CC BY
31
УДК 519.248:574.3
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРОГНОЗ ДЕМОГРАФИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ РЕГИОНА НА ПРИМЕРЕ ЕВРЕЙСКОЙ АВТОНОМНОЙ ОБЛАСТИ
Г.П. Неверова, О.Л. Ревуцкая Институт комплексного анализа региональных проблем ДВО РАН, г. Биробиджан
Построена математическая модель демографической динамики региона с учетом возрастной структуры на примере ЕАО. Оценены параметры построенной модели и выполнен прогноз динамики численности населения автономии. Полученные прогнозы подчеркивают сложность демографической ситуации в области и ставят задачу о том, как сохранить численность населения.
Демографический фактор является существенным фактором общественного развития, он играет большую роль в экономической жизни общества и в долгосрочном социально-экономическом планировании [2]. Без предварительного демографического анализа и последующего прогноза невозможно представить себе перспективы производства и потребления товаров и услуг, жилищного строительства, развития социальной инфраструктуры, здравоохранения и образования, пенсионной системы, решение геополитических проблем и т.д. Поэтому деятельность по прогнозированию динамики численности и структуры населения составляет важнейшую часть общей деятельности международных, государственных и неправительственных организаций, учреждений и научных институтов [1]. В связи с этим в современных условиях важно понимать и уметь анализировать особенности развития народонаселения не только страны в целом, но и ее регионов, часто носящих специфические черты воспроизводства населения [6].
Существует множество математических моделей, описывающих общую демографическую ситуацию с выделением основных социально-демографических факторов. Классификацию моделей можно увидеть в работах Д.И. Валентея, В.М. Медкова, В.А Борисова [2,4,6]. Практическое применение некоторых статистических методов можно увидеть в учебнике А .Я. Боярского [3], вопросам глобальных проблем в демографии большое внимание уделяется в работах Н.М. Римашевской [9]. Демографическим проблемам на региональном уровне также посвящаются работы, но в них описывается общая демографическая ситуация на основе статистических методов анализа [8]. При этом существующие возможности математического моделирования для строгого описания и получения адекватного прогноза, как правило, не используются.
Целью исследования является построение адекватной модели динамики численности населения региона, позволяющей описывать и адекватно прогнозировать численность населения в течение времени.
Математическая модель динамики численности населения с учетом возрастной структуры Специфика представления данных, используемых для описания демографической динамики, заключается в том, что численность населения разбита на 14 последовательных групп в основном по 5 возрастов в каждой, исключая 3, 4, 13 и последнюю когорту. Так, в третью когорту входит 6 возрастов - с 10 по 15 лет, в четвертую 4 возраста - с 16 по 19, в 13 - десять возрастов - с 60 по 69 лет, а в последнюю все население старше 70 лет. В целом численность населения представлена четырнадцатью когортами, которые мы и будем рассматривать как базовые компоненты модели.
В основу построения модели легли следующие положения.
1. Через 5 лет любая когорта (исключая последнюю) полностью переходит в следующую при условии, что когорта состоит из 5 возрастов с учетом смертности и миграции. Например, когорта № 1 через 5 лет полностью переходит в когорту № 2, так как через 5 лет все новорожденные станут 5-летними, а пятилетние -10-летними.
2. Численность первой когорты формируется на основе численности новорожденных за предыдущие 5 лет с учетом детской смертности.
3. Численность новорожденных в каждом году определяется численностью населения репродуктивного возраста в предыдущем году.
4. В последующих когортах численность в пределах пятилетнего интервала изменяется под воздействием смертности и процессов миграции.
Для описания демографической динамики введем следующие обозначения:
х (п) - численность населения в /-той когорте для tiro года;
В(п) - численность новорожденных в п-ш году;
\г; - коэффициент перехода населения в /-той когорте при переходе в когорту 1+1 через 5 лет; а - коэффициент рождаемости; vk— коэффициент выживаемости детей возраста п-k в
1 когорте, где к = 1,4 -
В соответствии с выбранными переменными модель примет вид:
В{п) = а(хз {п — 1) + Х4 {п — 1) Н-1- 0 (я -1))
Х| (/?) = В{п -1) + у-уВ{п - 2) + В{п - 3) + В{п - 4) + у^В(п - 5) х2(п) = м>1-х1(п-5) х3(п) = м>2-х2(п-5)
Х4(и) = »з -Хз(и- 4)
х$(п) = №4 -Х4(и-5)
х6(я)=»5-х5(я-5)
х7(я) = »6-х6(я-5)
х8(я) = »7-х7(я-5)
х9(я) = »8-х8(я-5)
х10(я) = »9 ■хд(п-5)
хи(п) = щ0-х10(п-5)
х12( я) = »п-хп(я-5)
х13(я) = »12-х12(я-5) + »13 -х13(я-5)
Численность 13 и 14 когорт объединили, чтобы исключить переходы из когорты длиной в 5 лет (55-59) в когорту длиной в 10 лет (60-69), и из 60-69 (длина 10 лет) в класс 70+. Такая операция позволила проигнорировать особенности сбора статистических данных и привести модель к виду, когда из когорты длиной в 5 лет (возраст 55-59 лет) через 5 лет численность с учетом смертности и миграции переходит в класс старше 60. Следовательно, модель включает 13 уравнений по количеству когорт и одно уравнение для описания численности новорожденных.
Оценка параметров математической модели демографической динамики региона с учетом возрастной структуры на примере Еврейской автономной области Параметры модели оценивались на основе статистических данных о численности населения Еврейской автономной области (ЕАО) [11-15] отдельно для каждого уравнения.
Первое уравнение описывает динамику численности новорожденных. Количество новорожденных определяется численностью населения в репродуктивном возрасте, т.е. когортами с 4 по 10. Путем нахождения коэффи-
циентов корреляции между численностью новорожденных и комбинациями численностей репродуктивных когорт были выделены основные когорты, определяющие численность новорожденных. Это когорты 5, 6 и 7 (табл. 1), так как значение коэффициента корреляции между численностью новорожденных и численностью населения в этих когортах наибольшее - 0,799 и является значимым.
Оценка коэффициента рождаемости проводилась на основе регрессионного анализа (табл. 2), и его значение составило а = 0,0474.
Уравнение 1 принимает вид:
В{п) = 0.0474 • х5_7 (п -1)
В данном случае коэффициент рождаемости рассматриваем как величину независимую от возраста репродуктивного населения, из-за того, что аналогичные эксперименты с учетом возраста дают коэффициенты, не имеющие физического объяснения. Возможно, это связано с тем, что в данной модели не учитывается половой состав населения.
Динамика фактических и модельных численностей новорожденных в соответствии с первым уравнением представлена на рис. 1.
В основе второго уравнения лежит положение 2, а именно то, что численность 1 когорты в (п+ 1)-м году состоит из новорожденных и-го года, (я-1 )-го года, (п-2)-го года, (и-З)-го года, (я-4)-го года с учетом смертности. Коэффициенты смертности для этого уравнения находились как средние значения статистических величин, характеризующих младенческую смертность и смертность детей в возрасте от года до 4 лет. В результате были получены следующие значения коэффициентов выживаемости: V =0,979, у2=0,978, V =0,976, V=0,975.
Дополнительно, на основе статистических данных об изменении численности 1 когорты, было определено наименьшее значение миграционного сальдо из нее за 5 лет (100 детей) [14].
Уравнение 2 принимает вид:
(п+1) = В(п) + 0,919В{п -1) + 0,9785(и - 2) +
+ 0,9765(и - 3) + 0,9755(и - 4) - 0,1
Таблица 1
Значения коэффициентов корреляции между численностью
населения в соответствующем возрасте и численностью новорожденных (временной диапазон 1996-2005 гг.)
№ когорты Возраст населения Коэффициент корреляции
4 16-19 0,2802
5 20-24 0,6721
6 25-29 0,7238
7 30-34 0,2948
8 35-39 -0,7114
9 40^14 -0,5868
10 45^19 -0,6381
4-10 16^19 -0,1689
4-7 16-34 0,7935
5-7 20-34 0,7990
5-9 20^15 -0,2671
Таблица 2 Оценка коэффициента рождаемости
Год Численность новорожденных Численность населения в возрасте 20-34 Модельная численность новорожденных
1996 2,144 44,461 2,106
1997 2,014 42,8 2,027
1998 2,036 42,2 1,999
1999 1,876 42,2 1,999
2000 1,883 42,1 1,994
2001 2,088 43,8 2,075
2002 2,166 43,6 2,065
2003 2,29 46,4 2,198
2004 2,268 48,8 2,311
Коэффициент линейной регрессии 0,0474
Значение коэффициента корреляции между фактическими и модельными данными 0,8547
Рис. 1. Динамика фактической и модельной численности новорожденных
На рис. 2 представлена динамика фактической и модельной численности 1 когорты, причем значение коэффициента корреляции между модельными и фактическими данными составляет 0,948.
Оценка параметров в остальных уравнениях проводилась на основе свойства когорты, а именно, для уравнения 3 через 5 лет численность 1 когорты с учетом смертности и миграционных процессов перейдет во 2 когорту. На рис. 3 представлена численность 1 и 2 когорты в соответствующий год. Как видим, между ними существует связь, которая описывается следующим образом (уравнение является регрессионной моделью, отражающей изменения численности 2 когорты в зависимости от численности 1 когорты):
х, (;?) = 0,937 • X] (;? - 5)
Динамика модельных и фактических численностей 2 когорты представлена на рис. 4.
Аналогично были определены значения коэффициентов для остальных уравнений модели. Найденные значения параметров и значения коэффициентов корреляции между модельными и фактическими значениями численностей когорт представлены в табл. 3.
Приведем динамику фактических и модельных величин 3 и 4 когорт.
Проанализируем значения коэффициентов в 4, 5 уравнениях, описывающих соответственно динамику 3 и 4 когорты. Высокое значение свободного члена (будем обозначать его Ь) Ь=6,59 в 4 уравнении и низкое значение коэффициента перехода из одной когорты в другую
численности 1 когорты для 5 уравнения объясняется особенностями сбора и представления статистических данных. А именно, в 4 уравнении, описывающем динамику численности 3 когорты, из возрастного класса длиной в 5 лет (5-9) в следующий возрастной класс длиной в 6 лет (10-15) переходит только 5 лет (10-14), и численность детей возраста 15 лет в 3 когорте учитывается свободным членом.
В уравнении 5 ситуация наоборот: из возрастного класса длиной в 6 лет (10-15) в следующий (16-19) через 4 года переходит только 4 возраста, что и объясняет низкие значения коэффициента перехода и коэффициента корреляции, поскольку дети в возрасте 14 и 15 лет все еще остаются в возрастной группе 10-15 лет.
Характеристики 6 уравнения, описывающего динамику 5 когорты, также оставляют желать лучшего. Высокая ошибка аппроксимации и низкое значение коэффициента корреляции объясняются взаимодействием когорт неравной длины, а именно, когорта 16-19 лет через 4 года с учетом процессов смертности и миграции переходит в когорту 20-24, и численность населения в возрасте 24 года учитывается свободным членом (вместе с миграциями оценивается в 3,3 тыс. ежегодно).
На рис. 6 представлена динамика фактических и модельных численностей 10 и 12 когорт.
Построенные линейные модели для 6, 7, 9, 10 и 12 когорт в соответствии со средней ошибкой аппроксимации и коэффициентом корреляции адекватно описывают динамику численности выделенных когорт. Вероятно, численность этих когорт определяется достаточно стабильными во времени процессами смертности и миграции.
Рис. 3. Динамика численности 1 и 2 когорты
Рис. 4. Динамика фактической и модельной численности 2 когорты
Параметры модели и ее характеристики
Таблица 3
№ уравнения п/п Возраст когорты Коэффициенты линейной регрессии Значение коэффициента корреляции Средняя ошибка аппроксимации
Коэффициент перехода Свободный член
1 0 0.047 - 0.855 3.105
2 0-5 1/0.979/0.978/0.976/0.975 0.1 0.948 1.941
3 5-9 0.937 - 0.998 1.876
4 10-15 0.818 6.592 0.996 1.045
5 16-19 0.637 - 0.104 2.919
6 20-24 0.947 3.3 0.693 6.718
7 25-29 0.946 - 0.969 2.106
8 30-34 0.995 - 0.757 7.169
9 35-39 0.863 1.086 0.979 3.510
10 40-44 0.888 - 0.950 3.512
11 45-49 0.873 - 0.898 4.471
12 50-54 0.810 1.127 0.999 1.133
13 55-59 0.893 - 0.979 1.848
14 60+ 0.811 18.062 0.806 1.704
Анализ коэффициентов моделей, описывающих динамику 8 и 11 когорты, а именно, наличие свободного члена Ь, требует дополнительного анализа миграционных процессов, протекающих в этих когортах.
Более подробно остановимся на последнем уравнении, описывающем динамику 13 когорты. По теоретической модели уравнение имеет вид:
Хи (;?) = №12 • хи (п - 5) + №13 • хи (п - 5) (*)
Вид уравнения объясняется тем, что численность последней когорты определяется частью 12 когорты пе-
решедшей в нее с учетом смертности и миграции, выживаемостью 13 когорты за 5 лет.
Коэффициенты перехода, оцененные непосредственно для уравнения (*), не имеют физического объяснения (рис. 7а) и не пропорциональны численности (рис. 76).
Следующим шагом стало применение линейной регрессии для описания динамики 13 когорты. Были получены следующие коэффициенты: у? =0,811, Ъ =18,06 (табл. 3). Динамика модельных и фактических численностей представлена на рис. 8.
Динамика численности 10 когорты
-45-49фактические —■—45-49 модельные
Динамика численности 12 когорты
год
-♦—55-59фактические —■—55-59 модельные
1994 1995 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
1994 1999 2000 2002 2003 2004 2005
Рис. 6. Динамика фактической и модельной численности 10 и 12 когорт
1995 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
год
♦ 60+ фактические —■— 60+ по модели
23 -I----------1---------1----------1---------1----------1---------1----------1-------
1995 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
год
—♦— 60+ фактические - ■— 60+ по модели
Рис. 7. Динамика фактической и модельной численности 13 когорты по уравнению (*) в зависимости от значений коэффициентов перехода: а) ли =1,0004, м> =0,625; б)™ =0,89, м> =0,409, Ъ=6,65
год
—♦—60+ фактические —■—60+по модели
Рис. 8. Динамика фактической и модельной численности 13 когорты
Наилучшим образом динамику последней когорты описывает линейная регрессия, которая не имеет физического объяснения, но оптимальна для краткосрочного прогноза.
Следовательно, модель, описывающая динамику численности населения ЕАО, имеет вид:
В(п) = 0,0474 • х5_7 (п -1)
^ (;?) = В(п -1) + 0Э19В(п - 2) + 0,9785(и - 3) +
+ 0,9765(и - 4) + 0,9755(и - 5) - 0,1 х2 (;?) = 0,937 • х1 (;? - 5) х3 (;?) = 0,82 • х2 (;? - 5) + 6,59 х4 (;?) = 0,64 • х3 (;? - 4) х5 (;?) = 0,947 • х4 (п - 5) + 3,3 • х6 (;?) = 0,946 • х5 (;? - 5) х7 (;?) = 0,995 • х6 (п - 5) х8 (;?) = 0,86 • х7 (и - 5) +1,08 х9 (;?) = 0,88 • х8 (;? - 5) х1П (;?) = 0,87 • х9 (и - 5) хп(/?) =0,81-х1П(/7-5) + 1,13 хГ(п) = 0,89-хп (/7-5) х13(/7) = 0,811-х12(/7-5) + 18,06
Данная многокомпонентная модель в краткосрочной перспективе позволяет провести количественный анализ основных тенденций в изменении численности возрастного состава населения на территории ЕАО.
Прогноз динамики численности населения Еврейской автономной области
В случае сохранения существующих тенденций процесса воспроизводства, на основе построенной модели можно сделать следующие демографические прогнозы: численности населения, определяющей количество новорожденных, численности новорожденных, численности населения младше трудоспособного, трудоспособного и старше трудоспособного.
год
Рис. 9. Прогноз динамики численности населения, определяющей количество новорожденных
Прогноз численности населения, определяющей количество новорожденных, позволяет утверждать, что до 2011-2015 гг. численность населения этой группы будет возрастать, что вполне объяснимо всплеском рождаемости 1982-1987 гг. (рис. 9).
Соответственно динамика численности новорожденных в перспективе также будет отражать тенденции, характерные для 5,6 и 7 когорт (рис. 10). На рис. 10 видно, что в случае сохранения особенностей репродуктивного поведения, сложившихся на сегодняшний день для населения ЕАО, последует спад численности новорожденных. Пик в численности младенцев, приходящийся на 2011-2015 гг., объясняется тем, что население, рожденное в 1982-1987 гг., как раз подошло либо подходит к детородному периоду. После чего вероятен спад численности новорожденных, так как снизится численность населения репродуктивного возраста.
Следующие три прогноза нам позволяют говорить о структуре населения. Это прогнозы численности населения младше трудоспособного, трудоспособного и старше трудоспособного возраста (рис. 11, 12).
В соответствии с прогнозом численности населения в возрасте младше трудоспособного предполагается некоторый рост численности до 2022 г., объяснимый некоторым подъемом рождаемости с 2001 г., с последующим уменьшением из-за сохранения характеристик процесса воспроизводства (рис. 11а).
Рис. 10. Прогноз динамики численности новорожденных, в случае сохранении существующих тенденций рождаемости
Рис. 11. Прогноз динамики численности населения: а) в возрасте младше трудоспособного; б) в трудоспособном возрасте
Численность трудоспособного населения предположительно будет падать, с некоторым замедлением (рис. 116), что связано со снижением рождаемости в 90-е гг. и высокой смертностью.
Численность населения в возрасте старше трудоспособного будет продолжать расти до 2015 г., после чего, вероятно, начнется снижение (рис. 12).
Таким образом, в случае сохранения характеристик процесса воспроизводства в краткосрочной перспективе (до 2015 г.) на основе построенных моделей можно обозначить следующие тенденции в изменении численности населения:
1. Численность новорожденных увеличится за счет подхода к детородному возрасту поколений 1982-1987 гг.;
2. Численность населения младше трудоспособного возраста будет увеличиваться в связи с увеличением числа новорожденных;
3. Численность трудоспособного населения будет продолжать снижаться;
4. Численность населения в возрасте старше трудоспособного будет продолжать расти.
Полученные прогнозы подчеркивают сложность выявленной демографической ситуации в области и ставят задачу о том, как сохранить численность населения области и удержаться на пике рождаемости.
Рис. 12. Прогноз динамики численности населения в возрасте старше трудоспособного
Данный вопрос является главной задачей будущих исследований. Одним из вариантов решения его является усложнение построенной модели, путем добавления параметров, учитывающих социально-экономические факторы.
Авторы благодарят руководителя д.б.н., проф. Е.Я. Фрисмана за постоянное внимание и полезное обсуждение.
Работа поддержана Фондом содействия отечественной науке.
ЛИТЕРАТУРА:
1. Бахметова Г.Ш. Методы демографического прогнозирования. М.: Финансы и статистика, 1982. 159 с.
2. Борисов В.А. Демография: учебник. М.: «Наука», 1999. 269 с.
3. Боярский А.Я. Практикум по демографии. М.: Финансы и статистика, 1985. 391 с.
4. Демография: современное состояние и перспективы развития: Учеб. пособие Н.В. Зверева, А.Я. Кваша,
B.И. Козлов и др.; Под ред. Д.И. Валентея. М.: Выс-ш. шк„ 1997. 271 с.
5. Динамическая теория биологических популяций / Под ред. РА. Полуэктова. М.: Изд-во«Наука», 1974.456 с.
6. Медков В.М. Демография: Учеб. пособие. Сер. Учебники и учебные пособия. Ростов-на-Дону: Феникс, 2002. 448 с.
7. Неверова Г.П., Ревуцкая О.Л. Анализ процесса воспроизводства населения Еврейской автономной области // Современные проблемы регионального развития: мат-ы I межрегион. науч. конф. Биробиджан, 17-20 октября 2006 г. Хабаровск: ДВО РАН, 2006.
C. 276-279.
8. Неравенство и смертность в России: Коллективная монография / под ред. В. Школьникова, Е. Андреева, Т. Малеевой. Моск. центр Карнеги. М.: Сигналь, 2000. 107 с.
9. Римашевская H. М. Социально-экономические и демографические проблемы современной России // Вестник РАН. 2004. Т. 74, № 3. С. 209-218. http:// rasref. nm.ru/rimashev. htm.
10. Статистический ежегодник Еврейской автономной области: Стат. Сб. В 2 т., т. 1 / Комстат ЕАО, 2001 г. 203 с.
11. Статистический ежегодник Еврейской автономной области: Стат. Сб. В 2-х ч., ч. 1 / Еврстат. Биробиджан, 2005. 203 с.
12. Статистический ежегодник Еврейской автономной области: Стат. Сб. В 2-х ч., ч. 1 / ТО Росстата по ЕАО. Биробиджан, 2004. 202 с.
13. Статистический ежегодник Еврейской автономной области: Стат. Сб. В 2-х т., т. 1 / Комстат ЕАО, 2003 г. 201 с.
14. Статистический ежегодник Еврейской автономной области: Стат. Сб. В 2-х т., т. 1 / Комстат ЕАО, 2000 г. 191 с.
15. Статистический ежегодник Еврейской автономной области: Стат. Сб. В 2-х ч., ч 1 / Еврстат. Биробиджан, 2006. 210 с.
The mathematical model of demographic dynamics of the region taking into account the age structure, by example of the JAR has been constructed. The Parameters of the constructed model are estimated. The forecast of the autonomous population dynamics is made. The received forecasts emphasize a complexity of the demographic situation in the region of and put a problem how to keep a population.
