Математическое моделирование характеристик теплопроводящей среды Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

Н.В. Комиссарова СГГ А, Новосибирск О.Н. Чащин СибУПК, Новосибирск

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ТЕПЛОПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДЫ

В настоящей работе рассмотрены обратные коэффициентные задачи для уравнений параболического типа, для решения которых применен метод конечно-разностной регуляризации интегро-дифференциального уравнения второго рода. Построен алгоритм конечно-разностной регуляризации обратных задач. Приведены результаты вычислительного эксперимента на тестовых примерах.

N. V. Komissarova

Siberian State Academy of Geodesy (SSGA), Novosibirsk

O.N. Chashin

Siberian University of Consumer Co-operatives (SUCC), Novosibirsk

MATHEMATICAL MODELING THERMAL-TRANSFER MEDIUM CHARACTERISTICS

To solve inverse problems for parabolic equations we used the method of finite-difference regularization of second order integro differential equations. We developed an algorithm of finite-difference regularization of the inverse problem. We demonstrated results of computer simulations for test examples.

Постановка задачи

Математическая постановка: рассматриваются следующие обратные задачи для линейного уравнения параболического типа:

ut - а(х)ихх + b(x)ux + с(х)и, х > 0, i е [О, Т] (1)

“(0,0 = /(0, /2л

“*(о,0 = о,

и(х, Т) = g(x). (3)

Физический смысл коэффициентов уравнения (1) таков: а(х) -

коэффициент внутренней температуропроводности, b(x) - коэффициент, пропорциональный потоку тепла, коэффициент с(х) пропорционален сносу тепла, которые предполагаются не зависящими от времени.

Задача A: Определить пару функций (a(x), u(x,t)), удовлетворяющих

условиям (1) - (3), при известных b(x) и c(x).

Задача B: Определить пару функций (b(x), u(x,t)), удовлетворяющих

условиям (1) - (3), при известных a(x) и c(x).

Задача C: Определить пару функций (c(x), u(x,t)), удовлетворяющих

условиям (1) - (3), при известных a(x) и b(x).

Определяемые функции удовлетворяют соотношениям: а(х) = \ut (х,Т) - b{x)g'{x) - c(*)g(»] / g"(x),

Ь(х) = [щ(х,Т)-а(х^\х)-с(х№х)У£(х), с(х) = [и, (х, Т) - а(х)£\х) - ВДя'О)] / #(», и интегро-дифференциальному уравнению 2-го рода:

(х,1)= ¡(х-г)Р(г,1)с1г. (4)

и

Функция 1' (с;,1) для задачи А имеет вид:

= (“,(£0 - (£0 - с(#М£0) •

___________¿та_______________

Соответственно для задачи В, она равна:

^(£0 = (и,(£0-с(£Ж£0-_а,(^,Г)-а(^Ч^)-С(Ша.,„(^0)/аЮ г'(й ’

Функция 11У<^,1) для задачи С имеет вид:

^(£0 = (**,(£0-*(£)^(£0-

_ . „ЙО)/й(Я.

Описание модели и вычислительного алгоритма

В данной работе проводится тестирование метода в классе экспоненциально убывающих и экспоненциально возрастающих функций для каждой из сформулированных обратных задач. Выбор соответствующих классов обусловлен физическими соображениями: распределение поля

температур естественно предположить функциями экспоненциального вида, а направление роста определяется условиями протекания теплового процесса: происходит поглощение или выделение теплоты.

Для тестирования алгоритма подбиралась функция и(х^), удовлетворяющая

уравнения (1) и условию (2): и(х, 0 = еа1е^+8.

Модель среды, определяется коэффициентами уравнения (1) а(х), Ь(х), с(х), которые выбирались с учетом равенства: а = Р а(х) + Д Ъ(х) + с(х). Так, например, этому условию удовлетворяют функции:

1 я2

а(х) = — --, Ь(х) = е/Ьс, с(х) = а--Ч-----Ре**,

рх +q рх +q

где а, Д <5, р, с/, X, заданные константы.

Решение интегрального уравнения (4) искалось методом последовательных приближений:

п+1,

и

1 (X,■, г 1) = <;■ = |(Х,. - )сЦ + /((,)

0

Производные от функции ы(х,1), необходимые при вычислении подынтегральной функции, определялись через их разностные аналоги:

X

Щ \Ък ’Ь')----------“-----------~~-----“-----,

и ^ _ Ы(^к^ы)~ и(£к ’ *АМ) _ Ык,М ~ ^к,Ы-\

,. . «(4 5 0 ) “ “^*-1 ’ 0 ) ик,] - “*-1,7

^ (4>0)=------------------------ = -------------

Начальное приближение и0 (х,1) выбиралось в виде и0 (х,1) = ).

Интеграл вычислялся с помощью квадратурной формулы трапеций. Информация для решения, функции {(1), определялись с учётом выбранной

модели: /(0 = Ч0> 0 = е°*+<5, g(x) = u(x,T) = eaTe|3x+s. В информацию

независимым образом вводилась случайная аддитивная помеха £ с относительным уровнем до 5%. Количество итераций в методе последовательных приближений выбиралось опытным путём, и бралось не более 10.

В результате было применено сглаживание МНК с помощью нелинейных функций экспоненциального вида, что соответствует как выбранной модели, так и реальным условиям распределения температур. Для /@) аппроксимационная функция выбиралась в виде (р(1) = аеы, для %(х) функция выбиралась в виде ц/(1)

„ Ьх

= ае .

Результаты численного эксперимента

Ниже приведены результаты восстановления функций а(х), Ъ(х), с(х) в обратных задачах А, В, С. Параметры модели: г шаг сетки по ?, 1) шаг сетки по х, Х0, Т в этом случае определяются значением параметра N. На графиках сплошной линией без маркеров показано точное значение функций, график с маркерами соответствует найденному, в результате численного эксперимента, решению функции. Численные значения параметров модели приведены в диалоговых окнах.

При использовании нелинейного сглаживания результаты решения обратной задачи А приведены на рис. 1.

При решении обратной задачи В при нелинейной аппроксимации МНК функция Ь(х) восстанавливается устойчиво при достаточно высоком уровне погрешности (рис. 2).

Рис. 1. Вычисления с применением нелинейного сглаживания в классе экспоненциально убывающих функций. Аддитивная погрешность в

информации 5%

Рис. 2. Вычисления с применением нелинейного сглаживания в классе экспоненциально убывающих функций Аддитивная погрешность в информации

5%

Тестовые расчеты при решении обратной задачи С показали результаты, сравнимые с результатами решения задачи В при аналогичных условиях. Тестовые вычисления дают удовлетворительное восстановление с(х) до уровня относительной погрешности до 10%. Восстановление коэффициента с(х) по зашумленным данным в классе экспоненциально убывающих функций показано на рис. 3.

Рис. 3. Вычисления с использованием нелинейной аппроксимации МНК. Аддитивная погрешность в информации 5%

Вычисления проводились на ЭВМ с процессором Intel Pentium 2,8 ГГц в программной системе Delphi с созданием взаимосвязанных приложений для каждой из исследуемых задач.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бондаренко А.Ф., Чащин О. Н. Регуляризованные решения обратных задач для параболических уравнений. - Новосибирск: 2004. - 18 с. Препринт № 139 / Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН.

2. Чащин О.Н. Регуляризация нелинейных операторных уравнений 1-го рода в шкале банаховых пространств. - Новосибирск: 2001. - 16 с. Препринт № 15. / Изд-во НГУ.

3. Лаврентьев М.М., Комиссаров В.В., Негматова М.Х., Ниматов Х., Чащин О.Н. Численное решение обратных коэффициентных задач для параболических уравнений методом конечно-разностной регуляризации. - Новосибирск: 2008. - 26 с. Препринт №201 / Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН.

© Н.В. Комиссарова, О.Н. Чащин, 2010

6