CC BY
24
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
УДК 519.6
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРАВЛИЧЕСКОГО ЛОТКА ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ЧИСЛЕННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ ПО НАКАТУ ВОЛН НА БЕРЕГ
И РАЗМЫВУ СВЯЗНОГО ГРУНТА
MATHEMATICAL MODELING OF A HYDRAULIC FLUME FOR CARRYING OUT NUMERICAL EXPERIMENTS ON COASTAL WAVES AND EROSION OF COHESIVE SOIL
Ю. Н. Захаров1, А. И. Зимин1, И. С. Нуднер2, М. Е. Яшин1
1 Кемеровский государственный университе», г. Кемерово, Россия 2 Балтийский государственный технический университет «ВОЕНМЕХ» им. Д. Ф. Устинова, г. Санкт-Петербург, Россия
Y. N. Zakharov1, A. I. Zimin1, I. S. Nudner2, M. E. Yashin1
Kemerovo State University, Kemerovo, Russia 2 Baltic State Technical University «Voenmeh» named after D. F. Ustinov, St.-Petersburg, Russia
Аннотация. Гидроволновые лотки используются для проведения лабораторных экспериментов по исследованию воздействия поверхностных волн на береговые сооружения. Проведение подобных лабораторных экспериментов является дорогостоящим и требует времени для подготовки, что делает использование математической модели актуальным. В работе представлена математическая модель физического гидроволнового лотка, позволяющая существенно расширить возможность исследования задач распространения поверхностных волн и их воздействие на донный связный грунт. В работе рассматривается набегание одиночной волны на берег в областях разной конфигурации, в том числе со стоящим на дне препятствием и слоем донного связного грунта. Распространение волны на поверхности и перенос грунта в воде моделируются трехкомпонентной вязкой несжимаемой жидкостью, где воздух, вода и грунт рассматриваются как компоненты неоднородной среды. Решение получено при помощи конечно-разностного численного алгоритма, основанного на схеме расщепления по физическим факторам и методе «предиктор-корректор». Представлены результаты численных расчетов.
Ключевые слова: одиночная волна, связный грунт, трехкомпонентная среда, гидроволновой лоток
DOI: 10.25206/2310-9793-7-4-4-9
I. Введение
В настоящее время является актуальной задача определения качественного и количественного поведения одиночной волны при набегании на берег или препятствие. Это связано с возможными разрушительными действиями, которые длинная волна может оказать на прибрежные и береговые сооружения. Источниками появления таких волн могут служить землетрясения, извержения подводных вулканов, обвалы, оползни и др. [1]. Часто возникновение и распространение длинной волны цунами исследуются при помощи лабораторных экспериментов [2-5]. Однако их проведение является дорогостоящим и требует достаточно большого времени для подготовки. Поэтому применяют математическое моделирование, которое позволяет относительно быстро получить результаты для различных задач, а также расширить возможности лабораторных экспериментов.
Для математического моделирования задач возникновения и распространения волн на свободной поверхности существует несколько основных подходов [6, 7]. Применительно к волнам типа цунами они представлены, например, в работах [8-10].
В «23 ГМПИ» филиала ОАО «31 ГПИСС» (г. Санкт-Петербург) для исследования поведения одиночной волны используется гидроволновой лоток (см. его подробное описание в [11]). Одиночная волна в нем запускается вакуумным волнопродуктором, который представляет собой герметичный закрытый резервуар, сообщающийся с лотком. К резервуару подсоединен насос, а на верхней крышке находится клапан. При помощи насоса откачивается воздух до достижения требуемой высоты жидкости. При начале эксперимента открывается клапан, воздух проникает внутрь резервуара и под действием силы тяжести происходит сброс воды в лоток, со-
здающий одиночную волну и цуг сопровождающих ее волн меньшей амплитуды. В непосредственной близости от волнопродуктора располагался участок ровного дна, на котором происходит окончательное формирование создаваемой волны. Далее дно в лотке представляет собой пологий откос.
В работе [11] была предложена математическая модель гидроволнового лотка «23 ГМПИ» и проведена ее валидация на экспериментальных данных, в дальнейшем исследование модели было продолжено в работе [12]. В этих работах для определения движения поверхности воды использовалась модель многокомпонентной вязкой несжимаемой жидкости, которая также применялась для задач размыва связного грунта [13, 14], распространения поверхностных волн [15], образования волны в результате движения подводного оползня [16].
В лабораторных условиях изменение геометрии области гидроволнового лотка может потребовать значительных временных и финансовых затрат, а добавление слоя связного грунта на дно вообще представляется технически невозможным в силу конструктивных особенностей.
Целью данной работы в продолжение [17] является расширение возможностей использования математической модели гидроволнового лотка «23 ГМПИ» для решения таких задач, которые сложно или невозможно выполнить в лабораторных условиях. В частности, в данной работе рассматривается численное решение задачи размыва донного связного грунта набегающей одиночной волной.
II. Математическая модель и методы решения
Рассматривается движение многокомпонентной вязкой несжимаемой среды, у которой вязкость и плотность зависят от концентрации компонент, соответствующих воздуху, воде и намокшему связному грунту. Каждая из таких компонент представляется вязкой несжимаемой жидкостью с собственными значениями вязкости и плотности, предполагается возможность диффузии массы между этими компонентами. Движение такой многокомпонентной среды описывается нестационарной системой уравнений Навье-Стокса, учитывающей перечисленные выше эффекты, а перенос компонент среды - уравнениями конвективной диффузии и соотношениями для определения плотности и вязкости [16]:
d (pV )
dt
divV = 0,
— = Д, AC, dt 12 1
= -Vp + div (ц D) + pf,
dC dt
3 = A3AC3,
(1)
C2 1 C1 C3,
__
^3C1 + h^3C2 + h^2C3 P = PlCi +P2C2 +PзCз,
где ¥(х,?) = (у,,у,у3) - вектор скорости среды в точке х = (х,х2,X) и момент времени I, |(х,t) - динамическая вязкость, р(X, t) - плотность, С (X, (), С2 (X, t), С (X, t) - объемные концентрации компонент с постоянными плотностями р1, р2, р3 и вязкостями ||, |2, |3, / = (/, /, /) - вектор массовых сил,
р - давление, Б - тензор скоростей деформаций, компоненты которого равны тг =
öv,. dvt
дх.
дх,
V J
Du = const -
коэффициент диффузии между первой и второй компонентой, D23 = const - коэффициент диффузии между второй и третьей компонентой.
Для численной реализации модели используется метод конечных разностей на прямоугольной сетке с шахматным расположением узлов [18]. При этом система уравнений Навье-Стокса аппроксимируется схемой расщепления по физическим факторам [19] с учетом переменной плотности, а для решения уравнений конвективной диффузии применяется схема предиктор-корректор. Подробное описание этого численного алгоритма представлено в статье [16].
III. Постановка задачи
Рассматривается задача о распространении в области гидроволнового лотка одиночной волны. Для моделирования движения поверхности воды используется трехкомпонентная модель вязкой несжимаемой жидкости
(1), где первая компонента - это воздух, вторая - вода, а третья - намокший связный грунт. Мы рассматриваем двухмерную постановку задачи, так как ширина лотка значительно меньше длины и боковые стенки не оказывают существенного влияния на динамику потока. Обозначения границ области приведены на рисунке 1.
Рис. 1. Схема области лотка
Здесь:
Г -
граница, которая моделирует поведение клапана волнопродуктора
ду
¥
= 0,
ду2 ¥
= 0, р| = Р (/), дС
, р Г кр (), ду
= 0,
дС3
"дУ
= 0.
Г2 - граница свободного вытекания, на которой поставлено атмосферное давление
ду1 ¥
= 0,
ду2 ¥
дС
= 0, р = 101325 Па, —1
2 дУ
= 0,
дС3
= 0.
Г3 - твердая граница, на которой выполняется условие прилипания
Г, = 0
I п др
уЛ = 0, —
2 1г' , дп
= 0,
Г
С дп
= 0,
дС3 дп
= 0.
Значение давления р (/) на границе Г1 определяется из решения дополнительной задачи о втекании
воздуха через открытую заслонку в волнопродуктор [20]. Это необходимо для того, чтобы генерировать волну по тому же принципу, который используется в лабораторных условиях, что позволяет получить совпадающие с экспериментом амплитуды волн [11].
Высота набора воды в волнопродукторе Н = 2 м, уровень воды в лотке Н = 1 м . Динамические вязкости
кг л кг
и плотности компонент имели следующие значения: для воздуха ^ = 10 5-, 1—, для воды
м • с м3
ц2 = 103 -кк—, р2 = 1000 , для грунта = 10, р3 = 1500 . Граница раздела компонент проходит при
м • с м мл • с м
значении концентрации С = 0.5.
IV. Распространение одиночной волны в лотке с различной конфигурацией дна
В гидроволновом лотке «23 ГМПИ» волна образуется в результате сброса воды из волнопродуктора. На рисунке 1 представлена схема области, в которой распространяется волна. При достижении берега волна обру-шается, оказывая силовое воздействие. на рис. 2 представлены картины движения волны в области, которая обычно используется при проведении лабораторных экспериментов. Под номерами изображены моменты времени соответствующие 1) начальному положению жидкости, 2) образованию волны 3) движению волны по наклонному дну 4) обрушению волны на берег.
Г,
Г,
Г
Г
Г
Г
Г
Г
Г
Г
Рис. 2. Движение в области на моменты времени (в секундах): 1) 0, 2) 1.2, 3) 2.9, 4) 3.7
Форма и уровень дна прибрежной зоны может оказывать решающее влияние на характер распространения и обрушения длинной волны. Для того чтобы проверить степень такого влияния, были проведены расчеты, в которых крутизна ступеньки увеличена в два раза. На рис. 3 под номерами изображены поверхности жидкости, на моменты времени соответствующие 1) образованию волны при движении по наклонному дну, 2) обрушению волны на берег.
Рис. 3. Движение в области на моменты времени (в секундах): 1) 2.9, 2) 3.7
Так как волны цунами представляют одно из самых непредсказуемых и разрушительных бедствий, то задача защиты береговых сооружений является актуальной. Одним из распространенных способов защиты является установка прибрежных барьеров, которые отражают длинные волны определенной высоты [21, 22]. В следующем расчете перед ступенькой поставлено прямоугольное препятствие. На рис. 4 под номерами изображены формы волны, на моменты времени соответствующие 1) движению волны по наклонному дну, 2) обрушению волны на берег.
Рис. 4. Движение в области на моменты времени (в секундах): 1) 2.9, 2) 3.7
V. Размыв придонного связного грунта
В рамках лабораторной установки гидроволнового лотка «23 ГМПИ» технически невозможно проводить эксперименты по взаимодействию поверхностной волны и связного грунта на дне, так как при проведении лабораторных экспериментов используется оборотное водоснабжение лотка. Представленная в работе математическая модель позволяет включить в задачу распространения длинной поверхностной волны и взаимодействие с донным связным грунтом. Численные эксперименты проводились в области, приведенной на рис. 1, на дне которой расположен слой связного грунта, обозначенный черным цветом (рис. 5). На рисунке 5 под номерами изображены форма волны и расположение связного грунта, на моменты времени соответствующие 1) начальному положению жидкости и грунта, 2) образованию волны, влекущей за собой грунт 3) набеганию волны по косому дну 4) обрушению волны на берег.
4)
Рис. 5. Движение в области с донным грунтом на моменты времени (в секундах): 1) 0, 2) 1.2, 3) 2.9, 4) 3.7
VI. Обсуждение результатов
Проведенные расчеты показывают, во-первых, что величина заплеска волны на прямоугольный берег зависит от угла наклона и формы прилегающей к нему дна; во-вторых, помимо того, что связный грунт следует за движением поверхностной волны, его перемещение также влияет на форму волны, т. е. имеет место их взаимодействие.
VII. Выводы и заключение
Предлагаемая математическая модель гидроволнового лотка «23 ГМПИ» существенно расширяет возможности физического эксперимента. Она может быть использована совместно с проведением лабораторных исследований для решения задач по защите береговых сооружений и предсказания возможного заиливания прибрежной акватории.
Список литературы
1. Пелиновский Е. Н. Гидродинамика волн цунами. Нижний Новгород: ИПФ РАН, 1996. 276 с.
2. Бошенятов Б. В. Особенности моделирования волн цунами в лабораторной установке // Материалы XIX Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам. 2015. С. 384-385.
3. Ataie-Ashtiani B., Nik-Khah A. Impulsive waves caused by subaerial landslides // Environmental Fluid Mechanics. 2008. Vol. 8, no. 3. P. 263-280.
4. Heller V., Bruggemann M., Spinneken J., Rogers B. D. Composite modelling of subaerial landslide-tsunamis in different water body geometries and novel insight into slide and wave kinematics // Coastal Engineering. 2016. Vol. 109. P. 20-41.
5. Miller G. S., Andy Take W., Mulligan R. P., McDougall S. Tsunamis generated by long and thin granular landslides in a large flume // Journal of Geophysical Research: Oceans. 2017. Vol. 122, no. 1. P. 653-668.
6. Katopodes N. D. Free-Surface Flow: Computational Methods. Butterworth-Heinemann, 2018. 914 p.
7. Mirjalili S., Jain S. S., Dodd M. Interface-capturing methods for two-phase flows: An overview and recent developments // Center for Turbulence Research Annual Research Briefs. 2017. P. 117-135.
8. Бошенятов Б. В., Лисин Д. Г. Численное моделирование волн типа цунами в гидродинамическом лотке // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2013. № 6 (26). С. 45-55.
9. Шокин Ю. И., Бейзель С. А., Федотова З. И., Чубаров Л. Б. Об использовании методов численного моделирования для решения прикладных задач проблемы цунами // Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании: труды междунар. конф. 2006. С. 36-51.
10. Yavari-Ramshe S., Ataie-Ashtiani B. Numerical simulation of subaerial and submarine landslide generated tsunami waves - recent advances and future challenges // Landslides. 2016. Vol. 13, no. 6. P. 1325-1368.
11. Захаров Ю. Н., Зимин А. И., Стуколов С. В., Лебедев В. В., Нуднер И. С., Семенов К. К. Численное моделирование работы лабораторного волнопродуктора одиночных волн на воде // Полярная механика: материалы третьей междунар. конф. 2016. С. 954-964. URL: https://www.dvfu.ru/upload/medialibrary/5bc/PolarMechanics.pdf.
12. Семенов К. К., Нуднер И. С., Лебедев В. В., Захаров Ю. Н., Зимин А. И., Стуколов С. В. Лабораторные и численные исследования профиля волн цунами, распространяющихся по ровному дну // Фундаментальная и прикладная гидрофизика. 2017. № 4. С. 5-15.
13. Belyaev N. D., Geydarov N. A., Ivanov K. S., Lebedev V. V., Nudner I. S., Ragulin V. V., Zakharov Y. N., Zimin A. I. Modeling cohesionless and cohesive soils erosion near oil platforms of gravity type // International Conference «Stability and Control Processes» in Memory of V.I. Zubov (SCP). 2015. P. 5-8.
14. Zakharov Y., Zimin A., Nudner I., Ragulin V. Two-component incompressible fluid model for simulating the cohesive soil erosion // Applied Mechanics and Materials. 2015. Vol. 725. P. 361-368.
15. Zakharov Y., Zimin A., Ragulin V. Two-Component Incompressible Fluid Model for Simulating Surface Wave Propagation // Mathematical Modeling of Technological Processes. 2015. P. 201-210.
16. Zakharov Y. N., Zimin A. I. Numerical simulation of surface waves arising from underwater landslide movement // Mathematical and Information Technologies MIT-2016: conference proceedings. 2017. P. 535-546.
17. Зимин А. И. Численное моделирование образования волн в гидроволновом лотке с препятствием // Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики: труды XIV Всерос конф. 2018. С. 220-223.
18. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. Москва: Энерго-атомиздат, 1984. 148 с.
19. Белоцерковский О. М. Численное моделирование в механике сплошных сред. Москва: Наука, 1984. 520 с.
20. Афанасьев К. Е., Стуколов С. В. Численное моделирование работы опытного генератора одиночных поверхностных волн // Вестник Кемеровского государственного университета. 2013. Т. 3, № 3 (55). С. 6-14.
21. Левин Б. В., Носов М. А. Физика цунами и родственных явлений в океане. Москва: Янус-К, 2005. 360 с.
22. Irtem E., Seyfioglu E., Kabdasli S. Comparison of the effects of permeable, impermeable and monolithic vertical-face submerged breakwaters on tsunami run-up height // Twenty-second International Offshore and Polar Engineering Conference. International Society of Offshore and Polar Engineers. 2012. С. 1-6.
УДК 517.977
К ЗАДАЧАМ ОПТИМАЛЬНОГО ПОИСКА СТАЦИОНАРНЫХ ОБЪЕКТОВ TO THE PROBLEMS OF OPTIMAL SEARCH FOR STATIONARY OBJECTS
Б. К. Нартов, А. Н. Полуянов
Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, г. Новосибирск, Россия
B. K. Nartov, A. N. Poluyanov
Sobolev Institute of Mathematics SB RAS, Novosibirsk, Russia
Аннотация. Работа представляет общий подход к формализации задач поиска стационарных объектов с известными или оцениваемыми распределениями координат. Предложен метод аналитического учета возможных пересечений и самопересечений полос и трубок поиска. Формализуемые задачи исследованы на равномерную оптимальность и аддитивность управления. Обсуждаются верифицирующие предложенный метод результаты имитационного моделирования.
Ключевые слова: оптимальный поиск, формализация, равномерная оптимальность, аддитивность, имитационное моделирование
DOI: 10.25206/2310-9793-7-4-9-15
