Математическое моделирование и расчет гидротехнических сооружений типа плотины-пластины с учетом сейсмической нагрузки и гидродинамического давления воды Текст научной статьи по специальности «Физика»

Математическое моделирование и расчет гидротехнических сооружений типа плотины-пластины с учетом сейсмической нагрузки

и гидродинамического давления воды

К.т.н., доцент Р.А. Абдикаримов*, Ташкентский финансовый институт;

Д.т.н., профессор Х. Эшматов;

К.т.н., доцент Ш.П. Бобаназаров;

К.ф.-м.н., доцент Д.А. Ходжаев;

К.ф.-м.н., научный исследователь Б.Х. Эшматов, Ташкентский институт ирригации и мелиорации

Ключевые слова: гидротехническое сооружение, бетонная плотина, сейсмическая нагрузка, гидродинамическое давление воды, вязкоупругость, нелинейные колебания, интегро-дифференциальные уравнения, метод Бубнова-Галеркина, ядро релаксации.

В Узбекистане имеется ряд водохранилищ, устроенных в долинах рек путем возведения водоподпорных сооружений, для накопления и хранения воды в целях её использования в народном хозяйстве. Примером могут служить такие водохранилища, как Чарвакское, Пачкамарское, Каракумское, Андижанское и т.д. Большинство из них сооружены из грунта, а откосы укреплены бетонными плитами. Андижанское водохранилище является контрфорсной бетонной плотиной арочной формы. Проблема обеспечения сейсмостойкости таких сооружений при проектировании и строительстве в сейсмических районах является весьма актуальной, так как опыт разрушительных землетрясений показал, что сооружения типа плотин, построенные без учета сейсмического фактора, нередко подвергались частичному или полному разрушению [1]. При сейсмических воздействиях основание может приходить в движение, поэтому при динамическом расчете массивных и бетонных сооружений приходится рассматривать движение плотины и жидкости совместно, как единую механическую систему. Большое значение также имеет учет гидродинамической нагрузки воды, возникающей при землетрясении.

В литературе имеется ряд работ, посвященных решению рассматриваемой проблемы. В работе [1] исследуется вопрос о давлении воды на наклонную напорную грань плотины, совершающую поступательные горизонтальные колебания. В этой работе учтено влияние вертикальной компоненты сейсмического движения основания. Вода принята несжимаемой, невязкой, а плотина - абсолютно жесткой. Волновым характером воды на свободной поверхности пренебрегают. Инерционное влияние жидкости не изучается.

В работе [2] излагаются основные положения теории сейсмостойкости упругой системы в воде, приводится общий ход решения задачи для определения частот собственных колебаний с учетом совместной работы плотины и воды, как единой системы. При моделировании данной задачи принято допущение о малой величине и линейности деформаций сооружений.

Работы [3,4] посвящены исследованию динамического давления жидкости на жесткую плотину с вертикальной напорной гранью при землетрясении. Принято, что плотина совершает простые гармонические колебания с заданной начальной скоростью. В постановке задачи имеются существенные отличия по отношению к указанным выше работам. В [3] принято, что в начальный момент времени плотина мгновенно получает начальную скорость, а затем совершает гармоническое горизонтальное колебание. Учитываются волновые движения на поверхности жидкости. Условие на напорной грани составлено с учетом перемещений плотины при колебаниях от первоначального положения покоя. В работе [4] считается, что в начальный момент времени дно так же, как и напорная вертикальная грань плотины, имеет некоторую начальную вертикальную скорость, а затем совершает вертикальные колебания.

Известно, что надежность и безопасность гидротехнических сооружений, в первую очередь, зависят от возникающего в конструкции НДС при различных нагрузках. В свою очередь, определение характера и величины НДС позволяет получить полную информацию о прочности сооружений. Вопросы, посвященные решению этих проблем, рассматривались в работах различных авторов дальнего зарубежья, стран СНГ и нашей республики. Среди работ ученых нашей республики следует отметить работу [5].

В работе [6] предпринята попытка найти наиболее точный метод для анализа бетонных плотин с помощью двух элементов: временного анализа и частотного анализа данных в программном обеспечении АЫвУБ. В этой работе бетонная плотина с коллектором рассматривается как ограниченный коллектор и моделируется с учетом соответствующих граничных условий.

В работе [7] предложен новый подход к динамическому анализу системы «бетонная гравитационная плотина - коллектор» на основе метода несвязанных модальных анализов данных во времени. В ней первоначально описывается метод, а плотина анализируется как пример для проверки, который показывает эффективность предложенного метода.

Работа [8] посвящена развитию теории железобетона в направлении разработки новых и совершенствования существующих методов расчета напряженного состояния и прочности массивных железобетонных и напорных сталежелезобетонных конструкций гидротехнических сооружений на основе единого методологического подхода.

Отметим, что во всех вышеуказанных работах материал массивных и бетонных плотин считается упругим. Но, как показывают многочисленные экспериментальные и фундаментальные исследования, большинство материалов, к которым также относится бетон, обладают ярко выраженными вязкоупругими свойствами [9]. Следовательно, при динамических расчетах гидротехнических сооружений, необходимо учитывать ряд факторов: характер движения основания при землетрясении, влияние жидкости, свойства материала и т.д.

Продолжительность и дороговизна экспериментальных исследований, невозможность проведения опытов для изучаемого объекта вызывают необходимость теоретических исследований. Становятся актуальными математическое и компьютерное моделирование задач динамики гидротехнических сооружений с учетом сейсмической нагрузки, гидродинамического давления воды и вязкоупругих свойств материала конструкций. Использование мощных компьютеров позволяет внедрять численные методы расчета в практику проектирования сооружений.

Современные компьютеры имеют очень высокую скорость выполнения операций при практически неограниченной оперативной памяти. Становятся возможными расчеты все более сложных задач, к которым относятся расчеты динамики гидротехнических сооружений. Это служит стимулом для разработки новых численных методов.

Вместе с тем, для эффективного проведения вычислительного эксперимента, необходимо на основе численных методов разработать алгоритм и комплекс прикладных программ для численного решения поставленных задач. В связи с этим в качестве основной задачи работы выбрана разработка и реализация алгоритма и комплекса прикладных программ для расчета динамики гидротехнических сооружений, описываемых системами нелинейных интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра.

Постановка задачи

При проектировании гидротехнических сооружений часто встречаются элементы плотин типа «пластины конечной длины», например затворы, напорные перекрытия. Особенности расчета гидротехнических сооружений на сейсмостойкость связаны с необходимостью учета влияния водной среды, наличие которой приводит к дополнительному гидродинамическому давлению воды на напорные грани, изменению частот и форм собственных колебаний конструкции, что, в итоге, может существенно сказаться на НДС сооружений.

x

Рисунок 1. Схема расчета плотины-пластины

Рассмотрим задачу о вынужденных колебаниях плотины-пластины, изготовленной из вязкоупругого изотропного материала. Плотину-пластину поместим в прямоугольной системе координат хуг в плоскости

у0г (рис. 1). Считаем, что плотина-пластина имеет постоянную толщину к, и что на нее действуют силы инерции, возникающие от движения и деформации плотины, а также, гидродинамическое давление воды, возникающее от движения плотины как твердого тела и деформации плотины.

Выведем уравнение движения плотины-пластины с учетом вязкоупругих свойств материала и геометрической нелинейности по гипотезе Кирхгофа-Лява.

Физическую зависимость между напряжениями ау, а2, туг и деформациями гу, , ууг срединной поверхности запишем в следующем виде [9, 10]:

=

Е Е

(1 - Г*)( еу + цв1), = --г(1 - Г*)( ег + /еу),

1 - /

Е

Т =

1 -V

-(1 - Г*)ууг ,

(1)

2( 1 + /)

где Е - модуль упругости, / - коэффициент Пуассона, Г * - интегральный оператор с ядром релаксации

Г ((): Г *Ф=\ Г (г - т)ф)с1т

Связь между деформациями в срединной поверхности еу,£г,ууг и перемещениями и, V, w направлениям у, г, х примем в виде [11]:

ди 1 ( дw ^

= — + '

у ду 2 ^ ду у

дv + 1 (дw дг 2 I дг

, ег =- + -1 — I , Гуг = —+ —+

ди + дv + дw дw дг ду ду дг

Изгибающие и крутящие моменты Му , М2 и Н элемента пластины имеют вид [7, 8]:

(2)

Му =-£(1 -Г*)

( д2 w д2 w }

—Г + и—2

ду дг

Н = -£(1 -/)( -Г*)

Мг = --г*)

д2 w

( д2 w д2 w }

дг2

- + /

ду7

дудг'

(3)

где £ - цилиндрическая жесткость.

При выводе уравнения движения будем исходить из следующей системы уравнений [11]:

дМу

- + -

ду дг

к д2 и 0 - рк—- = 0 ,

дг2

дЫуг дЫг • + ■

ду дг

- рк

д2 V

дг2

= о

л

д2Му д2Мг од2Н д („ дw лг дw

-Т^ +-+ 2-+ — — + —

ду2 дг2 дудг ду ^ ду дг у

+

(

+

дг

дw

дw

Л

— + N

уг ду г дг

7 д2 w .

+^-рк-^-=о

Здесь Ыу,Ы2 и N - усилия, отнесенные к единице длины сечения пластины:

Ыу = аук , Nг = а2к , Nyz = уугк , где q - гидродинамическое давление воды, которое определяется на основе результатов [2].

(4)

(5)

2

д

С учетом вышеперечисленных сил, действующих на плотину-пластину, подставляя (3) и (5) в уравнения (4) и вводя функцию напряжений Ф в срединной поверхности по формулам

Ny д Ф

Nz д2Ф Nyz —- =- т =——

2 ' ^ h

h ду

д 2Ф dydz

получаем интегро-дифференциальное уравнение движения плотины-пластины относительно функции прогиба м = м(у,2,^) и функции напряжений Ф = Ф(у,г,{) следующего вида:

D(l -Г*) 4 w(y, z,t )+ph -р, ^

дг дг

х=0

д*о + 1

дг 2

( д* дх

2 V

+

ду

\ и-У J

= L(w, Ф),

(6)

о (t)

1VФ = -2(1 - Г *))(,м),

где (() - закон движения основания при землетрясении; р - плотность материала плотины;

р0 - плотность воды; р(х,у,г,/) - функция потенциала скоростей движения жидкости, возникающего от

деформации плотины-пластины; р0(х,у,¿) - функция потенциала скоростей движения жидкости от движения

плотины как твердого тела;

у4 + + IL; L(w,w) = 2

ду ду ду дz

4

>2-*2- Г д2w ^2

д w д w

ду дz yдyдz J

rí д2w д2Ф д2w д2Ф _ д2w д2Ф L(w,0) = —---- +—----- 2

ду2 dz2 dz2 dy2 dydz dydz Используя работу [2], закон движения основания при землетрясении можно записать в виде:

s0 (t) = a0esin c01,

(7)

где а0 - начальная максимальная амплитуда; ео - коэффициент затухания грунта; а>0 - частота колебаний грунта.

Выбор ядер релаксации

Для теоретического описания процессов деформирования при колебаниях твердых тел и конструкций с учетом внутреннего трения часто ограничиваются изучением общих закономерностей внешнего проявления механизма диссипации. Гипотезы и линейные модели внутреннего трения нашли широкое применение при решении задач динамики сооружений. Эти гипотезы, отражающие проявление упругих несовершенств материалов, не описывают ползучесть деформаций и релаксацию напряжений, получивших название «наследственных свойств».

Основы современной наследственной теории вязкоупругости, отражающей практически все особенности динамического поведения материала, заложены в работах Больцмана и Вольтерра, о которых подробно изложено в [9]. Наследственная теория вязкоупругости является более общей и точнее описывает реальные свойства материалов [9-13].

Интегральная модель с экспоненциальными ядрами наследственности эквивалента дифференциальной модели, определяющей связи между напряжениями и деформациями. Поэтому вопрос выбора ядра наследственности для формирования интегральных моделей, обеспечивающих принципиально допустимую адекватность отображения зависимости между напряжениями и деформациями в материалах с вязкоупругими свойствами, является одним из важных моментов построения математических моделей рассматриваемых задачи.

~Ро<

x=s

Во многих работах при решении инженерных задач часто применяют экспоненциальные ядра

Г(х) = А ■ ехр(- в ■ X),

или ядра в виде сумм экспонент

Г(() = ±А, ехр(Д ■ X).

1=1

Выбор ядра релаксации в виде экспоненциальных или сумм экспонент в начальный момент времени ( X = 0) имеют конечные значения, так как при этом не отражаются особенности, наблюдаемые в начале процессов релаксации [9].

В работе [13] дано простейшее ядро типа Абеля:

Г(Х) = А ■ Ха-1, А > 0,0 <а < 1,

где А - параметр вязкости, а - параметр сингулярности, определяемый экспериментом.

Самым распространенным сингулярным ядром наследственности типа Абеля является ядро Колтунова-Ржаницына [9, 13]

Г(Х)= Ае-рХХа-1, 0<а < 1, (8)

где в - параметр затухания.

От правильного выбора ядра релаксации зависит точность решений. Точность аппроксимаций ядер должна быть проверена путем сопоставления его с экспериментальными кривыми. Существующие трехпараметрические сингулярные ядра наследственности Колтунова-Ржаницына удовлетворяют всем условиям, налагаемым на ядро ползучести и релаксации, и, наилучшим образом, аппроксимируют опытные данные в течение большого промежутка времени.

Таким образом, при решении динамических задач наследственно-деформируемых систем в работе используются интегральные модели Больцмана-Вольтерра, связывающие напряжения и деформации при сингулярном ядре релаксации Колтунова-Ржаницына (8).

Для решения динамических задач вязкоупругости необходимо располагать значениями параметров ядер для моделей, описывающих подобные процессы, которые определены к настоящему времени для крайне ограниченного класса материалов.

В работе [9] функции (8) детально протабулированы, и разработана методика определения параметров А, а, в. Эти параметры для конкретных материалов определяются путем совмещения экспериментальной кривой и теоретической кривой, построенной в логарифмических координатах. Для определения А , а , в опытные кривые ползучести материала строятся на стандартной логарифмической бумаге и совмещаются с соответствующей теоретической кривой путем сдвигов вдоль осей.

При определении параметров ядра (8) для бетона обработано несколько экспериментальных кривых ползучести, приведенных в [14]. В настоящей работе используются параметры ядра релаксации для двух типов бетона, которые приводятся в табл. 1.

Таблица 1. Параметры ядра релаксации для двух типов бетона

№ Тип бетона аэ вэ Аэ

1 Бетон при постоянных напряжениях различных начальных уровней, нагруженный в возрасте 35 суток 0.1 0.00000011 0.01594

2 Бетон, впервые загруженный в возрасте 28 суток до постоянного напряжения различного уровня 0.075 0.00000014 0.0194

Численный метод решения нелинейных задач, описываемых системами интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра

В настоящей работе для построения дискретных моделей нелинейных задач, описываемых системами интегро-дифференциальных уравнений в частных производных, используется вариационный принцип Бубнова-Галеркина. С помощью метода Бубнова-Галеркина, основанного на многочленной аппроксимации, при заданных граничных условиях эти задачи сводятся к решению систем нелинейных обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра относительно функции времени.

В работе, применительно к нелинейным интегро-дифференциальным уравнениям типа Вольтерра, предложен численный метод, основанный на использовании квадратурных формул. На базе предложенного метода разработан алгоритм численного решения задач динамики наследственной теории.

Рассмотрим систему нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных вида

Ьх (л, Ф) = с(у, z)( - Г*)2w + Ь(у, z)

(dw + dw ^ dt dy,

+

2... ( л... л... -,2^ Л

i \д w

dt2

t, y, z, w,—,—,

dw dw d w d w d2w d2Ф d2Ф d2Ф

dy' dz' dy2 'dz2 ' dyd.z dy2 ' dz2 ' dydz

= 0 , (9)

L2 (w, Ф) = V 4 Ф-( -Г*)

^ dw dw d2 w d2 w d2 w Л

dy' dz' dy2 ' dz2 ' dydz

t, y, z, w,

= 0,

у

где , Ь2 - интегро-дифференциальные операторы; л = w(y,z,t) и Ф = ф(у,2,1) - неизвестные функции аргументов; с(у,2), Ь(у,2), с(у,2), X и ¥ - заданные непрерывные функции своих аргументов; Г* - интегральный оператор с ядром Г(():

t

Г*р = |г(( - т)р(т)т

о

При интегрировании уравнений движения динамических систем необходимо исходить из определенных граничных и начальных условий. Граничные условия, относящиеся к перемещениям, являются геометрическими. Условия, формируемые для усилий и моментов, называются динамическими. Граничные условия могут быть заданы различным образом.

Также при интегрировании уравнений должны быть удовлетворены начальные условия, относящиеся к перемещениям и скоростям точек срединной поверхности конструкции.

Исследование нелинейных интегро-дифференциальных уравнений, при заданных начальных и граничных условиях, для сингулярных ядер релаксации наталкивается на значительные математические трудности. Как уже отмечалось, эти уравнения являются интегро-дифференциальными в частных производных. Во многих практических задачах исследование этих уравнений можно свести к исследованию интегро-дифференциальных уравнений в обычных производных.

Решение системы (9) по методу Бубнова-Галеркина ищем в виде:

N М

л(У, ^t)=ЕЕ ^пшууим (y, 2), (10)

п=1 ш=1

N М

ф(y, z, t )=ЕЕФ пш У )Хпш (y, 2), (11)

п=1 ш=1

где Лпш = Лпш У) и Фпш =ФпшУ) - неизвестные функции времени; Упш =Упш ) и Хпш =Хпш (У,2), и = 1,2,...,N; ш = 1,2,...,М - координатные функции, удовлетворяющие граничным условиям задачи.

Подставляя (10) и (11) во второе уравнение системы (9), методом неопределенных коэффициентов функцию Ф = Ф(уу,2^) можно выразить через функцию л = ).

Затем, подставляя (10) и полученное выражение функции Ф = Ф(у,г,1) в первое уравнение системы (9), умножая его обе части на у/к1 (у,г), к = 1,2,...,N; I = 1,2,...,М и интегрируя по у и 2 на отрезке [0;1]

для определения неизвестных wkl, получим следующую систему нелинейных обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра:

2

wki + Tkiwki + ®kiwki = t

Xkl U,wn ,...,w

( (t,T,W11 (r) ...,WNM (r) Ф11 (r) ...,0NM (jtydt

(12)

w,

i(0) = w0ki, Wki(0) = w0ki, k = 1,2,...,N; l = 1,2,...,M .

Здесь Xkl и (pkl - заданные непрерывные функции в области изменения аргументов; ykl, a>kl, k = 1,2,...,N; l = 1,2,...,M - постоянные числа.

Таким образом, рассматриваемые задачи сводятся к решению систем обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений вида (12). Для решения этих систем в этом разделе предлагается численный метод, основанный на использовании квадратурных формул.

Как было показано выше, большинство динамических задач об устойчивости тонкостенных конструкций с учетом наследственных свойств материала сводятся к решению систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра вида (12).

В работах [12, 15] для систем интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра был разработан численный метод, основанный на использовании квадратурных формул. В данной работе этот метод обобщен для систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнений общего вида (12).

Путем двукратного интегрирования системы (12) по t с учетом начальных условий, получим

t t t wkl(t) = w0kl + w0klt + Yklw0klt - Ykl Jwkl(r)dr- 0)2kl J(( - фн(т)т + J(( - r) x

i

x Xkl (r,wu ((,... ,WNM (r) Фп () ... 0nm (т) ) (kl fa S W11 () WNM (s) Ф11 (s) ..., 0NM ( ))f

dr,

к = 1,2,...,^ I = 1,2,...,М .

Для численного решения данной системы применим метод прямой замены интегралов, входящих в систему, конечной суммой по какой-либо квадратурной формуле [12, 15]. Тогда для получения числовых значений неизвестных wkl = wkl((), к = 1,2,...,N; I = 1,2,...,М , приближенного решения системы в узлах

1т = (т - 1)Д/, т = 1,2,3,... (А/ - шаг интегрирования) получим следующую рекуррентную формулу:

m-1 m-1 . ,

Wmkl = W0kl + (0kl + YklW0kl ))m - Ykl SBJWSkl + ZBJ (tm - tJ )

J=0 J=0

— t, x

aklWJkl 1 ^kll

+ Xkl [ tJ,Wj11 ^..^jNMjCd ((„,W„11 ,...,WnNM,Ф „11 ,..., ФММ )

n=1

(13)

m = 1,2,3,...; k = 1,2,...,N; l = 1,2,...,M ,

x

где Б,, Си - числовые коэффициенты, независящие от выбора подынтегральных функций и принимающие различные значения в зависимости от использования квадратурных формул.

Расчет нелинейных задач динамики гидротехнических сооружений типа

плотины-пластины

Рассмотрим задачу о вынужденных нелинейных колебаниях плотины-пластины, изготовленной из вязкоупругого изотропного материала. Считаем, что на плотину-пластину действуют силы инерции, возникающие от движения и деформации плотины, а также, гидродинамическое давление воды, возникающее от движения плотины, как твердого тела, и деформации плотины. Математическая модель задачи описывается системой уравнений (6).

Для решения интегро-дифференциального уравнения (6) применим метод Бубнова-Галеркина. Функции перемещения и напряжений задаем в виде

w

N N

{у, z, t) = 2 wk (()vk ( z), Ф((, z, t) = Ефk (t)xk (У, z),

k=1 k=1

(14)

где у/к(у,2), Хк(у,2), к = 1,2,...,N - удовлетворяют условиям закрепления краев плотины-пластины; лк = лк (у), Фк = Фк ((), к = 1,2,...,N - неизвестные функции.

у/к(у,2) ищем в виде произведения двух функций:

У (У,2 ) = V (у )Ик (2 ). (15)

Пусть пластина имеет следующие граничные условия [2]:

• края 2 = ±с свободно оперты;

• край у = 0 жестко защемлен;

• край у = Ь свободен.

Для Hk (z ) можно взять функции

cos-

knz 2a

, k = 1,3,5,..., которые удовлетворяют условиям:

w

= о ;

d2 w

dz2

= 0.

(16)

Нетрудно показать, что из следующих граничных условий:

I ~ dw

w = 0 ; —

ly=° dy

= 0 ;

y=0

Г d2 w д2 w )

-Г + ß-2

dy2 dz2

= 0 ;

y=b

Г d3 w

dy3

+ (2-ß

d3 w ^ dzdy2

= 0

y=b

можно получить:

V (y ) = Vik (y ) + EkV2k (y ),

где

Tr / \ 1 . kny 1 . (k + 2)ny / ч kny (k + 2)ny

V1k ( y ) = — sm—----sm--; V2k ( y ) = cos—— - cos--

1kW k 2b k + 2 2b 2 kW b b

1

E =__

Ek = V'k (b)

vm-m V(b)

Таким образом, выражение для функции ук(у,2), удовлетворяющей заданным граничным условиям задачи, имеет вид:

Wk (y,z ) = cos

knz

2a

1 . kny 1

— sin—----

k 2b k + 2

. (k + 2)ny „ Г kny (k + 2)ny

sin --+ Ek I cos—— - cos --

2b

b

b

(17)

k = 1,3,5,

z=± a

z=± a

Гидродинамическое давление воды на напорную часть плотины имеет вид [2]:

Р =

Р

р 1 р °~а~ " 2 р

[др V

-2 Г* V ' др.

дх

+

ду

V ЧТ У

(18)

х=50 ( )

др0 др0 др0 Определив выражения для 0 0

дг дх ду С со- ?пУ

, аналогично [2], из (18) получим:

" п--- А

Р=-2ре65 *(г [ -(1 - оь)ьь\

пС™Гп

- + р02 (() - 2(1 - е -еь)(у-ь )]-

(19)

N N

-Р 2Ь2 (()2 2

Спэт ?пУ

Скяп уку

Ь к Ь -1 -2 ()

1 к [ -(1 - О')] уп [ -(1 - ОЬ )ь\ ук

о0

Здесь у - корни уравнения уг%у = -ОЬ ; О = ——.

%

Гидродинамическое давление на напорную грань при х = 0 равно [2]:

Р = -р

др

дг

= Ъ

=0 к=1

2Ьр(г - аЛ)С08~П11(2 - а5 ^кУ' Ук (у,2У^уЗг

Ь а

0 -а

и и

кп1- а)2 со-2 укуйуйг

(()

(20)

0 -а

Подставляя (14) во второе уравнение (6), методом неопределенных коэффициентов находим выражение для функции напряжений. Далее, с учетом (19) и (20), подставляя (14) и найденное выражение для функции напряжений в первое уравнение (6), при этом выполняя процедуру Бубнова-Галеркина и введя следующие безразмерные величины:

в = 00, 0 = 0 ¿ = Р>, ^, А = Ь, 5 = Ь И о р а>0 а И

относительно неизвестных wk = wk(г) и Фк = Фк (г), получаем следующее интегро-дифференциальное уравнение:

N N

где

2 [ + Ьы (1 -Г )\-Л2 22 ск^к (1 -Г*) = XI (),

к=1 к=1 п=1

N N N

2Р1Ф =^2р2knlWkWn, 1=1,2,...м,

к=1 к=1 п=1

11 2 11 к

ак1 =Цу (y, 2 у ^2 )^уЛ2—%5\\рк (y, 2 у ^2 У^ж; рк (у,2)=-г- (2 - 1)с°--пу;

(21)

ак =

Ц(2 - \)со-^ПуУк (у,2; Ьк = Ц(2 -1)2 со-2 ^пуёуё2 ;

0 -1

0 -1

Ьк1 =

-Г 11 [у (у, 2) + 2Л2ук^ (у, 2) + ЛУк^ (у, 2)\ (у, 2)уё2 ;

7Г

0 -1

п

X

0 -1

0 -1

cknl = j j [ (y>z (y.z)- 2vl,yZ {y,z )x:,yz iy,z)+<zz (y.z hn, yy (y.z )Vi (yz )dz;

0 -1

11 11

X, (t) = ea2 [e1 - G1 (()d ]; ei =\\f(y, ()Wi (y, z)dydz; d, = jjyl (y, z)dydz ;

0 -1 0 -1

G1 (() = eZ [(Z2 - 1)si: Q - 2Z cos Q];

S NC / \

f (y, () = 2Qb-Gx (()E/2 c-cos Yny - G2 (()( - 2 R eQby )+

0 ti V2 - R1 )Yn COS Yn

N N C C 1

+ (Qb)2 G2 -rV-Vi-si2ynysi:yky + - G2 (();

2=1 k=1 („ - R1)cos Yn (Yk - R1)cos Yk 2

G2 (() = e -2Q (-ZsinQt + cos D); Cn = 1 -; R = (1 - e"* И; R =( - Qb) ;

rя + Qb )cos Yn

Prn = jj [xkVyyyy (y, z) + (y, z) + A4^ (y, z)]x (y, z)dydz;

-1

j j [ (y,zУ (y, z) - ¥l.yy ^ zК» (y, z)] (y, z^ydz ■

0 -1 11

P 2 knl =

0 -1

Интегрирование системы (21) проводилось численным методом, предложенным в этой работе. При этом в качестве ядра релаксации будем использовать слабосингулярное ядро Колтунова-Ржаницына с тремя реологическими параметрами А, а ив вида (8). При расчетах будем использовать реологические параметры А , а и в для конкретных марок бетонов, приведенные в табл. 1.

На основе разработанного алгоритма решения составлена программа на алгоритмическом языке йе!рЫ. Результаты приводятся в виде графиков. Здесь, если не оговорено другое, в качестве исходных данных при вычислениях, были приняты следующие: А = 0.01594; а = 0.1; в = 0.00000011 ; 8 = 50; Л = 1.

Г1 1 ^

На рис. 2 приведены графики кривых — ,—,1 I для различных материалов плотины-пластины. Анализ

12 2 )

полученных результатов показывает, что в начальный период времени решения упругих и вязкоупругих задач мало отличаются друг от друга. С течением времени колебания упругой плотины-пластины происходят ближе к гармоническому закону, а амплитуда и частота колебаний вязкоупругих плотин-пластин существенно уменьшается.

Рисунок 2. Зависимость прогиба от времени для различных материалов: упругий (1); марка 1 (2); марка 2 (3)

Абдикаримов Р.А., Эшматов Х., Бобаназаров Ш.П., Ходжаев Д.А., Эшматов Б.Х. Математическое моделирование и расчет гидротехнических сооружений типа плотины-пластины с учетом сейсмической нагрузки и гидродинамического давления воды

На рис. 3 показано влияние

гидродинамического

иг(0.5,0Дг)

0,15

давления поведение пластины значениях

воды на плотины-при различных параметра

£ =

р

Анализ результатов показывает: с увеличением значений этого параметра амплитуда колебаний

плотины-пластины увеличивается, при этом частота колебаний

существенно не меняется. Следовательно, учет

гидродинамического давления воды приводит к уменьшению амплитуды колебаний.

На рис. 4 приведены (1 1 ^

графики кривых wl г I

для различных значений параметра Я . Видно, что с увеличением значений этого параметра амплитуда

колебаний уменьшается и наблюдается сдвиг фаз влево.

На рис. 5 приведены результаты расчетов,

полученных в линейной (кривая 1) и нелинейной (кривая 2) постановках.

\ к 2 / 3

Рисунок 3. Зависимость прогиба от времени при ^ =0.42(1); 0.55(2); 0.63(3)

Рисунок 4. Зависимость прогиба от времени при Я =1(1); 1.5(2); 2(3)

Как показывают исследования, в случае отсутствия внешних нагрузок результаты расчетов совпадают. Однако, при наличии внешних нагрузок, зависимости w существенно отличаются друг от друга. Аналогичные результаты наблюдаются и для напряжений и моментов.

Отметим, что во всех рассмотренных случаях исследована численная сходимость метода Бубнова-Галеркина. Для каждого случая найдено число полуволн, необходимое для получения решения достаточной точности.

w(0.5,0.5,i)

0 10 20 30 t

Рисунок 5. Зависимость прогиба от времени

Литература

1. Напетваридзе Ш. Г. Сейсмостойкость гидротехнических сооружений. М.: Госстройиздат, 1959. 216 с.

2. Уразбаев М. Т. Сейсмостойкость упругих и гидроупругих систем. Ташкент: Фан, 1966. 255 с.

3. Чень Чжень-чен. О динамическом давлении жидкости на плотину при землетрясении // ПММ. 1961. Т. 25. №1. С.150-154.

4. Чень Чжень-чен. О гидродинамическом давлении на плотину, вызванном ее апериодическими или импульсивными колебаниями и вертикальными колебаниями земной поверхности // ПММ. 1961. Т.25. №4. С. 716728.

5. Мирсаидов М. М., Годованников А. М. Сейсмостойкость сооружений. Ташкент: Узбекистан, 2008. 220 с.

6. Mansouri A., Rezaei R. Considering Dynamic Analysis Results of Interactions between Concrete Dams and Reservoirs in Time Domain and Frequency Domain for Choosing the Optimimal Model // European Journal of Scientific Research. 2010. Vol.46 (4). PP. 604-615.

7. Lotfi V. Dynamic Analysis of Concrete Gravity Dams by Decoupled Modal Approach in Time Domain // 13th World Conference on Earthquake Engineering, Vancouver, B.C., Canada. August 1-6, 2004. Paper No. 467.

8. Лисичкин С. Е. Развитие теории и совершенствование методов расчета массивных железобетонных и напорных сталежелезобетонных конструкций гидротехнических сооружений: Дис. ... д-ра техн. наук: 05.23.07: М., 2004 572 c. РГБ ОД, 71:05-5/405.

9. Колтунов М. Ползучесть и релаксация. М. : Высшая школа, 1976. 276 с.

10. Ильюшин А. А., Победря Б. Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М.: Наука, 1970. 280 с.

11. Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластин и оболочек. М. : Наука, 1972. 432 с.

12. Эшматов Х. Интегральный метод математического моделирования задач динамики вязкоупругих систем. Автореферат дисс. док. тех. наук, Киев, 1991.

13. Работнов Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1977. 383 с.

14. Ползучесть и усадка бетона и железобетонных конструкций. Под ред. С.В.Александровского. М. : Стройиздат, 1976. 351 с.

15. Бадалов Ф. Б., Эшматов Х., Юсупов М. О некоторых методах решения систем интегро-дифференциальных уравнений, встречающихся в задачах вязкоупругости // Прикладная математика и механика. 1987. Т.51. №5. С. 867-871.

* Рустамхан Алимханович Абдикаримов, г. Ташкент, Узбекистан Тел. раб.: +998(71)234-66-41; эл. почта: [email protected]