Математическое моделирование фильтрации в неоднородных трещиновато-пористых средах Текст научной статьи по специальности «Физика»

Механика жидкости и газа Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (3), с. 725-727

725

УДК 532.546

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЛЬТРАЦИИ В НЕОДНОРОДНЫХ ТРЕЩИНОВАТО-ПОРИСТЫХ СРЕДАХ

© 2011 г. Г.В. Голубев

Казанский государственный технический университет им. А.Н. Туполева

golubev@tm. kstu-kai.ru

Поступила в редакцию 15.06.2011

Рассматривается фильтрация в неоднородных трещиновато-пористых средах в рамках модели Барен-блатта - Желтова. Считается, что движение жидкости в трещинах описывается нелинейным двучленным законом Форхгеймера в первой форме в виде, разрешенном относительно скорости фильтрации, а движение жидкости в пористых блоках породы - одним из наиболее общих нелинейных законов - законом ДХК. Получено основное уравнение фильтрации в рассматриваемом случае и сформулирована исследуемая задача. Для решения ее предложено использовать или метод сведения к интегро-дифферен-циальному уравнению, или метод Галеркина с конечными элементами. Рассмотрены различные варианты его применения. Проведены численные расчеты.

Ключевые слова: фильтрация, неоднородные трещиновато-пористые среды, давление, метод Галеркина, пакет Mathcad.

Рассматривается фильтрация в неоднородных трещиновато-пористых средах, представляющих собой совокупность пористых блоков, отделенных друг от друга развитой системой трещин. Жидкость и газ насыщают и проницаемые блоки, где сосредоточены основные запасы углеводородов, и трещины, по которым происходит транспортировка нефтегазового потока к скважинам. При этом размеры трещин значительно превосходят характерные размеры пор, так что проницаемость системы трещин к1 значительно больше, чем проницаемость системы пор в блоках к2. При изучении фильтрации в таких средах вызывает интерес изучение следующих вопросов:

1) математическое моделирование процессов фильтрации в неоднородных трещиноватопористых средах;

2) выбор законов, адекватно описывающих движение жидкостей в трещинах и блоках;

3) вывод основного уравнения фильтрации в трещиновато-пористой среде при различных комбинациях законов движения в трещинах и блоках и определение их типа;

4) создание алгоритмов решения задачи определения поля давлений в неоднородной трещиновато-пористой среде;

5) создание алгоритмов решения задачи определения поля фильтрационного параметра в неоднородной трещиновато-пористой среде;

6) построение индикаторных диаграмм в тех

случаях, когда это можно сделать.

Считается, что наиболее адекватно движение жидкости в трещинах описывается нелинейным двучленным законом Форхгеймера. Ссылаются на анализ технической документации месторождений с трещиноватыми коллекторами, эксперименты Фенчера, Льюиса, Бернса и опыты Линдквиста. Закон Форхгеймера в первой форме (экспериментальные данные допускают и вторую форму) записывается в виде

Vp = -цу1 -ß^Vjvl /kl

(1)

(2)

или в обращенной форме

V=- BjVp,

Bj = Ql + 4ß|Vp|V^ -l)/2ß| Vp|.

Здесь использованы обозначения: Vj — скорость фильтрации, p — давление, Ц — вязкость жидкости, ß — постоянная. Для движения жидкости в пористых блоках породы используются различные законы, тоже имеющие экспериментальное происхождение: Дарси, параметрический, криволинейный и т.д. Можно предположить, что это связано с типом нефти, насыщающей пористую среду: легкая нефть, обычная нефть марки Urals, вязкопластическая или вязкоупругая жидкости и т.д., а также с характером самой пористой среды. По-видимому, одним из наиболее общих законов нелинейной фильтрации является закон, предложенный В. В. Девлика-мовым, З.А. Хабибуллиным, М.М. Кабировым.

726

Г.В. Голубев

Немного изменив обозначения, запишем его для фильтрации в блоках в следующем виде:

V2 =-¿2 uVp /[|J, о +И-1С« - 1)],

(3)

и = 1 + expCi(| Vp | -Pi), где v2 - скорость фильтрации в блоках; в1 - градиент, соответствующий началу интенсивного разрушения структуры нефти; с1 определяет скорость разрушения структуры; ц0, Ц1 - вязкости нефти до и после разрушения структуры. Условно назовем (3) нелинейным законом ДХК (по первым буквам фамилий предложивших его авторов). Будем считать коэффициенты проницаемости трещин и блоков переменными величинами, функциями координат, давления и градиента давления: ki = ki(x, y, p, |Vp|), i = 1, 2. Для суммарного потока будем иметь

v = v1 + V2 = -B2VP,

B2 = (V1 + 4P |Vp| ¿1 /ц - 1)/2p|Vp| +

+ k2u /[ц0 + Ц1(и -1)]- (4) Проекции скорости фильтрации суммарного потока на оси координат имеют вид vx = -B2dp/dx, vy = -B2dp/dy. К закону (4) добавляем соотношение, которое получается из уравнения неразрывности и зависимостей плотностей жидкостей и пористой среды от давления. В случае фильтрации несжимаемой жидкости оно имеет вид

d (hvx)/dx + d(hvy)/dy + f = 0, (5)

где толщину пласта h полагаем h = 1, f - плотность отбора, t - время. Вычисляя производные dvx/dx, dvy/dy и подставляя их в соотношение (5), придем к основному уравнению фильтрации в рассматриваемом случае, которое в сокращенной форме запишется

d(B2 dp / dx)/dx + d(B2dp / ду)/ду + f = 0. (6) Равенство (6) можно рассматривать или как уравнение для определения функции давления, или как уравнение для определения фильтрационного параметра. Если изучается первый вариант задачи, то уравнение имеет вид

а11д 2 p/dx2 + 2a12d 2 p/dxdy + a22d 2 p/ду 2 +

+H (x, y, p, dp / dx, dp / dy) = 0, (7)

где величины a11, a12, a22, H имеют весьма сложную форму. В качестве образца приведем только выражение a11

-—[(J1 + 4р | Vp | с -1) х 2р |Vp |LVV 7

х Ц1 + 4р |Vp| с - 1)(dp/dx)2 / |Vp|2

2pc(dp/dx)2 / |Vp|^1 + 4p |Vp| с

+

+

+

+

2p (dp/dx)2 dc/d | Vp |/ | Vp |^1+4p |Vp | с ]

+

+ [к2дк2/д \Ур\(др/дх)2 + к2с1(др/дх)2 х

х(1 -ц,)/^рд 1+ехр(с;'Ур|—а)),

Цо +Маехр(с^Ур\ -а)

а = С1Р1, с = ^/ц.

Весьма важным является вопрос о типе уравнения (7), поскольку от этого зависит последующая постановка задачи. Он определяется по знаку дискриминанта ё = а^ — а ^22. Поскольку коэффициенты имеют сложный вид, дискриминант ё тоже имеет весьма громоздкую форму. В некоторых случаях знак дискриминанта удается определить с помощью мажорантных оценок. Но при комбинации законов (2), (3) и ki = к(х,у,р, \ Ур\) этого сделать не удается. Компьютерные расчеты при достаточно широком диапазоне изменения исходных параметров показали, что знак ё отрицательный. Отсюда вытекает, что уравнение (7) принадлежит к эллиптическому типу и для него могут ставиться задачи Дирихле, Неймана и смешанная задача.

Формулируется задача определения поля давлений в неоднородной трещиновато-пористой среде. Для решения этой задачи могут быть предложены: 1) метод сведения к интегро-диф-ференциальному уравнению и решению его последовательными приближениями с удовлетворением краевому условию за счет свободных параметров, 2) различные варианты конечноэлементного подхода (или метода Галеркина с конечными элементами). При применении вто -рого варианта возникают следующие проблемные моменты: выбор элементов и узлов, разбиение области фильтрации на конечные элементы, выбор базисных и весовых функций, получение аппроксимирующей системы уравнений, сходимость приближенного решения к точному при неограниченном увеличении числа элементов. При этом приближенное решение должно удовлетворять требованию, чтобы оно было непрерывным во всей области фильтрации и имело кусочно-непрерывные первые производные. При разбиении области существует много элементов, конкурирующих между собой. Не вполне ясно, что эффективнее - разбить область на треугольные или четырехугольные ко -нечные элементы. Треугольные элементы лучше для аппроксимации криволинейной границы, а четырехугольные, особенно прямоугольные, имеют преимущество внутри области: их меньше и они позволяют строить простые элементы высших степеней. При использовании конечных элементов принципиально новым является выбор базисных функций. Они задаются отдельно для каждого элемента и выбира-

ются в виде функций с конечным носителем. Конечно-элементные разбиения приводят к тому, что матрица аппроксимирующей системы содержит много нулей и это обстоятельство облегчает ее решение. Далее разбирается алгоритм решения изучаемой задачи при использовании треугольных, прямоугольных и смешанных разбиений. Например, при использовании прямоугольных разбиений аппроксимирующая система имеет вид

(к = 1,2,к,N * = 1,2,к,М). (8)

и І

Здесь ак есть элемент матрицы А, который вычисляется по формуле

4, =

xi+i yj+i ( Е J J

1,j xi-l yj-1 V

2a

д 2ю

12

дхду

4 ®xk®y, +H®xk®y,

dxdy

(к = 1,2, к, N 5 = 1,2, к, М) (9)

Здесь узловые параметры р^ фигурируют в качестве коэффициентов перед а^ и входят в а12 и Н. Это нелинейная система алгебраических уравнений, которая решается с помощью пакета Ма&са^

MATHEMATICAL MODELING OF FILTRATION IN AN INHOMOGENEOUS FRACTURED POROUS STRATUM

G. V Golubev

The problem on determination of a pressure field in a heterogeneous fractured porous stratum is considered. The initial nonlinear differential partial equation with the main divergent part is derived and its type is established. The problem is formulated, and a solution method based on Galerkin finite element method is suggested. A general algorithm and a number of examples are also given.

Keywords: filtration, heterogeneous fractured porous stratum, pressure, Galerkin method, Mathcad.