МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА В ПРОМЕЖУТОЧНОМ КОВШЕ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.

№3-4 (60-61) / 2017.

МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ, ГАЗА И ПЛАЗМЫ

УДК 004.942, 621.74.047

©2017. В.В. Белоусов, В.В. Коркишко

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА В ПРОМЕЖУТОЧНОМ КОВШЕ

В данной статье рассматривается математическое моделирование гидродинамических и сопряженных с ними теплофизических процессов в промежуточном сталеразливочном ковше на базе нелинейных дифференциальных уравнений переноса в частных производных. Проанализировано преимущество уравнений, записываемых с использованием переменных «вихрь-функция - функция тока». Разработан вычислительный алгоритм, позволяющий рассчитать поля скорости, температуры в расплаве и тепловую обстановку в стенках промежуточного ковша. Ключевые слова: промежуточный ковш, непрерывное литье, дифференциальные уравнения в частных производных, уравнения Навье-Стокса.

Введение. В современной системе технологий промежуточный ковш МН-ЛЗ (далее ПК) рассматривается как один из важнейших элементов, который самым непосредственным образом влияет на качество непрерывнолитой заготовки. Он выступает в качестве буферного объема при переливании металла из сталеразливочного ковша в кристаллизатор, при этом обеспечивается непрерывное, равномерное поступление металла в кристаллизаторы. Сталь в процессе движения по ковшу различными методами очищается от неметаллических включений. Кроме того, сама конструкция промежуточного ковша удерживает шлак от попадания в кристаллизатор, тем самым повышая чистоту выплавляемой стали. Однако существуют и проблемы, заключающиеся в неравномерном распределении стали по ковшу, замерзании стали в «застойных» областях, недостаточном уровне очищения металла от неметаллических включений. Таким образом, исследование гидродинамических и тепломасообменных процессов в промежуточном ковше является актуальной задачей исследований.

1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу на примере 2-ручьевого промежуточного ковша. Математическая модель процессов в ПК описывается уравнением количества движения, переноса тепла и неразрывности

dt

Р

рс + = VAVT,

Vif = 0,

dt

где it - вектор скорости расплава, м/с; t- время, с; + + -§;k - Гамиль-

тониан; v - кинематическая вязкость, м2/с; - ускорение свободного падения, м/с2; в - тепловой коэффициент объемного расширения, 1/К; T - текущая температура расплава, К; T0 - начальная температура расплава; р - плотность расплава, кг/м3; p - давление, Н/м2; c - теплоемкость расплава при постоянном давлении, Дж/(кг/К); Л -теплопроводность, Вт/(мК).

Приняты допущения:

1. В начальный момент времени металл в ковше неподвижен и имеет постоянную температуру по всему объему.

2. Теплофизические параметры материала ковша считать независящими от температуры, так как процесс достаточно быстро (2-3 минуты) выходит на стационарный режим[1].

3. Теплофизические параметры металла также считать независящими от температуры, так как температура металла в процессе разливки при установившемся стационарном режиме изменяется в среднем на 3°С/мин, т.е. за 1 час относительное изменение температуры около 4% [2].

4. В области втекающего и вытекающего металла горизонтальный градиент температуры принять равным нулю, так как время контакта выделенного объема металла в этой области с элементами ковша чрезвычайно мало, порядка 0,3 - 0,5 сек, и существенного влияния на температуру металла такой короткий по времени теплообмен не оказывает.

5. Из-за трапецевидного наклона стенок промежуточного ковша, ширина промежуточного ковша не является величиной постоянной, однако, угол наклона настолько мал, что применимо допущение о прямоугольной форме ПК.

2. Выбор метода решения. Основная трудность численного интегрирования системы уравнений связана с определением поля давления. Градиент давления составляет часть источникового члена в уравнении количества движения, при этом нет явного уравнения для определения давления. Чтобы обойти эту проблему из уравнения количества движения исключается давление путем выполнения операции «rot».

В таком случае получим уравнение переноса вихря. Вместе с введением функции тока для стационарных двухмерных течений этот метод является основой широко известного метода решения в переменных «функция тока - вихрь-функция». Рассматриваемый метод имеет несколько особенностей. Давление не входит в число зависимых переменных, и вместо того, чтобы описывать процесс двумя уравнениями количества движения (для каждой компоненты скорости v1, направленной вдоль координаты x и v2 - вдоль координаты у) и уравнением неразрывности, необходимо решить только два уравнения: для нахождения

функции тока ф и вихря ш. Основной недостаток использования переменных «вихрь-функция - функция тока» состоит в том, что необходимо задавать значения вихря на границах расчетной области.

Численная реализация задачи при помощи переменных «вихрь-функция -функция тока» позволяет аппроксимировать уравнения в неявном виде, что позволяет получать более точные решения.

Перейдем к безразмерным уравнениям, приняв за характерную длину ширину ковша Ьхо, за характерную скорость - уо = ао/Ьхо, за характерную температуру - То = Тм, где ао - коэффициент температуропроводности и металла, м2/с. Использование критериальной формы уравнений позволяет расширить область применения данной модели, позволяя решать целый класс такого рода задач.

Оценим влияние естественной конвекции на величину вынужденной конвекции. Это отношение определяется критерием Ричардсона (Ш) для тепловой конвекции [3].

дв (Т - То) дРЬхоАТ От

Ш =

-У^о| Уо2 Ее2''

где в- коэффициент теплового расширения, ДТ- характерная разница температур, Сг = д13Ь*2 Т - число Грасгофа, Ее = число Рейнольдса.

При малом значении числа Грасгофа по сравнению с числом Рейнольдса преобладает вынужденная конвекция. При условии, что число Рейнольдса много меньше числа Грасгофа, процессом, определяющим перенос тепла, является естественная конвекция.

Учитывая геометрические, динамические и тепловые параметры ПК, критерий Ш равняется:

От

Ш = —о ~ 0.9* 10"3 < 1.

Ее2

Полученный результат означает, что температурная естественная конвекция чрезвычайно слабо влияет на скорость течения, поэтому можно исключить конвективный элемент из уравнения Навье-Стокса.

Таким образом, система уравнений, описывающих состояние расплавленной стали в ковше, примет вид:

дш дф дш дф дш ^ ( д2ш д2ш

+ -тг-тг- - т^-тг- = Рг тг-т +

дРо ду дх дх ду \дх2 ду2 дТ дТ дТ (д 2Т д2Т

+ VI — + = а,р ——г +

дРо ду ду р \ дх2 ду2 ш = -Аф,

где ш - г-комионента вектора вихря скорости; ш = ^ — Ро=а1/120

критерий Фурье; ф - функция тока, такая что Щ = VI, = —У2] Рт =у/а -число Прандтля.

3. Формулировка краевых условий. Начальные условия для скорости расплава равны нулю во всей расчетной области, кроме поверхностного слоя, а также входных и выходных отверстий. Согласно условию прилипания скорость на стенках и дне ковша равна нулю. Скорость подъема металла обозначим уп и будем считать ее одинаковой на всей поверхности ковша. Скорость втекания металла в ковш обозначим ум = 0, 5 м/с. Скорость вытекания металла из ковша примем равной ьм/2.

Схема расчетной области (рис.1) :

Рис. 1. Схема расчетной области расплава в промежуточном ковше.

Температура в ванне ковша равна начальной температуре расплава То = 1500°С. Начальные условия для температуры элементов ковша исходят из того, что ковш предварительно был прогрет до Т. = 900°С. Температуру шлака примем равным Тш = 1200°.

Так как ненулевая скорость наблюдается только в области расплава, то для решения уравнения Навье-Стокса будем рассматривать стенки ковша, как границы расчетной области. Таким образом, уравнение рассматриваемой модели решается в области расплава с такими граничными условиями.

В области втекающего металла скорость считается неизменной: =0 м/с, У2 = Ум м/с. Температура также принимается постоянной: То = 1500°С.

В областях вытекающего металла скорость также считается неизменной: = 0 м/с, 1>2 = ^ м/с. Температура рассчитывается из условия, что ^ = 0.

У Р

Для расчета граничных условий для вихря скорости применяется условие Тома:

=--ДД2--''

где АЬ - расстояние по нормали к стенке от ближайшей к стенке узловой точки к + 1 до ее проекции на стенку.

Опишем также процессы теплообмена в шлаковой области и в стенках и дне

Таблица 1. Гидродинамические граничные условия

Область Координаты Проекции скорости Функция тока

Левая стенка Л" = 0, 0 < У < Ьу VI = 0 м/с V2 = 0 м/с = 0

Правая стенка X = Ьх, 0 < У < Ьу VI = 0 м/с V2 = 0 м/с = 0

Верхняя поверхность у = о, 0 < Л" < Дх VI = 0 м/с г>2 = — г>п .м/с ф = упх

у = о, Д1 < Л" < Кп г>1 = 0 .м/с г>2 = г>м .м/с Ф = -г>м (х - Дх) + г>п-Й1

у = о, Д2 < Л' < ьх VI = 0 м/с г>2 = —г>п .м/с ч/' = УПХ — -Ум (Д2 - Й1) - г>п (-Й2 - Д1)

Нижняя поверхность У = £„, 0 < Л" < П VI = 0 м/с г>2 = 0 .м/с = 0

У = £„, Г1 < Л' < Г 2 г>1 = 0 .м/с г>м / г>2 = — .м/с

У = £„, Го < X < гз VI = 0 м/с г>2 = 0 .м/с

У = £„, 7*3 < Л' < Г4 VI = 0 м/с г>2 = — .м/с / "^М / \ "^М / \ 1/' =--— {X - гз)--— (1-2-1-1)

у = £„, Г4 < Л" < Ьх г>1 = 0 .м/с г>2 = 0 .м/с / "^М / \ "^М / \ =--^ (Г4 ~ Г3>--

промежуточного ковша. При формулировании граничных условий для температуры считаем, что контакт между расплавом, шлаком и поверхностью самого ковша является идеальным.

Для шлака (при допущении, что в процессе разливки шлаковая область остается неподвижной) уравнение теплообмена примет следующий вид:

дТ _ д2Т\

дРо \ дх'2 ду2 )

Сверху расплав в промежуточном ковше покрыт шлаковой смесью, которая сво-

бодно контактирует с окружающей средой. Поэтому на границе «шлак-окружающая среда» ставится условие третьего рода. В остальной области формулируются граничные условия четвертого рода при условии идеального контакта «шлак-расплав» и «шлак-стенка».

Для стенок и дна промежуточного ковша уравнение теплообмена имеет следующий вид:

дТ _ (д2Т д2Т\ дРо \ дх2 ду2) '

где ашл, аст - коэффициенты теплообмена между шлаком и окружающей средой, стенкой и окружающей средой соответственно Вт/(м2^).

Стенки и дно промежуточного ковша свободно контактируют с окружающей средой за исключением внутренних поверхностей ковша, которые соприкасаются со шлаком и расплавленной сталью. Поэтому на внешней, верхней и нижней поверхностях стенок ставится условие третьего рода. На внутренней области ставятся граничные условия четвертого рода при условии идеального контакта «шлак-стенка», «расплав-стенка» и «расплав-дно» [4].

Таким образом, граничные условия для расчета температуры во всей области расчета формулируются следующим образом:

Таблица 2. Термодинамические граничные условия

Область Координаты Температура

Окружающая среда -левая стенка Л" = 0, 0 < У < ЬуГ ОТ •^ст — С^ст (Т Тер)

Левая стенка -шлаковая область X = Ь. 0 < У < Ьан дт Лшл дх Т дт - ^ст ^ дх шл — Т шл - Т ст ст

Левая стенка -область расплава X = Ь3г, ЬаН < У < Ьа дт Ашл дх Т дТ -Кд^ шл —Т шл - Т р р

Шлаковая область -втекающий металл 0 < У < Ьан, X = Д1 дт дх Т дТ -ХрдX шл — Т шл - Т р р

Область втекающего металла 0 < У < Ьан, Дх < Л" < Д2 т = тш

Таблица 2. Продолжение

Область Координаты Температура

Втекающий металл -шлаковая область 0 < У < ЬаН, X = Н2 дТ Хр& аг — Ашл дх р Г — Т шл - Т р шл

Дно - вытекающий металл 0 < У < ЬаН, X = П л ат ст дх дТ -Хрд^ ст Т — Т Тст — Тр р

Вытекающий металл - Дно 0 < У < ЬаН, X = Г2 дТ Хрд:Г дт — Аст дх р Тст — Тр ст

Область вытекающего металла 0 < У < Ьак, 7'1 < Л' < Т'2 дт ду = 0 р

Дно - вытекающий металл 0 < У < ЬаН, X = гз л дт дх дТ -ХрдX ст Т — Т Тст — Тр р

Вытекающий металл - Дно 0 < У < ЬаН, X = Г 4 дТ Хрд:Г дт — Аст дх р Т — Т Тст — Тр ст

Область вытекающего металла 0 < У < Ьак, гз < Л' < Г4 дт ду = 0 р

Шлаковая область -правая стенка Л' = ЬпаЬ , 0 < У < Ьан дт Аст дх Т _ дТ дх ст шл шл — Тст шл

Область расплава -правая стенка X = ЬпаЬ, ЬаН < У < ЬЛ дТ Хр& дт — Ашл дх р —Т шл — Тр шл

Таблица 2. Продолжение

Область Координаты Температура

Шлаковая область -правая стенка А' = Ь 2г,(, 0 < У < ЬзН ОТ Аст дх л дт дх ст шл Т — Т Т шл - Т ст шл

Область расплава -правая стенка X = Ь 2г,(, ЬеИ < У < ЬЛ дТ Хрд:Г дт - Лщл 1 ох р шл т — т ->- ШЛ - р

Правая стенка - окружающая среда X = Lxf, 0 < У < ьу/ дт Л- = -а(Т-Т)

Окружающая среда -левая стенка у = о, 0 < Л" < Ьв1 дт ду

Окружающая среда -шлаковая область У = 0, Ьаг < X < дт А Щ- = -а(Т-Т) ду

Область втекающего металла У = 0, Дх < Л" < Д2 т = тш

Окружающая среда -шлаковая область У = 0, Д2 < Л" < Ьпв1 дт \Щ- = -а(Т-Т) ду

Окружающая среда -правая стенка ¥ = 0, < Л' < Lxf дт ду

Шлаковая область -расплав Ьаг < X < Дь = ьаН дт ду Т дТ шл —Т шл - Т р р

Шлаковая область -расплав По < X < Ь2вг, ¥ = Ь.,н дт ду Т дТ шл — Т шл - Т р р

Таблица 2. Продолжение

Область Координаты Температура

Расплав - дно ковша Ьв1 < Л" < п, = и дТ Хр~с дт — Аст дх р Т — Т Т ст - Т р ст

Расплав - дно ковша У = ЬЛ, Го < X < гз дТ Хрд:Г дт — Аст дх р Т — Т Тст — Тр ст

Расплав - дно ковша У = ЬЛ, /'4 < Л' < Ьпа1 дТ Хрд:Г дт — Аст дх р Т — Т Тст — Тр ст

Дно - окружающая среда У = £„/, 0 < Л" < П дт А Щ- = -с,(Т-Т) ду

Вытекающий металл У = £„/, 7'1 < Л' < Т'2 дт ду = 0 р

Дно - окружающая среда У = £„/, Г2 < А' < гз дт хЩ- = -с,(Т-Т) ду

Вытекающий металл У = /'3 < А' < Г4 дт ду = 0 р

Дно - окружающая среда у = £„/, г4 < Л' < Lxf дт хЩ- = -с,(Т-Т) ду

Конечно-разностная сетка расчетной области является неравномерной. Так как толщина дне ковша и толщина слоя шлака гораздо меньше, чем высота самого ковша, то целесообразным является использование более подробного шага по пространству вдоль оси у для этих областей по сравнению с областью расплавленного металла. Аналогично, так как ширина стенок много меньше ширина ковша, то шаг по пространству вдоль оси х должен быть меньше, чем в области расплава.

В конечно-разностных уравнениях используются центральные разности по пространству и правые разности по времени. Полученные уравнения являются неявными и решаются методом прогонки [5].

Разработанная модель позволяет рассчитать течение расплавленной стали в промежуточном ковше, а также процессы теплообмена в системе ковш-металл-шлак.

На базе описанной модели была создана программа на языке Delphi. Результаты расчетов прилагаются.

На рисунке 2 представлена зависимость кинетической энергии перемешивания расплава (е = ^ (г1+гз) р ^ QT Времешь ц3 графика видно, что приблизительно через 5 минут перемешивания расплава выходит на стационарный режим.

Рис. 2. График зависимости суммарной кинетической энергии расплавленного металла от времени расчета.

На рисунке 3 представлена архитектура вихревого движения расплава. В нашем случае стакан, из которого истекает металл, находится по центру ковша. Симметричное расположение вихревой структуры подтверждает устойчивость сформулированной математической модели и вычислительного алгоритма.

Как видно из рис.4 в промежуточном ковше с обоих сторон от втекающего потока металла наблюдаются вихри. Также хорошо видно, что в нижних углах промежуточного ковша скорость движения металла чрезвычайно мала, что приводит к излишнему охлаждению данных областей и повышается вероятность затвердевания стали в данном месте. Это подтверждается данными о температурном распределении в промежуточном ковше (рис. 5).

Ьу,м л

** * * • ф 99 Ф 9 999 ** 99 9*9 ** Ф ** * • * • 4Н

фф ♦ * * * * ф ф 9 * ф ФФ-9 Н * • 9 9 Ф ■9 * Ф ФФ М 9 ф ф ф ф ф 99 9 9 Ф Ф * т * 9* Ф

99 99 • * • * • * • • * »* • ф ФФ ** * ГП ФФ * * ¥9 99 * 99 99- • • * • * • • Ф 9 9 94 У9

м * * * ф ф ф Ф Ф Ф* ФФ' Ф Ф • Ф Ф Ф Ф Ф ** ►Ф

фф ФФ* 9 # # Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф — ИР

99 • 9 9 * • 9 9 9 * • 9 9 9 9999 9 9 9 • * • •

** * ** * ■9 ФФ 9 9» 9* 9 Ф 9*9 • • 99 * *

фф Ф Ф Ф Ф Ф Ф * * * Ф Ф 9 99 * *-* Ф 94 Ф Ф Ф# 9 9 9 ФФ Ф Ф ■9 9 9 _ _ Ф Ф 9 »9 - Ф ФФ Ф Ф * • Ф Ф 9 9 Ф 9 Ф *

** • • * • * • • * * 99* # 9 9 9 9 9 9 9 99 9 9 9 9 9 9 • 1« * 99 9 9 9 9 9 9 9 Ф Ф

» « • • • 99 ФШ 9 9 ■9 9 9 9- * • « •• • • •• а

фф * # • # * * 9 99 » • * ФФ 9 9 Ф 9 Ф 9 9 9 9 • ФФ 99 9 9 9 9 * * * • 99 9 9 9 •» * * * * #•# * * * 94 ►Ф

• • • М ** ФФ ФФ- 999Ш- 9 ФФ Ф 9 9 * 9 Ф * *• * * * * * 9 9 ■ # * 9 9 9 » * ФФФ* • • ММ« ► ФФ ** >т *Ф

•фч Н> шшш-ш 9 9 * • • 9 м* *„** * 99 9 99 • • н* * 94

0,5 1 »9■ 9 у

Рис. 3. Распределение изолиний при Ь=300 сек.

Ly.it

о 0,5 2 2 Ьх, м

Рис. 4. Поле скоростей расплавленного металла при Ь=300 сек.

Рис. 5. Поле температур промежуточного ковша при t=300 сек.

4. Выводы. Сформулирована математическая модель гидродинамических и теплофизических процессов в промежуточном сталеразливочном ковше на базе нелинейных дифференциальных уравнений переноса в частных производных.

Оценено влияние тепловой конвекции на перемешивания металла, что позволило упростить уравнение переноса количества движения.

Разработан вычислительный алгоритм и создан программный продукт на языке Delphi, позволяющий рассчитать поля скорости, температуры в расплаве и тепловую обстановку в стенках промежуточного ковша.

В результате численного эксперимента показано, что процесс перемешивания в течение 5 мин. Выходит на стационарный режим.

В углах ПК наблюдаются наличие застойных зон, приводящих к понижению температуры расплава в этих областях

Перспективным заданием дальнейших исследований является исследование учета продувки металла аргоном в пристеночной области с целью выведения неметаллических включений в шлаковую область и оценку влияния турбулентности на течение металла в ковше.

1. Цаплин А.И. Моделирование теплофизических процессов и объектов в металлургии: учеб. пособие / А.И. Цаплин, И.Л. Никулин - Пермь: Перм. гос. техн. ун-та, 2011.- 299 с.

2. Кабаков З.К. Математическое моделирование влияния продувки на потери тепла в сталеразливочном ковше / З.К. Кабаков, М.А. Пахолкова, К.Е. Голубенков. Череповец: ГОУ ВПО ЧГУ, 2010. - С. 4-8.

3. Бабанин А.Я. Обработка железо-углеродистых расплавов высокоактивными реагентами: [монография] / А.Я. Бабанин, Б.Ф. Белов, В.В. Белоусов, Я.В. Павлов. - Донецк: Восточ. издат. дом, 2015. - 219 с.

4. Лейбензон В. О. Твердення метал1в i металевих композицш: шдручник для вищих навчаль-них закладiв. / В.О. Лейбензон, В.Л. Пшюшенко, В.М. Кондратенко, В.6. Хричиков [та iH.]. - К.: Наук. думка, 2009. - 448 с.

5. Самарский А.А. Численные методы математической физики. 2-е изд. / А.А. Самарский, А.В. Гулин. - М.: Науч. мир, 2003.- 316 с.

V.V. Belousov , V.V Korkishko

Mathematical modeling of hydrodynamic transfer processes in the tundish ladle.

Mathematical modeling of hydrodynamic and thermophysical processes in the tundish steel ladle based on nonlinear partial differential transport equations is considered. The advantage of equations using variables "vortex-function - stream function"is analyzed. A computational algorithm is developed to calculate the velocity field, the field of melt steel temperature and thermal setting in the walls of the tundish ladle.

Keywords: tundish laddle, continuous casting, partial differential equations, Navier-Stokes equations.

ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк Получено 04.12.17

v.v.bilousov@gmail.com

supreme-alfa@mail.ru