CC BY
63
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Сер. 10. 2012. Вып. 3
УДК 532.546
Э. Н. Береславский, Н. В. Лихачева
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЛЬТРАЦИИ ИЗ КАНАЛОВ И ОРОСИТЕЛЕЙ
Введение. Известно (см., например, обзоры [1-4]), что при математическом моделировании фильтрационных течений из каналов и оросителей используются самые разные методы исследования: с помощью аналитических функций, введенных в [59]; метод конформных отображений прямолинейных многоугольников, основанный на применении формулы Кристоффеля-Шварца [10-13] и функций Ризенкампфа и Вери-гина [14]; метод П. Я. Полубариновой-Кочиной, основанный на аналитической теории линейных дифференциальных уравнений класса Фукса [15-18]; теория обратных краевых задач [19] и т. п. При всей значимости перечисленных исследований изыскания в указанном направлении пока разобщены и не в полной мере отражают специфику движений из каналов и оросителей, которая характеризуется наличием таких важных фильтрационных факторов как подпор со стороны нижележащего хорошо проницаемого водоносного горизонта, содержащего напорные подземные (или артезианские) воды, или водонепроницаемого основания, капиллярность грунта, а также испарение (или инфильтрация) на свободной поверхности грунтовых вод. Все отмеченные работы связаны с наличием одного или двух из трех указанных факторов, которые существенно влияют на моделируемые процессы. Учет одновременного влияния этих трех фильтрационных характеристик пока еще не стал широким достоянием точных аналитических решений.
В отличие от названных исследований в настоящей работе, которая является непосредственным продолжением и развитием [20-25], оба случая движения воды из каналов и оросителей рассматриваются вместе, что, по-видимому, не встречалось в литературе. Показывается, что решение задачи для оросителей получается из решения задачи фильтрации для каналов с помощью некоторого предельного перехода, связанного с параметрами конформного отображения, которые содержатся в искомых зависимостях. Приводится единообразная методика решения задач, которая позволяет рассмотреть четыре различные схемы течения и учесть сразу все три фильтрационные характеристики - капиллярность, испарение и подпор, что представляет значительный практический интерес, поскольку дает возможность оценить совместное влияние данных
Береславский Эдуард Наумович — доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики Санкт-Петербургского государственного университета гражданской авиации. Количество опубликованных работ: более 300. Научные направления: конформные отображения, аналитическая теория линейных дифференциальных уравнений, краевые задачи теории аналитических функций, математическое моделирование процессов гидро- и аэромеханики. E-mail: eduber@mail.ru.
Лихачева Наталья Владимировна — аспирант кафедры прикладной математики Санкт-Петербургского государственного университета гражданской авиации. Научный руководитель: доктор физико-математических наук, проф. Э. Н. Береславский. Количество опубликованных работ: 16. Научные направления: математическое моделирование процессов гидромеханики, разработка прикладных программ. E-mail: nataly_gate@mail.ru.
© Э. Н. Береславский, Н. В. Лихачева, 2012
факторов на картину явлений. Для этой цели используется метод П. Я. Полубари-новой-Кочиной [1—4], основанный на применении конформного отображения круговых многоугольников. С помощью разработанных [26-29] способов решения соответствующих линейных дифференциальных уравнений класса Фукса, которые весьма характерны для задач подземной гидромеханики, решаются смешанные краевые многопараметрические задачи теории аналитических функций. На базе полученных точных аналитических зависимостей и посредством численных расчетов проводится гидродинамический анализ влияния всех физических параметров рассматриваемых схем течения на фильтрационные характеристики. Дается сопоставление результатов расчетов по таким схемам при одинаковых фильтрационных характеристиках в зависимости как от формы источников питания русловых вод (канал или ороситель), так и от вида подстилающего почвенный слой основания (хорошо проницаемый напорный водоносный горизонт или водоупор).
Фильтрация из каналов при наличии в основании хорошо проницаемого горизонта, содержащего напорные подземные воды (схема 1). На рис. 1
У> А В <-h-> <rlk>I С
! > 0 G / / -0.5 © 1 \ \ л 2J4 N. 2 * Е
1 -1 У" Щ+h 1 Е
F
Рис. 1. Картина течения с кривыми депрессии при фильтрации из канала (схема 1, кривая 1) и оросителя (схема 2, кривая 2), рассчитанная при hk = 0.3, е = 0.05,
l = 0.2, T =1.0 и Ho = 0.1
изображена правая симметричная картина плоского установившегося течения несжимаемой жидкости по закону Дарси с известным коэффициентом фильтрации к = const из канала шириной l с малой глубиной воды при равномерном испарении со свободной поверхности CE интенсивности е (0 < е < 1), отнесенной к коэффициенту фильтрации. На некоторой глубине T от дна канала находится сильнопроницаемый напорный горизонт FE, в котором пьезометрический уровень воды на Ho + hk (hk - статическая высота капиллярного поднятия грунтовой воды [1, 2]) выше горизонтальной границы раздела между ним и почвенным слоем, в котором изучается движение. Ширина
канала I, мощность почвенного слоя Т, напор (над кровлей) в нижележащем хорошо проницаемом горизонте Но наряду с интенсивностью испарения е и высотой вакуума Нк, обусловленного капиллярными силами в грунте, считаются заданными.
Если ввести комплексный потенциал движения ш = р + гф (р - потенциал скорости, ф - функция тока) и комплексную координату г = х + гу, отнесенные соответственно к кТ и Т, то задача состоит в определении положения кривой депрессии СЕ и, следовательно, ширины капиллярного растекания воды ВС и фильтрационного расхода Q при следующих краевых условиях:
АВ : у = 0, р = 0; ВС : у = 0, ф = Q; АЕ : х = 0, ф = 0; (1)
ЕЕ : у = -Т, р = Т - Но = Н; СЕ : р = -у + Нк, ф = Q - е(х - I - к). (1)
Введем вспомогательную параметрическую переменную Ь, функцию г (Ь), конформно отображающую полуполосу ИеЬ > 0, 0 < 1тЬ < 0.5-я" плоскости Ь на область течения при соответствии точек Ье =0, Ьр = /г, Ьа = аг, Ьв = 0.5пг, Ьс = го и производные ¿ш/¿Ь и ¿г/&.
а б
Рис. 2. Области комплексной скорости ш для схем 1 и 2 (а) и схем 3, 4 (б)
На рис. 2, а изображена область комплексной скорости и>, отвечающая граничным условиям (1), которая представляет собой круговой четырехугольник с разрезом с вершиной П и углом 7гг/ = ахс^л/е при вершине С. Функция, совершающая конформное отображение области Ь на область и>, имеет вид
ю = — \/ег
. у^У + гУ2 >1 -
У
сЫ еИ^Ь + С бМ вкшЬ сМ shvt + С БМ chvt -, 1 2 = -
(2)
сЬ1+и г
сЬ1+и Ь
где У^2 - линейно независимые интегралы соответствующего линейного дифференциального уравнения класса Фукса [26-28]; С - некоторая подходящая вещественная постоянная конформного отображения.
Применяя метод П. Я. Полубариновой-Кочиной и принимая во внимание соотношение (2), а также то, что и> = дш/д,г, находим параметрическое решение краевой задачи (1), которое имеет вид
¿г М (У - ЛИУ<2)с\11+Ч (ки + '¡У2)сЪ1+Ч
— —— = М'1-
<М л/ё Д ' Л Д
д =
ем ф^Т^А^у^ь^^).
(3)
Здесь М - масштабная постоянная моделирования (М > 0), а = агсвш А, / = агсвш Е, а и / (0 < / < а ^ 0.5^) - неизвестные ординаты точек А и Е в плоскости £ [21, 23]. Интегрируя представления (3) вдоль контура вспомогательной области можно получить для физических характеристик модели выражения
а 0.5п
- J Фар & = Н, у Хав & = ¡,
! а
1 Ф всЛ = 1гк, [УАРаь = Т,
(4)
ссв(0.5^)
о Г
которые используются для определения неизвестных параметров конформного отображения а, /, С и М. После нахождения этих постоянных рассчитываются искомые фильтрационные характеристики ¡к и Q и координаты точек кривой депрессии
сю 0.5п
к = —Г /Хвс&, <э = - / Фав<й, (5)
8Ш(0.5^)
о
0с 0с
хсе(£)= I + ¡к + У ХСВ^, УСЕ(£) = Уов&, 0 < £ < го. (6)
г г
В формулах (4)-(6) подынтегральные функции - выражения правых частей (3) на соответствующих участках контура плоскости Частные и предельные случаи схемы 1 подробно описаны в [23].
Фильтрация из оросителей при наличии в основании хорошо проницаемого горизонта, содержащего напорные подземные воды (схема 2). На рис. 1 изображена картина движения из оросителя бороздового типа с радиусом ¡, который наполнен водой до уровня поверхности земли, принимаемой за горизонтальную плоскость. При первоначальном рассмотрении ороситель заменим точечным источником, расположенным в точке А. Тогда решение задачи для источника получается из решения задачи фильтрации для канала (3) при значениях параметров конформного отображения а = 0.5^, А = 1, т. е. при слиянии точек А и В на плоскости течения.
Далее, согласно [1, 2, 6, 7], примем одну из линий равных напоров, скажем ВО (показанную на рис. 1 кривой пунктирной линией), за поперечное сечение русла оросителя с радиусом I и положим на ней р = 0. При таких условиях вдоль участков границы области г будут по-прежнему выполняться краевые условия (1), а область комплексной скорости и> (рис. 2, а) и искомые зависимости (3)-(6) сохраняют свой вид. При этом формулы (4), (5) для величин I и Q заменяются следующими:
а
1 ХАВ(И = 1, <2 = тг [ ¡ФсеМ- (7)
вш(0.5п^)
0 \0 0 В (7) неизвестный параметр Ь (0 < Ь < ж) - абсцисса точки В на плоскости вспомогательной параметрической переменной Ьв = Ь + 0.5пг. Частные и предельные случаи рассматриваемой модели 2 подробно изложены в [25].
Сопоставление численных результатов для каналов (схема 1) и оросителей (схема 2). На рис. 1 изображены кривые депрессии при фильтрации из каналов (левая кривая СЕ 1) и оросителей (правая кривая СЕ 2), рассчитанные при е = 0.05, Т = 1.0, Но = 0.1, Ни = 0.3 и I = 0.2 (базовые значения). Результаты расчетов влияния физических параметров е, Т, Но, Ни и I на ширину капиллярного растекания жидкости ¡и и фильтрационный расход Q приведены в табл. 1 и 2 (верхняя строка соответствует оросителю, нижняя - каналу). В каждом из блоков таблиц, которые разделены двойными вертикальными линиями, варьируется в допустимом диапазоне один из указанных параметров, а величины остальных фиксируются базовыми значениями. На рис. 3 представлены зависимости размера ¡и и расхода Q для каналов (кривые 1) и оросителей (кривые 2) от параметров е, Т, Но, Ни и ¡.
Таблица 1. Результаты расчетов влияния ширины капиллярного растекания ¡к и расхода Q при варьировании е, Т и Н0 для схем 1 и 2
£ 1к Я Т 1к Я Но 1к Я
0.263 0.671 0.333 0.569 0.236 0.736
0.001 0.6 0
0.149 0.471 0.217 0.378 0.133 0.513
0.262 0.673 0.255 0.680 0.238 0.731
0.01 1.0 0.01
0.147 0.479 0.143 0.483 0.134 0.510
0.229 0.712 0.235 0.741 0.285 0.615
0.25 1.4 0.20
0.129 0.502 0.128 0.530 0.160 0.446
0.208 0.746 0.227 0.770 0.525 0.428
0.50 1.7 0.45
0.117 0.520 0.124 0.547 0.292 0.323
0.190 0.779 0.226 0.778 0.660 0.403
0.80 1.8 0.49
0.110 0.538 0.122 0.547 0.350 0.299
Анализ данных табл. 1, 2 и рис. 3 позволяет сделать следующие выводы.
Увеличение ширины каналов и радиуса оросителей, напора в нижележащем водоносном горизонте и высоты вакуума, обусловленного капиллярными силами в грунте, и уменьшение интенсивности испарения и мощности почвенного слоя приводят к росту ширины капиллярного растекания воды. Снижению интенсивности испарения и большему подпору со стороны вод нижележащего горизонта сопутствует возрастание величины ¡и и, напротив, убывание фильтрационного расхода Q. Аналогичное поведение ¡и и Q прослеживается и при меньшей мощности почвенного пласта Т. Таким образом, по отношению к фильтрации из каналов и оросителей испарение и мощность почвенного слоя играют ту же роль подпора, что и величина Но.
Обращает на себя внимание одинаковый качественный характер зависимостей ширины капиллярного растекания воды ¡к и фильтрационного расхода Q от параметров
Таблица 2. Результаты расчетов влияния ширины капиллярного растекания ¡к и расхода Q при варьировании Нк и I для схем 1 и 2
Ък 1к Я 1 1к Я
0.158 0.624 0.152 0.336
0.18 0.04
0.079 0.419 0.106 0.264
0.173 0.637 0.205 0.485
0.20 0.10
0.089 0.433 0.127 0.364
0.367 0.696 0.255 0.680
0.40 0.20
0.217 0.510 0.143 0.483
0.451 0.697 0.297 0.854
0.45 0.30
0.257 0.518 0.151 0.582
0.592 0.698 0.370 1.013
0.50 0.40
0.334 0.521 0.158 0.668
Ни и ¡: по мере увеличения высоты капиллярного поднятия воды и ширины каналов или радиусов оросителей значения ¡и и Q возрастают.
О влиянии испарения на фильтрационные характеристики можно проследить по левому блоку табл. 1: варьированию параметра е отвечает уменьшение ¡и в 1.4 раза, расход Q при этом изменяется на 12-16%.
Средний блок табл. 1 позволяет судить о характере влияния мощности слоя Т: при неглубоком залегании сильнопроницаемого горизонта ширина капиллярного растекания воды может превышать высоту капиллярного вакуума. Так, при Т = 0.6 имеем ¡и = 0.333 и, следовательно, ¡и/Ни = 1.111. С увеличением Т это отношение становится еще более значительным. Присутствие же нижележащего горизонта практически сказывается на параметрах ¡и и Q при Т < 1.8. При больших значениях Т отклонения соответствующих величин ¡и и Q не превышает 1%.
Выше говорилось о качественно противоположном характере изменения искомых параметров ¡и и Q при варьировании Т и Но. Данные табл. 1, относящиеся к параметру Н0 , свидетельствуют, что, наоборот, при относительно больших значениях подпора отношение ¡и/Ни также может быть весьма существенным. Например, при Ни = 0.3 для Но = 0.49 получаем ¡и = 0.66, так что ширина капиллярного растекания воды ¡и превышает высоту капиллярного поднятия жидкости на 120%.
Однако наибольшее влияние на ¡и оказывает капиллярность грунта. Из табл. 2 видно, что при изменении параметра Ни ширина капиллярного растекания воды ¡и увеличивается на 275.4%. При этом, скажем, для Ни = 0.5 имеем отношение ¡и/Ни = 1.19, с повышением Ни оно растет, причем наибольшая разница достигается для значений Ни ~ Н и может приближаться к 200%.
Таким образом, капиллярность грунта увеличивает как фильтрационный расход, так и ширину орошаемой полосы грунта, иными словами, эффективность каналов и оросителей.
Последний блок табл. 2 дает возможность проанализировать влияние формы поперечного сечения русла источников питания. Сравнив результаты для каналов (схема 1) и оросителей (схема 2) при одинаковых фильтрационных характеристиках, а также из рассмотрения рис. 3 следует, что в случае оросителей все итоговые характеристики ¡и и Q больше, чем для каналов, при этом различие для этих величин составляет 1.4-2.2 и 1.3-1.5 раза соответственно.
0.04
0.22
0.40
Рис. 3. Зависимости величин 1к, Q от е (а), Т (б), Н0 (в), Нк (г) и I (д) а — при постоянных значениях Т = 1.0, Но = 0.1, Нк = 0.3 и I = 0.2; б — при постоянных значениях е = 0.05, Но = 0.1, Нк = 0.3 и I = 0.2; в — при постоянных значениях е = 0.05, Т = 1.0, Нк = 0.3 и I = 0.2; г — при постоянных значениях е = 0.05, Т = 1.0, Но = 0.1 и I = 0.2; д — при постоянных значениях е = 0.05, Т = 1.0, Но = 0.1 и Нк = 0.3.
Фильтрация из каналов при наличии в основании водоупора (схема 3).
В рассмотренных схемах 1 и 2 подстилающий почвенный слой нижележащий напорный водоносный горизонт высокой проницаемости является мощным фактором, за счет которого дренирование почвы может осуществляться не только при свободной фильтрации, но и при наличии подпора. В тех же ситуациях, когда почвенный пласт подстилается непроницаемым основанием, единственное средство отвода фильтрующихся
русловых вод - испарение со свободной поверхности грунтовых вод. В подобных случаях естественным образом возникает вопрос об определении размеров зоны насыщения при фильтрации из каналов.
А
1--1кВ С
х
О
т
1
т -1
-2
77777777777777777777777777*
ь
Рис. 4- Картина течения из каналов с малой глубиной воды, рассчитанная при Нк = 0.4, е = 0.4, I = 1.2 и Т = 2.0
На рис. 4 изображена картина движения из канала АВ в слой грунта мощности Т, подстилаемый горизонтальным водоупором ЕЕ. Расходным фактором, компенсирующим фильтрацию из канала, является равномерное испарение интенсивности е со свободной поверхности СЕ. В этой схеме граничные условия (1) на участках АВ, ВС, СЕ и АЕ сохраняются, а условия на границе ЕЕ заменяются следующими:
Соотношение (9) выражает равенство фильтрационного расхода из канала величине испарения со свободной поверхности в условиях установившейся фильтрации. По сравнению с предыдущими схемами 1 и 2 теперь наряду с определением ширины капиллярного растекания жидкости ¡к нахождению подлежит и ширина растекания воды по водонепроницаемому основанию Ь.
В качестве вспомогательной параметрической переменной здесь удобно выбрать прежнюю полуполосу плоскости Ь, но при ином соответствии точек Ьр = 0, Ьа = аг, Ьв = 0.5пг, Ьс = с + 0.5пг, Ьр = го.
В рассматриваемом случае область комплексной скорости л, соответствующая граничным условиям (1), (8), представляет собой круговой пятиугольник с тем же разрезом с вершиной в точке В, но уже с двумя углами при вершинах Е и С, которые равны 7г(1 — 1у) и 7гг/ = 2агс^л/£ соответственно (см. рис. 2, б). Функция, дающая конформное отображение области параметрической переменной Ь на область л, имеет вид
ЕЕ : у = -Т, ф = 0. Полагая во втором условии (1) для участка CE x = Ь, получим
(8)
д = е(Ь - I - ¡к).
(9)
ГУ! - У2
*' = уГеъТъ>
_ (С + ту ехр(1 _ (С — ту ехр(г/ -
Применяя метод П. Я. Полубариновой-Кочиной и поступая аналогично предыдущему, с помощью соотношения (10) приходим к зависимостям
^ = м(У1+У2)с^-Ч сЬ = (Ух - У2)сЬ1-^ Л Д ' А Д ^^
Д = y/(sh2t + A2)(sh2t + í12)^.
Здесь С = В/\/В2 — 1, а, = агсэтА (0 < а, < 0.57г), с = агсЬВ (0 < с < оо), с -неизвестная абсцисса точки С в плоскости £ [27-29].
Для определения неизвестных постоянных конформного отображения а, с и М в данном случае служит система уравнений
с и.о-я' сю
J Фвсл = Нк, J ФАвА = ¡, вт(0.5пу) J УСЕ31 = Т, (12)
0 а с
после чего рассчитываются искомые размеры зоны насыщения
с сс
1к = ! ХвсЗЬ, Ь = ! ХееЗЪ (13)
00
и фильтрационный расход Q по формуле (9).
В предельном случае движения, когда отсутствует капиллярность грунта, т. е. при Нк = 0, параметры с = 0, В = 1, С = то и получаются результаты [16].
На рис. 4 изображена картина течения из канала, рассчитанная при Нк = 0.4, е = 0.4, I = 1.2 и Т = 2.0 (базовые значения). В [29, 30] проводится детальный гидродинамический анализ влияния всех физических характеристик схемы 3 на размеры зоны насыщения. Поэтому ниже остановимся подробнее на сопоставлении результатов расчетов, полученных при моделировании по схемам 1 и 3. В табл. 3 (нижняя строка соответствует схеме 3, а верхняя - схеме 1 с базовым вариантом Нк = 0.4, е = 0.4, I = 1.2, Т = 2.0 и Но = 1.0) приведены результаты численных расчетов влияния физических параметров модели I, Нк и е на размеры ширины капиллярного растекания воды ¡к и фильтрационный расход Q.
Прежде всего обращает на себя внимание одинаковый качественный характер зависимостей величин ¡к и Q от параметров ¡, Нк и е: увеличение ширины каналов, статической высоты капиллярного поднятия воды, а также уменьшение интенсивности испарения и мощности пласта приводят к росту ¡к. Увеличение же размеров зоны насыщения за счет расширения растекания жидкости по водоупору Ь связано в схеме 3 с ростом мощности почвенного слоя, что совершенно естественно с физической точки зрения.
Таблица 3. Результаты расчетов влияния ширины капиллярного растекания ¡к и расхода Q при варьировании I, Нк и е для схем 1 и 3
1 1к Я Ьк 1к Я £ 1к <9
0.183 0.644 0.042 1.007 0.291 1.049
0.30 0.1 0.10
0.158 0.748 0.043 0.888 0.499 0.605
0.206 0.923 0.116 1.104 0.241 1.107
0.75 0.25 0.25
0.194 0.971 0.121 0.979 0.274 0.885
0.211 1.159 0.211 1.159 0.211 1.159
1.20 0.40 0.40
0.216 1.046 0.216 1.046 0.210 1.046
0.212 1.386 0.335 1.187 0.191 1.204
1.65 0.55 0.55
0.229 1.077 0.329 1.097 0.189 1.158
0.213 1.612 0.501 1.194 0.176 1.244
2.10 0.70 0.70
0.235 1.091 0.459 1.137 0.172 1.243
Данные табл. 3 еще раз подчеркивают значимую роль горизонтального всасывания воды для схем 1 и 3: при е = 0.1 имеем отношение ¡к/Нк = 1.25, причем оно повышается с увеличением интенсивности испарения е.
Сопоставление с результатами расчетов по рассмотренной ранее [22-24] схеме 1 показывает, что если при малых параметрах Нк, е и Т и больших I выполняются неравенства к < ¡¡к2 (верхний индекс указывает на вычисление по схемам 1 и 3), то для больших значений Нк, е и Т и малых I наоборот: ¡(1) > ¡(3). Максимальная разница в результатах (72%) наблюдается при изменении интенсивности испарения.
Что касается расхода, то заметно, что д(1) > д(3) для любых значений параметров Н , е и Т. При малых и больших значениях ширины каналов ¡ имеем соответственно неравенства д(1) < д(3) и д(1) > д(3).
Фильтрация из заполненных водой каналов при наличии в основании во-доупора (схема 4). До сих пор изучались движения из каналов с малой глубиной воды. Разработанный для исследования схемы 3 аналитический комплекс (формулы (11)—(13)) позволяет охарактеризовать каналы, которые заполнены водой, и тем самым оценить совместное влияние глубины воды в каналах и испарения со свободной поверхности грунтовых вод, но в условиях отсутствия капиллярности грунта, т. е. при
Н к =0.
На рис. 5 изображена картина течения из канала АВ прямоугольного поперечного сечения ширины ¡ с глубиной воды Н. В рассматриваемой схеме граничные условия (1), (8) на участках АЕ, СЕ и ЕЕ сохраняются, а условия на отрезках АВ и ВС заменяются такими:
АВ : у = -Н, у = 0, ВС : х = ¡, у = 0,
где Н (0 ^ Н < Т) — глубина воды в канале.
Принимая во внимание совпадение области комплексной скорости л с таковой для схемы 3 (см. рис. 2, б) и применяя метод П. Я. Полубариновой-Кочиной, приходим
к параметрическому решению (11) с заменой Д = ^(вЬ^ + А2)(§\\21 + В2)1+1/ [30]. Выражения (12), (13) для физических параметров модели ¡, Т и Ь остаются прежними,
е = 0.35, I = 0.6 и Т = 1.4 а первое уравнение системы (12) принимает следующий вид:
с
У Уво & = И. (14)
о
После определения неизвестных постоянных конформного отображения а, с, М и ширины зоны насыщения Ь вычисляется фильтрационный расход Q по формуле (9) с учетом того, что в данной схеме =0.
На рис. 5 изображена картина движения из канала, рассчитанная при И = 0.6, £ = 0.35, I = 0.6 и Т = 1.4 (базовый вариант). Гидродинамический анализ влияния всех физических характеристик схемы И, £, I и Т дан в [30]. В табл. 4 приведены результаты расчетов влияния физических параметров схемы 4 на ширину растекания воды по водонепроницаемому основанию Ь и расход Q.
Таблица 4. Результаты расчетов влияния ширины растекания воды по водоупору Ь и расхода Q при варьировании Н, е, I и Т для схемы 4
я Ь Я е Ь Я 1 Ь Я Т Ь Я
0.17 2.400 0.630 0.10 4.854 0.425 0.17 2.273 0.736 0.62 1.653 0.369
0.38 2.643 0.725 0.22 3.411 0.618 0.38 2.547 0.759 1.39 2.793 0.767
0.60 2.793 0.767 0.35 2.793 0.767 0.60 2.793 0.767 2.16 3.701 1.085
0.81 2.881 0.798 0.47 2.469 0.878 0.81 3.013 0.771 2.93 4.402 1.331
1.02 2.933 0.817 0.60 2.234 0.981 1.02 3.227 0.772 3.70 4.951 1.523
Анализ показывает, что в схемах 3 и 4 (см. табл. 3 и 4) уменьшение интенсивности испарения и увеличение мощности почвенного слоя и ширины каналов приводят к расширению зоны насыщения. Испарение по-прежнему оказывает весьма значительное влияние на ширину растекания воды: согласно данным табл. 4 с убыванием параметра £
ширина Ь увеличивается в 2.2 раза. Как и ранее в схеме 3, зависимость Ь от ширины каналов ¡ оказывается близкой к линейной, а зависимости величин Ь и д от уровня воды Н качественно подобны, если иметь в виду равенство (9).
Что касается расхода д, то в обеих схемах при увеличении характеристик ¡ и Т расход становится больше, при этом наибольшее влияние на величину д оказывает мощность пласта Т: из табл. 4 видно, что изменению параметра Т сопутствует рост расхода на 313%, т. е. практически так же, как и в схеме 3.
Однако по сравнению со схемой 3 максимальное изменение при варьировании мощности слоя претерпевает теперь ширина растекания воды: с увеличением параметра Т ширина Ь возрастает почти на 200%.
Из данных табл. 4 следует, что изменения параметра Н приводят к весьма незначительным (в пределах 20—30%) отклонениям ширины растекания воды Ь, а также фильтрационного расхода д, так что влияние уровня воды в каналах практически мало сказывается на картине течения.
Заключение. Разработанные в работе расчетные схемы фильтрации из каналов и оросителей в почвогрунтах, подстилаемых сильнопроницаемым напорным водоносным горизонтом или водонепроницаемым основанием, позволяют произвести сравнительную оценку роли формы поперечного сечения русла источников питания и уровня воды в нем, подпора со стороны вод нижележащего горизонта или водоупора, капиллярности грунта, испарения или инфильтрации на свободной поверхности грунтовых вод на картину течения.
В частности, установлено следующее:
— по сравнению с фильтрацией из каналов для оросителей ширина капиллярного растекания жидкости и фильтрационный расход могут превышать соответствующие характеристики более чем на 50%;
— наибольшее влияние на ширину капиллярного растекания воды и фильтрационный расход оказывает капиллярность грунта, которая повышает эффективность каналов и оросителей;
— влияние уровня воды в каналах практически не сказывается на размерах зоны насыщения и величине фильтрационного расхода.
Литература
1. Полубаринова-Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод. М.: Гостехиздат, 1952. 656 с.; 2-е изд. М.: Наука, 1977. 664 с.
2. Аравин В. И., Нумеров С. Н. Теория движения жидкостей и газов в недеформируемой пористой среде. М.: Гостехиздат, 1953. 616 с.
3. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР (1917—1967) / авт.-сост.: В. И. Аравин, А. В. Афанасьева, В. Д. Бабушкин и др. М.: Наука, 1969. 545 с.
4. Михайлов Г. К., Николаевский В. Н. Движение жидкостей и газов в пористых средах // Механика в СССР за 50 лет: в 4 т. / под ред. Л. И. Седова. М.: Наука, 1970. Т. 2. С. 585-648.
5. Ризенкампф Б. К. Гидравлика грунтовых вод. Ч. 3 // Учен. зап. Саратов. ун-та. Сер. гидравлики. 1940. Т. 15, вып. 5. С. 3-93.
6. Веригин Н. Н. Фильтрация воды из оросителя ирригационной системы // Докл. АН СССР. 1949. Т. 66, № 4. С. 589-592.
7. Веригин Н. Н. Некоторые случаи подъема грунтовых вод при общей и местной усиленной инфильтрации // Инж. сб. 1950. Т. 2. С. 21-34.
8. Нумеров С. Н. Об одном способе решения фильтрационных задач // Изв. АН СССР. ОТН. 1954. № 4. С. 133-139.
9. Нумеров С. Н. О фильтрации из каналов деривационных ГЭС и ирригационных систем // Изв. Всесоюз. науч.-исслед. ин-та гидротехники. 1947. № 34. С. 85-96.
10. Васильев В. А. Фильтрация из каналов с малой глубиной воды при учете капиллярности // Труды Среднеазиатск. ун-та. 1958. Т. 83. № 14. С. 43-57.
11. Эмих В. Н. О режиме грунтовых вод в орошаемом почвенном слое с нижележащим сильнопроницаемым напорным горизонтом // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1979. № 2. С. 168—174.
12. Береславский Э. Н., Матвеев В. В. Фильтрация из каналов малой глубины и оросителей // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1989. № 1. С. 96-102.
13. Береславский Э. Н. О режиме грунтовых вод при фильтрации из оросителя ирригационной системы // Прикл. механика и техн. физика. 1989. № 5. С. 88-91.
14. Kasimov A. R., Obnosov Yu. V. Stripfocused phreatic surface flow driven by evaporation: analytical solution by the Riesenkamph function // Advances in Water Resources. 2006. Vol. 29. P. 1565-1571.
15. Барон В. А. Фильтрация из канала с малой глубиной воды при наличии хорошо проницаемого слоя на конечной глубине и с учетом инфильтрации // Прикл. механика и техн. физика. 1961. № 1. С. 101-105.
16. Береславский Э. Н., Панасенко Л. А. Об определении размеров зоны насыщения при фильтрации из канала с малой глубиной воды // Прикл. механика и техн. физика. 1981. № 5. С. 92-94.
17. Береславский Э. Н. К задаче о фильтрации из оросителя ирригационной системы // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1987. № 2. С. 105-109.
18. Kasimov A. R., Obnosov Yu. V., Perret J. Phreatic surface flow frone a near-reservoir saturated tongue // J. Hydrology. 2004. Vol. 296. P. 271-281.
19. Ильинский Н. Б., Касимов А. Р. Обратная задача фильтрации из канала при наличии подпора // Труды семинара по краевым задачам. Казань: Изд-во Казан. ун-та. 1983. Вып. 20. С. 104-115.
20. Береславский Э. Н., Александрова Л. А., Пестерев Е. В. Математическое моделирование ряда фильтрационных течений в подземной гидромеханике // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2010. Вып. 4. С. 3-15.
21. Береславский Э. Н. Моделирование фильтрационных течений из каналов // Докл. РАН. 2010. Т. 434, № 4. С. 472-475.
22. Береславский Э. Н., Александрова Л. А., Захаренкова Н. В., Пестерев Е. В. Моделирование фильтрационных течений со свободными границами в подземной гидромеханике // Современные проблемы аэрогидродинамики: тез. докл. XVI школы-семинара под руководством академика РАН Г. Г. Черного. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2010. С. 17-18.
23. Береславский Э. Н. Моделирование фильтрационных течений из каналов // Прикл. математика и механика. 2011. Т. 75, вып. 4. С. 563-571.
24. Береславский Э. Н., Александрова Л. А., Захаренкова Н. В., Пестерев Е. В. Математическое моделирование фильтрационных течений с неизвестными границами в подземной гидромеханике // X Всерос. съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. Вестн. Нижегород. ун-та им. Н. И. Лобачевского. 2011. № 4(3). С. 644-646.
25. Береславский Э. Н., Лихачева Н. В. О течении жидкости из оросителей // Математическое моделирование. 2012. Т. 24, № 2. С. 99-108.
26. Береславский Э. Н. О дифференциальных уравнениях класса Фукса, связанных с конформным отображением круговых многоугольников в полярных сетках // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33, № 3. С. 296-301.
27. Береславский Э. Н. Об интегрировании в замкнутой форме некоторых дифференциальных уравнений класса Фукса, встречающихся в гидро- и аэромеханике // Докл. РАН. 2009. Т. 428, № 4. С. 439-443.
28. Береславский Э. Н. Об интегрировании в замкнутой форме некоторых дифференциальных уравнений класса Фукса, связанных с конформным отображением круговых пятиугольников с разрезом // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46, № 4. С. 459-466.
29. Береславский Э. Н. Об учете инфильтрации или испарения со свободной поверхности методом круговых многоугольников // Прикл. математика и механика. 2010. Т. 74, вып. 2. С. 239-251.
30. Береславский Э. Н., Захаренкова Н. В. Течения в каналах при наличии испарения со свободной поверхности грунтовых вод и капиллярности грунта // Математическое моделирование. 2010. Т. 22, № 7. С. 22-32.
Статья рекомендована к печати проф. Ю. М. Далем. Статья принята к печати 26 апреля 2012 г.
