Математическое моделирование измельчения материалов при технологических пересыпках Текст научной статьи по специальности «Технологии материалов»

материала при отсутствии воздействия лопастей. Коэффициент а является аналогом коэффициента внутреннего трения сыпучего материала, и при наличии ширины ячеек профиль свободной поверхности может служить для экспериментального определения его величины.

Рис.3 иллюстрирует влияние на свободную поверхность наличия лопастей и их ориентации. График 1 показывает свободную поверхность при отсутствии влияния лопастей. В этом случае установившаяся свободная поверхность является стационарной. Во всех остальных случаях она пульсирует между отмеченными на графиках точками.

График 2 соответствует интенсивному воздействию лопастей в сторону разгрузочного отверстия, что приводит к обратному наклону свободной поверхности. Для графика 3 лопасти ориентированы параллельно оси потока и не сообщают материалу некоторого преимущественного движения. Однако, свободная поверхность наклонена более полого, чем при отсутствии лопастей (график 1), что свидетельствует о создании как бы дополнительной подвижности частиц в материале. Наконец, свободная поверхность на графике 4 соответствует воздействию лопастей, противоположному направ-

Кафедра прикладной математики

лению естественного пересыпания материала.

Рис.4 показывает распределение времени пребывания частиц трассера, импульсно инжектированного в первую ячейку. Расчеты выполнены для установившихся постоянных матриц переходных вероятностей, соответствующих условиям, показанным на рис.3.

Средние времена пребывания частиц в смесителе, выраженные в числах переходов, соответственно, составляют 250, 122, 193 и 292 единицы. Дисперсии же распределений времени пребывания существенно отличаются друг от друга и равны 0,10, 0,32, 0,47 и 0,50, соответственно.

Таким образом, разработанная нелинейная модель значительно расширяет возможности адекватного описания процессов непрерывного смешения. Полученные результаты могут найти непосредственное применение при моделировании и проектировании лопастных смесителей.

ЛИТЕРАТУРА

1. Марик К. и др. // Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2001. Т.44. Вып.2. С.121-123.

2. Баранцева Е.А. и др. // Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2002. Т.45. Вып.1. С.142-144.

УДК 621.926

А.А. САРИЕВ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИЗМЕЛЬЧЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ ПРИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПЕРЕСЫПКАХ

(Южно-Казахстанский государственный университет им. М. Ауезова)

Предложен новый подход к математическому моделированию измельчения материалов при технологических пересыпках, основанный на введении оператора преобразования функции распределения материала при переизмельчении.

Узлы транспортировки, загрузки и выгрузки измельченного сырья являются необходимой частью технологической схемы практически любого промышленного производства. Поэтому происходящее в этих процессах изменение гранулометрического состава материалов должно учитываться в технологических расчетах. Дополнительное измельчение компонентов сырья влияет на качество конечного продукта и увеличивает отходы производства. В то же время, эта проблема весьма сложна для детального описания, поскольку моде-

лирование процессов переизмельчения материала при технологических пересыпках сопряжено с необходимостью учета многих факторов как детерминированного, так и стохастического характера. Вследствие этого, принимаемые в инженерной практике конструктивные решения базируются в основном на предварительных оценках и инженерной интуиции, что существенно ограничивает возможности оптимизации технологических процессов и сокращения потерь производства.

Ранее в работе [1] была разработана веро-

ятностная математическая модель изменения гранулометрического состава материалов в узлах пе-ресыпок, учитывающая взаимодействие частиц продукта с конструктивными элементами узлов и с подложкой из тех же материалов. Были проведены также экспериментальные исследования изменения гранулометрических характеристик материалов при их многократных пересыпках в технологических схемах переработки.

Целью настоящей работы является дальнейшее развитие предложенного в работе [1] подхода путем использования результатов теоретического описания процесса разрушения частиц материала при их соударениях с конструктивными элементами аппаратуры в вероятностной модели изменения гранулометрического состава сырья.

Изменение гранулометрического состава исходного сырья в процессе разрушения материала при однократном нагружении можно описать с помощью оператора Ф, переводящего исходную функцию распределения материала по размерам (х) в новую функцию распределения (х) следующим образом:

рк (х ) = Ф(о (х)). (1)

Рисунок иллюстрирует изменение функции распределения частиц материала в результате переизмельчения при технологических пересыпках.

F (■ 1 V

следующее выражение для баланса энергии при измельчении:

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

10

Рис.

15

20

С о

6MgP

пр

J x2fxF'(x)dx Jx2fx ((/dF)F'(x)dx

Л

оо

J x3F'(x)dx J x3 ((/dF)F'(x)dx

= Eas,(2)

F'( ) dF

где F (xj = —; gp - удельная энергия единицы по-dx

верхности твердого тела (величина, имеющая тот же физический смысл, что и поверхностное натяжение); M - массовый расход материала, перемещающегося по узлам пересыпок; р- его плотность; fx - фактор формы частицы, рассчитываемый по формуле [3]:

fx = 0,207S/V2/3, где S - поверхность частицы, V - ее объем.

Суммарный баланс энергии при переизмельчении частиц в процессе технологических пе-ресыпок выглядит следующим образом [2]:

E0 = Ek + Q + Eac + Eel + E AS , (3)

где E0 кинетическая энергия частицы перед соударением

E0 = mWV2, E1 - потери энергии на отдачу (с учетом степени неупругости соударения и конечной скорости частицы после соударения Wi):

Ek = mWk2/2, Q - диссипация энергии при неупругом соударении:

Q = cpmAT,

Eac - доля акустической энергии в балансе; Eel -расход энергии на пластическую деформацию кристалла [4].

Существует следующая связь между использованным в работе [1] понятием вероятности разрушения монофракции P(x) и оператором преобразования функции распределения, введенным в настоящей работе

0(Fo(x)) = Fo(x) + JР^Ш^)-l) , (4)

0

где ) - плотность распределения фракции E,

после переизмельчения. Дискретный аналог этой функции также введен в работе [1].

При многократных нагружениях формулу (4) можно переписать в рекуррентном виде

Fk+1 (x ) = 0(Fk (x )) =

= Fk (x)+ j P(E)F^(E)(9(E;X )-1). (5)

При переизмельчении материалов происходит изменение активной поверхности частиц. Согласно современным представлением [2], расход энергии на образование новой поверхности раздела «твердое тело- газ» Ед3 является основной энергетической характеристикой процесса переизмельчения.

С помощью функции распределения и введенного оператора измельчения можно получить

0

X

мм

0

5

Заметим, что вероятности разрушения частицы Р(^) и функция ф(^;х) могут рассматриваться как не зависящие от кратности нагружения. Тем самым открывается возможность их экспериментального определения путем изучения переизмельчения материала при многократных нагружениях.

С другой стороны, эти функции связаны с прочностными характеристиками материала и поэтому их можно подвергнуть теоретическому исследованию.

Так, используя закон сохранения импульса при неупругом ударе, можно получить соотношения для расчета динамических напряжений сжатия в момент соударения частицы с твердой плоской поверхностью [2]:

выглядеть следующим образом:

(

сауп - с

1 + 1 +

2pEW2

Л

се

(6)

с -

? РЕ с

(7)

с -

(8)

сауп

Тогда предварительная эвристическая оценка вероятности разрушения частицы может

Р(х) ~ 1 - ехр

- к

2 Л ХСуп

? РЕ

Согласно теории разрушения Гриффитса [4], критическое напряжение разрушения можно представить в виде

где Е- модуль упругости Юнга, с- начальный размер трещины. Таким образом, предел прочности при разрушении определяется размерами трещин в разрушающемся материале, с81 - предел прочности при статическом нагружении.

Отсюда получаем оценку критического размера трещин

? рЕ 2 '

где к- эмпирический коэффициент.

Более точное выражение может быть получено с учетом структурных характеристик разрушаемого материала. Определить вид функций Р(х) и ф(^;х) можно, используя методы теории перколяции [5], что предполагается сделать в наших дальнейших исследованиях.

Таким образом, предлагаемый подход дает возможность получить замкнутое описание процесса переизмельчения материала при пересыпках с учетом реальной механики разрушения и структурных особенностей разрушаемого материала. Достоинства предлагаемого подхода заключаются в компактности модели и сравнительной простоте получения функции распределения Б(х) в результате обработки экспериментальных данных.

ЛИТЕРАТУРА

1. Сариев А.А., Блиничев В.Н., Смирнов Н.М. Математическая модель процесса разрушения частиц различных материалов при соударении их о многослойную подложку// Тез. докл. Всесоюз. науч. тех. конф.: Проблемы тонкого измельчения, классификации и дозирования.- Иваново. 1982.- С. 35.

2. Бенсон Г., Юн К. Поверхностная энергия и поверхностное натяжение кристаллических твердых тел/ В кн. «Межфазовая граница: газ- твердое тело».// Под ред Э. Флада. М.: Мир.- 1970. С. 172- 229.

3. Ходаков Г.С. Физика измельчения. М.: Наука.-1972. С. 306.

4. Екобори Т. Физика и механика разрушения и прочности твердых тел. М.: Металлургия.-1971. С. 264.

5. Федер Е. Фракталы. М.: Мир.- 1991. 262 с.

Кафедра пищевых технологий и холодильной техники