Математическое моделирование характера распределения контактного давления между внутренней поверхностью конического уплотнителя и стенкой цилиндра Текст научной статьи по специальности «Физика»

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 622.92: 531.787

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ХАРАКТЕРА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КОНТАКТНОГО ДАВЛЕНИЯ МЕЖДУ ВНУТРЕННЕЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ КОНИЧЕСКОГО УПЛОТНИТЕЛЯ И СТЕНКОЙ ЦИЛИНДРА

К.О. РУСТАМОВА

Кавказский университет, Az1012, г. Баку, Азербайджан r.k bdu@mail.rи

На основе теоретических исследований определен характер распределения контактного давления между внутренней поверхностью уплотнительного элемента усеченной конической формы и стенкой цилиндра в зависимости от геометрических размеров и механических свойств уплотнителя при одностороннем его сжатии. Установлена величина осевой нагрузки для достижения герметичности. Выявлена зависимость между величиной необходимой осевой нагрузки для герметичности и геометрическими размерами. Показано, что с увеличением высоты уплотнительного элемента необходимая для достижения герметичности осевая нагрузка также увеличивается. Определен характер распределения контактного давления между внутренней поверхностью конического уплотнителя и стенкой цилиндра.

Ключевые слова: контактное давление, уплотнительной элемент, граничное условие, потенциальная энергия, функционал

K.O. RUSTAMOVA. MATHEMATICAL MODELLING OF CONTACT PRESSURE DISTRIBUTION BETWEEN CONICAL SEALING INNER SURFACE AND CYLINDER WALL

In some cases, sealing the cylindrical surface of the pipe is necessary to carry out by a sealing element having frustoconical shape. This occurs due to the difference of the outer diameters of the pipe and the coupling which passes through the apertures of the sealing element, thereby increasing the gap between the inner surface of the sealing element and the sealed wall of the cylinder. And this in turn leads to a complication to achieve tightness of the cylinder surface. Then, to achieve tightness of the cylinder wall at a low axial load and improve the sealing ability of the sealing element, it is performed in the form of truncated cone. Upon application of an axial load the truncated cone with outer surface sliding along the body, tapers inward thus reducing its inner diameter. This results in a more uniform deformation of the inner cylindrical surface of the sealing element that strongly influences the character of the contact pressure distribution between the cylinder wall and the inner surface of the sealing. The tightness of the body surface of the cylinder wall is achieved by unilateral axial compression of the sealing element. The solution to the problem is performed in two stages. The first step - the compression of the sealing element to its contact with outer surface of the cylinder wall, and the second stage - achieving tightness.

Вasing on the Euler equation we obtain the differential equation of equilibrium of the sealing element. The resulting equation is a differential equation with variable coefficients. Its solution is implemented by Ritz approximation method. The contact pressure between the outer surface of the sealing element and the cylinder wall after their complete contact is determined by analogy of beam on elastic base.

The magnitude of the axial load to achieve tightness was defined. The dependence between the value of the axial load required for tightness and geometric dimensions was determined. It is shown that the higher the sealing element, the higher is the axial load required to achieve tightness. Besides, the contact pressure distribution between the inner surface of the conical sealing and the cylinder wall was defined.

Keywords: contact pressure, sealing element, the boundary condition, latent energy, functional

Введение

Постановка и решение задачи

Уплотнение цилиндрической поверхности трубы в ряде случаев приходится осуществлять уп-лотнительным элементом, имеющим форму усеченного конуса (рис. 1). Это происходит из-за разности наружных диаметров трубы и соединительной муфты, которая проходит через отверстия уп-лотнительного элемента, что приводит к увеличению зазора между внутренней поверхностью уп-лотнительного элемента и уплотняемой стенкой цилиндра. А это, в свою очередь, приводит к осложнению достижения герметичности поверхности цилиндра. Для достижения герметичности стенки цилиндра меньшей осевой нагрузкой и улучшения герметизирующей способности уплотнительного элемента он выполняется в форме усеченного конуса. При приложении осевой нагрузки усеченный конус, скользя наружной поверхностью по корпусу, сужается во внутрь, уменьшая при этом свой внутренней диаметр. Это приводит к более равномерной деформации внутренней цилиндрической поверхности уплотнительного элемента, что сильно влияет на характер распределения контактного давления между стенкой цилиндра и внутренней поверхностью уплотнителя.

Рис. 1. Расчетная схема.

Изучению герметизации стенки трубы уплот-нительным элементом имеющей форму усеченного конуса, посвящен ряд работ [1-10]. Однако в них не учтены краевые эффекты и сильно упрощена математическая модель расчета уплотнительной способности герметизирующего элемента. Поэтому исследование и изучение герметизирующей способности уплотнительного элемента, имеющего форму усеченного конуса, и на этой основе разработка эффективных мер для улучшения его герметизирующей способности имеет как практическое, так и научное значение.

Рассмотрим уплотнительный элемент, надетый на цилиндр с зазором д, упирающим конической наружной поверхностью к стенке корпуса (рис.1). Герметичность поверхности корпуса и стенки цилиндра достигается путем одностороннего осевого сжатия уплотнительного элемента. Решение задачи выполним в два этапа. Первый этап -сжатие уплотнительного элемента до соприкосновения его наружной поверхности со стенкой цилиндра, а второй - достижение герметичности.

Первый этап. Поскольку материал уплотни-тельного элемента является однородным, то в данной задаче его деформацию можно принять осе-симметричной. Тогда можно принять и гипотезу плоских сечений и предположить, что осевая деформация уплотнительного элемента зависит только от координаты z в осевом направлении.

Начало координатной системы поместим в центре нижнего сечения уплотнительного элемента, координатную ось z направим вертикально вверх, а ось г - в сторону увеличения радиуса, как показано на рис.1.

С учетом вышепринятых допущений деформацию уплотнительного элемента м в осевом направлении можно принимать в виде

" = /(2) , (1)

где /(2) - неизвестная функция, зависящая от 2 и подлежащая определению [1, 6, 7].

Принимая материал уплотнительного элемента несжимаемым, будем иметь

1 д(иг) дм _

—-—- +— = 0, г дг д2

где и ( г, 2 )

(2)

деформация уплотнителя в ради альном направлении.

Из выражения (2) с учетом формулы (1) по лучаем

1 ô(ur)

= -f (z)

(3)

(4)

(5)

Тогда из выражения (4) с учетом граничного условия (5) получаем

г дг

Интегрируя выражение (3), получаем

1 ' с

и(г,2) = --г/ (2) + ,

2 г

где Со - постоянная интегрирования. Граничное условие

и\ г=К (2) = 0 .

u =

1 ( R 2( z )

2

Л

- r

f '(z).

(6)

Потенциальная энергия уплотнительного элемента после его деформации с учетом осесим-метричности будет иметь вид [1]

HR(z) ( i ч H f

П = 4тгG J J 1 rdrdz -Jg • f (z)dz

1 (7)

r

где Н - высота, R1, R2 - соответственно внутренний и наружный радиусы уплотнителя, Q - осевая нагрузка для поджатия уплотнителя до первого соприкосновения его внутренней поверхности со стенкой цилиндра, ег, ед, е2 и уг2 - соответственно радиальная, тангенциальная, осевая и сдвиговая деформации [1, 11].

ды

и

е = —, ев =- , е„ =

дw

1 (ды дw , ,й\

дг г дг 'г 2 V дг дг

Тогда из выражения (7) с учетом формул (1), (6) и (8) получаем:

ш

/(г) = с11 1 - соэ-I + с2 sin

ш с3

- + — г,

(14)

2Н) 2Н Н

где С1, С2 , С3 - постоянные.

Постоянное С3 определяется из граничного условия (13)

25НЯ1 ш

С =-----С .

3 я2 - я2 2 2

(15)

Подставим выражение (14) в уравнение

сс^-

(10) и после этого поочередно умножим на ш

2Н

П = 2шО |

1 Я4(г)1п-3Я4(г) +1 я2(2)Я? -1 я4 I/"2(г) +

й( г)

+ 1 2Я3(г)tgаln^-Я3(г^а + Я*Я^а I+

Я,

7

й( г)

Я(г)

+ 1 Я2(г)+ -Я2(г)1п^^ + 2Я (z)tg а1п——- +

8

Я

Я

+ _9_ Я^) - 41 Я,] / "2(г)--2 / "(г)

32 Я2 32 1 / 2яО(Я - Я2

¿г

(9)

где О - модуль упругости сдвига материала уплотнителя.

Из функционала (9) на основе уравнения Эйлера [7,12] будем иметь

^Я4(г)1пв -3Я\г) + Я2(г)Я12 -4Я]р'(г) +

+ ^4Я3 (г^а 1п- 2Я3 (г^а +2Я(z)R1ltgа]<p'(z) +

2Я2 (2а 1п - Л2( г^2а + 2а-2К\г) Я1

- 7 Я2( г)1п Я(г) - — ^ + 41 Я2 4 Я1 16 Я2 16 1

+ 2 q(яo2 - Я2 )= 0, где <Р(г) = /' (г) , q = -

Р( г) + (10)

2

шо(я2 -я*)'

Граничными условиями будут

Яо

/21=Н = 2шО ^^ ,

Я1

Чг=0= 0 , ы (г, г) г=о = -5 ,

'г=Я.

(11)

(12) (13)

где /и - коэффициент трения между шайбой и торцом уплотнителя.

Полученное уравнение (10) является дифференциальным уравнением с переменными коэффициентами. Его решения осуществимы приближенным методом Ритца. Для этого решение дифференциального уравнения (10), удовлетворяющего граничные условия (12), выберем в виде

и 81п__ и полученное выражение проинтегрируем

2Н

по г от нуля до Н . Тогда получим алгебраические уравнения относительно постоянных С1 и С2 . Решая это уравнение, для С1 и С2 получим

С ( ш \ I

25НЯ1

1

В2 - ш В3

В1--шЪ А

Л 24

Я2 - Я1

В2 - ш В3

В3--А

- ^ (Яо2 - Я )

ш у '

ш

2 2 3

( ш ^

В2 В3

1--2-

ш

V 2

• q

(16)

ш

А2 - у А3 ^2

25 НЯ1

Я2 - я1

А - А • с - Н (Я2 - Я2) ш

23

о2 - я2 )• q I'

(17)

где

А = 1

( 3 2

ш . шг ш 2 ш г

16Н ^^ Н 4Н2 2 2Н

ш „ „ . шг

+-83( г)ят —

V 4Н ^ Н

\

dz,

( ш

А =

2 шг ш ш г

3 g1(z)cсs---- g2(z)sln— +

8Н31 2Н 8Н2 2 Н

ш 2 ш г

+-g3(г)ссз -

V 2Н ^ 2Н

¿г!

А =

1 Н

Н 1 g 3(

ш 1

г)ссз-аг,

2Н

( ш3

Н

В = Н

о

В2 =1

8Н

, , . 2 шг ж .... ж г 3 -+-2g2(z)sln-+

3 014 ^ ^ и ои^ ^^^ Н

2Н 8Н1

ш . 2 ш г

+-g3(z)sm -

V 2Н 3 2Н

( ш3

шг ш

ш г

3 g1( z)s1n---- g 2(z)s1n -+

16НЪ ы Н 4Н11 2Н

ш „ „ . шг +-g3( г) sm —

4Н 3 Н

¿г ;

¿г,

С, =

1

С2 =

В =

1 н

7Z

sin-ёх,

2Н

= Л\х) 1п

4,_м_ Л(- 3 Д+ К2(2)К2 ,

Rl

.ВД

g2 (х) = 4Л3 (1п ^^ -2Л + 2К(х)Я^а ,

¡3(х) = 2Л 2(х2а 1п - Л 2(х^2а + 2а -Л1

-2Л 2( х)-^(^ЛМ-^ЛМ +41л12 ' 4 Л1 16 Л12 16 1

Радиальное напряжение в любой точке уплотнителя может быть определено по формуле

аг = фег + ^), (18)

где £ - функция гидростатического давления [1]. Найдем £ из граничного условия

(19)

ст = 0,

Лу =«!( х )

где ВД = Л + и1 (у;х)|у=Л ■

Тогда из условия (19) с учетом выражений (6) и (18) получаем

£ =

Г Л(х)

Л (х)

Л

+1

/'00.

(20)

Осевая нагрузка Q для поджатия уплотнителя до первого соприкосновения его внутренней поверхности со стенкой цилиндра может быть определена по формуле

7л2 - л2К[=Н = Q. (21)

С другой стороны

СТ = в(2ег + £). (22)

Из выражения (21) с учетом выражений (14), (15), (16), (17), (20) и (22) получим

q =

Л22 ; + 3 I/'(н )

л.2 (н)

(23)

где ц =

Q

- Л12) ■

С другой стороны, из граничного условия (11) будем иметь

ц = 2л0 -лл-л г н) + /'(Н). (24)

У 6Я(Ло + Л,) я(Ло + )

Приравнивая выражения (23) и (24), определим ц в явном виде

= 3 -1Г2а^ - аЬ I 1Г2а^ - аЬ | Г- аУ ц = \ 21 17 Т+сМ 41 17 Т+с1 +1 У+з +

з-1Г 2а^ - аЬ + V 2 [ 17 Т+с

1 Г 2а3 аЬ 4 [ - Т

- + с I +

а2 Ь

--+ —

9 3

где

а = -

4 НЛ1Н2

Н | Н ( а5 -(1 + а4 ) а2 )-77н1 (а2 а4 - а5

7

6Я2 ^ 77 (1+а4) а1- 77 аз+аб )

71 Я2 (а5 -(1 + а4 ) а2 )-^ТН1 (а2а4 - а5 )) 7 (а3 - а1а4)

2Н |Н2 (а5 - (! + а4 ) а2 ) - 71 (а2а4 - а5 )

2Н! (а2 а4 - а5 )| Н Г 77 (1 + а4 ) а1 - 77 а3 + а6 Л11

Л I Н2 (а5 -0 + а4 ) а2 )-^ (а2 а4 - а5 ) I (а5 - О + а4 ) а2 )

Ь =

а5 -(1 + а4 )а2

{ 2 \ (а2а4 - а5 ^ [Г, (1 + а4 )а1 - 77 а3 + а6"]+ Л1

[Н2 (а5 - (1 + а4 К ) - 71 (а2а4 - а5 ) |(а5 - (1 + а4 К )

12н2 77(1+а 4 )а1- 77 а3+а611

-(1 + Я4)^2)--7Н1 (а2 а 4 - а5 ))

2Н1 (а3 - а1а4 ^||77 (1 + а4 )а1

а3 + а6 1 + Л1

Н3 [Н2 (а5 -(1 + а4 К )- 77Н1 (а2а4 - а5

Л12Н2 - Л2

7 Л3

4Н 2 ||Н2 (а5 -(1 + а4 )а2 )-§ (а2 а4 - а5 )|1

16НЛ1Н21 — (1 + а4 )а1 -—а3 + а{

Н31 Н2 (а5 - (1 + а4 )а2)--- (а2 а4 - а5)

яН1

2 Н

(а5 -(1 + а4 К )2

- X

(Л12Н2 - Д2 (7 (1 + а4 К - 77 «3 + а6

7-(1 + а4)а)-7^(а2а4 -а5)

8Н2 Ж /, \ ж

2Н

2 Л1Н2 [ 2 (1 + а4 )а1 - 2 а3 + а6 78Н [[Н2 (а5 - (1 + а4 )а2 ) - 72н1 (а2а4 - а5

1

X

X

+

+

+

+

2

ж

1

+

2

л

8А2 [ У ^ + ^1 " 2 аз + аб

Х (а5 - (1 + а4 )а2 ) - ПН (а2 а4 " а5 ^

Х (аз - а1а4 ^ [Л (1 + а4 )а1 - ПП аз + аб ) + К1 (а5 - (1 + а4 )а2 ) - ППН1 (а2 а4 - а5 )

2 Л

1

2®^

В2 - п В3

В1--Л- А1

А2 - У А

Я2 - Я1

В2 -7Г В3

В3--2— А.

3 л ~

А2--А3

2 2 3

Н,

л

Я - Я )

В2 - п В3

В1--пг~ А1

А — А

1 -

В — В,

2 2 3 ,< л

А2 - ^ А3

2

23НЯ1

А2 - п А3 Я - Я1

2 2 3

Л Л А

А -—А,

(Я - Я)

а =

Я, л

. л .

А2 А3

2 2 3

28НЯ

а =--—

а6 я22 - л2

Из выражения (25) определяется величина осевой нагрузки, необходимой для поджатия уплот-нительного элемента до первого соприкосновения его наружной поверхности со стенкой цилиндра.

Второй этап. Теперь определим величину осевой нагрузки, необходимой для полного соприкосновения наружной поверхности уплотнительного элемента со стенкой цилиндра. Начало координатной системы также поместим в центре нижнего сечения уплотнительного элемента, ось г направим вертикально вверх, а ось Г - в сторону увеличения радиуса, как показано на рис. 2. Принимая гипотезу плоских сечений и, соответственно, предполагая, что осевая деформация уплотнительного элемента зависит только от координаты г в осевом направлении, можно также принять

^ = У1( г), (26)

где w1 - осевая деформация сечений уплотнительного элемента, /(г) - неизвестная функция, зависящая только от г .

Тогда из условия несжимаемости (2) с учетом формулы (26) получаем

1 ' с

Щ =--Г/1 (г) + —

2 г

(27)

Рис. 2. Расчетная схема.

Граничное условие

и, = 0.

1 г=Я ( г )

(28)

Тогда из выражения (27) с учетом граничного условия получаем

и, = -

1( Я2(г)

2

- г I /(г).

(29)

Для потенциальной энергии уплотнительного элемента после его деформации с учетом осесим-метричности будем иметь

И Я(г) / 1 \ И ,

П = 4лG\ | \е2г+е1+е1+ ^ Г2 I rdrdг-{ Р • / (г^г

3 (30)

где Р - осевая нагрузка необходимая для полного соприкосновения наружной поверхности уплотнителя со стенкой цилиндра, Я(г) = Я2 + г • tga ,

&а =:

Яо - Я

Н

2, И = Н-|Д, Д = /(Н).

Подставляя выражение (29) в формулу (8), а полученные результаты в выражение (30), а далее интегрируя его по г , из полученного функционала на основе уравнения Эйлера [6, 12] будем иметь

Я4 (г) 1п Я(г) 3»4— 2

Я —АЯ4 (г)+ --^фф +

+ 1 4Я3(г^а1п-2Я3(гХ?а + 2R(г)R^tga к'(г) +

ФДг) +

Я3

2Я2 (г) tg 2а1пЯ(г) - Я2 (г) tg 2а+ Я 32 tg2а -

Я 3

-2К2 00-!к 2(г)1пЯ(г) --9^ + 41Я2

4 Я3 16 Я2 16 3

33

+2 ^ (я2( И ) - Я 2 )=о,

(31)

где с4 - постоянная интегрирования.

где ф(г) = / (г).

3

+

а4 =

Г

+

Граничными условиями будут

R(h)

uP\ = 2nG J y rdr ,

' I z=h J ' zr

(32)

где

t / 3 2 л

л г1 я i, ч ■ я я 1, ^ 2 я я i ✓ ч ■ ^z

A =J|-gJ(z)sinh + g\(z)cos + 4hgi(z)sinhf

w, = -S(z),

1 r=R1 (z) v '

w, I = 0,

1 z=0 '

(33)

(34)

ГДе ВД = ^ + м(г,2)|г=% , = 8 + и (г,2))^ .

Полученное уравнение (31) является дифференциальным уравненем с переменными коэффициентами. Поэтому решение его осуществима приближенно методом Ритца. Для этого решение дифференциального уравнения (31), удовлетворяющего граничные условия (34), выберем в виде

h

A = J

^ я3 \ 2 nz я2 \, ч . я z ^

--гg\ (z)cos----g2(z)sin — +

8h31 2h 8h2 2 h

я ч 2 яz +—g3(z)cos —

V 2 h 2 h

dz '

1 h

A = h №)

r/\ m яг | . яг c7

f (z) = c51 1 - cos— 1 + c6 sin--+ — z,

\ 51 2h \ 6 2h h

(35)

B\ =J

Ж ,

cos — dz , 2h

Л

где c5, c6 и c7 постоянные, подлежащие определению.

Постоянное c7 вычисляется из граничного условия (33)

2h5(z)R, (z) я . я я я - -- W \W - c sin--c,— cos--(36)

52 =J

( я3 \ . 2 яz я2 ; . яz

--5" gi (z) sin -+-- g2 (z) sin-+

8h3 1 2h 8h h

я \ , ч • 2 яz + — g3( z )sin2-

v 2h 2h

/ 3 2

я \ , . . m я \ , . . 2яz

-- g\( z)sin---- g2( z)sin — +

h 4h 2h

dz,

Л

я ч • яz

+-g3(z) sin —

4h 3 h

dz,

R2(z) - R2 (z) 5 2

2h

-cos —. (36) \ "f \ . . .

2 2h = - J g-(z)si

Подставим выражение (35) в уравнение (31) и

Я 2

после этого поочередно умножим на С08_ и

2h

. Я 2

51П_ , полученное выражение проинтегрируем по

2h

2 от нуля до И . Тогда получим алгебраические уравнения относительно постоянных с5 и с6 . Решая эти уравнения для с5 и с6 , получим

- = | S3(z)sin fhdz,

gl(z) = R\z)InR(z)--R4(z) + 2)R- -\

R3 4

--R4 ,

g2 (z) = 4R3 (z^tgo In - 2R3 (z)tgo + 2R (z)R32 tgo ,

R3

gJ(z) = 2R 2(z)tg2o ln ^^ - R 2(z)tg2o + R32tg 2o -

(^ л, А, я я A AJ - A-—cos —

A---2-2h5\

D\ D\ я я B2 -B3 —cos — 2 3 2 2h

-2 R 2( z) - 7 R 2( z )ln

2 h5(z)R\(z)

«2(z ) -Л 2(z)

V_v

((

A - A3—cos — \ - 2 3 2 2h

D\ D\ я я B2 - B3 — cos — 2 3 2 2h

;(R 2(h) - R2 )• p

R.

R(z) 9 R4(z) + 4\ R2

----2—I--R

R3 \6 R32

(37)

a; -

\ \ я . я B, - B3 — sin — 1 3 2 2h

D\ D\ я я? B; - B; —cos — 2 3 2 2h

a;

a

я

2

VV

\ \ я . я B, - B3 —sin — ■я \ 3 2 2h

sin-----— 1

2h D\ D\ я я B; - B; — cos — 2 3 2 2h

2h

^ 16 Л32 16

Осевое усилие, необходимое для деформации уплотнительного элемента до полного соприкосновения его наружной поверхности со стенкой цилиндра, может быть определено по формуле

я(я2(И) - % }гг| и = Р , (39)

4 7 2=И

где о2 - осевое напряжение в любом поперечном сечении уплотнительного элемента.

После полного соприкосновения наружной поверхности уплотнительного элемента со стенкой цилиндра граничное условие на верхнем сечении его будет

(40)

o\r =R3 = 0 .

z=h

Тогда из выражения (18) с учетом граничного условия (40)получим

D1 D1 п B - B, — cos —

2 3 2 2h

( 2hSizRjz) и1 R2(z) - R2(z)

h

1 я rnz B;1 -| B,1 - B3 — sin — 3 2 2h

5 =

'-(R 2(h) - R2 )• p

fR 2(h)

v R32

+1

fi (h).

(41)

Из выражения (39) с учетом выражений (22) и (41)получим

(38)

Р =

íp 2 ^

%+3

V Ro \

f2 (h),

(42)

а, =

c

1

c, =

X

гДе p =

P

лG{R 2 (И) - Rз2) С другой стороны, из граничного условия (32) будем иметь

р = 2R2 (К)-R0Rз -^ " + 2R(h)tga ' . (43)

6^(К(И) + R3) 1 1л(К(И) + R3) 1 Тогда из выражения (42) и (43) с учетом формулы (35) и выражений с5 , с6 и с7 получим

Р = -

1

^ S(h) Ri(h) +v 1 R2(h)-R 2 (ft) 2

S'(h)Ri(h) + S(ft)R (h) R2(ft)- R2(ft)

+ V

- 2 hv

+4 hv

S(h)R1(h) R(ft)tga-R^R (ft) -R 2(h) - R12 (h) ^(ftj-R2^)

S"( h) R1( h) + 2S'( h) R1' (h) + S( h) R" (h)

R 2( h) - R12( h)

t tt S( h) R1( h) tg2 a - R12( h) - R1( h) R1 (h)

4 R2(h) -R12(h) " "

+ 8hv4

-16hv

гДе

vo ="

R 2( h) - R12( h)

Г Г '

S'(h)R;(z) + S(ft)R (h)R(h)tga-RR;(h)R^ (h)

R2(h)-R 2(h)

R 2(h) - R12 (h)

\2 Л

S(h)RR1(h f^^-Ri(h)Ri(h)

4 R2ft)-R12ft) (R2(A)-R2(A))2

(44)

Я

(( r

n

VV V

^ Ro2 - R' )x

1i $- nК n 1)-

Л +

h 1 nJ V n ( „ n2 B; ^ + n Я - 16h Л$3 p + 4 f$2 - 2hB[ $3J

+ Л + Л)Bl -1Л + Л)Bl -^Л ^

. С

Л +

4 8h Bl

4 V 2h J 3 4 I h

n^J.

16h яГ

*11 ["^ l4 1 - HVi

v1 = —LЛ6[ 2h$; -П(4h$2 -n2 Я$3)) + —-LЛЛ$3 -

1 B1 6 V 8hB1 V 2 B1 JJ i6h b;2 643

n2 Тг Г 4h^2 - nB1 $3 Y b; -n B3 V2 + -Л Л2$з -

31Ч b2 Blh4 1 2 3 J 6 4h B12

8h B.

' 1 (Bl - f B1J «3 + f B^ (B1 - Blf I^62f3 +

2

.4 n1

,14 2

Bl

(_ 2 f

Bl

2hV

V v

1 - n яТГ; - яТ 2 Bl V B2

4

Л +

^ fl-ЯТ 2

4 I

1 ( Я1

v2 =-^Л1 2h%2-n2 Bp $3

1

-n"^- [ B;1 - Bl- - 2h

2Л

Bl

4 + ll|Л

h V Bl 1 5

V3 = 2 Я Л l 2h$2

- n2) + 2n2 -i- (B;1 - Я3n +

я; J Я;3 V 1 216i3

+8л4 - 2n2 V1-^ ^ л+4h(i - я;1 )л ■

V4 = ,1т Л$3 + Л4 (l - ЯЯ1) ■ Л4 = 2R 2(h) - R0 R3 - R32

Bl

Bl

6/j(R(h) + R3)

Л = 2R(h)tga - R2(h) - 3 ,

¡-i(R(h) + R3) R

Л =

Л7 =

Л, =

41B1 - 4B3

- n a; HB1 - B1 n) я^Г

Al - Bl

Al ^ Al | -1 Bl - Bl^

1 n1 A;

2 J Bl

a;b;

A; -nA- |-[ B; -B; n| A;

2

2 J Bl

$ = n

$ 4h

-li - §' 1Л +

2h

1 [ n2 Я3

$2 = (

Bl 2h Bl

B1

h i-7 ят I1 - ят )-1)Л4- Л

Bl

я -B-i J

B

л

Bl J

V Bl - Bl n +

-nJ-я1тVBl -Я1 n

J7

/

$3 =

S(h) = Ri(h)=

1 - и-я1т Г B1 - Bi к|Л

S+i l Riffi _ R

2 V R

Ri + i f R2(h) - Ri 1 2 V Ri 1

n nh c,-sin--+ c.

1 2Hl

2H

nh 2H

n .....

c;-Sin--+ c2

1 2 H " "

n nh c3

-cos--

2H 2H H

nh

n nh c3 |

-cos-+ — |

2H 2 H H J

1 (R 2(h) n2 nh n2 . nh 1

R; (h) =-l ——-R; |l c;--cos--c2--sm-| +

21 R JV 14H2 2H 4H2 2H J .

R(h)tga [ n

nh

nh c

c.-sm--+ c-cos--+ —

R; V 2H 2H 2H 2H H

Контактное давление между наружной поверхностью уплотнительного элемента и стенкой цилиндра после полного их соприкосновения можно определить по аналогии балки на упругом основании

(z) = • "o(z) - (45)

где k0 - коэффициент постели.

V

2

1

1

X

n

u0 (z) = R1 - R3 + u (r, z)|

r=Ri

(46)

Если при этом не обеспечивается герметичность стенки, тогда продолжают сжимать уплотни-тельный элемент. Тогда на расстоянии г от нижнего основания уплотнителя выделим кольцевой элемент высотой dz и составим для него уравнение равновесия

n{R2(z)-R32)<z -<z-^dzj + 1пКъdz +

(47)

dz dz +r1 • 2ж R(z)--+ Nsina • 2жR(z)-

= 0

cos a cos a

где т , Tj - касательные напряжения, c другой стороны, с учетом несжимаемости материала уплотни-

теля закона теории скольжения получим [7]

х = ¡и • <г ; N = <г cos a ; т1 = ¡и • N ; < =

V

1 -V 2

(48)

где ¡л - коэффициент трения, V - коэффициент Пуассона.

Подставляя выражение (48) в уравнение (47) и проинтегрировав полученные выражения с учетом граничного условия <\ = < , получаем

=<0 -(R(z) - R3 Г" (R2(z) - R32 >

(49)

где <0 - осевое напряжение в сечении уплотни-

тельного элемента, где приложена сила сжатия.

Распределение контактного давления между внутренней поверхностью уплотнителя и стенкой цилиндра может быть определено из выражений (45) и (49) следующим образом

(50)

< =1--

1 -v

тогда из выражения (50) с учетом формул (45) и (49) получим

< ( z ) =

1 -V

(l-v)tga , . _cosa

•( R (z) - R3) (R 2( z) - R32 )1-v +

+ k0 • u 0 ( z )

(51)

Величина a0 может быть определена из условия герметичности

^

V / \(1-v)t£a / г. r.\-?—cosa / \ «

--a0 •(R(z) - R3 ) (R (z) - R32)1-V + k0 • u0 (z)> P*

1 - V

где P* - давление среды.

Произведен численный расчет по формулам (25), (44) и (51) значений осевой нагрузки, необходимой для первого и полного соприкосновения наружной поверхности уплотнительного элемента со стенкой цилиндра, а также характера распределения контактного напряжения ог при следующих значениях параметров: R0 = 0.118 м, R1 = 0.04м , R2 = 0.1 м, R3 = 0.037 м , S = 0.003 м, P* = 2-107 Па , G = 1.3 • 108Па , k0 = 6.7-107Па/м, ц = 0.5 , v = 0.25.

Обсуждение результатов

Результаты численных расчетов представлены на рисунках 3, 4, 5. Как видно из рис. 3, величина осевой нагрузки, необходимая для первого соприкосновения наружной поверхности уплотнителя со стенкой цилиндра с увеличением высоты уплотнителя, сначала растет, а потом стабилизируется и в некотором значении высоты перестает расти. Осевая нагрузка, необходимая для полного соприкосновения наружной поверхности уплотнителя со стенкой цилиндра, с увеличением высоты уплотнительного элемента также растет (см. рис. 4).

Рис. 3. График зависимости осевой нагрузки, необходимой до первого соприкосновения внутренней поверхности уплотнителя то стенкой цилиндра от его высоты.

Рис. 4. График зависимости осевой нагрузки, необходимой до полного соприкосновения внутренней поверхности уплотнителя то стенкой цилиндра от его высоты.

сг

V

V

Г|. 0.1 U J 0.3 0.4 I.': 0.6 0.3 O.S 0.S ^ 1

Рис. 5. График зависимости характера распределения контактного давления между наружной поверхностью стенки цилиндра и внутренней поверхностью уплотнительного элемента в зависимости от координаты z .

Из рис. 5 видно, что контактное напряжение между наружной поверхностью уплотнительного элемента усеченной конической формы максимальное значение принимает в его нижнем сечении и с ростом координаты z оно уменьшается и в верхнем сечении, где приложена осевая нагрузка, принимает наименьшее значение.

Заключение

Получено аналитическое выражение (51), позволяющее определить характер распределения контактного давления между внутренней поверхностью уплотнителя и стенкой цилиндра в зависимости от его физико-механических свойств и геометрических размеров с учетом краевых эффектов.

Литература

1. Лавендел Э.Э. Расчет резинотехнических изделий М.: Машиностроение, 1976. 232 с.

2. Dymnikov S.I., Lavendelis E.E. Calculations of rigidity of rubber elastic elements of arched and conical rubber-metal shock absorbers // Scientific Proceedings of Riga Technical University. Series 6: Transport and Engineering (Mechanics). 2002.Vol. 7. P. 164-169.

3. Gonca V., Shvabs J. Definition of Poisson's Ratio of Elastomers // 10th International Scientific Conference "Engineering for Rural Development" Proceedings, Latvia, Jelgava, 2627 May 2011. P. 428-434.

4. Gonca V., Shvabs J., Kobrinecs R. Rigidity of Rubber-Metal Elements with Thin Layers at Compression // Environment. Technology. Resources: Proceedings of the 7th Internаtional Scientific and Practical Conference, Latvia, Rezekne, 25-27 June 2009. P. 222-226.

5. Shvab Y., Gonca V. Regularization of the boundary value problems for incompressible material // Scientific Works of Riga Technical

University. Mechanical Engineering. Nano-technology. Composite and Rubber Materials. 2012. P. 77-81.

6. Аббасов Э.М. Определение параметров уплотнительного элемента пакера при одностороннем его сжатии//Научно-техническая конференция по динамике и прочности нефтепромыслового оборудования. Баку, 1989. С. 2528.

7. Аббасов Э.М., Кахраманов Х.Т., Рустамова К.О. Определение контактного давления между наружной поверхностью уплотнительного кольца и шибера прямоточной задвижки // Proceedings. 2013. № 3. С. 57-59.

8. Бидерман В.Л. Сжатие низких резинометал-лических амортизаторов и прокладок // Изв. АН СССР. Мех. и Маш. 1962. №3. C. 154158.

9. Бидерман В.Л., Сухова НА. Сб. Расчеты на прочность // Журн. Машиностроение. 1968. Вып. 13. C. 113-119.

10. Бидерман В.Л., Сухова Н.А. Расчет резиновых амортизаторов при больших деформациях // Резина - конструкционный материал современного машиностроения. М.: Химия, 1967. C. 106-112.

11. Канторович Л.В., Крьлов В.И. Приближенные методы высшего анализа. Л.: Физмат-изд, 1962. 708 с.

12. Амензаде ЮА. Теория упругости. М.: Высшая школа, 1976. 272 с.

References

1. Lavendel E.E. Raschet rezinotexnicheskix izde-liy [Calculation of mechanical rubber goods]. Moscow: Mashinostroenie [Mechanical engineering], 1976. 232 p.

2. Dymnikov S.I., Lavendelis E.E. Calculations of rigidity of rubber elastic elements of arched and conical rubber-metal shock absorbers // Scientific Proceedings of Riga Technical University. Series 6: Transport and Engineering (Mechanics). 2002.Vol. 7. P. 164-169.

3. Gonca V., Shvabs J. Definition of Poisson's Ratio of Elastomers // 10th International Scientific Conference "Engineering for Rural Development" Proceedings, Latvia, Jelgava, 26-27 May 2011. P. 428-434.

4. Gonca V., Shvabs J., Kobrinecs R. Rigidity of Rubber-Metal Elements with Thin Layers at Compression // Environment. Technology. Resources: Proceedings of the 7th Internаtional Scientific and Practical Conference, Latvia, Rezekne, 25-27 June 2009. P. 222-226.

5. Shvab Y, Gonca V. Regularization of the boundary value problems for incompressible material // Scientific Works of Riga Technical University. Mechanical Engineering. Nanotech-nology. Composite and Rubber Materials. 2012. P. 77-81.

6. Abbasov E.M. Opredelenie parametrov uplot-nitel'nogo elementa pakera pri odnostoronnem ego szhatii [Definition of parameters of a sealing element of packer at its unilateral com-

pression] // Nauchno-texnicheskaya konferen-tsiya po dinamike i prochnosti neftepro-mis-lovogo oborudovaniya [Scientific-technical Conf. on Dynamics and Durability of oil-field equipment], Baku, November, 1989. P. 25-28.

7. Abbasov E.M., Kakhramanov Kh..T., Rustamova K.O. Opredelenie kontaktnogo davleniya mezh-du naruzhnoy poverxnosti uplotnitel'nogo kol'tsa i shibera pryamotochnoy zadvizhki [Definition of contact pressure between external surface of a sealing ring and gate of direct-flow slide-valve]// Proceedings. 2013. No. 3. P. 57-59.

8. Biderman V.L. Szhatie nizkix rezinometal-licheskix amortizatorov i prokladok [Compression of low metal rubber shock-absorbers and fillers] // USSR Ac. Sci. Bull. Mech. and Mash. 1962. No. 3. P. 154-158.

9. Biderman V.L., Suxova NA. Sb. Rascheti na prochnost' [Calculations on durability] // Ma-shinostroenie [J.Mechanical Engineering]. 1968. Issue. 13. P. 113-119.

10. Biderman V.L., Suxova NA. Sb. Rezino-kons-truktsionniy material sovremennogo mashinos-troeniya [Calculations of rubber shock absorbers at large deformations/ Rubber is a constructional material of modern mechanical engineering] // Moscow: Chemistry. 1967. P. 106-111.

11. Kantorovich L.V., Krilov V.I. Priblizhennie me-todi visshego analiza [Approximate methods of higher analysis]. Leningrad: Phys.&Math. Publ., 1962. 708 p.

12. Amenzade YuA Teoriya uprugosti [The elasticity theory]. Moscow: Visshaya shkola [Higher School], 1976. 272 p.

Статья поступила в редакцию 11.09.2014.