемещения мениска в очень тонком вертикальном капилляре, когда влияние силы тяжести мало, определяется уравнением Пуазёйля:
r2 Ар „ cos9
v = ----- , ^Р = “2^i2------------------------------------, (21)
8n l r
где l - длина участка впитавшейся жидкости; п - ее вязкость; Ар - перепад давления на участке l; oJ2 - поверхностное межфазное натяжение [1]. В рассматриваемой задаче имеем r = r(l), где l - координата вдоль стенки канала, тогда, если краевой угол 9 не зависит от скорости v, можно рассчитать глубину проникновения впитавшейся жидкости из уравнения
^ = v(t, l) = в , где Ц = ^. (22)
at l 4n
Пусть необходимо заполнить канал длиной L = l(T), тогда из уравнения (22) следует
ldl „ , „ 1 L ldl
pr0dt и T = — f—, (23)
0 Rr J V ’
ад рго 0 ям
где Т - время заполнения канала. В простейшем случае Я(1) = 1 получаем
т}
Т0 = —. (24)
0 2вГо
С учетом криволинейности стенок капилляра (рассчитанной во второй части работы, см. рис. 5) и перехода в декартову систему координат окончательно получаем
Т = 2|4+№): Л. (25)
То 0 Я(х) у '
В табл. 3 представлены результаты расчетов, полученные для трех вариантов формы канала (в зависимости от параметров а12 и а21), где ^ - время окончания кариозного процесса. С учетом того, что начальный радиус каналов г0 = 3,5±1,5 мкм, положив в формуле (24) его среднее значение, получим Т0 = Т0,ср (1±0,43). Тогда с помощью данных табл. 3 можно рассчитать минимальное и максимальное время процесса заполнения канала для разных вариантов исходных параметров и разного времени t.
Таблица 3
Значение Г/Г0
Вариант t = 1 t = 2 t = 3
1 0,952 0,926 0,910
2 0,899 0,827 0,771
3 0,839 0,716 0,617
Выводы
На основе имеющихся в настоящее время данных о физиологии человеческих зубов была разработана физическая модель, описывающая эмаль как сплошную двуслойную среду, пронизанную каналами, и основные протекающие в ней процессы (диффузия жидкостей из внешней среды и внутренних слоев зуба; химическое взаимодействие жидкостей и их влияние на эмаль), которая стала основой для математического описания кариозного заболевания.
Используя фактор различия характерных временных масштабов для процессов химической кинетики и изменения формы канала при разрушении ткани зуба, разработанную математическую модель сформулировали в квазистационарном приближении. На базе полученной математической модели было проведено исследование процессов, происходящих в микроканалах зубной эмали, в результате которого была получена информация об эволюции формы каналов эмали в течение развития кариозного повреждения, что позволяет судить об изменении пористости эмали по глубине и для любого конкретного момента времени. Анализ результатов показал, что созданные модели правдоподобно отображают особенность исследуемого явления, которая заключается в неравномерности деминерализации эмали.
Данные об изменении структуры эмали, полученные с помощью расчетов на основе модели нелинейной диффузии химически реагирующей смеси кислота -жидкость защитной системы реминерализации в квазистационарном приближении, были учтены при дальнейшем исследовании процесса проникновения в эмаль композита, применяемого в технологии лечения кариеса, основным механизмом которого являются капиллярные силы. Изменение структуры эмали на микроуровне заключается в том, что ее микроканалы, будучи изначально цилиндрическими, приобретают бутылкообразную форму, что сказывается на значении капиллярных сил и, следовательно, на эффективности инфильтрации композита и лечения в целом. Была получена формула, позволяющая рассчитать минимальное и максимальное время процесса заполнения пор эмали в зависимости от степени поражения эмали кариесом и для различных вариантов исходных параметров.
Благодарности
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 11-01-96028-р_урал_а.
Список литературы
1. Адамсон А. Физическая химия поверхностей: пер. с англ. - М.: Мир, 1979. - 568 с.
2. Арутюнов С. Д., Трезубов В.Н., Гаврюшин С.С., Гветадзе Р.Ш., Черкезишвили Т.И. Математическое моделирование разрушенного зуба, реставрированного композиционным материалом с армирующим элементом // Институт стоматологии. - 2005. - Т. 3, № 28. - С. 86-91.
3. Беляев А.Ю., Гилева О.С., Муравьева М.А., Свистков А.Л., Скачков А.П. Исследование механических свойств здоровой и поврежденной кариесом зубной эмали с помощью микроиндентирования // Российский журнал биомеханики. - 2012. - Т. 16, № 3. - С. 57-64.
4. Боровский Е.В., Леонтьев В.К. Биология полости рта. - М.: Медицина, 1991. - 304 с.
5. Босяков С.М., Юркевич К.С. Математическое моделирование начальных перемещений корня зуба в костной ткани под действием мгновенной статической нагрузки // Российский журнал биомеханики. - 2011. - Т. 15, № 3. - С. 27-36.
6. Вавилова Т.П. Биохимия тканей и жидкостей полости рта: учеб. пособие. - М.: ГЭОТАР-Медиа, 2008. - 208 с.
7. Гамзаев Б.М., Ибрагимова Л.К. Математическое моделирование в прогнозировании развития кариозного процесса // Пародонтология. - 2007. - № 4. - С. 67-70.
8. Гемонов В.В., Лаврова Э.Н., Фалин Л.И. Развитие и строение органов ротовой полости и зубов: учеб. пособие для студ. стомат. вузов (фак.) / ГОУ ВУНМЦ МЗ РФ. - М., 2002. - 256 с.
9. Гилева О.С., Муравьева М.А., Симакина Н.И., Соколов А.К., Терпугов В.Н. Вычислительное моделирование начальной стадии кариеса зубов: геометрическое моделирование зуба // Вестник
Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. - 2012. - № 2. - С. 20-25.
10. Ерофеева Е.С., Ляпунова Е.А., Оборин В. А., Гилева О.С., Наймарк О.Б. Структурнофункциональный анализ твердых тканей зубов в оценке качества технологий отбеливания // Российский журнал биомеханики. - 2010. - Т. 14, № 2. - С. 47-55.
11. Изюмов Р.И., Свистков А.Л., Гилева О.С., Ерофеева Е.С., Муравьева М.А. Исследование и моделирование процесса возникновения и развития кариеса // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. - 2011. - Вып. 5 (9). - C. 51-54.
12. Казаков С.П., Юдин П.С., Корнева О.С., Полынова О.П. Математическое моделирование в ортопедической стоматологии // Вестник Кемеровского государственного университета. - 2005. -№ 3. - С. 49-54.
13. Кудрин И.С. Анатомия органов полости рта. - М.: Медицина, 1968. - 126 с.
14. Левченко А.В., Лесных Н.И., Струков А.Н., Крупин Е.П. Математическое моделирование биомеханической системы «штифтовая конструкция - корень зуба» для отечественных штифтов фирмы «ЛВ-Рудент» // Системный анализ и управление в биомедицинских системах. - 2011. - Т. 10, № 3. - С. 585-590.
15. Леонтьев В.К., Петрович Ю.А. Биохимические методы исследования в клинической и экспериментальной стоматологии: метод. пособие // Омск. гос. мед. ин-т им. М.И. Калинина; Моск. мед. стомат. ин-т им. Н.А. Семашко. - Омск, 1976. - 93 с.
16. Луцкая И.К. Физиология зуба [Электронный ресурс] // Современная стоматология. - 2007. - № 1. -URL: www.mednovosti.by/joumal.aspx?article=345 (дата обращения: 06.03.2013).
17. Макеева И.М., Скатова Е.А., Шакарьянц А.А., Макеева М.К. Определение эффективности лечения кариеса методом инфильтрации по результатам исследования in vitro // Стоматология. - 2010. -№ 4. - С. 39-43.
18. Максимовский Ю.М. Кариес зубов. - М.: ГЭОТАР-Медиа, 2009. - 80 с.
19. Михальченко В.Ф., Радышевская Т.Н., Гавриков К.В., Андрейчикова О.Н. Прогнозирование стоматологических заболеваний у детей на основе математических моделей // Вестник Волгоградского государственного медицинского университета. - 2004. - № 11. - С. 78-79.
20. Морозов И.А., Беляев А.Ю., Изюмов Р.И., Ерофеева Е.С., Гилева О.С. Экспериментальное исследование микроструктуры поверхности эмали человеческих зубов // Материаловедение. -2012. - Вып. 184, № 7. - С. 50-55.
21. Морозов И.А., Свистков А.Л., Гилева О.С., Ерофеева Е.С. Экспериментальное исследование влияния клинического отбеливания на микроструктуру поверхности эмали зубов // Российский журнал биомеханики. - 2010. - Т. 14, № 1. - С. 56-64.
22. Наймушин Ю.Н., Рединова Т.Л., Тимофеев А. А., Метелева Т.Ю., Ефремов С.М., Шелковников Ю.К. Моделирование напряженно-деформированного состояния зуба и пломбы с учетом их эмпирических деформационных характеристик // Вестник Ижевского государственного технического университета. - 2010. - № 2. - С. 79-83.
23. Окушко В.Р. Основы физиологии зуба. - М.: Newdent, 2008. - 344 с.
24. Персин Л.С., Елизарова В.М., Дьякова С.В. Стоматология детского возраста. - 5-е изд., перераб. и
доп. - М.: Медицина, 2003. - 639 с.
25. Регирер С. А. Биомеханика. Обзор / Ин-т механики МГУ. - М., 1990. - 71 с.
26. Ронь Г.И., Горюнова М.В. Влияние отбеливающих систем на минеральный состав твердых тканей зубов // Пермский медицинский журнал. - 2006. - Т. 23, № 4. - С. 113-118.
27. Самарский А. А. Теория разносных схем. - М.: Наука, 1977. - 656 с.
28. Свистков А.Л. Неравновесная термодинамика эластомерных материалов: дис. ... д-ра физ.-мат. наук. - Пермь, 2002. - 257 с.
29. Скрипкина Г.И., Смирнов С.И. Модель развития кариозного процесса у детей // Стоматология детского возраста и профилактика. - 2012. - Т. 11, № 3. - С. 3-9.
30. Сунцов В.Г., Гарифуллина А.Ж., Самохина В.И. Распространенность основных стоматологических заболеваний у детей города Омска // Современная стоматология. - 2005. - № 1. - С. 62-63.
31. Тверье В.М., Симановская Е.Ю., Еловикова А.Н., Няшин Ю.И., Киченко А.А. Биомеханическое описание структуры костных тканей зубочелюстной системы человека // Российский журнал биомеханики. - 2007. - Т. 11, № 1. - С. 9-24.
32. Тверье В.М., Симановская Е.Ю., Няшин Ю.И., Киченко А.А. Биомеханический анализ развития и функционирования зубочелюстной системы человека // Российский журнал биомеханики. - 2007. -Т. 11, № 4. - С. 84-104.
33. Тверье В.М., Шмурак М.И., Симановская Е.Ю., Няшин Ю.И. Биомеханическое моделирование искусственного вскармливания детей раннего возраста // Российский журнал биомеханики. - 2007. -Т. 11, № 3. - С. 54-61.
34. Ekstrand K.R., Bakhshandeh A., Martignon S. Treatment of proximal superficial caries lesions on primary molar teeth with resin infiltration and fluoride varnish versus fluoride varnish only: efficacy after 1 year // Caries Res. - 2010. - Vol. 44(1). - P. 41-46.
35. Gaines C.V. Near-surface structural examination of human tooth enamel subject to in vitro demineralization and remineralization: dissertation for the degree of Doctor of Philosophy. - 2008. - 144 p.
36. Haskan H., Boyraz T., Kilicarslan M.A. Investigation of thermal stresses in dental restoration by mathematical method // Journal of the European Ceramic Society. - 2007. - Vol. 27, № 2-3. - P. 899-902.
37. Kugel G., Arsenault P., Papas A. Treatment modalities for caries management, including a new resin infiltration system // Compend. Contin. Educ. Dent. - 2009. - Vol. 30. - P. 1-13.
38. Meyer-Lueckel H., Paris S. Progression of artificial enamel caries lesions after infiltration with experimental light curing resins // Caries Res. - 2008. - Vol. 42. - P. 117-124.
39. Mueller J., Meyer-Lueckel H., Paris S, Hopfenmueller W., Kielbassa A.M. Inhibition of lesion progression by the penetration of resins in vitro: influence of the application procedure // Oper. Dent. - 2006. -Vol. 31(3). - P. 338-345.
40. Paris S., Chatzidakis A.J., Meyer-Lueckel H. Influence of application time on caries infiltration in primary teeth // International Journal of Paediatric Dentistry. - 2009. - Vol. 19 (Suppl. 1). - P. 9.
41. Paris S., Meyer-Lueckel H. Masking of labial enamel white spot lesions by resin infiltration - a clinical report // Quintessence Int. - 2009. - Vol. 40(9). - P. 713-718.
42. Paris S., Meyer-Lueckel H., Kielbassa A.M. Resin infiltration of natural caries lesions // J. Dent. Res. -2007. - Vol. 86(7). - P. 662-666.
43. Paris S., Meyer-Lueckel H., Mueller J., Hummel M., Kielbassa A.M. Progression of sealed initial bovine enamel lesions under demineralizing conditions in vitro // Caries Res. - 2006. - Vol. 40. - P. 124-129.
44. Watari F. In situ quantitative analysis of etching process of human teeth by atomic force microscopy // Journal of Electron Microscopy. - 2005. - Vol. 54(6). - P. 299-308.
MATHEMATICAL MODELLING OF CARIOUS PROCESSES IN DENTAL ENAMEL AND INITIAL CARIES TREATMENT BY ICON TECHNOLOGY
S.V. Rusakov, R.I. Izyumov, A.L. Svistkov, O.S. Gileva, M.A. Muravyeva (Perm, Russia)
This work is devoted to the investigation of dental caries treatment by the modern noninvasive Icon (Infiltration Concept) technology. The Icon method based on the application of special composite material that can diffuse into the damaged zone, harden when exposed to light and prevent tooth decay. The significance of the study and development of noninvasive methods is related to the inefficiency of standard treatment, as evidenced by the statistical data on the high prevalence of this disease. In the literature, there have a lot of papers dealing with caries treatment by the technique of infiltration of a composite material into the damaged tissue. However, because of obvious difficulties, most of these studies have been carried out in vitro. In studying this problem, it is necessary to realize that the structure of the tooth is very complex and cannot be studied separately. Hence, to explore caries initiation and progression, one needs to have a mathematical model capable of describing the state of enamel as an integral part of the system “oral cavity - tooth - organism”. The aim of the present work was the study of processes occurring in enamel microchannels on the basis of the mathematical model of chemically reactive mixture diffusion in quasi-stationary approximation. We have carried out the numerical experiments which results have been used in further study of the process of composite material penetration into the enamel, assuming that such penetration is made possible by capillary forces. It is shown that the proposed model adequately describes the properties of the examined dental system.
Key words: dental caries, enamel structure, de- and remineralization of enamel, diffusion, mass transfer processes, theory of interacting continua.
Получено 13 июня 2013
