CC BY
10ISSN 0136-4545 ^Курнал теоретической и прикладной механики.
№4 (77) / 2021.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ
УДК 51-7:004.052
©2021. Л.А. Лазебная
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В АНИЗОТРОПНОЙ СПЛОШНОЙ СРЕДЕ: ПРИМЕНЕНИЕ К УГОЛЬНЫМ ПЛАСТАМ
Рассматривается процесс движения жидкости в угольном пласте, представляющем собой трещиновато-пористую среду. Математическая модель формируется с учётом выраженной анизотропии среды, что обуславливает явление неравномерного распространения жидкого агента. Для исследования параметров течения предлагается алгоритм численного решения поставленной краевой задачи.
Ключевые слова: анизотропная среда, угольные пласты, модель движения жидкости, напорная фильтрация, анализ параметров распространения, численный анализ модели.
Введение и постановка задачи. В комплексе средств предотвращения негативных проявлений в свойствах угольных пластов при подземной угледобыче обязательным мероприятием является предварительное нагнетание жидкости в разрабатываемую зону. Трудами многих исследователей созданы основы теории и технологий процесса гидравлической обработки угольных пластов, однако многие проблемы в этой области требуют дальнейшего решения. В частности, углубленного исследования требует явление, связанное с наличием в угольном пласте трещин и пустот, содержащих находящийся под давлением газ, что обуславливает эффекты неравномерного распространения фильтрующейся жидкости. Как показано в работах ряда авторов [1—3], эффективным методом исследования динамики распространения жидкости в анизотропном угольном пласте для установления закономерностей движения и взаимодействия потоков при нагнетании жидкости является математическое моделирование эффектов гидравлического воздействия. Поэтому вопросы дальнейшего развития методов математического моделирования применительно к процессам движения нагнетаемой жидкости в угольных пластах с учётом анизотропии их фильтрационных свойств являются актуальными в фундаментальном и прикладном аспектах заданиями теории математического моделирования.
В данном контексте, целью настоящей работы является разработка математической модели фильтрации жидкости в угольном пласте с учетом выраженной
анизотропии среды и обоснование алгоритма численного решения поставленной задачи.
1. Описание и метод анализа усовершенствованной модели. К настоящему времени сформированы системы уравнений, позволяющие эффективно решать задачи подобного рода, однако нерешённые вопросы пока остаются. В соответствии с физической сущностью и спецификой процесса движения жидкости в угольном массиве, формулируемые уравнения фильтрации в прикладной расчетной модели должны удовлетворять следующим условиям:
- обеспечивать неявное вычисление координат фронта движущегося потока жидкости;
- обеспечивать возможность исследования жесткого, упругого и нелинейно-упругого режимов фильтрации;
- допускать эффективное численное решение.
В случае п -мерной постановки, уравнение упругой фильтрации жидкости в анизотропном пласте может быть записано в виде:
дР
— = (Ну [А (Р) дгас1Р]; (1)
\(Р) — < Х* > ^ _ Дхг, (2)
I X, X <1г - Дхг; ( )
где г - номер и Дхг - некоторое малое приращение координаты; х - коэффициент пьезопроводности, определяемый согласно [1, 2].
При необходимости исследовать нелинейно-упругий режим фильтрации, коэффициент х в выражении (2) заменяется, согласно [2, 4], на произведение Х(1 + аР).
Уравнение (1) решается численно с использованием метода конечных разностей. Применение разностных схем к решению краевых задач для нелинейных уравнений параболического типа при п > 2 подробно описано в работах [1, 4]. При использовании этого метода для решения уравнений (1)-(2) величина ДХг принимается равной шагу сеточной области.
Присоединяя к уравнению (1) начальные и граничные условия, соответствующие различным технологическим схемам и режимам воздействия, можно получить математическую модель гидравлического воздействия на угольный пласт в режиме фильтрации. При этом, полагая Р — Р — Ро, начальное условие рассматриваемой задачи можно записать в виде
Р (х, у, г, 0)—0. (3)
Уравнение (1) с соответствующими конкретной области краевыми условиями представляет собой математическую модель напорной фильтрации жидкости в угольном пласте. Для решения краевой задачи на основе уравнения (1) может быть применен конечно-разностный метод, основы которого для нелинейных параболических уравнений с разрывными коэффициентами разработаны акад.
А.А.Самарским [3, 5], со схемой продольно-поперечных направлений (схемой Дугласа) [1, 3]. При этом рассматриваемое уравнение представляется в виде
др т
д_
дх
к(р)
др дх
+
д_
ду
к(р)
др ду
Область определения функции р(х, у, г) покрывается сеткой:
хг = г ■ Ах, г = 0,1,2,...,п; Уз = 3 ■ Ау, 3 = 0,1, 2,...,т; гк = к ■ Аг, к = 0,1,2,... Каждый шаг по времени реализуется в два приема: 1.
к+0,5 к Рг,з ~Рг,з =
0, 5 • Д*
(1 к+0,5 к+0,5 _ (1 к+0,5 , т.к+0,5 к+0,5 , ,к+0,5 /г+0,бЛ . Уki+0,5,jрг+1,3 Уki+0,5,j + к—0,5,]) рг,3 + кг-0,5,]рг-1,3 ) +
Ах2
(4)
(5)
2.
+
р
к+0,5
г,3
-р
г,з
0, 5 • Аг
1 Л к+0,5 к+0,5 _ (1 к+0,5 , ,к+0,5 Дж2 ^+0,5,^4+1,3 \кг+0,5^ + к
Ау2
г—0,5,3
(кк+1 рк+1 _ (кк+1 + кк+1 > рк+1 + кк+1 р \кг,3+0,5рг,з+1 \кг,з'+0,5 + кг,з-0,5^ рг,з + кг,з-0,5р-
к+0,5 , , к+0,5 к+0,5\ , (6)
рг+ , + кг-+0,5,зРг+1,3 ) + (6)
рк+1 •,,3-0,5рг,з-1
Исследование схем удобно производить с масштабированными (нормированными) переменными.
Проницаемость пласта отличается не только вдоль различных осей. Структура пласта весьма сложна, и картины фильтрации, полученные ранее, дают идеализированное представление о характере процесса. При описанной форме области воздействия, распространение влаги должно происходить равномерно, чего на самом деле не наблюдается. Следовательно, параметры модели необходимо подобрать так, чтобы получать более реальную картину процесса. Один из путей подбора таких параметров - задание анизотропии пласта по всей области фильтрации независимо от направления осей; при этом, естественно, необходимо учесть, что коэффициент проницаемости вдоль оси Ог в любом случае в
1
несколько раз меньше проницаемости по простиранию (вдоль оси Ох). Поскольку пласт состоит из блоков с разной проницаемостью, пересечен трещинами различного происхождения, то в нем можно выделить некоторые области с различной величиной коэффициента фильтрации, и соответствующим образом задать набор коэффициентов проницаемости. Ввиду того, что выделить на практике такие области, не проникнув в пласт, невозможно, в первом приближении можно задать набор коэффициентов проницаемости хаотично, используя таблицу случайных чисел. Благодаря этому приему становится возможным исследовать процесс фильтрации в условиях, более близких к реальным по сравнению со случаем, когда проницаемость усредняется по трем (двум) направлениям.
Величинами, оказывающими влияние на характеристики фильтрационного потока, согласно уравнению (1) являются: давление жидкости и его градиент, коэффициент проницаемости и пористость пласта, вязкость жидкости, расстояние и время движения. Равномерность распределения жидкости по пласту предполагает равенство скоростей движения ее фронта в каждой точке в один и тот же момент времени.
Очевидно, что для достижения этого равенства в условиях анизотропного пласта при неизменном режиме работы скважин необходимо добиться уменьшения объемной скорости в направлении высокой проницаемости и соответственно ее увеличения в слабопроницаемых областях. Другими словами, при каскадной обработке количество жидкости, движущееся в направлении высокой проницаемости, должно быть существенно ниже, а в направлении низкой проницаемости - выше, чем при нагнетании через одиночную скважину. Установление этого факта будет свидетельствовать о принципиальной возможности повышения равномерности обработки при применении каскадного способа. Количественные оценки указанных изменений дадут возможность предварительно судить о степени повышения эффективности воздействия.
2. Результаты численных исследований. При исследовании возможности преодоления фильтрационной анизотропии, пористость пласта, вязкость жидкости и ее давление на скважинах предполагались постоянными; варьировались площадь, коэффициент проницаемости и расположение слабопроницаемых областей.
На рисунках 1 и 2 показаны линии равного давления жидкости (в долях давления на скважинах) для плоскопараллельного и радиального потоков при нагнетании через одиночную скважину и каскад в момент, соответствующий началу взаимодействия потоков при каскадной обработке. Пунктиром на рисунке отмечены границы слабопроницаемой области.
Результаты расчетов показывают, что давление жидкости в плоскопараллельном потоке вблизи границ слабопроницаемой области при групповом нагнетании в 2-3 раза выше и приближается по величине к давлению на скважинах; это соответствует предполагаемой физической картине движения и взаимодействия потоков при групповой обработке. Для радиального потока разница давлений не так существенна (рис. 2).
$ Ю а £ /Я )£ А?
Рис. 1. Распределение относительного давления жидкости в плоскопараллельном потоке в окрестности слабопроницаемой области а) одиночная скважина; б) группа скважин.
Рис. 2. Распределение относительного давления жидкости в радиальном потоке в окрестности слабопроницаемой области а) одиночная скважина; б) группа скважин.
Это объясняется тем, что при плоскопараллельном движении жидкости, во-первых, больше площадь взаимодействия потоков, во-вторых, потоки движутся навстречу друг другу, а не под углом, что обуславливает их более эффективное взаимодействие.
Расчет скоростей движения фронта фильтрующейся жидкости в различных точках показал изменение направлений их векторов в сторону слабопроницаемой области и увеличение модулей этих векторов, что способствует более быстрому насыщению участков с низкой проницаемостью.
Равномерность обработки достаточно полно определяется наличием необработанных участков и степенью разброса значений прироста влажности в проектной зоне воздействия. В связи с этим, для оценки качества обработки выбраны коэффициент относительной величины необработанных участков
г/= |^-100, % (7)
эр
где Бн - площадь необработанных участков, Б - площадь проектной зоны воздействия, а также коэффициент вариации относительного прироста влажности, определяемого по давлению жидкости в каждой точке, описываемый выражением,
Уд = у дцг-— • 100, % (8)
в котором АШг и А\¥ - значения прироста влажности соответственно в 1-й точке и среднее по обрабатываемой зоне;
АWi = Д^расЧг / АШтах, (9)
где А^расЧг - прирост влажности в 1 -и точке, А^тах- максимальный прирост влажности.
Для оценки эффективности каскадного воздействия используются величины, определяющие относительное уменьшение необработанной площади
э^ = Ян-° " Бн-К • 100, % (10)
Бн.о
где Бн.о и Бн.к - площади необработанных участков при нагнетании соответственно через одиночную скважину и группу, а также уменьшение коэффициента вариации прироста влажности
V 0
= (П)
где VR0, Vk - коэффициенты вариаций соответственно для одиночной скважины и каскада.
Для обоснования физического механизма возможности преодоления фильтрационной анизотропии при нагнетании через пару соседних скважин проведено моделирование с определением векторов скорости нагнетания жидкости. На рисунке 3 показаны контуры потока жидкости в окрестности слабопроницаемой области и векторы скоростей в различных точках. Скорость фильтрации по направлению высокой проницаемости в окрестности слабопроницаемой области практически равна нулю (рис. 3б).
Рис. 3. Векторы скоростей потока жидкости в окрестности слабопроницаемой области а) одиночная скважина; б) пара скважин.
Наблюдаемые изменения позволяют сделать вывод о том, что возникающее при взаимодействии потоков жидкости от соседних скважин гидравлическое противодействие способствует принудительному насыщению областей с низкой проницаемостью за счет хорошо проницаемых участков, лежащих вне зоны обработки. Следствием этого является повышение равномерности распределения жидкости по пласту при нагнетании через группу скважин. Следовательно, можно считать установленным, что взаимодействие потоков жидкости, движущихся от соседних одновременно работающих скважин, приводит к преодолению фильтрационной анизотропии угольного массива. Повышение равномерности обработки при таком нагнетании происходит только за счет уменьшения количества жидкости, уходящей за пределы проектной зоны.
Выводы. Показано, что взаимодействие потоков от двух одновременно работающих скважин приводит к значительному повышению давления жидкости на границах слабопроницаемых областей, достигающему значений, близких к давлению нагнетания, а также к изменению направлений векторов скорости фильтрации в сторону низкой проницаемости и увеличению их относительных значений в 2 раза. Следствием этого является уменьшение времени насыщения слабопроницаемых областей в 1.5-2 раза по сравнению с нагнетанием через одиночную скважину. Полученные результаты позволяют сделать вывод о принципиальной возможности преодоления фильтрационной анизотропии и повышении равномерности обработки массива при групповом нагнетании.
1. Павлыш В.Н. Развитие теории и совершенствование технологии процессов воздействия на угольные пласты: монография / В.Н. Павлыш. - Донецк: РВА ДонНТУ, 2005. - 347 с.
2. Павлыш В.Н. Математические модели и алгоритмы управления процессами динамического воздействия на анизотропные подземные массивы / В.Н. Павлыш, Л.А. Лазебная. // Проблемы искусственного интеллекта. - 2019. - № 2(13). - С. 13-21.
3. Павлыш В.Н. Алгоритмы функционирования и технические элементы подсистемы автоматизированного управления процессом нагнетания жидкости в угольный пласт / В.Н. Павлыш, И.В. Тарабаева, Л.А. Лазебная. // Проблемы искусственного интеллекта. - 2017. - № 3(6). - С. 32-39.
4. Теоретические основы процессов комплексного гидропневматического воздействия на угольные пласты: монография / В.Н. Павлыш, С.С. Гребёнкин, В.И. Бондаренко и др.; под общ. ред. Павлыша В.Н. - Донецк: "ВИК", 2006. - 273 с.
5. Павлыш В.Н. Основы теории и параметры технологии процессов гидропневматического воздействия на угольные пласты: монография / В.Н. Павлыш, Ю.М. Штерн. - Донецк: "ВИК", 2007. - 400 с.
L.A. Lazebnaya
Мathematical modeling of hydrodynamic processes in anisotropic continuous medium: application to coal seams.
The process of fluid motion in a coal seam which is a fractured-porous medium is considered. The mathematical model is formed taking into account the pronounced anisotropy of the medium, which causes the phenomenon of uneven distribution of the liquid agent. To study the flow parameters, an algorithm for the numerical solution of the boundary value problem is proposed. Keywords: anisotropic medium, coal seams, fluid flow model, pressure filtration, analysis of propagation parameters, numerical analysis of the model.
ГОУ ВПО "Донецкий национальный технический университет", Получено 26.11.2021
Донецк
Donetsk National Technical University, Donetsk l_lazebnay@mail.ru
